4.2 第2课时 指数函数 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦指数函数的图象与性质及其综合应用，系统构建从定义域、值域到单调性、奇偶性的知识链条，通过题型1至题型4层层递进，实现从基础认知到高阶思维的跨越，形成完整的数学学习支架。 资料设计亮点突出，体现核心素养中的“抽象能力”“逻辑推理”和“模型意识”。例如题型1中借助换元法求值域，引导学生将复杂函数转化为二次函数模型，强化数形结合思想；题型4通过奇偶函数构造方程组求解析式，训练学生从特殊到一般的抽象能力。课中可辅助教师精准讲解难点，课后便于学生查漏补缺，巩固概念理解与解题策略，提升数学表达与问题解决能力。

4.2 第二课时 指数函数 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】指数(型)函数的定义域、值域问题 2 【题型2】利用单调性比较大小 4 【题型3】简单的指数不等式的解法 6 【题型4】指数函数图象和性质的综合运用 10 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 一、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 最值 无最值 过定点 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x<0时，0<y<1；当x>0时，y>1 当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 xix   提升方法技能 思 维 进 阶 (1)函数图象只出现在x轴上方. (2)当x＝0时，有a0＝1，故过定点(0，1). (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近y轴. (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴. (5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. xix   触类方能旁通 举 一 反 三 【题型1】指数(型)函数的定义域、值域问题 （2024秋•宜春期中）函数的定义域为　　典例 A．， B． C．， D． 【分析】可看出，要使函数有意义，则需满足，解出的范围即可． 【解答】解：要使函数有意义，则； 解得：； 函数的定义域是． 故选：． 方法点拨 y＝af(x)(a>0，且a≠1)型函数的定义域、值域的求法 (1)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数的定义域就是f(x)的定义域. (2)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数的值域，先求出u＝f(x)的值域，再结合y＝au的单调性求出y＝af(x)的值域.若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论. 【变式1】（2023秋•威海期末）函数的定义域为　　 A． B． C．， D．， 【分析】由根式内部的代数式大于等于0，求解指数不等式得答案． 【解答】解：由，得，即． 函数的定义域为，． 故选：． 【变式2】（2024秋•常州期末）函数的值域为　　 A．， B．， C． D．， 【答案】 【分析】根据指数函数的性质即可求解． 【解答】解：设，， ，． 故选：． 【变式3】（2024秋•安宁区期末）已知，求函数的值域为　　． 【答案】． 【分析】借助换元法可得，再结合的范围运用二次函数性质计算即可得． 【解答】解：令，由，则， 则 ， 由，则， 又当时，， 当时，， 有， 故，故函数的值域为． 故答案为：． 【题型2】利用单调性比较大小 （2024秋•定州市期末）设，，则它们的大小关系正确的是　　典例 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由已知结合函数的单调性即可比较，，的大小． 【解答】解：因为， 则， 因为， 所以． 故选：． 方法点拨 比较指数幂大小的3种类型及处理方法 (1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断. (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用底数不同的指数函数的图象变化规律或幂函数的单调性来判断. (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断. 【变式1】（2025春•南开区期中）已知，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性比较函数值的大小即可得结论． 【解答】解：为减函数，， 又为增函数，， ． 故选：． 【变式2】（2024秋•大同月考）设，，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性即可比较大小． 【解答】解：因为在上单调递减，又， 所以， 因为在上单调递增，又， 所以，所以， 因为，所以， 所以，所以． 故选：． 【变式3】（2025春•长乐区期末）已知，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据条件，利用指数函数和的性质，即可求解． 【解答】解：因为是增函数，所以，即， 又是减函数，所以，则． 故选：． 【题型3】简单的指数不等式的解法 （2024秋•江西期中）（1）计算：．典例 （2）解不等式：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据有理数指数幂的运算公式即可求解； （2）根据指数函数单调性即可求解不等式． 【解答】解：（1）原式 ． （2），即， 而指数函数在单调递增，，解得， 故不等式解集为． 方法点拨 (1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式. (2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1). 【变式1】（2023秋•鹿泉区期末）已知指数函数的图象过点． （1）求函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）将点代入求解即可； （2）由指数函数的单调性求解即可． 【解答】解：（1）根据题意，指数函数过点， ，解得， 函数的解析式为． （2）若，则， ， 由指数函数的单调性知，在上单调递减， ，解得， 实数的取值范围是． 【变式2】（2024秋•乾安县期末）若函数是指数函数． （1）求，的值； （2）求解不等式． 【分析】（1）根据指数函数的定义求出，的值即可； （2）问题转化为，通过讨论的范围，得到关于的不等式，解出即可． 【解答】解：（1）是指数函数， 且．（2分） 且（4分） （2）由（1）得， 则即（6分） ①当时，单调递增， 则不等式等价于，解得，（9分） ②当时，单调递减， 则不等式等价于，解得，（11分） 综上，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为（12分） 【变式3】（2023春•鲤城区期末）已知函数，且． （1）求； （2），求的取值范围． 【答案】（1）． （2）的取值范围是． 【分析】（1）利用（1），进行求解即可． （2）利用函数奇偶性和单调性的性质 进行转化求解即可． 【解答】解：（1）因为， 所以，即， 所以，或． 又因为，且， 所以． （2）由（1）得，所以， 因为和在上是增函数，所以在上是增函数， 又因为，所以为奇函数， 因为，所以， 所以，所以， 即的取值范围是． 【题型4】指数函数图象和性质的综合运用 （2025春•昆明期中）已知奇函数与偶函数满足．典例 （1）求，的解析式； （2）若，求的值； （3）若函数，求在，上的最小值． 【答案】（1），． （2） （3）当时，； 当时，； 当时，． 【分析】（1）根据函数的奇偶性列出等式，联立方程组求解可得． （2）将和代入函数解析式中化简求解即可． （3）首先化简，然后讨论一元二次函数的单调性，计算最小值． 【解答】解：（1）因为奇函数与偶函数满足， 得，联立得，，． （2）由（1）得，所以， 因为，且，所以， 解得， 则 ． （3）由题意知，，，． 令，则，则， 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，． 综上：当时，；当时，； 当时，． 方法点拨 指数型函数的奇偶性和单调性的判断方法 (1)奇偶性按照函数奇偶性定义进行判断，注意定义域优先原则，判断过程中，要进行必要的指数幂的运算. (2)单调性按照函数单调性定义进行判断，先确定单调区间，作差变形后再用函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性进行符号的判断. 【变式1】（2024秋•新化县期末）已知且满足不等式． （1）求实数的取值范围． （2）求不等式． （3）若函数在区间，有最小值为，求实数值． 【答案】 【分析】（1）根据指数函数的单调性解不等式即可求实数的取值范围． （2）根据对数函数的单调性求不等式． （3）根据复合函数的单调性以及对数的性质即可求出的值． 【解答】解：（1）． ，即， ， ，， ． （2）由（1）知， ． 等价为， 即， ， 即不等式的解集为，． （3）， 函数在区间，上为减函数， 当时，有最小值为， 即， ， 解得． 【变式2】（2025春•天山区期末）已知函数． （1）若的最小值为，求的值； （2）在（1）的条件下，若不等式有实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2），． 【分析】（1）令，则，结合二次函数性质讨论对称轴的位置及最小值求参数值； （2）问题化为有解，根据指数函数及对勾函数性质求右侧的最小值，即可得参数范围． 【解答】解：（1）令，则开口向上，且对称轴为， 当时，，在上单调递增，此时无最值，不满足； 当时，，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得或（舍去）． （2）由题意有解，即有解， 因为，当且仅当，即，即时取等号， 又趋向正负无穷时，分别趋向于0、正无穷，则均趋向于正无穷， 所以只需，解得，所以的取值范围是，． 【变式3】（2024秋•黄石期末）已知定义在上的奇函数．在时，． （1）试求的表达式； （2）用定义证明在上是减函数； （3）若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）由是定义在上的奇函数可得，时，；从而写出的表达式； （2）取值，作差，化简，判号，下结论五步； （3）对于上的每一个值，不等式恒成立转化为对于上的每一个值，不等式恒成立，从而可得． 【解答】解：（1）是定义在上的奇函数， ， 设，则，则 ， 故； （2）任取，，且， 则 ， ， ，， 故， 故在上是减函数； （3）由题意，可化为 ， 化简可得，， 令， ， ， 故对于上的每一个值，不等式恒成立可化为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2 第二课时 指数函数 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】指数(型)函数的定义域、值域问题 2 【题型2】利用单调性比较大小 4 【题型3】简单的指数不等式的解法 5 【题型4】指数函数图象和性质的综合运用 6 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 一、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 最值 无最值 过定点 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x<0时，0<y<1；当x>0时，y>1 当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 xix   提升方法技能 思 维 进 阶 (1)函数图象只出现在x轴上方. (2)当x＝0时，有a0＝1，故过定点(0，1). (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近y轴. (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴. (5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. xix   触类方能旁通 举 一 反 三 【题型1】指数(型)函数的定义域、值域问题 （2024秋•宜春期中）函数的定义域为　　典例 A．， B． C．， D． 【分析】可看出，要使函数有意义，则需满足，解出的范围即可． 【解答】解：要使函数有意义，则； 解得：； 函数的定义域是． 故选：． 方法点拨 y＝af(x)(a>0，且a≠1)型函数的定义域、值域的求法 (1)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数的定义域就是f(x)的定义域. (2)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数的值域，先求出u＝f(x)的值域，再结合y＝au的单调性求出y＝af(x)的值域.若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论. 【变式1】（2023秋•威海期末）函数的定义域为　　 A． B． C．， D．， 【变式2】（2024秋•常州期末）函数的值域为　　 A．， B．， C． D．， 【变式3】（2024秋•安宁区期末）已知，求函数的值域为　　． 【题型2】利用单调性比较大小 （2024秋•定州市期末）设，，则它们的大小关系正确的是　　典例 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由已知结合函数的单调性即可比较，，的大小． 【解答】解：因为， 则， 因为， 所以． 故选：． 方法点拨 比较指数幂大小的3种类型及处理方法 (1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断. (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用底数不同的指数函数的图象变化规律或幂函数的单调性来判断. (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断. 【变式1】（2025春•南开区期中）已知，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024秋•大同月考）设，，，则　　 A． B． C． D． 【变式3】（2025春•长乐区期末）已知，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【题型3】简单的指数不等式的解法 （2024秋•江西期中）（1）计算：．典例 （2）解不等式：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据有理数指数幂的运算公式即可求解； （2）根据指数函数单调性即可求解不等式． 【解答】解：（1）原式 ． （2），即， 而指数函数在单调递增，，解得， 故不等式解集为． 方法点拨 (1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式. (2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1). 【变式1】（2023秋•鹿泉区期末）已知指数函数的图象过点． （1）求函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围． 【变式2】（2024秋•乾安县期末）若函数是指数函数． （1）求，的值； （2）求解不等式． 【变式3】（2023春•鲤城区期末）已知函数，且． （1）求； （2），求的取值范围． 【题型4】指数函数图象和性质的综合运用 （2025春•昆明期中）已知奇函数与偶函数满足．典例 （1）求，的解析式； （2）若，求的值； （3）若函数，求在，上的最小值． 【答案】（1），． （2） （3）当时，； 当时，； 当时，． 【分析】（1）根据函数的奇偶性列出等式，联立方程组求解可得． （2）将和代入函数解析式中化简求解即可． （3）首先化简，然后讨论一元二次函数的单调性，计算最小值． 【解答】解：（1）因为奇函数与偶函数满足， 得，联立得，，． （2）由（1）得，所以， 因为，且，所以， 解得， 则 ． （3）由题意知，，，． 令，则，则， 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，． 综上：当时，；当时，； 当时，． 方法点拨 指数型函数的奇偶性和单调性的判断方法 (1)奇偶性按照函数奇偶性定义进行判断，注意定义域优先原则，判断过程中，要进行必要的指数幂的运算. (2)单调性按照函数单调性定义进行判断，先确定单调区间，作差变形后再用函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性进行符号的判断. 【变式1】（2024秋•新化县期末）已知且满足不等式． （1）求实数的取值范围． （2）求不等式． （3）若函数在区间，有最小值为，求实数值． 【变式2】（2025春•天山区期末）已知函数． （1）若的最小值为，求的值； （2）在（1）的条件下，若不等式有实数解，求实数的取值范围． 【变式3】（2024秋•黄石期末）已知定义在上的奇函数．在时，． （1）试求的表达式； （2）用定义证明在上是减函数； （3）若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $