4.2 第1课时 指数函数 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.2 第一课时 指数函数 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】指数函数的概念 3 【题型2】求指数函数的解析式或求值 4 【题型3】指数增长型和指数衰减型函数的实际应用 5 【题型4】指数函数的图象和性质 7 【题型5】指数型函数的图象和应用 8 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 一、指数函数的概念 指数函数的概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 二、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 最值 无最值 过定点 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x<0时，0<y<1；当x>0时，y>1 当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 xix   提升方法技能 思 维 进 阶 1.(1)函数的特征：底数a>0，且a≠1. (2)指数幂的系数为1. 2.(1)函数图象只出现在x轴上方. (2)当x＝0时，有a0＝1，故过定点(0，1). (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近y轴. (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴. (5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. xix   触类方能旁通 举 一 反 三 【题型1】指数函数的概念 （2023秋•浦东新区月考）已知函数是指数函数，则实数的值是 　2　．典例 【答案】2． 【分析】根据给定条件，利用指数函数定义列式计算即得． 【解答】解：由函数是指数函数，得，解得， 所以实数的值是2． 故答案为：2． 方法点拨 判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)底数的值a>0，且a≠1. (2)ax前的系数是否为1. (3)指数是否符合要求. 【变式1】（2023春•海南期中）若函数是指数函数，则 　4　， 　　． 【变式2】（2023秋•井冈山市期中）下列函数中，不是指数函数的为　　 A． B． C． D． 【变式3】下列函数中是指数函数的为　　 A． B． C． D． 【题型2】求指数函数的解析式或求值 （2023秋•良庆区期中）函数的图象经过点，则（2）　　典例 A． B． C． D．9 【答案】 【分析】首先代入点的坐标，求函数的解析式，再代入，求函数值． 【解答】解：由题意可知，，，且， 解得， 所以， 所以（2）． 故选：． 方法点拨 (1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键. (2)求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式. 【变式1】（2024春•临潼区月考）若函数的图象经过点，则　　． 【变式2】（2024秋•淮安期末）已知定义在上的奇函数关于对称，当，时，，则 　　． 【变式3】已知指数函数且，（4），求、和（3）的值． 【题型3】指数增长型和指数衰减型函数的实际应用 （2024秋•柳南区月考）基本再生数与世代间隔是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与、近似满足，有学者基于已有数据估计出，．据此，在型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至的4倍，至少需要（参考数据　　典例 A．6天 B．7天 C．8天 D．9天 【答案】 【分析】把，代入，求出，根据，求出时的取值范围即可． 【解答】解：因为，，， 所以，， 由题意知，，则， 所以累计感染病例数增加至的4倍，至少需要7天． 故选：． 方法点拨 关于函数y＝kax(k∈R，且k≠0；a>0，且a≠1)在实际问题中的应用 (1)函数y＝kax(k∈R，且k≠0；a>0，且a≠1)是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型，一般当k>0时，若a>1，则刻画指数增长变化规律；若0<a<1，则刻画指数衰减变化规律. (2)解决此类问题可利用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数后，利用指数运算解题. 【变式1】（2024•潮阳区模拟）放射性核素锶89的质量会按某个衰减率衰减，设初始质量为，质量与时间（单位：天）的函数关系为（其中为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用的时间）约为50天，那么质量为的锶89经过30天衰减后质量大约变为　　（参考数据 A． B． C． D． 【变式2】（2024秋•东兴区期中）当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位，大约每经过5730年一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了　　个“半衰期”．（提示： A．10 B．9 C．11 D．8 【变式3】（2024秋•武强县期末）函数的图象过定点，则　　 A．5 B．4 C．3 D．2 【题型4】指数函数的图象和性质 （2025•杭州学业考试）函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是　　典例 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】根据指数函数的图象和性质进行判断即可． 【解答】解：由指数函数的单调性知函数为递减函数，则， ，，即， 故选：． 方法点拨 解决指数函数图象问题的注意点 (1)熟记当底数a>1和0<a<1时，图象的大体形状. (2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”. 【变式1】（2025春•乌兰察布期末）已知函数且的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则　　 A． B．9 C． D．3 【变式2】（2025春•河北期末）函数的图象恒过点　　 A． B． C． D． 【变式3】（2025春•广州期中）已知函数恒过定点，则函数不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型5】指数型函数的图象和应用 （2024秋•常州期末）已知函数的图象如图所示，则下列选项正确的是　　典例 A． B． C． D．的图象不经过第四象限 【答案】 【分析】根据图象，结合指数函数的单调性，可得答案． 【解答】解：对于选项，由图象可知函数单调递减，则，故选项错误； 对于选项，当时，，由图象可得，解得，故选项正确； 对于选项，由，则，由是增函数，则，故选项错误； 对于选项，由，，则函数是增函数， 当时，，故选项正确． 故选：． 方法点拨 与指数函数相关的图象问题 (1)定点问题：令函数解析式中的指数为0，即可求出横坐标，再求纵坐标即可. (2)平移问题：对于横坐标x满足“左加右减”，对于纵坐标y满足“上加下减”. 【变式1】已知函数且的图象如图所示，则，的值分别是　　 A．， B．， C．， D．， 【变式2】（2024春•泉州期中）已知函数且图象如图所示，则的值是 　　． 【变式3】（2023春•会宁县期末）已知函数且的图象如图所示，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2 第一课时 指数函数 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】指数函数的概念 3 【题型2】求指数函数的解析式或求值 5 【题型3】指数增长型和指数衰减型函数的实际应用 7 【题型4】指数函数的图象和性质 10 【题型5】指数型函数的图象和应用 12 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 一、指数函数的概念 指数函数的概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 二、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 最值 无最值 过定点 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x<0时，0<y<1；当x>0时，y>1 当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 xix   提升方法技能 思 维 进 阶 1.(1)函数的特征：底数a>0，且a≠1. (2)指数幂的系数为1. 2.(1)函数图象只出现在x轴上方. (2)当x＝0时，有a0＝1，故过定点(0，1). (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近y轴. (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴. (5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. xix   触类方能旁通 举 一 反 三 【题型1】指数函数的概念 （2023秋•浦东新区月考）已知函数是指数函数，则实数的值是 　2　．典例 【答案】2． 【分析】根据给定条件，利用指数函数定义列式计算即得． 【解答】解：由函数是指数函数，得，解得， 所以实数的值是2． 故答案为：2． 方法点拨 判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)底数的值a>0，且a≠1. (2)ax前的系数是否为1. (3)指数是否符合要求. 【变式1】（2023春•海南期中）若函数是指数函数，则 　4　， 　　． 【答案】4，4． 【分析】根据指数函数的定义，指数式的系数为1，常数项为0，即可求出参数的值． 【解答】解：因为是指数函数， 所以， 解得． 故答案为：4，4． 【变式2】（2023秋•井冈山市期中）下列函数中，不是指数函数的为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据指数函数的定义即可判断． 【解答】解：中底数，指数是自变量，指数式的系数为1，所以是指数函数，故不合题意； 中指数不是自变量，所以不是指数函数，故符合题意； 中底数必须满足且时，才是指数函数，故符合题意； 中指数式的系数不为1，所以不是指数函数，故符合题意， 故选：． 【变式3】下列函数中是指数函数的为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用指数函数的定义即可得出结论． 【解答】解：形如的函数，叫做指数函数， 是幂函数，故排除； 不是指数函数，故排除； 不是指数函数，故排除； 是幂函数，故选． 故选：． 【题型2】求指数函数的解析式或求值 （2023秋•良庆区期中）函数的图象经过点，则（2）　　典例 A． B． C． D．9 【答案】 【分析】首先代入点的坐标，求函数的解析式，再代入，求函数值． 【解答】解：由题意可知，，，且， 解得， 所以， 所以（2）． 故选：． 方法点拨 (1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键. (2)求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式. 【变式1】（2024春•临潼区月考）若函数的图象经过点，则　　． 【答案】． 【分析】把点的坐标代入函数解析式求出的值，写出函数解析式，再计算的值． 【解答】解：因为函数的图象过点， 所以，解得， 又，所以，所以， 所以． 故答案为：． 【变式2】（2024秋•淮安期末）已知定义在上的奇函数关于对称，当，时，，则 　　． 【答案】． 【分析】根据题意，由函数的奇偶性和对称性可得函数的周期性，结合函数的解析式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，函数为奇函数，， 函数关于对称，则有， 则有，变形可得， 则有，即是周期为4的周期函数， 则（1）， 又由当，时，，则， 则． 故答案为：． 【变式3】已知指数函数且，（4），求、和（3）的值． 【答案】1；；8． 【分析】根据已知条件，先求出，即可求出指数函数，再将，，依次代入上式，即可求解． 【解答】解：指数函数且，（4）， 则，解得或（舍去）， 故， ，，（3）． 【题型3】指数增长型和指数衰减型函数的实际应用 （2024秋•柳南区月考）基本再生数与世代间隔是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与、近似满足，有学者基于已有数据估计出，．据此，在型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至的4倍，至少需要（参考数据　　典例 A．6天 B．7天 C．8天 D．9天 【答案】 【分析】把，代入，求出，根据，求出时的取值范围即可． 【解答】解：因为，，， 所以，， 由题意知，，则， 所以累计感染病例数增加至的4倍，至少需要7天． 故选：． 方法点拨 关于函数y＝kax(k∈R，且k≠0；a>0，且a≠1)在实际问题中的应用 (1)函数y＝kax(k∈R，且k≠0；a>0，且a≠1)是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型，一般当k>0时，若a>1，则刻画指数增长变化规律；若0<a<1，则刻画指数衰减变化规律. (2)解决此类问题可利用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数后，利用指数运算解题. 【变式1】（2024•潮阳区模拟）放射性核素锶89的质量会按某个衰减率衰减，设初始质量为，质量与时间（单位：天）的函数关系为（其中为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用的时间）约为50天，那么质量为的锶89经过30天衰减后质量大约变为　　（参考数据 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据时，，代入函数关系式中，可得的值，进而代入求解即可． 【解答】解：由题意，锶89半衰期（质量衰减一半所用的时间）所用时间为50天， 即，则， 所以质量为的锶89经过30天衰减后， 质量大约为． 故选：． 【变式2】（2024秋•东兴区期中）当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位，大约每经过5730年一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了　　个“半衰期”．（提示： A．10 B．9 C．11 D．8 【答案】 【分析】设生物组织内原有的碳14含量为，需要经过个“半衰期”才不能被测到碳14，则，即，再根据参数据即可得解． 【解答】解：设生物组织内原有的碳14含量为，需要经过个“半衰期”才不能被测到碳14， 则，即， 由参考数据可知，， 由参考数据可知，， ， 所以， 故， 故选：． 【变式3】（2024秋•武强县期末）函数的图象过定点，则　　 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】 【分析】由指数函数的性质求解． 【解答】解：函数的图象过定点， 由指数函数的性质可知的图象过定点， 则，，故． 故选：． 【题型4】指数函数的图象和性质 （2025•杭州学业考试）函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是　　典例 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】根据指数函数的图象和性质进行判断即可． 【解答】解：由指数函数的单调性知函数为递减函数，则， ，，即， 故选：． 方法点拨 解决指数函数图象问题的注意点 (1)熟记当底数a>1和0<a<1时，图象的大体形状. (2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”. 【变式1】（2025春•乌兰察布期末）已知函数且的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则　　 A． B．9 C． D．3 【分析】令求得图象恒过定点的坐标，再利用待定系数法求得幂函数的解析式，计算的值． 【解答】解：函数中， 令，解得，此时， 所以的图象恒过定点； 又点在幂函数的图象上， 即，解得， 所以， 所以． 故选：． 【变式2】（2025春•河北期末）函数的图象恒过点　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意，利用，令，得，将代入函数中计算即可求得函数的图象恒过点． 【解答】解：令，得， 将代入函数可得， 即函数的图象恒过点． 故选：． 【变式3】（2025春•广州期中）已知函数恒过定点，则函数不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【分析】由已知先求出，，代入中，结合指数函数的图象及性质即可求解． 【解答】解：由指数函数的性质可知，恒过定点， 则函数经过一，三，四象限． 故选：． 【题型5】指数型函数的图象和应用 （2024秋•常州期末）已知函数的图象如图所示，则下列选项正确的是　　典例 A． B． C． D．的图象不经过第四象限 【答案】 【分析】根据图象，结合指数函数的单调性，可得答案． 【解答】解：对于选项，由图象可知函数单调递减，则，故选项错误； 对于选项，当时，，由图象可得，解得，故选项正确； 对于选项，由，则，由是增函数，则，故选项错误； 对于选项，由，，则函数是增函数， 当时，，故选项正确． 故选：． 方法点拨 与指数函数相关的图象问题 (1)定点问题：令函数解析式中的指数为0，即可求出横坐标，再求纵坐标即可. (2)平移问题：对于横坐标x满足“左加右减”，对于纵坐标y满足“上加下减”. 【变式1】已知函数且的图象如图所示，则，的值分别是　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】由图象知，的图象是由图象向下平移4个单位长度得到的，由此可得值，再由（2）可得值． 【解答】解：由图象知，的图象是由图象向下平移4个单位长度得到的，所以， 由（2），即得， 故选：． 【变式2】（2024春•泉州期中）已知函数且图象如图所示，则的值是 　　． 【分析】由图象知，，（2） 解方程组求出 和的值，即得函数的解析式，进而求得的值． 【解答】解：由图象知，，（2）， 即，， 故，， 则的值是：， 故答案为：． 【变式3】（2023春•会宁县期末）已知函数且的图象如图所示，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据函数图象可得出、的取值范围，利用指数函数的基本性质可判断选项，利用不等式的基本性质可判断选项． 【解答】解：由图象可知，函数且在上单调递增，则， 且当时，，可得． 对于选项，，对； 对于选项，，对； 对于选项，，错； 对于选项，由题意可知，，则，所以，，对． 故选：． 学科网（北京）股份有限公司 $