1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦于全称量词命题与存在量词命题的否定，通过从具体实例出发引导学生理解逻辑结构的变化规律，构建起“命题形式—量词转换—结论否定”的三层学习支架，前后衔接自然，层层递进，有效打通了抽象符号语言与现实问题之间的认知通道。 其亮点在于紧扣新课标核心素养，突出“数学眼光”“数学思维”和“数学语言”的融合运用，如在题型一中借助菱形对角线性质的判断，体现几何直观与逻辑推理的统一，又如第4题通过真假判断训练学生的理性思维与批判意识。资料设计注重情境化、层次化与实践性，既帮助学生建立清晰的否定规则体系，又提升教师课堂组织效率与教学深度，是落实学科核心素养的优质教学资源。

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定,能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定,提升数学抽象的核心素养.2.通过判断全称量词命题和存在量词命题的否定的真假,提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 【课程标准要求】 必备知识·归纳落实 知识点一　全称量词命题的否定 知识归纳 全称量词命题 全称量词 命题的否定 结论 ∀x∈M,p(x) 全称量词命题的 否定是 命题 ∃x∈M,﹁p(x) 存在量词 4 知识点二　存在量词命题的否定 存在量词命题 存在量词 命题的否定 结论 ∃x∈M,p(x) 存在量词命题的 否定是 命题 ∀x∈M,﹁p(x) 全称量词 5 ·知识辨析· 常见正面词语的否定举例: 正面词语 等于(=) 大于(>) 小于 (<) 是 都是 否定 不等于(≠) 不大于 (≤) 不小于(≥) 不是 不都是 正面词语 至少有一个 至多有一个 任意的 所有的 至多 有n个 否定 一个也没有 至少有两个 某个 某些 至少有 n+1个 基础自测 1.命题“∀x>2,x2+1≤0”的否定是(　　) [A]∃x≤2,x2+1≥0 [B]∃x>2,x2+1>0 [C]∃x≤2,x2+1>0 [D]∃x>2,x2+1≥0 B 【解析】 由题意知,“∀x>2,x2+1≤0”的否定为“∃x>2,x2+1>0”.故选B. 2.设命题p:∃x∈Z,x2≥6x+5,则p的否定为(　　) [A]∀x∉Z,x2<6x+5 [B]∃x∉Z,x2<6x+5 [C]∀x∈Z,x2<6x+5 [D]∃x∈Z,x2<6x+5 C 【解析】 p的否定为“∀x∈Z,x2<6x+5”.故选C. 3.命题“小数都是无理数”的否定为(　　) [A]所有小数都不是无理数 [B]有些小数是无理数 [C]有些小数不是无理数 [D]所有小数都是无理数 C 【解析】 原命题为全称量词命题,其否定为“有些小数不是无理数”.故选C. 4.(人教A版必修第一册P32习题1.5 T4改编)下列命题的否定为真命题的是 (　　) [A]对任意的x∈R, x2≥0 [B]所有的正方形都是矩形 [C]至少有一个实数x,使x+1=0 [D]存在x∈R,x2+2≤0 D 【解析】 A,B,C都是真命题,其否定是假命题;D是假命题,其否定为真命题.故选D. 关键能力·素养培优 [例1] 写出下列全称量词命题的否定,并判断原命题及其否定的真假. (1)∀x∈R,x2+2x+5>0; 题型一　全称量词命题的否定 【解】 (1)该命题的否定:∃x∈R,x2+2x+5≤0.因为x2+2x+5=(x+1)2+4>0,所以原命题为真命题,其否定为假命题. (2)菱形的对角线互相垂直; (3)方程x2-8x-20=0的每一个根都不是奇数. 【解】 (2)该命题的否定:至少存在一个菱形,它的对角线不互相垂直.因为所有菱形的对角线均互相垂直,所以原命题为真命题,其否定为假命题. 【解】 (3)该命题的否定:方程x2-8x-20=0至少有一个根是奇数.因为方程的两个根为-2,10,都不是奇数,所以原命题为真命题,其否定为假命题. ·解题策略· (1)对全称量词命题否定的两个步骤. ①改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词. ②否定结论:原命题中的“是”“成立”等分别改为“不是”“不成立”等. ·解题策略· (2)全称量词命题否定后的真假判断方法. 若全称量词命题为真命题,则其否定就是假命题;若全称量词命题为假命题,则其否定就是真命题.任何一个命题和它的否定不能同时为真,也不能同时为假,只能一真一假. 提醒:对于省略量词的命题写其否定时,要注意添加相应的量词. [变式训练] 写出下列全称量词命题的否定,并判断原命题及其否定的真假. (1)∀x∈R,2x+1>0; 【解】 (1)该命题的否定:∃x∈R,2x+1≤0.当x=-1时,2x+1=-1≤0,所以原命题为假命题,其否定为真命题. (2)每个三角形至少有两个锐角; 【解】 (2)该命题的否定:存在一个三角形至多有一个锐角.原命题为真命题,其否定为假命题. (3)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线; 【解】 (3)该命题的否定:存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线.根据圆的切线的定义可知,原命题为真命题,其否定为假命题. (4)末位数是偶数的数能被4整除. 【解】 (4)该命题的否定:存在末位数是偶数的数,不能被4整除.存在末位数是偶数的数,例如10,不能被4整除,所以原命题为假命题,其否定为真命题. 题型二　存在量词命题的否定 [例2] 写出下列存在量词命题的否定,并判断原命题及其否定的真假. (1)∃x∈R,x2+4=0; 【解】 (1)该命题的否定:∀x∈R,x2+4≠0.原命题为假命题,其否定为真命题. (2)一元二次方程不总有实数根; 【解】 (2)该命题的否定:任意一个一元二次方程都有实数根.原命题为真命题,其否定为假命题. ·解题策略· (1)对存在量词命题否定的两个步骤. ①改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词. ②否定结论:原命题中的“有”“存在”等分别更改为“没有”“不存在”等. (2)存在量词命题否定后的真假判断方法. 存在量词命题的否定是全称量词命题,其真假性与存在量词命题相反;要说明一个存在量词命题是真命题,只需要找到一个实例即可. [变式训练] (北师大版必修第一册P22例7)写出下列存在量词命题的否定: (1)某箱产品中至少有一件次品; 【解】 (1)“某箱产品中至少有一件次品”的否定是“某箱产品都是正品”. (2)方程x2-8x+15=0有一个根是偶数; 【解】 (2)“方程x2-8x+15=0有一个根是偶数”的否定是“方程x2-8x+15=0的每一个根都不是偶数”. (3)∃x∈R,使x2+x+1≤0. 【解】 (3)“∃x∈R,使x2+x+1≤0”的否定是“∀x∈R,有x2+x+1>0”. [例3] 已知命题p:∀x∈{x|4≤x≤9},x<a+4,命题q:∃x∈R,x2<a+4. (1)若p的否定为真命题,求实数a的取值范围; 题型三　由含量词命题的否定求参数 【解】 (1)法一　由题意得,p的否定:∃x∈{x|4≤x≤9},x≥a+4,为真命题, 则9≥a+4,即a≤5, 故当p的否定为真命题时,实数a的取值范围为{a|a≤5}. 法二　当p为真命题时,a+4>xmax=9,即a>5,故当p的否定为真命题时, 实数a的取值范围为{a|a≤5}. (2)若命题p和命题q至少有一个是真命题,求实数a的取值范围. 【解】 (2)显然当x∈R时,x2≥0,所以当q为真命题时,a+4>0,即a>-4,由(1)知当p为真命题时,a>5. 法一　当p,q同时为假命题时,a≤-4且a≤5,即a≤-4,所以当p和q至少有一个是真命题时,实数a的取值范围是{a|a>-4}. 法二　当p和q至少有一个是真命题时, 实数a的取值范围是{a|a>5}∪{a|a>-4},即{a|a>-4}. ·解题策略· 由含有量词的命题的真假求参数的取值范围,若是直接求解比较简单,就可以直接求解参数的取值范围;若是直接求解比较复杂,可以根据原命题与其否定必然真假相反,转化为命题的否定问题. [变式训练] 已知命题p:∀x∈{x|0<x<1},x+m-1<0,命题q:∀x∈R,mx2+4x-1≠0.若p为真命题,q为假命题,求实数m的取值范围. 【解】 由命题p是真命题,得{x|0<x<1}⊆{x|x<1-m},所以1-m≥1,所以m≤0. 由命题q是假命题,得q的否定:∃x∈R,使得mx2+4x-1=0为真命题,即关于x的方程mx2+4x-1=0有实数根. 当m=0时,方程4x-1=0有实数根;当m≠0时,依题意得Δ=16+4m≥0,即m≥-4, 且m≠0,所以m≥-4. 因为p为真命题,q为假命题,所以实数m的取值范围是{m|-4≤m≤0}. 感谢观看 (3)存在一个实数x,使>2. 【解】(3)该命题的否定:∀x∈R,≤2.原命题为真命题,其否定为假命题. $