4.3 第1课时 对数 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦对数的概念及其运算性质，系统构建从指数式到对数式的转化路径，厘清底数、真数的取值范围，衔接指数函数与对数函数的本质联系，形成完整的知识链条。 资料设计紧扣新课标核心素养，突出“数学眼光”“数学思维”“数学语言”的融合应用。例如在【题型1】中引导学生从实际问题抽象出对数定义的约束条件，体现数学眼光；通过【题型2】指对互化训练强化逻辑推理能力，展现数学思维；借助【题型5】运算性质的正逆运用，培养学生用符号语言表达数量关系的能力。每道典例均配有变式练习，便于课堂即时反馈与课后查漏补缺，有效提升教学效率与学习深度。

4.3 第一课时 对数xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】对数的概念 2 【题型2】对数式与指数式的互化 4 【题型3】利用对数的定义计算 6 【题型4】对数的相关性质 7 【题型5】对数的运算性质 9 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 一、对数的概念 对数的定义：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 二、对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN. (2)loga＝logaM－logaN. (3)logaMn＝nlogaM(n∈R). xix   提升方法技能 思 维 进 阶 1.(1)对数是由指数转化而来，则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变化. (2)logaN的读法：以a为底N的对数. 2.(1)性质的逆运算仍然成立. (2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而log2(－2)与log2(－3)都没有意义. (3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk>0，k∈N*. xix   触类方能旁通 举 一 反 三 【题型1】对数的概念 （2023秋•延边州期中）在对数式b＝log（a﹣3）（5﹣a）中，实数a的取值范围是（　　）典例 A．（﹣∞，3）∪（5，+∞） B．（3，5） C．（3，4） D．（3，4）∪（4，5） 【答案】D 【分析】根据对数的概念，底数大于0且不等于1，真数大于0，列不等式组即可求解． 【解答】解：要使对数式b＝log（a﹣3）（5﹣a）有意义，需满足， 解得3＜a＜4或4＜a＜5， 所以实数a的取值范围是（3，4）∪（4，5）． 故选：D． 方法点拨 关于对数式的范围 利用式子logab⇒求字母的范围. 【变式1】（2024秋•浦东新区期中）使对数loga（﹣2a+1）有意义的a的取值范围是　（0，）　 ． 【答案】（0，）． 【分析】根据已知条件，结合对数的定义，即可求解． 【解答】解：由题意可知，，解得0＜a， 故a的取值范围为（0，）． 故答案为：（0，）． 【变式2】（2024秋•宝应县月考）若对数ln（x2﹣5x+6）存在，则x的取值范围为　（﹣∞，2）∪（3，+∞）　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】由已知利用对数的概念可得x2﹣5x+6＞0，解不等式即可得解． 【解答】解：∵对数ln（x2﹣5x+6）存在， ∴x2﹣5x+6＞0， ∴解得：3＜x或x＜2，即x的取值范围为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）． 故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）． 【变式3】（2024秋•巨鹿县期中）对数式log（a﹣2）（5﹣a）中实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，5） B．（2，5） C．（2，3）∪（3，5） D．（2，+∞） 【答案】C 【分析】对数式有意义的条件是：真数为正数，底为正数且不为1，联立得到不等式组，解出即可． 【解答】解：要使对数式b＝log（a﹣2）（5﹣a）有意义， 则 ，解得a∈（2，3）∪（3，5）， 故选：C． 【题型2】对数式与指数式的互化 （2025•长安区模拟）若，则　﹣1　 ．典例 【答案】见试题解答内容 【分析】直接由指对互换、对数运算法则即可求解． 【解答】解：因为， 所以1． 故答案为：﹣1． 方法点拨 指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式. (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 【变式1】（2024秋•祁阳市期中）将23＝8化为对数式正确的是（　　） A．log23＝8 B．log28＝3 C．log82＝3 D．log32＝8 【答案】B 【分析】根据对数的定义判断． 【解答】解：23＝8化为对数式为log28＝3． 故选：B． 【变式2】（2024秋•金山区期中）指数式2a＝b化成对数式为 　a＝log2b　 ． 【答案】a＝log2b． 【分析】根据指数式与对数式互化关系即可求解． 【解答】解：因为2a＝b，所以a＝log2b． 故答案为：a＝log2b． 【变式3】（2023秋•安丘市期中）对数式log5b＝2化成指数式为（　　） A．5b＝2 B．b5＝2 C．52＝b D．b2＝5 【答案】C 【分析】根据题干信息和指数式与对数式互化求解即可． 【解答】解：∵log5b＝2， ∴b＝52． 故选：C． 【题型3】利用对数的定义计算 （2025春•宝山区期中）若log2x＝3，则实数x的值为 　8　 ．典例 【答案】8． 【分析】把对数化为指数即可． 【解答】解：log2x＝3，x＝23＝8． 故答案为：8． 方法点拨 求对数式logaN(a>0，且a≠1，N>0)的值的步骤 (1)设logaN＝m. (2)将logaN＝m写成指数式am＝N. (3)将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b. 【变式1】（2024秋•闵行区期中）已知log3x＝2，则x＝　9　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据已知条件，结合对数的运算性质，即可求解． 【解答】解：log3x＝2， 则x＝32＝9． 故答案为：9． 【变式2】（2023秋•乐东县期中）若log3x＝3，则x＝ 　27　 ． 【答案】27． 【分析】由对数的运算直接得结果． 【解答】解：因为log3x＝3，所以x＝33＝27． 故答案为：27． 【变式3】（2024秋•铁力市期中）若log2x＝1，则x＝　2　 ． 【答案】2． 【分析】利用对数的运算性质以及对数相等，求解即可． 【解答】解：因为log2x＝1＝log22， 所以x＝2． 故答案为：2． 【题型4】对数的相关性质 （2024秋•宁城县期末）计算　　 ．典例 【答案】． 【分析】利用指数运算、对数换底公式计算即得． 【解答】解：． 故答案为：． 方法点拨 利用对数的性质求值的方法 (1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0，且a≠1)进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算. (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解. 【变式1】（2024秋•南沙区期中）若log5（log3（log2x））＝0，x＝ 　8　 ． 【答案】8． 【分析】根据对数的运算性质求解即可． 【解答】解：由log5（log3（log2x））＝0， 可得， 则， 故x＝23＝8． 故答案为：8． 【变式2】（2024秋•鸡冠区期中）方程ln（log3x）＝0的解是（　　） A．1 B．2 C．e D．3 【答案】D 【分析】由已知结合对数的运算即可求解． 【解答】解：因为ln（log3x）＝0， 所以log3x＝1，即x＝3． 故选：D． 【变式3】（2024秋•回民区期中）解下列方程． （1）log2[log2（2x+3）]＝2； （2）． 【答案】（1）x， （2）x． 【分析】（1）根据题意，原方程变形可得log2（2x+3）＝4，即2x+3＝16，解可得x的值，即可得答案， （2）根据题意，原方程变形可得26x﹣x＝22，解可得x的值，即可得答案． 【解答】解：（1）log2[log2（2x+3）]＝2，则log2（2x+3）＝4，则2x+3＝16， 解可得：x， （2），即26x﹣x＝22，则5x＝2，解可得x， 故x． 【题型5】对数的运算性质 （2025春•洮北区期末）计算式子的值为（　　）典例 A．—1 B． C．3 D．—5 【答案】A 【分析】根据对数的基本运算求解即可． 【解答】解：由对数的定义以及对数运算法则知，． 故选：A． 方法点拨 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行. 【变式1】（2025春•昆明期末）（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据对数定义和指数运算进行求解． 【解答】解：log392+3＝5． 故选：C． 【变式2】（2025•陆丰市三模）已知，，则a﹣b＝（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3 【答案】B 【分析】根据指数，对数的运算性质即可求解． 【解答】解：由，， 则a﹣b＝1． 故选：B． 【变式3】（2024秋•重庆期末）计算（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．4 D．5 【答案】B 【分析】结合对数运算性质即可求解． 【解答】解：lg（2×50）﹣3＝2﹣3＝﹣1． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3 第一课时 对数xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】对数的概念 2 【题型2】对数式与指数式的互化 3 【题型3】利用对数的定义计算 4 【题型4】对数的相关性质 5 【题型5】对数的运算性质 6 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 一、对数的概念 对数的定义：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 二、对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN. (2)loga＝logaM－logaN. (3)logaMn＝nlogaM(n∈R). xix   提升方法技能 思 维 进 阶 1.(1)对数是由指数转化而来，则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变化. (2)logaN的读法：以a为底N的对数. 2.(1)性质的逆运算仍然成立. (2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而log2(－2)与log2(－3)都没有意义. (3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk>0，k∈N*. xix   触类方能旁通 举 一 反 三 【题型1】对数的概念 （2023秋•延边州期中）在对数式b＝log（a﹣3）（5﹣a）中，实数a的取值范围是（　　）典例 A．（﹣∞，3）∪（5，+∞） B．（3，5） C．（3，4） D．（3，4）∪（4，5） 【答案】D 【分析】根据对数的概念，底数大于0且不等于1，真数大于0，列不等式组即可求解． 【解答】解：要使对数式b＝log（a﹣3）（5﹣a）有意义，需满足， 解得3＜a＜4或4＜a＜5， 所以实数a的取值范围是（3，4）∪（4，5）． 故选：D． 方法点拨 关于对数式的范围 利用式子logab⇒求字母的范围. 【变式1】（2024秋•浦东新区期中）使对数loga（﹣2a+1）有意义的a的取值范围是　　 ． 【变式2】（2024秋•宝应县月考）若对数ln（x2﹣5x+6）存在，则x的取值范围为　 　 ． 【变式3】（2024秋•巨鹿县期中）对数式log（a﹣2）（5﹣a）中实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，5） B．（2，5） C．（2，3）∪（3，5） D．（2，+∞） 【题型2】对数式与指数式的互化 （2025•长安区模拟）若，则　﹣1　 ．典例 【答案】见试题解答内容 【分析】直接由指对互换、对数运算法则即可求解． 【解答】解：因为， 所以1． 故答案为：﹣1． 方法点拨 指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式. (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 【变式1】（2024秋•祁阳市期中）将23＝8化为对数式正确的是（　　） A．log23＝8 B．log28＝3 C．log82＝3 D．log32＝8 【变式2】（2024秋•金山区期中）指数式2a＝b化成对数式为 　 　 ． 【变式3】（2023秋•安丘市期中）对数式log5b＝2化成指数式为（　　） A．5b＝2 B．b5＝2 C．52＝b D．b2＝5 【题型3】利用对数的定义计算 （2025春•宝山区期中）若log2x＝3，则实数x的值为 　 　 ．典例 【答案】8． 【分析】把对数化为指数即可． 【解答】解：log2x＝3，x＝23＝8． 故答案为：8． 方法点拨 求对数式logaN(a>0，且a≠1，N>0)的值的步骤 (1)设logaN＝m. (2)将logaN＝m写成指数式am＝N. (3)将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b. 【变式1】（2024秋•闵行区期中）已知log3x＝2，则x＝　 　 ． 【变式2】（2023秋•乐东县期中）若log3x＝3，则x＝ 　 　 ． 【变式3】（2024秋•铁力市期中）若log2x＝1，则x＝ 　 ． 【题型4】对数的相关性质 （2024秋•宁城县期末）计算　　 ．典例 【答案】． 【分析】利用指数运算、对数换底公式计算即得． 【解答】解：． 故答案为：． 方法点拨 利用对数的性质求值的方法 (1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0，且a≠1)进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算. (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解. 【变式1】（2024秋•南沙区期中）若log5（log3（log2x））＝0，x＝ 　 　 ． 【变式2】（2024秋•鸡冠区期中）方程ln（log3x）＝0的解是（　　） A．1 B．2 C．e D．3 【变式3】（2024秋•回民区期中）解下列方程． （1）log2[log2（2x+3）]＝2； （2）． 【题型5】对数的运算性质 （2025春•洮北区期末）计算式子的值为（　　）典例 A．—1 B． C．3 D．—5 【答案】A 【分析】根据对数的基本运算求解即可． 【解答】解：由对数的定义以及对数运算法则知，． 故选：A． 方法点拨 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行. 【变式1】（2025春•昆明期末）（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（2025•陆丰市三模）已知，，则a﹣b＝（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3 【变式3】（2024秋•重庆期末）计算（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．4 D．5 学科网（北京）股份有限公司 $