第2讲：集合间的基本关系【知识梳理+6大题型归纳】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦集合间的基本关系，系统构建子集、真子集、集合相等与空集的核心概念体系，清晰梳理从元素归属到集合包含的逻辑脉络，层层递进地衔接集合运算与参数问题，形成完整的知识支架。 资料设计突出“抽象能力”“推理意识”和“应用意识”三大核心素养，以典型例题为载体，通过列举法与描述法结合、数轴分析与分类讨论并行，引导学生从具体情境中抽象出数学结构，再用逻辑推理解决含参问题。如在“由子集个数求参数”环节中，学生需逆向推导元素个数，再结合方程根的个数列式求解，强化了符号意识与运算能力。课中便于教师精准施教，课后助力学生查漏补缺，实现从理解到迁移的闭环学习。

2025-2026年高一数学上学期常考题型归纳 【第2讲：集合间的基本关系】 【知识梳理】 一、核心概念与定义 1.子集 定义：一般地，对于两个集合与，如果集合中的任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）。 符号理解：若，都有，则。 示例：设，，则；自然数集⊆整数集⊆有理数集⊆实数集。 2.真子集 定义：如果集合，但存在元素且，则称集合是集合的真子集，记作（或），读作“真包含于”（或“真包含”）。 与子集的区别：子集允许，真子集要求且。 示例：设，，则；正整数集⊂真包含于自然数集⊂真包含于整数集。 3.集合相等 定义：若且，则称集合与集合相等，记作。 本质理解：两个集合的元素完全相同（个数、种类均一致）。 示例：设（解得），，则。 4.空集 与其他集合的关系：空集是任何集合的子集（，为任意集合）；空集是任何非空集合的真子集（，）。 注意事项：不含任何元素，与不同（是含元素的非空集合）。 示例：，；，但不是自身的真子集。 5.子集的基本性质 1.自反性：任何集合是自身的子集，即。 2.传递性：若且，则；若且，则。 3.对称性：若且，则（集合相等的充要条件）。 二、常考结论 1.子集个数相关结论 核心公式：含个元素的集合，子集个数为，真子集个数为，非空真子集个数为，非空子集个数为。 拓展结论1：若集合，且含个元素，含个元素（），则满足的集合的个数为。 示例：设（），（），则满足条件的有个（分别为、、、）。 拓展结论2：若集合，则其所有子集的元素之和为。 示例：（），所有子集元素之和为（验证：子集元素和为）。 2.集合关系的传递性延伸 结论1：若且，则；若且，则。 结论2：若，且，则（传递性与对称性结合）。 3.空集相关常考结论 结论1：若，且，则（空集的唯一子集是自身）。 结论2：若集合，则需分（且）和（或或）讨论（含参数的空集优先原则）。 4.集合相等的隐含结论 结论1：若两个有限集相等，则它们的元素个数、元素之和、元素之积均相等（可用于快速验证或求参数）。 示例：若，且，则，解得或。 结论2：若，且，则方程与同解（解集相等）。 三、易错点总结 1.忽略空集：涉及“”“”的参数问题，需优先考虑的情况（如含一次方程的集合，系数为0时可能为空集）。 2.混淆符号：“”（集合与集合的关系）与“”（元素与集合的关系）不可混用，如“”错误，应为“”。 3.子集个数计算失误：区分“真子集”“非空子集”“非空真子集”，避免漏减1或2（如含3个元素的集合，真子集个数为，非空真子集为）。 4.元素互异性遗漏：利用集合相等求参数后，需验证集合元素是否重复（如时，不满足互异性，应舍去）。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：判断集合的子集(真子集)个数】 例题精选 【例题1】（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，则满足的集合的个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【分析】根据题意写出集合，再由子集和真子集的定义即可解得. 【详解】方法一：的含义是有的都有，有的都有，但不能等于． 因为集合，， 所以集合可为，共7个． 方法二：集合中有2个元素，中有5个元素，则集合可以是集合的任意一个真子集与集合并集组成， 所以满足的集合有（个）． 故选：B． 【例题2】（25-26高三上·吉林延边·开学考试）已知集合，，若，则集合的非空子集个数为（   ） A．2 B．3 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由集合相等分情况讨论得到所求集合，再求子集可得. 【详解】由题意可得，当时，，此时； 当时，或，此时； 所以集合， 所以非空子集的个数为3个. 故选：B. 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知集合，则的子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】求出集合，由子集的定义可得. 【详解】由集合，所以的子集个数为个； 故选：D 【相似题2】（24-25高一上·福建三明·阶段练习）设集合满足Ü，则满足条件的有 个． 【答案】7 【分析】根据子集和真子集的概念求解即可. 【详解】由题意可知，集合中一定包含元素, 且是的真子集， 所以或或或或或或， 即满足条件的集合有7个. 故答案为：7. 【解题策略】 一、核心公式（必记） 设集合有个互异元素，则： 类型 个数公式 关键说明 子集 含空集和集合本身 真子集 不含集合本身 非空真子集 不含空集和集合本身 二、解题步骤（两步走） 1.定个数：求集合元素总数 这是最关键的一步，不同集合类型对应不同方法： 列举法：直接数元素，重复的只算一个（如，）。 描述法：先解条件（方程、不等式等），再列元素计数（如，）。 含参数：分类讨论参数（如方程根的个数），确定每种情况的。 集合运算：先算交集、并集等，再数结果集合的元素。 2.套公式：按要求选对应公式计算 根据题目问“子集”“真子集”还是“非空真子集”，代入公式即可。 三、易错点提醒 1.别漏互异性：重复元素必须去重，否则算错。 2.公式别用混：求真子集要减1，非空真子集减2，别忘减！ 3.参数要全查：比如含的集合，要考虑（一次方程）的情况。 4.空集要注意：空集没有真子集，单元素集合没有非空真子集。 【题型二：由子集(真子集)个数求参数】 例题精选 【例题1】（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据真子集的个数得，即可求解. 【详解】因为集合有15个真子集，所以集合中包含4个元素， 所以，所以，则实数的取值范围为． 故答案为： 【例题2】【多选题】（24-25高一上·贵州·期中）已知集合恰有4个子集，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D．1 【答案】AB 【分析】根据子集个数知集合中有2个元素，即对应方程有两个不同实根，进而求参数a的范围. 【详解】由题设，易知集合中有2个元素，故，即且， 所以符合要求. 故选：AB 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合有且仅有两个子集，则满足条件的实数的值有 个. 【答案】3 【分析】根据题意集合有一个元素，考虑和两种情况，计算得到答案即可. 【详解】由题意，集合有且仅有两个子集，则集合只有一个元素， 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得或， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意. 综上所述，的取值有3个. 故答案为：3. 【相似题2】（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知集合有且只有两个子集，则的值为 . 【答案】或 【分析】分析可知，关于的方程只有一个实根，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得.综合可得出实数的值. 【详解】因为集合有且只有两个子集，则集合只有一个元素， 所以，关于的方程只有一个实根， 当时，即当时，方程为，解得，合乎题意； 当时，即当时，则有，解得. 综上所述，或. 故答案为：或. 【解题策略】 一、核心原理：先定元素数 已知个数→倒推集合元素总数（为自然数，即），对应关系记牢： 子集个数 真子集个数 非空真子集个数 元素数 解方程得唯一 二、解题四步走 1.算 用题目给出的“子集/真子集个数”代入对应公式，解出（若解为非自然数，则无符合条件的参数）。 2.看来源 确定集合元素的生成依据： 方程解集（如）→元素为方程的实根； 参数表达式集合（如）→元素为参数表达式的计算结果； 集合运算结果（如、）→元素为运算后集合的公共/所有元素。 3.列条件求参数 按的数值要求列等式或不等式： 方程解集类： （方程无实根）、（方程有且仅有1个实根）、（方程有2个互异实根）； 参数表达式类： （各表达式值相等）、（各表达式值互不相等）。 4.验参数 将求得的参数代入原集合验证：①元素满足互异性（无重复）；②集合元素总数恰好为。 三、3个必避坑点 1.方程次数别漏判：含的集合，需先讨论（方程为一次方程）和（方程为二次方程）的情况； 2.互异性必验证：如求集合的参数时，需确保； 3.公式别混淆：真子集个数公式为（减1），非空真子集为（减2），避免加减错误。 【题型三：判断集合间的包含关系】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·湖北十堰·阶段练习）若集合，，，则A，B，C之间的关系是（    ） A． B．AB=C C．B=CA D．BC=A 【答案】B 【分析】将每个集合中的元素表达式统一为分母为 6 的形式，研究分子即可判断. 【详解】对于集合 A：，其中 ， 因此，. 分子集合为 ，即所有除以 6 余 1 的整数组成的集合； 对于集合 B：，其中 . 因此，， 分子集合为 . 化简：，令 ， 则 ，即所有除以3 余 1 的整数组成的集合； 对于集合 C：，其中 . 因此，. 分子集合为 ，即所有除以 3 余 1 的整数. 和 都表示除以3 余 1 的整数集合，因此 。 由于分母相同（均为 6），所以 ； 是除以 6 余 1 的整数集合， 因为， 所以除以6 余 1 的数一定除以3 余 1， 但除以3 余 1 的数不一定除以6 余 1， 所以且. 故选：B 【例题2】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后，根据集合间的关系逐项判断即可. 【详解】， 是以空集为元素的集合，不是集合的子集，故A错误； ，故B错误；，故C错误；，故D正确. 故选：D. 相似练习 【相似题1】（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）若，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的表示直接得出结果. 【详解】表示为抛物线上的点的集合， 而0为一个数，故，A正确 由于表示集合与集合之间的关系的符号不是“”，故BC错误. 是数集，M是点集，故二者不具有包含关系，D错误. 故选：A 【相似题2】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）若集合，集合则集合之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合，再结合集合间包含关系的定义判断 【详解】解：集合 而集合，表示直线上所有点组成的集合， 所以． 故选：B． 【解题策略】 一、核心定义与符号规范（基础必记） 1.包含关系：若集合的任意元素均为集合的元素，则称包含于（或包含），记为（读作“含于”）。 2.真包含关系：若且存在元素但，则称真包含于，记为（读作“真含于”）。 3.特殊结论： 空集是任何集合的子集：（为任意集合）； 空集是任何非空集合的真子集：（）； 任何集合是自身的子集：。 二、核心判断方法（按题型适配） 1.列举法集合：直观比对元素（教材基础题型） 适用场景：集合元素直接列出（如，）。 步骤： ①逐一检查中每个元素是否都在中（验证）； ②若，再检查中是否有元素不在中（验证）。 示例：，，因所有元素相同，故且（即）。 2.描述法集合：转化条件或借助数轴（高考高频题型） 适用场景：集合以不等式、函数等条件表示（如，）。 方法1：条件推导法 若，，则： ⇨对任意，若成立，则必成立（）； ⇨且存在使成立但不成立。 方法2：数轴法（数集专用） ①在数轴上标出集合、的取值范围； ②若的区间完全落在的区间内，则； ③若的区间完全落在内且不与重合，则。 示例：，，数轴上在内部，故。 3.含参数集合：分类讨论+边界验证（高考难点题型） 适用场景：集合含未知参数（如，，判断求）。 步骤： ①先讨论特殊情况：若含空集（如时参数取值），优先验证是否成立； ②对非空集合，转化为条件推导或数轴分析，列关于参数的不等式（组）； ③验证边界值：将参数的边界值代入原集合，检查包含关系是否成立（避免漏解或错解）。 关键结论：若，，则⇨且（注意等号是否可取，需结合集合是否含端点）。 三、高考常见题型与解题模板 题型：已知包含关系求参数范围 模板步骤： 1.确定集合类型：判断集合是数集（用数轴）还是一般集合（用条件推导）； 2.分类讨论空集：若集合可能为空（如含参数的一元一次不等式解集），先求时的参数值； 3.列不等式（组）：对非空集合，根据包含关系转化为参数的约束条件； 4.合并结果：将空集与非空集合的参数范围合并，用集合或区间表示。 四、易错点警示（避坑指南） 1.漏判空集：含参数集合中，空集是“隐形子集”，如，当时，此时恒成立。 2.边界值出错：数轴法中，端点“实心”“空心”影响包含关系，如，，则（而非）。 3.混淆“包含”方向：若，是“的元素全在中”，而非“的元素全在中”，别颠倒逻辑。 4.忽略互异性：含参数的列举法集合（如，），判断包含关系前需先确保中元素互异（即）。 【题型四：根据集合间的包含关系求参数】 例题精选 【例题1】（25-26高三上·上海·阶段练习）已知集合，则 . 【答案】0或或 【分析】对集合是否为空集进行分类讨论，解方程即可. 【详解】根据题意可知, 若，可知，满足题意； 若，即时，可知, 若，可知或， 解得或; 综上可知或或. 故答案为：或或 【例题2】（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知或.若或，，求的取值范围. （2）若，，求的取值范围. 【答案】（1）或（2） 【分析】根据集合的包含关系，建立不等式即可解出结果. 【详解】（1）即的范围小于的范围. 当，即时，，满足； 当，即时，要使，由图1得， ①②等号不同时成立，解得.    综上所述，的取值范围为或. （2）BA即的范围小于的范围. 要使BA，优先考虑是否为空集. 当，即时，，满足BA； 当，即时，要使BA，由图2得或， 解得.又因为，所以.    综上所述，的取值范围为. 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，若，则的取值范围为 . 【答案】或 【分析】分为单元素集合、为双元素集合三种情况讨论，分别求出参数的取值范围即可得解. 【详解】集合中含有参数，所以先考虑是否为空集. 因为， 所以，若为空集，则，解得； 若为单元素集合，则，解得， 将代入方程，得，解得， 所以，符合要求； 若为双元素集合，则，即， 此时，即，解得 综上所述，的取值范围为或. 故答案为：或. 【相似题2】（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定，并求出集合，写出的真子集即得； （2）分类讨论，时满足题意，时，由集合中的元素属于集合，分别代入求出参数，得集合检验即可． 【详解】（1）当时，方程的根的判别式，所以. 又，故. 由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为. （2）当时，是的一个子集，此时对于方程， 有，所以. 当时，因为，所以当时， ，即，此时， 因为，所以不是的子集； 同理当时，，，也不是的子集； 当时，，，也不是的子集. 综上，满足条件的的取值范围是. 【解题策略】 一、核心逻辑：从“包含关系”到“参数约束”的转化 已知（或）求参数，本质是将“集合元素的从属关系”转化为“参数的不等式（组）约束”，核心依据： 若中任意元素都在中，则的“范围”被的“范围”完全覆盖； 空集是任何集合的子集（恒成立），需优先考虑。 二、解题模板：四步搞定（高考通用） 步骤1：预判集合是否可能为空集（关键前置步） 含参数的集合（如方程/不等式解集、参数表达式集合）常可能为空集，需先分类讨论： 情况1： 列方程/不等式求此时参数的取值范围（如，当时），此时一定成立，直接纳入参数候选范围。 情况2： 进入下一步分析非空集合的包含关系。 步骤2：化简集合，明确元素特征 根据集合表示形式化简，转化为“可直接分析范围”的形式： 列举法集合（如，）：明确元素具体表达式； 描述法数集（如，）：化简不等式，标出区间端点（实心/空心）； 方程解集（如）：明确方程根的个数与参数的关系（判别式、系数）。 步骤3：根据包含关系列参数约束条件 按集合类型选择对应方法，将“”转化为参数的不等式（组）： 集合类型 转化方法 约束条件示例（） 列举法集合 元素逐一匹配 若，，则（且，满足互异性） 描述法数集 数轴法（区间覆盖） 若，，则且（端点按需取等） 方程解集（有限集） 根的从属关系 若，，则方程根必为1或2，代入求 抽象集合/条件集 逻辑推导（） 若，，则（能推出） 步骤4：验证边界与互异性，合并结果 1.边界值验证：将不等式的等号值代入原集合，检查包含关系是否成立（如，，当时，满足）； 2.互异性验证：若集合含参数表达式（如），需确保元素互不相等（如，即且）； 3.合并范围：将“”和“”两种情况的参数范围合并，用区间或集合表示最终结果。 三、高考高频题型拆解与示例思路 题型1：数集包含关系求参数（最常考） 题目特征：，，已知求的范围。 解题思路： ①讨论（如是二次函数，）； ②若，化简得区间，用数轴表示的区间，列且； ③验证端点，合并范围。 题型2：有限集包含关系求参数 题目特征：、是元素个数确定的集合（如一元二次方程解集），已知求参数。 解题思路： ①讨论（方程无实根）； ②若，设，则且，代入的条件求参数； ③验证参数对应的是否满足包含关系（避免增根）。 四、避坑指南（高考易错点汇总） 1.漏判空集：含参数的一次/二次方程/不等式集合，必先讨论空集情况（如中，二次不等式），否则丢解。 2.端点等号错误：数轴上“实心”（含端点）、“空心”（不含端点）决定等号是否可取，如，，则成立，但可取，可取。 3.忽略互异性：列举法集合求参后，必须验证元素是否重复（如，，若则，需结合题意判断是否有效）。 4.方向颠倒：是“被包含”，而非“被包含”，如，，若则，而非。 【题型五：根据集合相等求参数】 例题精选 【例题1】（24-25高三上·河南·阶段练习）已知集合，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先解出，由可知，进而解出即可. 【详解】中最多只有2个元素， 又因为，所以，所以. 故选：C. 【例题2】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）若集合，则 ． 【答案】或 【分析】由题意，方程有唯一根，分两种情况讨论，列出等量关系求解即可. 【详解】集合，即方程有唯一根， 所以或， 解得或， 所以或. 故答案为：或. 相似练习 【相似题1】（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）若，则 . 【答案】 【分析】利用集合的列举法、元素与集合的关系、集合中元素的特性、集合间的关系分析运算即可得解. 【详解】解：由题意，∵集合中有元素， ∴， 又∵， ∴，则， ∴， ∴，解得：或， 当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当时，，， 满足， ∴，则. 故答案为：. 【相似题2】（22-23高三上·天津河西·期中）含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 ． 【答案】1 【分析】根据集合相等，则元素完全相同，分析参数，列出等式，即可求得结果. 【详解】因为， 显然，故，则； 此时两集合分别是， 则，解得或. 当时，不满足互异性，故舍去； 当时，满足题意. 所以 故答案为：. 【解题策略】 一、核心逻辑：从“双向包含”到“元素全匹配” 集合相等的本质是且，反映在元素上即“两集合元素种类、个数完全相同（不计顺序）”。求参数需围绕： 1.两集合元素一一对应相等； 2.满足元素互异性（核心验证点）。 二、解题模板：五步法精准突破 步骤1：明确集合元素的“构成形式” 先判断集合是“列举法有限集”还是“描述法无限集”，确定元素的呈现方式： 列举法（如，）：元素直接给出，需匹配具体数值； 描述法（如，）：元素是方程/不等式的解，需解集完全相同。 步骤2：分类讨论“元素对应关系” 根据集合元素个数，分情况列出元素相等的可能组合（列举法集合核心步骤）： 两集合均含1个元素：直接列唯一元素相等（如，，则）； 两集合均含2个元素：分两种对应关系（如，，则或）； 两集合均含个元素（）：按排列组合列出所有元素对应可能（高考中较少考，多为3个元素以内）。 步骤3：列方程（组）求解参数 根据步骤2的对应关系，建立关于参数的方程（组）： 列举法集合：直接列元素相等的方程（如，，则）； 描述法数集：转化为解集等价条件（如一次方程解集相等：系数成比例且常数项对应相等；二次方程解集相等：根相同或均为空集）。 步骤4：验证“元素互异性”（必做步骤） 将求得的参数代入原集合，检查两集合是否满足“元素无重复”： 若出现重复元素（如，，解得时，互异性成立；若解得，，与元素个数不同，舍去）。 步骤5：验证“集合完全相等”（收尾确认） 代入参数后，确保两集合的元素种类、个数完全一致，无遗漏或错配： 描述法集合需验证“解集范围完全重合”（如，，解得时，，成立）。 三、高考高频题型拆解 题型1：列举法有限集相等求参数（最基础） 题目特征：两集合用列举法表示，元素个数明确（多为1-2个元素），已知求参数。 解题关键：穷举元素对应关系，优先验证互异性。 示例思路：已知，，求。 ①列对应关系：或； ②解方程：第一组得，第二组无实根； ③验证互异性：时，无重复元素，成立。 题型2：描述法方程解集相等求参数（高频考） 题目特征：两集合是方程（一次/二次）的解集，已知求参数。 解题关键：分“解集为空集”和“解集非空”讨论，结合方程根的性质。 示例思路：已知，，，求。 ①若，则：二次方程判别式，即且，无公共解，排除； ②若，当时，，与（二次方程解集，含2个或0个元素）不相等，排除； ③当时，、均为二次方程解集，由相等得根相同，故，解得，； ④验证：，，互异性成立，相等。 题型3：含“空集”的集合相等求参数（易错点） 题目特征：集合元素是“小集合”（如，），已知求参数。 解题关键：区分“空集作为元素”与“集合为空集”，按元素类型匹配。 示例思路：已知，，，求。 ①空集是的元素，故中必有元素，即或； ②若，则不存在，舍去，故； ③剩余元素匹配：，解得； ④验证：，，元素完全相同，成立。 四、避坑指南：高考易错点全覆盖 1.漏判“多组对应关系”：两集合含2个元素时，只考虑一种对应方式（如，，漏算的情况），需穷举所有可能。 2.跳过“互异性验证”：如，，解得时，与不相等，需舍去，互异性是“生死线”。 3.混淆“集合与元素”：当集合元素是小集合时（如），不可认为，需匹配“小集合”整体（如，而非）。 4.忽略“空集的特殊性”：方程解集相等时，若两集合均为空集，需单独讨论（如二次方程的情况），避免漏解。 5.描述法集合“化简不彻底”：如，，需先化简，再判断相等，不可直接对比条件。 【题型六：空集及其应用】 例题精选 【例题1】（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系分析判断. 【详解】对于①：因为0是的元素，所以，故①正确； 对于②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以是的真子集，故②正确； 对于③：因为集合的元素为0，1，集合的元素为， 两个集合的元素全不相同，所以之间不存在包含关系，故③错误； 对于④：因为集合的元素为，集合的元素为， 两个集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④错误； 综上所述：正确的个数为2. 故选：B. 【例题2】（23-24高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的定义与性质结合元素与集合的关系逐项分析判断. 【详解】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确； 故选：C. 相似练习 【相似题1】（20-21高一上·广东揭阳·阶段练习）若集合，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】根据集合，分和两种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】由题意，集合， 若时，集合，满足题意； 若时，要使得集合， 则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合中元素的判定，其中解答中正确理解集合的表示方法，结合一元二次方程的性质求解是解答的关键，属于基础题. 【相似题2】【多选题】（25-26高二上·辽宁·阶段练习）已知集合，则下列，，可以使的是（   ） A．， B．， C．，， D．，， 【答案】AC 【分析】根据一元二次方程的根，即可求解AB,根据一次方程的求解即可判断CD. 【详解】对于A项，一元二次方程无实根，解集为空集，A项正确； 对于B项，一元二次方程有两个相等的实数根或有两个不等的实数根，B项错误； 对于C项，，，，方程不成立，解集为空集，C项正确； 对于D项，，，，，D项错误. 故选:AC 【解题策略】 一、核心性质：空集的“特殊身份”（必记基础） 空集（记为）是不含任何元素的集合，教材明确其两大核心性质，也是高考解题的关键依据： 1. 从属关系：空集是任何集合的子集，即（为任意集合）； 2. 真包含关系：空集是任何非空集合的真子集，即（）； 3. 运算性质： 交集：； 并集：； 补集：若（为全集），则，。 二、解题核心场景：空集的3大高频应用 场景1：判断集合关系时的“隐形子集” 适用题型：判断集合间包含关系（如“是否成立”）、求子集个数。 解题关键：优先考虑空集是否满足条件，避免漏解。 教材例题延伸：若，判断是否成立？根据性质1，显然成立； 高考视角：若集合，，且，求的值。 需分两类：① （此时，满足）；② （，则，需或，解得或）。最终。 场景2：方程/不等式解集为空集的参数求解 适用题型：含参数的方程（一次、二次）或不等式的解集为空集，求参数范围。 解题关键：转化为“方程无实根”或“不等式无解”的数学条件，结合函数性质列式。 1. 一次方程/不等式： 方程为空集：且（如，无解）； 不等式为空集：当且（如无解）；当时，无空集情况（解集为）。 2. 二次方程/不等式： 方程（）为空集：判别式； 不等式（）为空集：且（抛物线开口向下，且与x轴无交点或相切）。 高考示例思路：已知集合为空集，求的范围。 ① 当时，方程为，解集，非空，舍去； ② 当时，二次方程无实根，需，解得。 综上，。 场景3：集合运算结果为空集的逆向求解 适用题型：已知集合交集（）、补集等运算结果为空集，求参数范围。 解题关键：转化为“两集合无公共元素”，结合数轴（数集）或元素特征（有限集）分析。 数集（数轴法）：在数轴上标出两集合的区间，确保区间无重叠； 有限集（元素分析法）：两集合的元素无任何重合。 高考示例思路：已知，，且，求的范围。 ① 数轴上表示为，为； ② 若，则的区间需在的右侧无重叠，即； ③ 验证：当时，，与无公共元素，成立。 故。 三、避坑指南：空集应用的4大易错点 1. 忽略空集的“子集身份”：求“”时，未讨论的情况（如含参数的一次方程解集），导致漏解； 2. 混淆“空集作为元素”与“空集本身”：集合含1个元素（即空集），而非空集（如成立，也成立，但不成立）； 3. 二次方程漏判“系数为0”：如集合，先讨论（一次方程），再讨论（二次方程），避免直接用判别式； 4. 数轴区间“端点取舍”错误：如，，时，有效（此时无公共元素），不可漏等号。 四、解题模板：空集相关问题“三步法” 1. 定场景：判断题目涉及“集合关系”“解集为空”还是“运算为空”； 2. 用性质：结合空集的从属、运算性质，转化为具体数学条件（如、、区间无重叠）； 3. 验结果：代入参数验证空集条件是否成立，避免端点或特殊值错误。 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·单元测试）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，则满足的集合C的个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，则满足条件且真包含于的集合的个数为（    ） A．16 B．15 C．32 D．31 6．（2025·陕西西安·一模）已知，，若集合，则（    ） A．0 B．1 C． D．1或-1 7．（2025高一上·北京·专题练习）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·河南信阳·开学考试）已知集合有且仅有2个子集，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D．或 二、多选题 9．（25-26高一上·全国·课前预习）下列命题中正确的是（   ） A．集合的真子集是 B． C．设，若，则 D． 10．（23-24高二上·山西晋中·阶段练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则或或 11．（24-25高一上·山东德州·阶段练习）已知集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C．0 D．1 12．（25-26高一上·全国·课前预习）下列说法正确的是（   ） A．是菱形是正方形 B．若，，则 C．集合的真子集个数为7 D． 三、填空题 13．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 14．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为 . 四、解答题 15．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，非空集合，若，求实数的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A C D C C B BCD ABC 题号 11 12 答案 ABD BC 1．C 【分析】根据子集个数确定是空集，然后由方程无实数解得参数范围，确定正确选项． 【详解】由集合A有且仅有1个子集可知，A是， 当时，，不符合题意； 当时，由可得． 故选：C． 2．C 【分析】由元素、集合间的关系可解. 【详解】对于A，应为；对于B，应为； 对于 C，空集是任何集合的子集，故； 对于D，是点集，是数集，故说法错误． 故选：C. 3．A 【分析】根据集合A，B中元素的特征可判断各选项. 【详解】由题意知，集合， 因为，所以C、D不正确； “”用于表示元素与集合之间的关系，故B不正确 所以． 故选：A. 4．C 【分析】求出集合、，再根据写出所有的满足条件的集合C，进而可得正确答案. 【详解】因为，， 且， 故集合可以为，，共6个． 故选：C. 5．D 【分析】利用列举法求出集合，再利用包含、真包含关系求出集合的个数. 【详解】集合， 则，当集合中不含其他元素时，； 当集合中含有其他元素时，集合中除元素1，2外，还含有3或4或5或6或7，但不能同时全部含有， 集合的个数即为集合的真子集的个数，即． 故选：D 6．C 【分析】由两集合相等及分式的分母不为可求出，再利用集合相等和互异性求，代入计算即可. 【详解】因为，，所以，故， 此时集合为，根据集合相等，必有，解得或． 当时，不满足集合元素的互异性， 当时，集合为，符合条件. 所以． 故选：C. 7．C 【分析】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或，解得. 综上，，即m的取值范围是 . 故选：C. 8．B 【分析】由集合的子集个数,判断出集合A中有且只有一个元素，从而转化为方程有两个相等根问题求解即可. 【详解】由集合有且仅有2个子集，可得集合中有且只有一个元素， 所以方程有2个相等的实数解， 即，解得， 所以实数的取值集合为， 故选：B. 9．BCD 【分析】根据空集是任何非空集合的真子集可知A不正确；根据菱形一定是平行四边形，可知B正确；根据集合相等的概念求出，可知C正确；根据空集是任何非空集合的真子集，可知D正确. 【详解】对于A，集合的真子集包括，A错误； 对于B，因为菱形一定是平行四边形，所以，B正确； 对于C，因为，，，所以，，，C正确； 对于D，因为方程的解为，所以，因为空集是任何非空集合的真子集，所以，D正确． 故选：BCD. 10．ABC 【分析】解一元二次方程求得集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念即可逐一判断． 【详解】依题意可得， 对于A，若，则，解得，故A正确； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，当时，则，解得或，故C正确； 对于D，当时，，故D错误． 故选：ABC． 11．ABD 【分析】先求出集合，分和两种情况结合包含关系求解即可. 【详解】由， ， 当时，，满足； 当时，，则或， 解得或. 综上所述，或或. 故选：ABD. 12．BC 【分析】借助菱形与正方形的关系、集合相等定义、真子集与元素个数关系及空集关系定义逐项判断即可得. 【详解】对A：菱形不一定是正方形，A错误； 对B：因为集合与集合均表示奇数集，所以，B正确； 对C：集合的真子集为，共7个，C正确； 对D：，由于空集不是空集的真子集，D错误． 故选：BC. 13． 【分析】根据题意分析可知方程无解，结合判别式分析求解. 【详解】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得， 所以a的取值范围值是. 故答案为：. 14．15 【分析】根据集合需要满足的条件，结合集合的非空子集个数计算公式，即可得到集合的个数. 【详解】是自然数集，，需要舍去， 所以满足“， 若，则”的集合是集合的非空子集， 但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现， 所以将集合看作有4个元素，其非空子集个数为. 故答案为：15. 15．2 【分析】根据一元二次方程的知识对集合中的方程求出解集，然后根据子集的定义求出的值. 【详解】因为，所以．由题知， 当时，，即，解得或． 若，则，所以，满足题意； 若，则，不符合题意． 当时，，即，解得或． 若，则，不合题意． 综上所述，实数的值为2． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高一数学上学期常考题型归纳 【第2讲：集合间的基本关系】 【知识梳理】 一、核心概念与定义 1.子集 定义：一般地，对于两个集合与，如果集合中的任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）。 符号理解：若，都有，则。 示例：设，，则；自然数集⊆整数集⊆有理数集⊆实数集。 2.真子集 定义：如果集合，但存在元素且，则称集合是集合的真子集，记作（或），读作“真包含于”（或“真包含”）。 与子集的区别：子集允许，真子集要求且。 示例：设，，则；正整数集⊂真包含于自然数集⊂真包含于整数集。 3.集合相等 定义：若且，则称集合与集合相等，记作。 本质理解：两个集合的元素完全相同（个数、种类均一致）。 示例：设（解得），，则。 4.空集 与其他集合的关系：空集是任何集合的子集（，为任意集合）；空集是任何非空集合的真子集（，）。 注意事项：不含任何元素，与不同（是含元素的非空集合）。 示例：，；，但不是自身的真子集。 5.子集的基本性质 1.自反性：任何集合是自身的子集，即。 2.传递性：若且，则；若且，则。 3.对称性：若且，则（集合相等的充要条件）。 二、常考结论 1.子集个数相关结论 核心公式：含个元素的集合，子集个数为，真子集个数为，非空真子集个数为，非空子集个数为。 拓展结论1：若集合，且含个元素，含个元素（），则满足的集合的个数为。 示例：设（），（），则满足条件的有个（分别为、、、）。 拓展结论2：若集合，则其所有子集的元素之和为。 示例：（），所有子集元素之和为（验证：子集元素和为）。 2.集合关系的传递性延伸 结论1：若且，则；若且，则。 结论2：若，且，则（传递性与对称性结合）。 3.空集相关常考结论 结论1：若，且，则（空集的唯一子集是自身）。 结论2：若集合，则需分（且）和（或或）讨论（含参数的空集优先原则）。 4.集合相等的隐含结论 结论1：若两个有限集相等，则它们的元素个数、元素之和、元素之积均相等（可用于快速验证或求参数）。 示例：若，且，则，解得或。 结论2：若，且，则方程与同解（解集相等）。 三、易错点总结 1.忽略空集：涉及“”“”的参数问题，需优先考虑的情况（如含一次方程的集合，系数为0时可能为空集）。 2.混淆符号：“”（集合与集合的关系）与“”（元素与集合的关系）不可混用，如“”错误，应为“”。 3.子集个数计算失误：区分“真子集”“非空子集”“非空真子集”，避免漏减1或2（如含3个元素的集合，真子集个数为，非空真子集为）。 4.元素互异性遗漏：利用集合相等求参数后，需验证集合元素是否重复（如时，不满足互异性，应舍去）。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：判断集合的子集(真子集)个数】 例题精选 【例题1】（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，则满足的集合的个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．15 【例题2】（25-26高三上·吉林延边·开学考试）已知集合，，若，则集合的非空子集个数为（   ） A．2 B．3 C．7 D．8 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知集合，则的子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【相似题2】（24-25高一上·福建三明·阶段练习）设集合满足Ü，则满足条件的有 个． 【解题策略】 一、核心公式（必记） 设集合有个互异元素，则： 类型 个数公式 关键说明 子集 含空集和集合本身 真子集 不含集合本身 非空真子集 不含空集和集合本身 二、解题步骤（两步走） 1.定个数：求集合元素总数 这是最关键的一步，不同集合类型对应不同方法： 列举法：直接数元素，重复的只算一个（如，）。 描述法：先解条件（方程、不等式等），再列元素计数（如，）。 含参数：分类讨论参数（如方程根的个数），确定每种情况的。 集合运算：先算交集、并集等，再数结果集合的元素。 2.套公式：按要求选对应公式计算 根据题目问“子集”“真子集”还是“非空真子集”，代入公式即可。 三、易错点提醒 1.别漏互异性：重复元素必须去重，否则算错。 2.公式别用混：求真子集要减1，非空真子集减2，别忘减！ 3.参数要全查：比如含的集合，要考虑（一次方程）的情况。 4.空集要注意：空集没有真子集，单元素集合没有非空真子集。 【题型二：由子集(真子集)个数求参数】 例题精选 【例题1】（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ． 【例题2】【多选题】（24-25高一上·贵州·期中）已知集合恰有4个子集，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D．1 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合有且仅有两个子集，则满足条件的实数的值有 个. 【相似题2】（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知集合有且只有两个子集，则的值为 . 【解题策略】 一、核心原理：先定元素数 已知个数→倒推集合元素总数（为自然数，即），对应关系记牢： 子集个数 真子集个数 非空真子集个数 元素数 解方程得唯一 二、解题四步走 1.算 用题目给出的“子集/真子集个数”代入对应公式，解出（若解为非自然数，则无符合条件的参数）。 2.看来源 确定集合元素的生成依据： 方程解集（如）→元素为方程的实根； 参数表达式集合（如）→元素为参数表达式的计算结果； 集合运算结果（如、）→元素为运算后集合的公共/所有元素。 3.列条件求参数 按的数值要求列等式或不等式： 方程解集类： （方程无实根）、（方程有且仅有1个实根）、（方程有2个互异实根）； 参数表达式类： （各表达式值相等）、（各表达式值互不相等）。 4.验参数 将求得的参数代入原集合验证：①元素满足互异性（无重复）；②集合元素总数恰好为。 三、3个必避坑点 1.方程次数别漏判：含的集合，需先讨论（方程为一次方程）和（方程为二次方程）的情况； 2.互异性必验证：如求集合的参数时，需确保； 3.公式别混淆：真子集个数公式为（减1），非空真子集为（减2），避免加减错误。 【题型三：判断集合间的包含关系】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·湖北十堰·阶段练习）若集合，，，则A，B，C之间的关系是（    ） A． B．AB=C C．B=CA D．BC=A 【例题2】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）若，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）若集合，集合则集合之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、核心定义与符号规范（基础必记） 1.包含关系：若集合的任意元素均为集合的元素，则称包含于（或包含），记为（读作“含于”）。 2.真包含关系：若且存在元素但，则称真包含于，记为（读作“真含于”）。 3.特殊结论： 空集是任何集合的子集：（为任意集合）； 空集是任何非空集合的真子集：（）； 任何集合是自身的子集：。 二、核心判断方法（按题型适配） 1.列举法集合：直观比对元素（教材基础题型） 适用场景：集合元素直接列出（如，）。 步骤： ①逐一检查中每个元素是否都在中（验证）； ②若，再检查中是否有元素不在中（验证）。 示例：，，因所有元素相同，故且（即）。 2.描述法集合：转化条件或借助数轴（高考高频题型） 适用场景：集合以不等式、函数等条件表示（如，）。 方法1：条件推导法 若，，则： ⇨对任意，若成立，则必成立（）； ⇨且存在使成立但不成立。 方法2：数轴法（数集专用） ①在数轴上标出集合、的取值范围； ②若的区间完全落在的区间内，则； ③若的区间完全落在内且不与重合，则。 示例：，，数轴上在内部，故。 3.含参数集合：分类讨论+边界验证（高考难点题型） 适用场景：集合含未知参数（如，，判断求）。 步骤： ①先讨论特殊情况：若含空集（如时参数取值），优先验证是否成立； ②对非空集合，转化为条件推导或数轴分析，列关于参数的不等式（组）； ③验证边界值：将参数的边界值代入原集合，检查包含关系是否成立（避免漏解或错解）。 关键结论：若，，则⇨且（注意等号是否可取，需结合集合是否含端点）。 三、高考常见题型与解题模板 题型：已知包含关系求参数范围 模板步骤： 1.确定集合类型：判断集合是数集（用数轴）还是一般集合（用条件推导）； 2.分类讨论空集：若集合可能为空（如含参数的一元一次不等式解集），先求时的参数值； 3.列不等式（组）：对非空集合，根据包含关系转化为参数的约束条件； 4.合并结果：将空集与非空集合的参数范围合并，用集合或区间表示。 四、易错点警示（避坑指南） 1.漏判空集：含参数集合中，空集是“隐形子集”，如，当时，此时恒成立。 2.边界值出错：数轴法中，端点“实心”“空心”影响包含关系，如，，则（而非）。 3.混淆“包含”方向：若，是“的元素全在中”，而非“的元素全在中”，别颠倒逻辑。 4.忽略互异性：含参数的列举法集合（如，），判断包含关系前需先确保中元素互异（即）。 【题型四：根据集合间的包含关系求参数】 例题精选 【例题1】（25-26高三上·上海·阶段练习）已知集合，则 . 【例题2】（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知或.若或，，求的取值范围. （2）若，，求的取值范围. 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，若，则的取值范围为 . 【相似题2】（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 【解题策略】 一、核心逻辑：从“包含关系”到“参数约束”的转化 已知（或）求参数，本质是将“集合元素的从属关系”转化为“参数的不等式（组）约束”，核心依据： 若中任意元素都在中，则的“范围”被的“范围”完全覆盖； 空集是任何集合的子集（恒成立），需优先考虑。 二、解题模板：四步搞定（高考通用） 步骤1：预判集合是否可能为空集（关键前置步） 含参数的集合（如方程/不等式解集、参数表达式集合）常可能为空集，需先分类讨论： 情况1： 列方程/不等式求此时参数的取值范围（如，当时），此时一定成立，直接纳入参数候选范围。 情况2： 进入下一步分析非空集合的包含关系。 步骤2：化简集合，明确元素特征 根据集合表示形式化简，转化为“可直接分析范围”的形式： 列举法集合（如，）：明确元素具体表达式； 描述法数集（如，）：化简不等式，标出区间端点（实心/空心）； 方程解集（如）：明确方程根的个数与参数的关系（判别式、系数）。 步骤3：根据包含关系列参数约束条件 按集合类型选择对应方法，将“”转化为参数的不等式（组）： 集合类型 转化方法 约束条件示例（） 列举法集合 元素逐一匹配 若，，则（且，满足互异性） 描述法数集 数轴法（区间覆盖） 若，，则且（端点按需取等） 方程解集（有限集） 根的从属关系 若，，则方程根必为1或2，代入求 抽象集合/条件集 逻辑推导（） 若，，则（能推出） 步骤4：验证边界与互异性，合并结果 1.边界值验证：将不等式的等号值代入原集合，检查包含关系是否成立（如，，当时，满足）； 2.互异性验证：若集合含参数表达式（如），需确保元素互不相等（如，即且）； 3.合并范围：将“”和“”两种情况的参数范围合并，用区间或集合表示最终结果。 三、高考高频题型拆解与示例思路 题型1：数集包含关系求参数（最常考） 题目特征：，，已知求的范围。 解题思路： ①讨论（如是二次函数，）； ②若，化简得区间，用数轴表示的区间，列且； ③验证端点，合并范围。 题型2：有限集包含关系求参数 题目特征：、是元素个数确定的集合（如一元二次方程解集），已知求参数。 解题思路： ①讨论（方程无实根）； ②若，设，则且，代入的条件求参数； ③验证参数对应的是否满足包含关系（避免增根）。 四、避坑指南（高考易错点汇总） 1.漏判空集：含参数的一次/二次方程/不等式集合，必先讨论空集情况（如中，二次不等式），否则丢解。 2.端点等号错误：数轴上“实心”（含端点）、“空心”（不含端点）决定等号是否可取，如，，则成立，但可取，可取。 3.忽略互异性：列举法集合求参后，必须验证元素是否重复（如，，若则，需结合题意判断是否有效）。 4.方向颠倒：是“被包含”，而非“被包含”，如，，若则，而非。 【题型五：根据集合相等求参数】 例题精选 【例题1】（24-25高三上·河南·阶段练习）已知集合，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【例题2】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）若集合，则 ． 相似练习 【相似题1】（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）若，则 . 【相似题2】（22-23高三上·天津河西·期中）含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 ． 【解题策略】 一、核心逻辑：从“双向包含”到“元素全匹配” 集合相等的本质是且，反映在元素上即“两集合元素种类、个数完全相同（不计顺序）”。求参数需围绕： 1.两集合元素一一对应相等； 2.满足元素互异性（核心验证点）。 二、解题模板：五步法精准突破 步骤1：明确集合元素的“构成形式” 先判断集合是“列举法有限集”还是“描述法无限集”，确定元素的呈现方式： 列举法（如，）：元素直接给出，需匹配具体数值； 描述法（如，）：元素是方程/不等式的解，需解集完全相同。 步骤2：分类讨论“元素对应关系” 根据集合元素个数，分情况列出元素相等的可能组合（列举法集合核心步骤）： 两集合均含1个元素：直接列唯一元素相等（如，，则）； 两集合均含2个元素：分两种对应关系（如，，则或）； 两集合均含个元素（）：按排列组合列出所有元素对应可能（高考中较少考，多为3个元素以内）。 步骤3：列方程（组）求解参数 根据步骤2的对应关系，建立关于参数的方程（组）： 列举法集合：直接列元素相等的方程（如，，则）； 描述法数集：转化为解集等价条件（如一次方程解集相等：系数成比例且常数项对应相等；二次方程解集相等：根相同或均为空集）。 步骤4：验证“元素互异性”（必做步骤） 将求得的参数代入原集合，检查两集合是否满足“元素无重复”： 若出现重复元素（如，，解得时，互异性成立；若解得，，与元素个数不同，舍去）。 步骤5：验证“集合完全相等”（收尾确认） 代入参数后，确保两集合的元素种类、个数完全一致，无遗漏或错配： 描述法集合需验证“解集范围完全重合”（如，，解得时，，成立）。 三、高考高频题型拆解 题型1：列举法有限集相等求参数（最基础） 题目特征：两集合用列举法表示，元素个数明确（多为1-2个元素），已知求参数。 解题关键：穷举元素对应关系，优先验证互异性。 示例思路：已知，，求。 ①列对应关系：或； ②解方程：第一组得，第二组无实根； ③验证互异性：时，无重复元素，成立。 题型2：描述法方程解集相等求参数（高频考） 题目特征：两集合是方程（一次/二次）的解集，已知求参数。 解题关键：分“解集为空集”和“解集非空”讨论，结合方程根的性质。 示例思路：已知，，，求。 ①若，则：二次方程判别式，即且，无公共解，排除； ②若，当时，，与（二次方程解集，含2个或0个元素）不相等，排除； ③当时，、均为二次方程解集，由相等得根相同，故，解得，； ④验证：，，互异性成立，相等。 题型3：含“空集”的集合相等求参数（易错点） 题目特征：集合元素是“小集合”（如，），已知求参数。 解题关键：区分“空集作为元素”与“集合为空集”，按元素类型匹配。 示例思路：已知，，，求。 ①空集是的元素，故中必有元素，即或； ②若，则不存在，舍去，故； ③剩余元素匹配：，解得； ④验证：，，元素完全相同，成立。 四、避坑指南：高考易错点全覆盖 1.漏判“多组对应关系”：两集合含2个元素时，只考虑一种对应方式（如，，漏算的情况），需穷举所有可能。 2.跳过“互异性验证”：如，，解得时，与不相等，需舍去，互异性是“生死线”。 3.混淆“集合与元素”：当集合元素是小集合时（如），不可认为，需匹配“小集合”整体（如，而非）。 4.忽略“空集的特殊性”：方程解集相等时，若两集合均为空集，需单独讨论（如二次方程的情况），避免漏解。 5.描述法集合“化简不彻底”：如，，需先化简，再判断相等，不可直接对比条件。 【题型六：空集及其应用】 例题精选 【例题1】（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题2】（23-24高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（20-21高一上·广东揭阳·阶段练习）若集合，则实数的取值范围是 . 【相似题2】【多选题】（25-26高二上·辽宁·阶段练习）已知集合，则下列，，可以使的是（   ） A．， B．， C．，， D．，， 【解题策略】 一、核心性质：空集的“特殊身份”（必记基础） 空集（记为）是不含任何元素的集合，教材明确其两大核心性质，也是高考解题的关键依据： 1. 从属关系：空集是任何集合的子集，即（为任意集合）； 2. 真包含关系：空集是任何非空集合的真子集，即（）； 3. 运算性质： 交集：； 并集：； 补集：若（为全集），则，。 二、解题核心场景：空集的3大高频应用 场景1：判断集合关系时的“隐形子集” 适用题型：判断集合间包含关系（如“是否成立”）、求子集个数。 解题关键：优先考虑空集是否满足条件，避免漏解。 教材例题延伸：若，判断是否成立？根据性质1，显然成立； 高考视角：若集合，，且，求的值。 需分两类：① （此时，满足）；② （，则，需或，解得或）。最终。 场景2：方程/不等式解集为空集的参数求解 适用题型：含参数的方程（一次、二次）或不等式的解集为空集，求参数范围。 解题关键：转化为“方程无实根”或“不等式无解”的数学条件，结合函数性质列式。 1. 一次方程/不等式： 方程为空集：且（如，无解）； 不等式为空集：当且（如无解）；当时，无空集情况（解集为）。 2. 二次方程/不等式： 方程（）为空集：判别式； 不等式（）为空集：且（抛物线开口向下，且与x轴无交点或相切）。 高考示例思路：已知集合为空集，求的范围。 ① 当时，方程为，解集，非空，舍去； ② 当时，二次方程无实根，需，解得。 综上，。 场景3：集合运算结果为空集的逆向求解 适用题型：已知集合交集（）、补集等运算结果为空集，求参数范围。 解题关键：转化为“两集合无公共元素”，结合数轴（数集）或元素特征（有限集）分析。 数集（数轴法）：在数轴上标出两集合的区间，确保区间无重叠； 有限集（元素分析法）：两集合的元素无任何重合。 高考示例思路：已知，，且，求的范围。 ① 数轴上表示为，为； ② 若，则的区间需在的右侧无重叠，即； ③ 验证：当时，，与无公共元素，成立。 故。 三、避坑指南：空集应用的4大易错点 1. 忽略空集的“子集身份”：求“”时，未讨论的情况（如含参数的一次方程解集），导致漏解； 2. 混淆“空集作为元素”与“空集本身”：集合含1个元素（即空集），而非空集（如成立，也成立，但不成立）； 3. 二次方程漏判“系数为0”：如集合，先讨论（一次方程），再讨论（二次方程），避免直接用判别式； 4. 数轴区间“端点取舍”错误：如，，时，有效（此时无公共元素），不可漏等号。 四、解题模板：空集相关问题“三步法” 1. 定场景：判断题目涉及“集合关系”“解集为空”还是“运算为空”； 2. 用性质：结合空集的从属、运算性质，转化为具体数学条件（如、、区间无重叠）； 3. 验结果：代入参数验证空集条件是否成立，避免端点或特殊值错误。 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·单元测试）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，则满足的集合C的个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，则满足条件且真包含于的集合的个数为（    ） A．16 B．15 C．32 D．31 6．（2025·陕西西安·一模）已知，，若集合，则（    ） A．0 B．1 C． D．1或-1 7．（2025高一上·北京·专题练习）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·河南信阳·开学考试）已知集合有且仅有2个子集，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D．或 二、多选题 9．（25-26高一上·全国·课前预习）下列命题中正确的是（   ） A．集合的真子集是 B． C．设，若，则 D． 10．（23-24高二上·山西晋中·阶段练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则或或 11．（24-25高一上·山东德州·阶段练习）已知集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C．0 D．1 12．（25-26高一上·全国·课前预习）下列说法正确的是（   ） A．是菱形是正方形 B．若，，则 C．集合的真子集个数为7 D． 三、填空题 13．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 14．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为 . 四、解答题 15．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，非空集合，若，求实数的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $