4.3 第2课时 对数 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.3 第二课时 对数 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】利用对数的运算性质表示对数的值 2 【题型2】利用对数的运算性质化简、求值 4 【题型3】对数的换底公式 7 【题型4】对数运算性质的综合运用 8 【题型5】实际问题中的对数运算 10 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 一、对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN. (2)loga＝logaM－logaN. (3)logaMn＝nlogaM(n∈R). 二、对数的换底公式 1.对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). 2.对数换底公式的重要推论 (1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1). (2)bm＝logab(a>0，且a≠1，b>0). (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1). 特别地logab·logba＝1(a>0，b>0，a≠1，b≠1). xix   提升方法技能 思 维 进 阶 1.(1)性质的逆运算仍然成立. (2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而log2(－2)与log2(－3)都没有意义. (3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk>0，k∈N*. 2.(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义. (2)在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝或logab＝(a>0，且a≠1；b>0). xix   触类方能旁通 举 一 反 三 【题型1】利用对数的运算性质表示对数的值 （2025春•清镇市期末）已知a＝lg2，b＝lg3，则lg12可以表示为（　　）典例 A．a2b B．2ab C．a+2b D．2a+b 【答案】D 【分析】结合对数运算性质即可得解． 【解答】解：因为a＝lg2，b＝lg3， 所以lg12＝lg（3×4）＝lg3+lg4＝lg3+lg22＝lg3+2lg2＝2a+b． 故选：D． 方法点拨 用已知对数的值来表示所求对数的值时，要增强目标意识，把真数拆解成已知对数的真数，合理地把所求向已知条件转化. 【变式1】（2025春•盐城期末）设a＝lg2，b＝lg3，则log1210＝（　　） A．2a+b B．2b+a C． D． 【答案】D 【分析】用换底公式与对数的运算性质，求解即可． 【解答】解：因为a＝lg2，b＝lg3， 所以log1210． 故选：D． 【变式2】（2025春•和平区月考）已知lg9＝a，10b＝5，用a，b表示log3645为　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用对数式与指数式的互化、对数的换底公式、lg2+lg5＝1即可得出． 【解答】解：∵lg9＝a，10b＝5，∴b＝lg5． ∴log3645． 故答案为：． 【变式3】（2025•青浦区模拟）已知log23＝a，2b＝5，则log245＝　2a+b　 （用a、b表示）． 【答案】2a+b． 【分析】由已知结合对数的运算性质即可求解． 【解答】解：因为log23＝a，2b＝5，即log25＝b， 则log245＝log25+2log23＝2a+b． 故答案为：2a+b． 【题型2】利用对数的运算性质化简、求值 （2024秋•湖北期末）（1）若xlog32＝1，求4x﹣2x+1的值；典例 （2）计算：． 【答案】（1）3； （2）7． 【分析】（1）利用对数性质、运算法则求解； （2）利用对数性质、运算法则求解． 【解答】解：（1）∵xlog32＝1，∴x＝log23， ∴4x﹣2x+19﹣2×3＝3． （2） ＝lg2+lg5（lg2+lg5）+8﹣2 ＝lg2+lg5+6 ＝7． 方法点拨 利用对数运算性质化简求值 (1)“收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式的逆用. (2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式的正用. (3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2＋lg 5＝1，进行计算或化简. 【变式1】（2025春•凭祥市月考）（1）计算：； （2）已知2a＝9，3b＝16，求ab的值． 【答案】（1）；（2）8． 【分析】（1）利用对数的运算公式进行求解； （2）利用指数和对数的运算公式求解． 【解答】解：（1） ； （2）∵2a＝9，3b＝16， ∴a＝log29，b＝log316． ∴． 【变式2】（2025春•保定期中）（1）计算：； （2）计算（lg2）2+lg2×lg50+lg25+lg0.01； （3）已知，求的值． 【答案】（1）； （2）0； （3）． 【分析】（1）根据对数和指数的运算性质求解； （2）根据对数的运算性质求解即可； （3）根据有理数幂的运算性质求解即可． 【解答】解：（1）222； （2）（lg2）2+lg2×lg50+lg25+lg0.01＝lg2（lg2+lg50）+lg52+lg10﹣2＝2lg2+2lg5﹣2＝0； （3）由，可得，可得a+a﹣1＝3， （a+a﹣1）2＝a2+a﹣2+2a•a﹣1＝9，得a2+a﹣2＝7， 所以． 【变式3】（2025春•东丽区月考）（1）已知2x＝3，，求x+2y的值． （2）计算． 【答案】（1）3； （2）π． 【分析】（1）把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质求解； （2）利用对数的运算性质求解． 【解答】解：（1）因为2x＝3， 所以x＝log23， 所以x+2ylog23log28＝3； （2）原式1+log25×log52+2﹣|π﹣4| 1+1+2﹣（4﹣π） 4+π ＝π． 【题型3】对数的换底公式 （2024秋•松江区期中）若logab•log3a＝4，则b的值为　81　 ．典例 【答案】见试题解答内容 【分析】由logab•log3a＝4，利用换底公式推导出4，由此能求出b的值． 【解答】解：∵logab•log3a＝4， ∴4， ∴lgb＝4lg3＝lg34＝lg81， ∴b＝81． 故答案为：81． 方法点拨 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 【变式1】（2024秋•温州月考）已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log645． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据换底公式，化简计算即可得到答案． 【解答】解：log189＝a，18b＝5， ∴b＝log185， ∴log645 【变式2】（2023秋•虹口区期中）已知log189＝a，18b＝5，则log3645＝　　 （用a，b表示）． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用对数的换底公式即可求出． 【解答】解：∵log189＝a，b＝log185， ∴a+b＝log189+log185＝log18（9×5）＝log1845，log1836＝log18（2×18）＝1+log1822﹣log189＝2﹣a； ∴log3645． 故答案为． 【变式3】（2024秋•黄浦区期中）若lg2＝a，lg3＝b，则log1225＝　　 （用含a，b的代数式表示）． 【答案】． 【分析】利用换底公式和对数的运算性质求解． 【解答】解：log1225， 故答案为：． 【题型4】对数运算性质的综合运用 （2025•个旧市模拟）若3a＝5b＝15，则（　　）典例 A．1 B．log35 C．log53 D．2 【答案】A 【分析】由3a＝5b＝15，得a＝log315，b＝log515，代入求解即可． 【解答】解：由3a＝5b＝15，得a＝log315，b＝log515， 所以log153+log155＝log1515＝1． 故选：A． 方法点拨 利用对数式与指数式互化求值的方法 (1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化. (2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解. 【变式1】（2025春•讷河市期中）若log312＝x，log412＝y，则（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用对数运算公式和换底公式计算． 【解答】解：因为log312＝x，log412＝y， 所以，， 所以． 故选：B． 【变式2】（2025•重庆模拟）已知2a＝5，log89＝b，则43b﹣3•4a＝（　　） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据指数、对数运算求解即可． 【解答】解：因为log89b， 所以log29＝3b，所以23b＝9， 所以43b＝（23b）2＝81， 又因为4a＝（2a）2＝25， 所以43b﹣3•4a＝81﹣75＝6． 故选：A． 【变式3】（2025•安徽开学）若2x＝3y＝6，则x+y﹣xy＝（　　） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】根据指对互化，可得x＝log26，y＝log36，进而利用换底公式即可结合对数的运算性质求解． 【解答】解：因为2x＝3y＝6，所以x＝log26，y＝log36， 所以， 整理得：x+y﹣xy＝0． 故选：D． 【题型5】实际问题中的对数运算 （2025秋•浙江月考）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：尔格）与地震里氏震级M之间的关系为：lgE＝1.5M+11.8，若第一次地震释放出的能量是第二次的1000倍，则第一次地震的里氏震级比第二次高（　　）典例 A．4级 B．3级 C．2级 D．1级 【答案】C 【分析】设第一次地震释放的能量为E1，里氏震级为M1；第二次地震释放的能量为E2，里氏震级为M2，由题意计算M1﹣M2的值． 【解答】解：设第一次地震释放的能量为E1，里氏震级为M1；第二次地震释放的能量为E2，里氏震级为M2， 则E1＝1000E2，所以lgE1＝1.5M1+11.8，lgE2＝1.5M2+11.8； 所以lgE1﹣lgE2＝1.5M1﹣1.5M2，即lg1.5（M1﹣M2）， 所以M1﹣M22，即第一次地震的里氏震级比第二次高2级． 故选：C． 方法点拨 关于对数运算在实际问题中的应用 (1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算. (2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算. 【变式1】（2025•仁寿县模拟）19世纪美国天文学家西蒙•纽康和物理学家本•福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本•福特定律，即在大量10进制随机数据中，以n（n∈N+）开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（说明符号），则k的值为（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】利用对数的运算法则可得，再由符号说明表达式，即可求得k的值． 【解答】解：由题意知，， 由可得P（n）＝lglg...+lg ＝lg（...）＝lg； 所以，解得k＝5． 故选：B． 【变式2】（2025•江苏模拟）我们曾学习过碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730年衰减为原来的一半），即经过t年后，碳14的含量（N0为碳14的初始含量，k为常数），则碳14含量由原来的80%衰减为60%大约需要经过（　　） （参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1） A．2292年 B．2456年 C．2674年 D．2838年 【答案】B 【分析】利用半衰期的意义求出k，再利用给定的模型列出方程组，结合对数运算求解即得． 【解答】解：因为， 当t＝5730时，，即，解得， 设经过t1年碳14含量衰减为原来的80%，经过t2年碳14含量衰减为原来的60%， 则，即t1＝57300.8，t2＝57300.6， 所以 年． 故选：B． 【变式3】（2025•平度市模拟）细胞在适宜环境下的繁殖通常符合类型的模型，假设某种细胞的初始数量为c1，在理想条件下，每个细胞单位时间的繁殖率一定，经过x个单位时间后，细胞总数y（万个）会呈指数增长．设z＝lny，变换后得到线性回归方程，已知该回归方程的样本中心为（4，1.42），则c1＝（　　） A．e0.596 B．0.596 C．e0.206 D．0.206 【答案】A 【分析】由题意得，求出，从而可求得线性回归方程，给两边取对数化简，对照回归方程可求得答案． 【解答】解：由题意把点（4，1.42）代入回归方程：0.206x， 则，解得， 因此， 对函数两边取对数，得lny＝c2x+lnc1， 又lny，所以lnc1＝0.596，即． 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3 第二课时 对数 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】利用对数的运算性质表示对数的值 2 【题型2】利用对数的运算性质化简、求值 3 【题型3】对数的换底公式 5 【题型4】对数运算性质的综合运用 6 【题型5】实际问题中的对数运算 7 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 一、对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN. (2)loga＝logaM－logaN. (3)logaMn＝nlogaM(n∈R). 二、对数的换底公式 1.对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). 2.对数换底公式的重要推论 (1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1). (2)bm＝logab(a>0，且a≠1，b>0). (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1). 特别地logab·logba＝1(a>0，b>0，a≠1，b≠1). xix   提升方法技能 思 维 进 阶 1.(1)性质的逆运算仍然成立. (2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而log2(－2)与log2(－3)都没有意义. (3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk>0，k∈N*. 2.(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义. (2)在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝或logab＝(a>0，且a≠1；b>0). xix   触类方能旁通 举 一 反 三 【题型1】利用对数的运算性质表示对数的值 （2025春•清镇市期末）已知a＝lg2，b＝lg3，则lg12可以表示为（　　）典例 A．a2b B．2ab C．a+2b D．2a+b 【答案】D 【分析】结合对数运算性质即可得解． 【解答】解：因为a＝lg2，b＝lg3， 所以lg12＝lg（3×4）＝lg3+lg4＝lg3+lg22＝lg3+2lg2＝2a+b． 故选：D． 方法点拨 用已知对数的值来表示所求对数的值时，要增强目标意识，把真数拆解成已知对数的真数，合理地把所求向已知条件转化. 【变式1】（2025春•盐城期末）设a＝lg2，b＝lg3，则log1210＝（　　） A．2a+b B．2b+a C． D． 【变式2】（2025春•和平区月考）已知lg9＝a，10b＝5，用a，b表示log3645为　　 ． 【变式3】（2025•青浦区模拟）已知log23＝a，2b＝5，则log245＝　2a+b　 （用a、b表示）． 【题型2】利用对数的运算性质化简、求值 （2024秋•湖北期末）（1）若xlog32＝1，求4x﹣2x+1的值；典例 （2）计算：． 【答案】（1）3； （2）7． 【分析】（1）利用对数性质、运算法则求解； （2）利用对数性质、运算法则求解． 【解答】解：（1）∵xlog32＝1，∴x＝log23， ∴4x﹣2x+19﹣2×3＝3． （2） ＝lg2+lg5（lg2+lg5）+8﹣2 ＝lg2+lg5+6 ＝7． 方法点拨 利用对数运算性质化简求值 (1)“收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式的逆用. (2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式的正用. (3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2＋lg 5＝1，进行计算或化简. 【变式1】（2025春•凭祥市月考）（1）计算：； （2）已知2a＝9，3b＝16，求ab的值． 【变式2】（2025春•保定期中）（1）计算：； （2）计算（lg2）2+lg2×lg50+lg25+lg0.01； （3）已知，求的值． 【变式3】（2025春•东丽区月考）（1）已知2x＝3，，求x+2y的值． （2）计算． 【题型3】对数的换底公式 （2024秋•松江区期中）若logab•log3a＝4，则b的值为　81　 ．典例 【答案】见试题解答内容 【分析】由logab•log3a＝4，利用换底公式推导出4，由此能求出b的值． 【解答】解：∵logab•log3a＝4， ∴4， ∴lgb＝4lg3＝lg34＝lg81， ∴b＝81． 故答案为：81． 方法点拨 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 【变式1】（2024秋•温州月考）已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log645． 【变式2】（2023秋•虹口区期中）已知log189＝a，18b＝5，则log3645＝　　 （用a，b表示）． 【变式3】（2024秋•黄浦区期中）若lg2＝a，lg3＝b，则log1225＝　　 （用含a，b的代数式表示）． 【题型4】对数运算性质的综合运用 （2025•个旧市模拟）若3a＝5b＝15，则（　　）典例 A．1 B．log35 C．log53 D．2 【答案】A 【分析】由3a＝5b＝15，得a＝log315，b＝log515，代入求解即可． 【解答】解：由3a＝5b＝15，得a＝log315，b＝log515， 所以log153+log155＝log1515＝1． 故选：A． 方法点拨 利用对数式与指数式互化求值的方法 (1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化. (2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解. 【变式1】（2025春•讷河市期中）若log312＝x，log412＝y，则（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．4 【变式2】（2025•重庆模拟）已知2a＝5，log89＝b，则43b﹣3•4a＝（　　） A．6 B．4 C．2 D．1 【变式3】（2025•安徽开学）若2x＝3y＝6，则x+y﹣xy＝（　　） A． B． C． D．0 【题型5】实际问题中的对数运算 （2025秋•浙江月考）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：尔格）与地震里氏震级M之间的关系为：lgE＝1.5M+11.8，若第一次地震释放出的能量是第二次的1000倍，则第一次地震的里氏震级比第二次高（　　）典例 A．4级 B．3级 C．2级 D．1级 【答案】C 【分析】设第一次地震释放的能量为E1，里氏震级为M1；第二次地震释放的能量为E2，里氏震级为M2，由题意计算M1﹣M2的值． 【解答】解：设第一次地震释放的能量为E1，里氏震级为M1；第二次地震释放的能量为E2，里氏震级为M2， 则E1＝1000E2，所以lgE1＝1.5M1+11.8，lgE2＝1.5M2+11.8； 所以lgE1﹣lgE2＝1.5M1﹣1.5M2，即lg1.5（M1﹣M2）， 所以M1﹣M22，即第一次地震的里氏震级比第二次高2级． 故选：C． 方法点拨 关于对数运算在实际问题中的应用 (1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算. (2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算. 【变式1】（2025•仁寿县模拟）19世纪美国天文学家西蒙•纽康和物理学家本•福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本•福特定律，即在大量10进制随机数据中，以n（n∈N+）开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（说明符号），则k的值为（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 【变式2】（2025•江苏模拟）我们曾学习过碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730年衰减为原来的一半），即经过t年后，碳14的含量（N0为碳14的初始含量，k为常数），则碳14含量由原来的80%衰减为60%大约需要经过（　　） （参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1） A．2292年 B．2456年 C．2674年 D．2838年 【变式3】（2025•平度市模拟）细胞在适宜环境下的繁殖通常符合类型的模型，假设某种细胞的初始数量为c1，在理想条件下，每个细胞单位时间的繁殖率一定，经过x个单位时间后，细胞总数y（万个）会呈指数增长．设z＝lny，变换后得到线性回归方程，已知该回归方程的样本中心为（4，1.42），则c1＝（　　） A．e0.596 B．0.596 C．e0.206 D．0.206 学科网（北京）股份有限公司 $