培优专题2 不等式，基本不等式，一元二次不等式培优讲义【14类题型】-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一上不等式培优讲义（14类题型） 总览 题型·解读 模块一 不等式性质 【题型1】不等式的证明及不等式判断综合 【题型2】糖水不等式的证明及应用 【题型3】利用不等式性质求代数式取值范围（待定系数法） 模块二 基本不等式综合题型 【题型4】 和，积，平方和之间的转化（常用不等式链+换元） 【题型5】调和平均数（平均速度，平均价格） 【题型6】因式分解型 【题型7】消元法求最值 【题型8】含有根式的配凑（根式平方和为定值型） 【题型9】权方和不等式 【题型10】基本不等式恒成立与能成立问题 模块三 一元二次不等式综合 【题型11】解含参一元二次不等式 【题型12】一元二次方程根的分布 【题型13】变更主元法解含参一元二次不等式恒成立问题 【题型14】一元二次不等式的整数解问题 模块四 【综合训练】 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 不等式性质 【题型1】不等式的证明及不等式判断综合 技巧介绍 常用不等式的证明方法 1、作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． 2、作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． 3、中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 4、平方法：对两式先平方，再比较大小． 5、利用平方公式的非负性 【例题1】设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 【例题2】今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【解析】由题意可得，，，， ，， ，．故选：C． 【例题3】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知正实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分和两种情况讨论，当时，，当时，；由此可以直接判断AB选项，取特殊值排除C选项，对D选项，由得，再分和两种情况证明. 【详解】A选项，当时，，此时即， 当时，，此时即，所以A错误； B选项，当时，，成立， 当时，，，所以B错误； C选项，当时，取，此时，不满足， 当时，取，此时，不满足，故C错误； D选项，等价于， 当时，，，此时， 当时，，，此时，D正确 【巩固练习1】证明：已知，且，求证：. 【解析】因为，且，则， 则，则，则， 则， 则，又 则. 命题得证. 【巩固练习2】（24-25高一上·山西·期末）(多选)已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】举反例可说明选项A、C错误；不等式等价变形，利用不等式的性质可得选项B正确；利用作差法可得选项D正确. 【详解】对于A，当时满足，但不成立，故A不正确； 对于B，等价于， ∵，∴，故，故B正确； 对于C，当时满足，但，故C不正确； 对于D， ，故D正确. 故选：BD. 【巩固练习3】两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【分析】由题意依次将两种策略两次购买物品的平均价格表示出来，用作差法比较大小即可. 【详解】设甲策略每次买件物品，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数为元， 则甲策略两次购买物品的平均价格为，乙策略两次购买物品的平均价格为， 所以，即， 所以乙种购物策略比较经济. 【巩固练习4】（24-25高一上·浙江杭州·期中）(多选)已知实数a，b，c满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】应用作差法判断A、B、D，根据不等式的性质判断C. 【详解】A：，又， 所以，则，即，对； B：，且，而符号不定， 所以符号不定，错； C：由题设，若，则，错； D：，则，对. 【巩固练习5】（1）已知，证明：； （2）若a，b，c为三角形的三边长，则． 【解析】（1）， 由，得，而，，， 则，所以． （2）为的三边长，则有，，， 由（1）知：，，， 将以上不等式左右两边分别相加得：， 所以． 【巩固练习6】（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知，，求，及的取值范围． （2）设、均为正实数，试比较和的大小． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【分析】（1）结合不等式的基本性质即可求解. （2）利用作差法进行比较，先对代数式作差得出；再分类讨论即可得出结果. 【详解】（1）因为， 所以， 又，两个不等式相加可得，即． 因为，所以， 又，两个不等式相加可得，即． 因为，所以， 当时，两个不等式相加乘可得：，即； 当时，两个不等式相加乘可得：，即， 所以． 的取值范围为； 的取值范围为； 的取值范围为. （2）． 因为，均为正实数，所以． 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，，此时．     综上可得：当时，； 当时，；当时，． 【题型2】糖水不等式的证明及应用 知识介绍 糖水不等式是一个基于生活常识的数学不等式，常用于分式放缩。 其核心表述为：若（代表原有糖水浓度，且)（代表加入的糖量），则必有： 含义解释： （1）左边不等号：在糖水（溶质a，溶液b）中加入纯糖（m）后，新糖水的浓度一定比原来的浓度更甜（更大）. （2）右边不等号：加入糖后，浓度依然小于1（即仍是糖水，不可能变成纯糖）. 关键点： 前提：原分数是真分数（），且加入的量m是正数. 结论：分子分母加上同一个正数后，分数值变大（更接近1），但仍小于1. 应用：该不等式简洁有力，在证明涉及分式的不等式、比较大小或进行放缩时非常有用，体现了“加糖变甜”的直观思想在数学中的精确表达。 【例题1】（高一上·浙江嘉兴·阶段练习）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？ (1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡. 【答案】(1)(其中a，b，m为正实数，且)（答案形式不唯一） (2) (其中)（答案形式不唯一） 【分析】将问题转化为证明不等式成立，然后利用差比较法证得不等式成立. 【详解】（1）设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克糖， 即证明不等式 (其中a，b，m为正实数，且b＞a)成立． 不妨用作差比较法，证明如下： ＝. ∵a，b，m为正实数，且，， ∴，即. （2）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为；另一份糖水d克，含糖c克， 糖水浓度为，且，求证： (其中). 证明：，且，， ，即， ， 即， ， 即. 【例题2】（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证； （2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解； （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由，进而证得，即可得证. 【详解】（1）由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. （2）由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）证明：因为， 由（1）中的结论，可得， 所以①， 又由，同理可得， 则， 由上述结论，可得，所以②， 综合①②，得. 【巩固练习1】（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式的性质判断得解. 【详解】若，，则，则， 反之，若，则， 又，所以，即，此时不一定成立， 比如，此时，所以“”是“”的必要不充分条件. 【巩固练习2】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； (2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由作差法证明； （2）由糖水不等式变形证明． 【详解】（1）， 因为，所以， 所以，即． （2）因为是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理， 所以， 又， 所以 所以原不等式成立． 【巩固练习3】下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？写出式子并证明. (1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡； (3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）首先根据浓度关系，建立不等式，再作差比较大小； （2）首先由浓糖水喝淡糖水表示不等关系，再证明混合后的糖水的浓度关系，即可证明； （3）根据条件建立不等式，再作差证明. 【详解】（1）设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克糖， 求证：不等式 (其中a，b，m为正实数，且)成立． 不妨用作差比较法，证明如下： ＝. ∵a，b，m为正实数，且，， ∴，即. （2）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为，且， 求证： (其中). 证明：，且， ，即， ， 即， ， 即 （3）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克水， 求证： (其中，). 证明：， 【题型3】利用不等式性质求代数式取值范围（待定系数法） 基础知识 例题：已知，且，求和的取值范围. 第一步：令，并化简该式 第二步：列方程组，求出m，n的值． 第三步：分别求出的取值范围． 第四步：合并第三步的结果，即得的取值范围 第五步：将和平方作差即可得出的取值范围 解析：（1）设，则解得 由已知得，则， 即. （2）因为，所以，即， 所以，则，所以. 【例题1】（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知实数，满足，，则的取值范围是 ，的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用不等式的性质可求的范围，利用待定系数法可求的范围. 【详解】因为，，故即， 设， 故，所以，故， 又，， 所以，故答案为：. 【例题2】（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题意得，进而求得即可求解. 【详解】因为，所以，即， 所以，则， 所以. 【巩固练习1】已知，，则下列代数式的范围错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，则，则有，A正确； 对于B，，则，则有，B正确； 对于C，，，则有，C错误； 对于D，，，则有，D正确； 【巩固练习2】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】把看成一个整体变量来表示，再利用同向不等式的可加性求解. 【详解】假设，则，解得， 因为，所以； 又因为，所以； 由上两同向不等式相加得：， 整理得： 【巩固练习3】已知，，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】用表示，利用不等式的性质求的范围. 【详解】由不等式的性质得，，， ∴，∴， ∵，∴，∴， 当且仅当即时，取到最大值. 模块二 基本不等式综合题型 【题型4】 和，积，平方和之间的转化（常用不等式链+换元） 解题技巧 涉及和，积，平方和的最值问题时利用基本不等式变形求解 常用不等式链：（主要用于和积转换） 【例题1】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）若正实数x，y满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式得到，求出答案. 【详解】正实数x，y满足，则，当且仅当时取等号， 所以，即，即，两边平方, 结合，解的. 【例题2】已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】B 【解析】，则有， 可得，即4，当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为4. 【例题3】（湖南长沙·高一长郡中学校考）已知，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意，且，当且仅当时，即时等号成立，令，则上式为：，即， 解得或（舍），所以的取值范围为． 【巩固练习1】（高一上·天津河北·期中）若，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，，且， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以，解得（舍去），或， 所以，当且仅当，即时取等号， 即的取值范围是 【巩固练习2】若，则的最小值是 （    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】，当且仅当时取等号， 因此，即，解得， 所以当时，取得最小值2. 【巩固练习3】已知实数，满足，则的最大值为________ 【答案】 对于选项AB，， 则，当且仅当时等号成立，故的最大值为 【巩固练习4】（多选题）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A：因为，所以，当且仅当时取等号，所以不恒成立，故错误； 对于B：因为且，所以， 所以，当且仅当时取等号，故正确； 对于C：因为，所以， 所以，所以，当且仅当时取等号，故正确； 对于D：由C可知错误 【巩固练习5】（24-25高一上·四川宜宾·期末）(多选)若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】通过对已知条件进行变形，利用均值不等式来分析，，的取值范围，进而判断各个选项的正确性. 【详解】已知，因为，那么. 设（），则，移项得到. 因为，即，也就是，两边平方可得，所以A选项正确、B选项错误. 由可得，因为，所以，当且仅当时取等号，所以C选项正确. 根据完全平方公式，由前面可知，. 那么，当且仅当时取等号，所以D选项正确. 故选：ACD. 【题型5】调和平均数（平均速度，平均价格） 解题技巧 不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，构建数学模型是关键，重点培养数学建模、数学运算素养． 一、调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数： 若，则（当且仅当时取“=”） 其中，为的调和平均值反应了平均速度或平均价格 二、证明： 如图，在C是以AB为直径的半圆上一点，CD⊥AB，DE⊥CO，记AD＝a，BD＝b，则有 由三角函数可得：，显然 【例题1】小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为和，其全程的平均时速为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可知,利用不等式的性质和均值不等式即可得到结果 【详解】由题,, 由于,所以,即,所以,故,即 因为,所以,, 故 【例题2】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略（每次购买价格不同），第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．哪种购物方式比较经济？（   ） A．第一种 B．第二种 C．第一种和第二种一样 D．无法比较 【答案】B 【分析】根据基本不等式求得正确答案. 【详解】依题意，假设第一次价格为，第二次价格为 第一种方式购买的平均价格为， 第二种方式，设每次购买的花费为， 则购买的平均价格为， 由基本不等式得， 所以选第二种方式比较经济. 【巩固练习1】（24-25高一上·吉林长春·期中）下列问题中，是不相等的正数，比较的表达式．下列选项正确的是（     ） 问题甲：一个直径寸的披萨和一个直径寸的披萨，面积和等于两个直径都是寸的披萨的面积和； 问题乙：购买某物品所花钱数一定，第一次购买的单价为元，第二次购买的单价为元，则这两次的平均价格为， 问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为（天平平衡），放右边时左边砝码质量为（天平平衡），物体的实际质量为． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出的表达式，即可根据基本不等式求解. 【详解】问题甲中，，即可， 问题乙中，设每次购买花的钱为，则， 问题丙中，设左右量词的臂长分别为，则，故， 由于，故， 又，所以， 因此， 故选：B 【巩固练习2】（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）由于燃油的价格有升也有降，现本月要加两次油，第一种方案：每次加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油．从两次加油的燃油均价角度看，下列说法正确的是（    ） A．无法确定采用哪种方案划算 B．两种方案一样划算 C．采用第一种方案划算 D．采用第二种方案划算 【答案】D 【分析】设两次加油时的油价分别为元/升和元/升，计算出两种方案下的燃油的均价，利用基本不等式比较即得. 【详解】任取其中两次加油，假设第一次的油价为元/升，第二次的油价为元/升． 第一种方案的均价： ，当且仅当时取等号； 第二种方案的均价： ,因，则，故，当且仅当时取等号. 所以无论油价如何变化，第二种都更划算． 【题型6】因式分解型 解题技巧 含有这类结构的式子，可以考虑因式分解配凑成的结构，再结合整体思想来求最值,要注意有时候容易和题型4的和积转换弄混 【例题1】（2025·广东·二模）若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由条件可得，然后由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，即，即， 且，则， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 【例题2】（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）(多选)已知均为正数，且，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式逐项判断可得答案. 【详解】对于A，，于是，解得， 当且仅当即时等号成立，故A正确； 对于B，由得，得，即， 所以， 当且仅当即时等号成立，故B正确； 对于C，由得，即， 由于，所以， 所以 ， 当且仅当即等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当即等号成立，故D错误 【例题3】（2025·深圳中学阶段测）若a、b、c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，则2a＋b＋c的最小值为(　　) A．－1 B．＋1 C．2＋2 D．2－2 【答案】D 【详解】由a(a＋b＋c)＋bc＝4－2， 得(a＋c)·(a＋b)＝4－2. ∵a、b、c>0. ∴(a＋c)·(a＋b)≤(当且仅当a＋c＝b＋a，即b＝c时取“＝”)， ∴2a＋b＋c≥2＝2(－1)＝2－2. 【巩固练习1】（重庆巴蜀中学校考）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】将式子变形为，即可利用不等式求解，或者将式子变形为，结合不等式即可求解． 【详解】方法一：因为，故，解得， 故，当且仅当 ，即，时等号成立． 方法二：因为，则，且，故， 故，当且仅当 ， 即，时等号成立．故选：C． 【巩固练习2】（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）已知正实数x，y满足，则的最大值为 ． 【答案】1 【分析】根据条件变形，待求式转化为一元变量后，利用基本不等式求解. 【详解】因为， 所以，则, 所以， 当且仅当，即时等号成立， 【巩固练习3】已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将等式变形得，所求式子变形为，再由基本不等式求解最值即可. 【详解】由已知为正实数，且， 得，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 【巩固练习4】已知，，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式求和的最小值. 【详解】由， 得， 又，，即，， 则， 即，解得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以 【巩固练习5】若，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合条件等式，利用基本不等式求和的最小值. 【详解】若，且满足，则有，所以，， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 【题型7】消元法求最值 解题技巧 消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【例题1】（24-25高一下·浙江·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】由得，利用基本不等式即可求解. 【详解】解：由题意得且所以 所以 当且仅当即时取等号， 所以的最小值为 【例题2】已知，，则的最小值为 ． 【解题思路】依题意可得，再由基本不等式计算可得. 【解答过程】因为，且， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为． 【例题3】（24-25高一上·广东深圳·期末）(多选)已知，且，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为4 【答案】ACD 【分析】将条件代入选项，利用基本不等式和二次函数的性质，即可判断选项. 【详解】对于A选项，，当时等号成立，故A选项正确； 对于B选项，，故当时，有最小值，故B选项错误； 对于C选项，，当时等号成立，故C选项正确； 对于D选项，，当且仅当，即时，等号成立，故D选项正确. 【巩固练习1】若正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【解题思路】根据题意可得，利用基本不等式求解. 【解答过程】由可得， ， 当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意. 所以的最小值为. 【巩固练习2】若，则的最小值为 4 ． 【解题思路】根据基本不等式即可求解. 【解答过程】由， 故 ，当且仅当时等号成立， 故最小值为4 【巩固练习3】（多选）已知，且，则（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的最小值是3 D．的最小值是 E． 【答案】BDE 【分析】对于A项，运用基本不等式将其转化成关于的不等式求解即得；对于B项，直接运用基本不等式将其转化成关于的不等式，再结合不等式性质求解即得；对于CDE项，通过题设求出，代入所求式消元，凑项运用基本不等式即得. 【详解】对于A项，，由可得， 因，故得，则，当且仅当时等号成立，错误； 对于B项，由可得， 因，故得：，当且仅当时等号成立，又， 所以的取值范围是，正确； 对于C和E项，由得， 所以， 当且仅当即时，等号成立，所以，故C项错误，E正确； 对于D项，由得， 所以， 当且仅当即时，等号成立，正确. 【巩固练习4】（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知且，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】法一：由得，可得，进而结合基本不等式求解即可； 法二：由得，由，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】已知，且， 法一：由得， 则 ， 当且仅当时取等号，则的最小值为； 法二：由得， 则， 当且仅当，即，时取等号， 则的最小值为． 【题型8】含有根式的配凑（根式平方和为定值型） 解题技巧 对于，求最大值 可以设，配好系数后的与可以凑出定值 【例题1】已知a，b是正实数，且2a2＋3b2＝10，求的最大值． 【解析】记，则，求最大值 【巩固练习1】已知为正实数，且，求的最大值 【解析】注意构造平分项的比值 【巩固练习2】若x>0，y>0，且2x2＋＝8，则x的最大值为________． 【解析】(x)2＝x2(6＋2y2)＝3·2x2≤3·2＝3×2． 当且仅当2x2＝1＋，即x＝，y＝时，等号成立．故x的最大值为． 【题型9】权方和不等式 解题技巧 什么是权方和不等式？ 对任意的，恒有，当且仅当取等号 【例题1】（24-25高一上·浙江杭州·期末）若正实数满足：则最小值是 . 【答案】 【分析】根据三元均值不等式求最值. 【详解】法一：由权方和不等式可得 法二：因为 所以，（当且仅当，即时取等号） 因此即 即当时，取最小值，为 【例题2】已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 . 【答案】2 【解析】由权方和不等式，可知 ==， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为2. 【巩固练习1】已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】. 【分析】利用权方和不等式求解即可 【解析】，所以实数a的取值范围是. 【巩固练习2】已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 . 【答案】2 【解析】由权方和不等式，可知 ==， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为2. 【巩固练习3】已知，且满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由权方不等式，结合已知等式进行求解即可. 【解析】由权方和不等式，可知， ，当且仅当时取等号， 即当时取等号， 所以的最小值为. 【巩固练习4】的最大值为 【答案】 【解析】 当且仅当，即或时取等号，故答案为：. 【题型10】基本不等式恒成立与能成立问题 解题技巧 ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 参变分离法：如果能够将参数分离出来,建立起明确的参数和变量的关系, 那么恒成立;恒成立 能成立问题又称有解问题 ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 【例题1】（24-25高一上·河南漯河·期末）已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得对恒成立，由基本不等式求得的最大值即可. 【详解】由，不等式恒成立，可得对恒成立， 令，当且仅当，即时取等号. 所以，所以. 【例题2】若正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围 ． 【答案】或 【分析】要使有解，则大于最小值即可；求出最小值，建立不等式，求出的取值范围． 【详解】因为，所以，所以，当时，等号成立，因为，所以此时，所以的最小值为，由题可得，解得或． 【巩固练习1】若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得满足，再利用基本不等式中“1”的妙用求得的最小值，最后解不等式即可． 【详解】由得， ， 当且仅当时，等号成立， 则使不等式有解，只需满足即可， 解得． 【巩固练习2】若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 【答案】 【详解】由， 因为，所以，令， 由，则有， 且 【巩固练习3】（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【答案】B 【分析】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案． 【详解】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为. 【巩固练习4】（24-25高一上·湖南湘潭·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】因为恒成立，所以. 因，则， 则， 当且仅当时等号成立，由，解得. 故的最小值为4，则， 解得，即. 【巩固练习5】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 【答案】B 【分析】由题意可得，求得即可. 【详解】因为x，，所以，所以， 又， 当且仅当时，取等号，所以，所以实数a的最小值是. 【巩固练习6】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知，且，若对任意的恒成立，则实数的取值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，问题可转化为对任意的恒成立，由题设条件得到，进而得到，接着结合基本不等式求得最小值得到即可求实数的取值范围. 【详解】因为对任意的恒成立， 可得对任意的恒成立， 又因为，可得， 则， 当且仅当即时等号成立， 所以最小值为，所以，可得，即， 所以，解得或，所以实数的取值范围为. 模块三 一元二次不等式综合 【题型11】解含参一元二次不等式 基础知识 对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏 【例题1】解关于的不等式：. 【解析】不等式，即， 当时，原不等式即，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为或； 当时，解得或，即不等式的解集为或； 综上可得：当时不等式的解集为， 当时不等式的解集为或， 当时不等式的解集为或. 【例题2】（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）解关于x的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】先讨论时不等式的解，在时，求得相应方程的两根，通过比较两根的大小可得不等式的解. 【详解】原不等式可化为，即， ①当时，原不等式化为，解得 ②当时，原不等式化为， 原不等式解集， 原不等式解集为， 原不等式解集为， ③当时，原不等式化为． 原不等式解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集； 当时，不等式解集为. 【巩固练习1】解不等式 【解析】即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【巩固练习2】当时，解关于的不等式. 【解析】当时，代入不等式可得，解得； 当时，化简不等式可得即， 由得不等式的解为， 当时，化简不等式可得即， 由得不等式的解为或， 综上可知，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 【巩固练习3】解关于的不等式：． 【分析】根据条件得，讨论与的大小，求解即可． 【详解】原不等式可化为， 讨论与的大小． （1）当，即时，不等式的解为或； （2）当，即时，不等式的解为； （3）当，即时，不等式的解为或． 综上：当时，不等式的解为或；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为或． 【巩固练习4】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知，关于的一元二次不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）由题中条件，根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，解出即可； （2）依题意可得，再分、、、、五种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）因为关于的一元二次不等式的解集为或， 所以关于的一元二次方程的两解为和， 所以，解得； （2）由（1）得关于的不等式 即，因式分解得， ①当时，原不等式为，解得，即不等式的解集为； ②当时，原不等式为，解得或， 所以不等式的解集为； ③当时，原不等式为，解得，即不等式的解集为； ④当时，原不等式解得，即不等式的解集为； ⑤当时，原不等式解得，即不等式的解集为； 综上可得：当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为. 【巩固练习5】（24-25高一上·江西）解关于x的不等式： 【答案】答案见解析 【分析】分，，三种情况求解即可. 【详解】当时，不等式为，解得， 当时，由不等式，可得， 所以， 若，则，解不等式得或， 若，则，不等式的解集为若， 若，解得时，解不等式得或， 当时，由不等式，可得， 所以， 解得， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【巩固练习6】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数． (1)已知关于x的不等式的解集为，若存在，使关于x的不等式有解，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据不等式的解可求的值，从而可得关于的不等式，故可求的范围； （2）就分类讨论后可得不等式的解集. 【详解】（1）因为的解集为， 所以且的两个根为， 所以，故， 因为不等式在上有解，故或， 故. （2）即为， 故， 若，则，此时不等式的解为； 若，则，此时不等式的解为； 若， 若，则或，此时不等式的解为； 若，则不等式的解为； 若，则或，此时不等式的解为； 综上：当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 【题型12】一元二次方程根的分布 基础知识 一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想.一般考虑以下几方面： 1. 开口（若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况 ）. 2. 判定给定点处函数值的正负.（开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则△＞0 恒成立） 3. 判定△符号. 4. 判定对称轴的位置.       总之，耐心去分类讨论（分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解），借助图象去分析就可以得到结论，无需记忆. （1）二元二次方程在上根的分布情况 ①方程有两个不等的实数根; ②方程有两个相等的实数根; ③方程没有实数根 （2）一元二次方程的根的“0”分布 ①方程有两个不等正根； ②方程有两个不等负根 ③方程有一正根和一负根,设两根为 （3）一元二次方程的根的“”分布 ①两根都小于； ②两根都大于 ③一根小于，一根大于 （4）一元二次方程根在区间的分布 ①两根都在内 ②两根都在外 ③两根仅有一根在内 ④一根在内,另一根在内 【例题1】已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。 解析 方法一： 当时，若要满足题意，必须； 当时，若要满足题意，必须； 即，解得。 方法二：(韦达定理) 设是的两个根，若要满足题意等价于 ，解得。 【例题2】已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 . 【答案】 【解析】设， 因为方程 的一个实根小于2，另一个实根大于2， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 【例题3】若方程的一个根在区间上，另一根在区间上，则实数的取值范围为　 　． 答案 解析 设函数， 方程的一个根在区间上，另一根在区间， ，∴，即， 则 即实数的取值范围是； 故答案为：(4，2)． 【巩固练习1】关于x的方程至少有一个负实根，求的取值范围． 【解析】①当时，解得，满足条件； ②当时，显然方程没有零根， 由，得 设方程的两个实数根为 若方程有两异号实根，则 ，解得； 若方程有两个负的实根，则，解得 ． 综上，若方程至少有一个负的实根，则． 【巩固练习2】（24-25高一上·天津·阶段练习）方程 的两根都大于2，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的分布即可求解. 【详解】令，由方程的两根都大于， 得，即，解得． 故答案为： 【巩固练习3】（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 【巩固练习4】（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）若，是关于x的方程的解，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据题意将问题转化为利用二次函数零点的分布，得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为，是关于x的方程的解，且满足， 所以在上有两个零点， 所以，解得，则， 所以的取值范围是. 【巩固练习5】已知方程的两根分别在区间之内，则实数的取值范 围为　 　． 答案 解析 设， 方程的两根分别在区间，之内， 可得，， 即有，且， 即为，解得． 故答案为：． 【巩固练习5】已知方程的两根为，且，则的取值范围是　　． 答案 解析 由程， 知对应的函数图象开口方向朝上 又方程的两根满足, 则 ,即 ,即 ， 故答案为 【题型13】变更主元法解含参一元二次不等式恒成立问题 基础知识 变更主元：在有几个变量的问题中,常常有一个变量处于主要地位,我们称之为主元。在解含有参数的不等式时,有时若能换一个角度,变参数为主元,则可以得到意想不到的效果。 【例题1】已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意构造函数关于a的函数，则可得，从而可求出x的取值范围． 【详解】由题意，因为当，不等式恒成立， 可转化为关于a的函数， 则对任意恒成立， 则满足， 解得， 即x的取值范围为 【巩固练习1】若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】把题意转化为，设，由一次函数的单调性列不等式组，即可求解． 【详解】可转化为． 设，则是关于m的一次型函数． 要使恒成立，只需，解得． 【巩固练习2】函数，若恒成立，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】采用变换主元的策略，看作关于的一次函数，利用端点函数值不小于0建立不等式组求解即可． 【详解】令，当时，恒成立， 只需 即 解得或． 所以实数x的取值范围是． 故答案为： 【巩固练习3】已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y＜0恒成立，求实数x的取值范围． 【答案】 【详解】解　y＜0⇔mx2－mx－6＋m＜0⇔(x2－x＋1)m－6＜0． ∵1≤m≤3， ∴x2－x＋1＜恒成立， ∴x2－x＋1＜⇔x2－x－1＜0⇔＜x＜． ∴x的取值范围为． 【题型14】一元二次不等式的整数解问题 【例题1】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设集合，若中恰含有3个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由交集的运算和一元二次不等式的求解即可得到答案； 【详解】若中恰含有3个整数且可得， 若，由集合可得，不符合题意； 若，由集合可得， 此时，因为，所以， 所以实数a的取值范围是 【例题2】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知关于的不等式恰有四个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，分类讨论，和，解含参的一元二次不等式，再结合不等式恰有四个整数解，即可得出答案. 【详解】不等式，即可化为， 当时，不等式的解集为空集，不合题意； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则， 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则， 综上可得，实数的取值范围是． 【巩固练习1】（24-25高一上·福建·期中）已知关于的不等式的解集中不含有整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对实数的取值进行分类讨论，再由解集中不含有整数限定出不等式可得结果. 【详解】不等式可分解为， 当时，不等式解集为，依题意可得，解得， 所以； 当，不等式为，此时解集为空集，符合题意； 当时，不等式解集为，依题意可得，解得， 所以； 综上可得，实数的取值范围为. 【巩固练习2】关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】不等式化为，讨论与的大小解出不等式，依题意判断的取值范围即可得出. 【详解】关于的不等式可化为， 当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，得； 当时，不等式化为，此时无解； 当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，得. 综上，实数的取值范围是. 【巩固练习3】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知关于的不等式的解集中恰有两个整数，则正整数的值为 ． 【答案】5 【分析】根据给定条件，按分类求出解集，进而求出的值. 【详解】不等式， 显然，否则原不等式解集为空集， 当时，解得，要原不等式的解集中恰有两个整数，必小于0，与为正整数矛盾， 因此，解得，要原不等式的解集中恰有两个整数，则， 所以正整数的值为5. 【巩固练习4】（24-25高一上·江苏常州·期中）已知集合，，若中恰有两个整数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求得集合，分类讨论解出集合，并根据中恰有两个整数，求出参数的取值范围即可. 【详解】由，可得，解得，所以， 当时，由，可得，， 因为中恰有两个整数，所以，解得， 当，由，可得，， 此时，不符合题意， 综上所述：若中恰有两个整数，实数的取值范围为. 【巩固练习5】（24-25高一下·江西南昌·期末）已知函数，不等式的解集中有且仅有2个整数，且这两个整数均为非负数，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】解出不等式的解集，再分析非负整数解即可求解. 【详解】， ，即， ， ， 不等式的解集为， 不等式的解集中有且仅有2个整数，且这两个整数均为非负数， ，解得，实数a的取值范围为. 模块四 【综合训练】 1．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则有（   ） A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 【答案】B 【分析】由题意先确定参数之间的关系式，从而可将表示成只含有的代数式，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为一元二次不等式的解集为， 所以当且仅当，即当且仅当， 所以 因为，所以上式， 当且仅当，即时取等. 所以有最大值. 故选：B. 2．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由已知可得，将转化为双变量的式子，再根据基本不等式求得的最大值，并结合取等条件转化，利用函数求得其最值. 【详解】根据题意，正实数，，满足，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，则此时， 当取得最大值时，， 分析可得，当时，即时，取得最大值2． 3．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）（多选）《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.根据这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，是半圆的直径，点是上一点（不同于，，），点在半圆上，且，于点.设，，则该图形可以完成的“无字证明”为（   ）    A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据圆中弦长关系，可得不等式，成立.. 【详解】，可得半径 在中，由射影定理可知：，   ， ， （），故B正确， 同理，在中，由射影定理可知：， 即， ，即， ，C正确， 对于A、D选项，图中的线段无法判断. 故选：BC. 4．（24-25高一上·重庆·阶段练习）（多选）命题“”为真命题的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用一元二次不等式恒成立求出的范围，再利用充分不必要条件的定义判断得解. 【详解】由，得当时，成立，则， 当时，，解得，因此， 显然，，而和都不能推出，AB是，CD不是. 故选：AB 5．（多选）已知为正实数，且，则（    ） A．的最大值为8 B．的最小值为8 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可 【详解】解：因为，当且仅当时取等号， 结合，解不等式得，即，故的最大值为8，A正确； 由得， 所以， 当且仅当即时取等号，此时取得最小值8，B正确； ， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，C错误； ， 当且仅当即时取等号，此时取得最小值，D正确； 故选：ABD 6．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，将不等式有解转化为至少有一个负数解，画出图像，结合图像代入计算，即可求解. 【详解】    可将当时，有解转化为至少有一个负数解，构造，，画出图形，如图： 当时，两个图像相交于点，要使其相交于轴左侧，则需满足， 在的图像不断左移的过程中，若与左侧曲线相切， 则有，对应的，解得，则， 综上所述，． 7．（湖北省华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高一上）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】根据题意，令和，并在上讨论它们的取值情况，进而结合图象可得是方程的一个根，从而解方程可求的值. 【详解】的图象开口向上，又，图象恒过， 所以函数的图象与轴有一正一负的2个交点， 设方程的两个根分别， 所以在上，在上， 当时，在上， 于是在上，在上， 因此，当时，不等式不恒成立； 当时，由可解得， 则在上，在上， 要使不等式恒成立，则， 如图所示：    所以，将把代入方程， 即，即， 整理得，解得， 又，则. 综上所述，实数的取值集合为 故答案为： 8．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）已知集合．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先解出集合，再由条件得到，且，再由集合间的关系列不等式求解即可； 【详解】因为或，所以， 又是的必要不充分条件，所以，且， 所以或，解得或， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 9．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知集合，若且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据集合的包含关系，讨论和两种情况，求集合，再比较端点值，即可求解. 【详解】因为，所以，因为，且： 当时，，符合题意； 当时，，则， 综上，. 10．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据一元二次不等式解集的形式，判断的关系及的符号，再结合基本（均值）不等式求范围即可. 【详解】解：关于的不等式的解集为， 所以，且和1是关于的方程的两实数根， 由根与系数的关系知，， 解得， 所以，因为，所以 即 11．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知当时，不等式恒成立，则实数a= ． 【答案】 【分析】根据因式的符号可得且为方程的实数根，故可求的值. 【详解】若，则当时，， 故在上恒成立，但的图象为抛物线， 它的开口向上，故矛盾，舍； 故，故时，，故， 当时，，故， 考虑的解，因为，故此方程必有两个不同的解， 而，故此方程有且仅有一个正实根， 故为方程的正实根，故， 故 12．（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由一元二次方程根的分布可得，解不等式组可求得结果. 【详解】由题意可知， 由，可得， 设， 则，解得：， 所以的取值范围为. 13．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知正数，满足，则最小值为 . 【答案】 【分析】先进行化简得，再利用乘“1”法即可得到答案. 【详解】因为正数，满足， 所以 ， 当且仅当，联立，即时等号成立. 14．（2022高一上·全国·专题练习）已知，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用待定系数法可得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】解：设， 所以，解得，因为，， 则，因此，. 14．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知命题：对任意且，不等式恒成立；命题． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用基本不等式求最小值，再解一元二次不等式即可； （2）的最小值求出来，后得到，再根据题意列不等式组，解不等式组即可. 【详解】（1） 当且仅当即取得等号． 要使得命题为真命题，只需要，解得 所以实数的取值范围是． （2）令．当时． 要使得命题为真命题，只需要，故． 因为命题和命题中至少有一个为真命题情况较多，先考虑对立情况，即命题和命题 都是假命题，此时或，可得． 所以命题和命题中至少有一个为真命题时，实数的取值范围是． 15．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米，计划在正方形上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元、再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元 (1)设AD长为x米，总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式； (2)问：当x为何值时S最小，并求出这个S最小值. (3)若总造价S不超过138000元，求AD长x的取值范围. 【答案】(1) (2)时，S有最小为； (3) 【分析】（1）由题意求得的范围，然后结合三角形及四边形面积公式可得关于的函数关系式； （2）由（1）中的函数解析式利用基本不等式求最值； （3）由，令，即可求解． 【详解】（1），设长为， 两个相同的矩形和构成的面积为， ， ． 由，得． 由题意得：， 化简得：， 故关于的函数关系式是：； （2）， 当且仅当时，即时，S有最小为； （3）， 又总造价不超过138000元， ，解得， 故长的取值范围为． 16．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）（1）已知：．若，求的最大值； （2）已知，且，若恒或立，求的最大值． 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）结合基本不等式再设解一元二次不等式求得结果即可； （2）问题转化为恒成立，结合基本不等式求解即可； 【详解】（1）由题意可得，当且仅当时取等号， 设，则，解得， 又，所以，即， 由，解得， 所以的最大值为1， （2）因为，且，若恒或立， 所以恒成立， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 17．（24-25高一上·湖南株洲·阶段练习）已知集合. (1)求证：A至少有2个子集的充要条件是，或. (2)若“”为假命题，求的取值范围； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据充分条件，必要条件的定义证明即可； （2）结合题意可得，，进而分，两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）证明：先证明充分性：当，或时，，方程有解， 则集合至少有1个元素，A至少有2个子集，充分性得证； 再证明必要性：若A至少有2个子集，则， 解得或，必要性得证. 综上所述，A至少有2个子集的充要条件是或. （2）由已知，集合，所以集合. 因为“”为假命题，所以. 当时，，解得； 当时，要使，则，且， 即，解得或或或. 综上所述，实数m的取值范围为. 18．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）（1）设，，，为正实数，证明不等式：； （2）若正实数，满足，求的最小值； （3）若正实数，满足，求的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）3 【分析】（1）利用作差法证明不等式即可，注意不等式中等号成立的条件； （2）利用（1）中的结论证明不等式，注意不等式中等号成立的条件； （3）利用（1）中的结论证明不等式，注意不等式中等号成立的条件. 【详解】（1） ， 又因为，，，为正实数，所以 ， 当且仅当时，等号成立． （2）借助（1）的结论，有：， 当且仅当且，即，时，等号成立； 即的最小值是． （3）借助（1）的结论，有：，所以， 当且仅当且，即，时，等号成立． 18．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知正实数，满足 (1)求的最小值，并指出此时，的值； (2)若，求所有满足条件的，的值. 【答案】(1)的最小值为25，此时； (2)或或 【分析】（1）利用基本不等式，结合整体换元法即可得解； （2）利用常数分离法，结合的条件得到是的正因数，进而求得的值，从而得解. 【详解】（1）因为为正实数， 所以， 令，则，， 故上述不等式可化为，解得或（舍去）， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为25，此时； （2）由得， 显然，则， 因为，所以是的正因数， 则的可能取值为，即的可能取值为， 对应的的可能取值为，即， 综上，或或. 20．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）（1）已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围. （2）已知，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2）10. 【分析】（1）利用基本不等式结合“乘1法”求出的最小值即可得m的取值范围； （2）将化为的形式，由于，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】（1）由得， 则. 当且仅当即时取到最小值9. 所以若恒成立，则. （2）由，得， 所以， 所以， 当且仅当，结合即时，等号成立. 故的最小值为10. 21．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）如图（示意），在公路的一侧有一块空地，在这块空地上规划建造一个口袋公园（如图中），其中道路与为健身步道，内为绿化景观与健身设施等，由于路面材质的不同，段的造价为每米3万元，段的造价为每米2万元，内部的造价为每平方米2万元.设的长为x米，的长为y米. (1)若建造健身步道的费用与建造内部的费用相等，则如何规划可使公园占地面积（只考虑内部）最少? (2)若建造公园的总费用为30万元，则健身步道至少有多长? 【答案】(1)规划时，面积最少 (2)步道至少有7米. 【分析】（1）根据条件建立建造费用的等量关系，消元转化并由基本不等式计算即可； （2）根据条件建立建造费用的等量关系，分解因式配凑定值由基本不等式计算即可. 【详解】（1）根据题意建造健身步道的费用为，内部的建造费用为， 即，所以有， 而公园占地面积 ， 当且仅当时取得等号， 所以规划时占地面积最少； （2）根据题意有：，即， 而， 当且仅当，即时取得等号. 所以规划时，即步道至少为7米. 22．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，化简不等式为，分、和，三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）解：由不等式的解集为， 当时，即时，不等式即为，解得，不符合题意，舍去； 当时，即时，不等式可化为， 要使得不等式的解集为， 则满足， 即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. （2）解：由不等式，可得， 当时，即时，不等式即为，解得，解集为； 当时，即时，不等式可化为， 因为，所以不等式的解集为或； 当时，即时，不等式可化为， 因为，所以不等式的解集为， 综上可得， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 23．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）设，为正实数，且 (1)求和的值； (2)求的最小值． (3)求的最小值. 【答案】(1)， (2) (3)24 【分析】（1）利用恒等变形可求代数式的值； （2）由题设可判断，再利用基本不等式可求和的最小值； （3）利用恒等变形可得，结合基本不等式可求最小值. 【详解】（1）由题设有，故 （2）， 因为，故，故， .由基本不等式得： ， 当且仅当时，即时取等， 故最小值为. （3）由得， ， 当且仅当时，即时取等 故最小值为24. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一上不等式培优讲义（14类题型） 总览 题型·解读 模块一 不等式性质 【题型1】不等式的证明及不等式判断综合 【题型2】糖水不等式的证明及应用 【题型3】利用不等式性质求代数式取值范围（待定系数法） 模块二 基本不等式综合题型 【题型4】 和，积，平方和之间的转化（常用不等式链+换元） 【题型5】调和平均数（平均速度，平均价格） 【题型6】因式分解型 【题型7】消元法求最值 【题型8】含有根式的配凑（根式平方和为定值型） 【题型9】权方和不等式 【题型10】基本不等式恒成立与能成立问题 模块三 一元二次不等式综合 【题型11】解含参一元二次不等式 【题型12】一元二次方程根的分布 【题型13】变更主元法解含参一元二次不等式恒成立问题 【题型14】一元二次不等式的整数解问题 模块四 【综合训练】 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 不等式性质 【题型1】不等式的证明及不等式判断综合 技巧介绍 常用不等式的证明方法 1、作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． 2、作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． 3、中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 4、平方法：对两式先平方，再比较大小． 5、利用平方公式的非负性 【例题1】设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【例题2】今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【例题3】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知正实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】证明：已知，且，求证：. 【巩固练习2】（24-25高一上·山西·期末）(多选)已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”） 【巩固练习4】（24-25高一上·浙江杭州·期中）(多选)已知实数a，b，c满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习5】（1）已知，证明：； （2）若a，b，c为三角形的三边长，则． 【巩固练习6】（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知，，求，及的取值范围． （2）设、均为正实数，试比较和的大小． 【题型2】糖水不等式的证明及应用 知识介绍 糖水不等式是一个基于生活常识的数学不等式，常用于分式放缩。 其核心表述为：若（代表原有糖水浓度，且)（代表加入的糖量），则必有： 含义解释： （1）左边不等号：在糖水（溶质a，溶液b）中加入纯糖（m）后，新糖水的浓度一定比原来的浓度更甜（更大）. （2）右边不等号：加入糖后，浓度依然小于1（即仍是糖水，不可能变成纯糖）. 关键点： 前提：原分数是真分数（），且加入的量m是正数. 结论：分子分母加上同一个正数后，分数值变大（更接近1），但仍小于1. 应用：该不等式简洁有力，在证明涉及分式的不等式、比较大小或进行放缩时非常有用，体现了“加糖变甜”的直观思想在数学中的精确表达。 【例题1】（高一上·浙江嘉兴·阶段练习）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？ (1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡. 【例题2】（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 【巩固练习1】（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【巩固练习2】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式；(2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 【巩固练习3】下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？写出式子并证明. (1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡； (3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了. 【题型3】利用不等式性质求代数式取值范围（待定系数法） 基础知识 例题：已知，且，求和的取值范围. 第一步：令，并化简该式 第二步：列方程组，求出m，n的值． 第三步：分别求出的取值范围． 第四步：合并第三步的结果，即得的取值范围 第五步：将和平方作差即可得出的取值范围 解析：（1）设，则解得 由已知得，则， 即. （2）因为，所以，即， 所以，则，所以. 【例题1】（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知实数，满足，，则的取值范围是 ，的取值范围是 . 【例题2】（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知，，则下列代数式的范围错误的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知则的取值范围为 ． 【巩固练习3】已知，，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 模块二 基本不等式综合题型 【题型4】 和，积，平方和之间的转化（常用不等式链+换元） 解题技巧 涉及和，积，平方和的最值问题时利用基本不等式变形求解 常用不等式链：（主要用于和积转换） 【例题1】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）若正实数x，y满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例题2】已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【例题3】（湖南长沙·高一长郡中学校考）已知，且，则的取值范围为 ． 【巩固练习1】（高一上·天津河北·期中）若，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】若，则的最小值是 （    ） A． B．1 C．2 D． 【巩固练习3】已知实数，满足，则的最大值为________ 【巩固练习4】（多选题）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习5】（24-25高一上·四川宜宾·期末）(多选)若，且，则（   ） A． B． C． D． 【题型5】调和平均数（平均速度，平均价格） 解题技巧 不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，构建数学模型是关键，重点培养数学建模、数学运算素养． 一、调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数： 若，则（当且仅当时取“=”） 其中，为的调和平均值反应了平均速度或平均价格 二、证明： 如图，在C是以AB为直径的半圆上一点，CD⊥AB，DE⊥CO，记AD＝a，BD＝b，则有 由三角函数可得：，显然 【例题1】小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为和，其全程的平均时速为，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略（每次购买价格不同），第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．哪种购物方式比较经济？（   ） A．第一种 B．第二种 C．第一种和第二种一样 D．无法比较 【巩固练习1】（24-25高一上·吉林长春·期中）下列问题中，是不相等的正数，比较的表达式．下列选项正确的是（     ） 问题甲：一个直径寸的披萨和一个直径寸的披萨，面积和等于两个直径都是寸的披萨的面积和； 问题乙：购买某物品所花钱数一定，第一次购买的单价为元，第二次购买的单价为元，则这两次的平均价格为， 问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为（天平平衡），放右边时左边砝码质量为（天平平衡），物体的实际质量为． A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）由于燃油的价格有升也有降，现本月要加两次油，第一种方案：每次加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油．从两次加油的燃油均价角度看，下列说法正确的是（    ） A．无法确定采用哪种方案划算 B．两种方案一样划算 C．采用第一种方案划算 D．采用第二种方案划算 【题型6】因式分解型 解题技巧 含有这类结构的式子，可以考虑因式分解配凑成的结构，再结合整体思想来求最值,要注意有时候容易和题型4的和积转换弄混 【例题1】（2025·广东·二模）若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【例题2】（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）(多选)已知均为正数，且，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【例题3】（2025·深圳中学阶段测）若a、b、c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，则2a＋b＋c的最小值为(　　) A．－1 B．＋1 C．2＋2 D．2－2 【巩固练习1】（重庆巴蜀中学校考）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．7 D．9 【巩固练习2】（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）已知正实数x，y满足，则的最大值为 ． 【巩固练习3】已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】已知，，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习5】若，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型7】消元法求最值 解题技巧 消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【例题1】（24-25高一下·浙江·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【例题2】已知，，则的最小值为 ． 【例题3】（24-25高一上·广东深圳·期末）(多选)已知，且，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为4 【巩固练习1】若正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【巩固练习2】若，则的最小值为 ． 【巩固练习3】（多选）已知，且，则（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的最小值是3 D．的最小值是 E． 【巩固练习4】（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知且，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．6 【题型8】含有根式的配凑（根式平方和为定值型） 解题技巧 对于，求最大值 可以设，配好系数后的与可以凑出定值 【例题1】已知a，b是正实数，且2a2＋3b2＝10，求的最大值． 【巩固练习1】已知为正实数，且，求的最大值 【巩固练习2】若x>0，y>0，且2x2＋＝8，则x的最大值为________． 【题型9】权方和不等式 解题技巧 什么是权方和不等式？ 对任意的，恒有，当且仅当取等号 【例题1】（24-25高一上·浙江杭州·期末）若正实数满足：则最小值是 . 【例题2】已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 . 【巩固练习1】已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【巩固练习2】已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 . 【巩固练习3】已知，且满足，则的最小值为 . 【巩固练习4】的最大值为 【题型10】基本不等式恒成立与能成立问题 解题技巧 ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 参变分离法：如果能够将参数分离出来,建立起明确的参数和变量的关系, 那么恒成立;恒成立 能成立问题又称有解问题 ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 【例题1】（24-25高一上·河南漯河·期末）已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【例题2】若正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围 ． 【巩固练习1】若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 【巩固练习3】（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【巩固练习4】（24-25高一上·湖南湘潭·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【巩固练习5】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 【巩固练习6】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知，且，若对任意的恒成立，则实数的取值是（   ） A． B． C． D． 模块三 一元二次不等式综合 【题型11】解含参一元二次不等式 基础知识 对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏 【例题1】解关于的不等式：. 【例题2】（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）解关于x的不等式． 【巩固练习1】解不等式 【巩固练习2】当时，解关于的不等式. 【巩固练习3】解关于的不等式：． 【巩固练习4】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知，关于的一元二次不等式的解集为或. (1)求的值；(2)解关于的不等式. 【巩固练习5】（24-25高一上·江西）解关于x的不等式： 【巩固练习6】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数． (1)已知关于x的不等式的解集为，若存在，使关于x的不等式有解，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【题型12】一元二次方程根的分布 基础知识 一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想.一般考虑以下几方面： 1. 开口（若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况 ）. 2. 判定给定点处函数值的正负.（开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则△＞0 恒成立） 3. 判定△符号. 4. 判定对称轴的位置.       总之，耐心去分类讨论（分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解），借助图象去分析就可以得到结论，无需记忆. （1）二元二次方程在上根的分布情况 ①方程有两个不等的实数根; ②方程有两个相等的实数根; ③方程没有实数根 （2）一元二次方程的根的“0”分布 ①方程有两个不等正根； ②方程有两个不等负根 ③方程有一正根和一负根,设两根为 （3）一元二次方程的根的“”分布 ①两根都小于； ②两根都大于 ③一根小于，一根大于 （4）一元二次方程根在区间的分布 ①两根都在内 ②两根都在外 ③两根仅有一根在内 ④一根在内,另一根在内 【例题1】已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。 【例题2】已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 . 【例题3】若方程的一个根在区间上，另一根在区间上，则实数的取值范围为　 　． 【巩固练习1】关于x的方程至少有一个负实根，求的取值范围． 【巩固练习2】（24-25高一上·天津·阶段练习）方程 的两根都大于2，则实数的取值范围为 【巩固练习3】（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【巩固练习4】（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）若，是关于x的方程的解，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【巩固练习5】已知方程的两根分别在区间之内，则实数的取值范 围为　 　． 【巩固练习5】已知方程的两根为，且，则的取值范围是　　． 【题型13】变更主元法解含参一元二次不等式恒成立问题 基础知识 变更主元：在有几个变量的问题中,常常有一个变量处于主要地位,我们称之为主元。在解含有参数的不等式时,有时若能换一个角度,变参数为主元,则可以得到意想不到的效果。 【例题1】已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为 ． 【巩固练习1】若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是 ． 【巩固练习2】函数，若恒成立，则实数x的取值范围是 ． 【巩固练习3】已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y＜0恒成立，求实数x的取值范围． 【题型14】一元二次不等式的整数解问题 【例题1】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设集合，若中恰含有3个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知关于的不等式恰有四个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（24-25高一上·福建·期中）已知关于的不等式的解集中不含有整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是 ． 【巩固练习3】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知关于的不等式的解集中恰有两个整数，则正整数的值为 ． 【巩固练习4】（24-25高一上·江苏常州·期中）已知集合，，若中恰有两个整数，则实数的取值范围为 . 【巩固练习5】（24-25高一下·江西南昌·期末）已知函数，不等式的解集中有且仅有2个整数，且这两个整数均为非负数，求实数a的取值范围． 模块四 【综合训练】 1．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则有（   ） A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 2．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 3．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）（多选）《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.根据这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，是半圆的直径，点是上一点（不同于，，），点在半圆上，且，于点.设，，则该图形可以完成的“无字证明”为（   ）    A． B． C． D． 4．（24-25高一上·重庆·阶段练习）（多选）命题“”为真命题的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）已知为正实数，且，则（    ） A．的最大值为8 B．的最小值为8 C．的最小值为 D．的最小值为 6．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是 ． 7．（湖北省华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高一上）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值集合为 . 8．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）已知集合．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ． 9．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知集合，若且，则实数的取值范围是 . 10．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为 . 11．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知当时，不等式恒成立，则实数a= ． 12．（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是 ． 13．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知正数，满足，则最小值为 . 14．（2022高一上·全国·专题练习）已知，，则的取值范围为 . 14．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知命题：对任意且，不等式恒成立；命题． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 15．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米，计划在正方形上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元、再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元 (1)设AD长为x米，总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式； (2)问：当x为何值时S最小，并求出这个S最小值. (3)若总造价S不超过138000元，求AD长x的取值范围. 16．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）（1）已知：．若，求的最大值； （2）已知，且，若恒或立，求的最大值． 17．（24-25高一上·湖南株洲·阶段练习）已知集合. (1)求证：A至少有2个子集的充要条件是，或. (2)若“”为假命题，求的取值范围； 18．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）（1）设，，，为正实数，证明不等式：； （2）若正实数，满足，求的最小值； （3）若正实数，满足，求的最小值． 18．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知正实数，满足 (1)求的最小值，并指出此时，的值；(2)若，求所有满足条件的，的值. 20．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）（1）已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围. （2）已知，且，求的最小值. 21．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）如图（示意），在公路的一侧有一块空地，在这块空地上规划建造一个口袋公园（如图中），其中道路与为健身步道，内为绿化景观与健身设施等，由于路面材质的不同，段的造价为每米3万元，段的造价为每米2万元，内部的造价为每平方米2万元.设的长为x米，的长为y米. (1)若建造健身步道的费用与建造内部的费用相等，则如何规划可使公园占地面积（只考虑内部）最少? (2)若建造公园的总费用为30万元，则健身步道至少有多长? 22．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式. 23．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）设，为正实数，且 (1)求和的值；(2)求的最小值．(3)求的最小值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $大鹏一日同风起扶摇直上九万里 2026》高 高一上不等式培优讲义（14类题型 模块一 不等义性质求 【题型1】不等式的证明及不等式判断综合 【题型2】糖水不等式的证明及应用 【题型3】利用不等式性质求代数式取值范围（待定系数法） 模块二 送本不等式标合题型架 【题型4】和，积，平方和之间的转化（常用不等式链+换元） 【题型5】调和平均数（平均速度，平均价格） 【题型6】因式分解型 【题型7】消元法求最值 【题型8】含有根式的配凑（根式平方和为定值型） 【题型9】权方和不等式 【题型10】基本不等式恒成立与能成立问题 模块三 一元一次不等武棕合米 【题型11】解含参一元二次不等式 【题型12】一元二次方程根的分布 【题型3】变更主元法解含参一元二次不等式恒成立问题 【题型14】一元二次不等式的整数解问题 模块四 【综合训练】正 高一秋季培优讲义 不经一番寒彻骨，怎得梅花扑鼻香 模块一了 不等式性质 【题型】不等式的证明及不等式判断棕合 常用不等式的证明方法 1、作差法：任意两个代数式a、b,可以作差a-b后比较a-b与0的关系，进一步比较a与b的大 小. 2、作商法：任意两个值为正的代数式a、b,可以作商a÷b后比较号与1的关系，进一步比较a 与b的大小. 3、中间量法：若a>b且b>c,则a>c(实质是不等式的传递性)。一般选择0或1为中间量. 4、平方法：对两式先平方，再比较大小 5、利用平方公式的非负性 例①设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=l (1)证明：ab+bc+ca<0;(2)若a>b,证明a3>b3 例②今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为α元/斤、 b元/斤（α≠b),王大妈每周购买10元的白菜，李阿姨每周购买8斤白菜，王大妈和李阿姨 两周买白菜的平均价格分别记为m1,m2,则m与m2的大小关系为 () A.m=m2 B.m>m2 C.m<m2 D.无法确定 例③(24-25高二下湖北武汉.期末)已知正实数a,b满足6-1>1，则下列不等式一定成立的 a-1 是 () A.b>a>0 B.a+b>2 C.a+b>ab+1 D.62+2a>a2+2b 2 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 2026》高 练证明：已知a>b>c,且a+b+c=0,求证：a°。>6°。 练2(24-25高一上山西期末)（多选）已知a>b>0,则下列不等式中正确的是 () A a-1>6-1 B.a+2>b+2 b ca-号>6- D.a2(a-3b)>b(b-3a) a 练3两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为P1,P2,甲策略是每 次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则种购物 策略比较经济，（填“甲”或“乙”） 练4(24-25高一上·浙江杭州期中)（多选）已知实数a,b,c满足a<b<c,则下列说法正确 的是 () B.bb+c aa+c C.1>1 D.ab+c2>ac +bc a(b-a)b(c-a) 医日山已如6>a>0正期：台<兴 (②若a,6,e为三角形的三边长，则1e+。年。+6<2 3 高一秋季培优讲义 不经一番寒彻骨，怎得梅花扑鼻香 练6(24-25高一上湖北武汉.阶段练习)(1)已知-3<a<4,2<b<5,求2a+b,a-b及 号的取值范围。 ②设、g均为正实数，试比较中。和十y的大小 1+y 【题型2】糖水不等式的证明及应用 糖水不等式是一个基于生活常识的数学不等式，常用于分式放缩。 其核心表述为：若b>a>0(代表原有糖水浓度g<1,且m>0)(代表加入的糖量)，则必有： b aatm<I bb+m 含义解释： (1)左边不等号<十m：在糖水（溶质a,溶液b)中加入纯糖(m)后，新糖水的浓度十m b b+m b+m 一定比原来的浓度。更甜（更大） b (2)右边不等号a十严<1：加入檐后，浓度依然小于1即仍足檐水，不可能变成纯糖) b+m 关键点： 前提：原分数是真分数（号<1，且加入的量m是正数 结论：分子分母加上同一个正数后，分数值变大（更接近1)，但仍小于1. 应用：该不等式简洁有力，在证明涉及分式的不等式、比较大小或进行放缩时非常有用，体现了 “加糖变甜”的直观思想在数学中的精确表达。 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 2026》高 例①（高一上浙江嘉兴阶段练习）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？ (1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡 例②(24-25高一上黑龙江黑河阶段练习)已知b克糖水中有a克糖(b>a>0),往糖水中加入 m克糖(m>0),(假设全部溶解)糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式： (2)利用(1)的结论比较M=2012020,N=2019207的大小； 20232024, 20232021 (3)证明命题：设0>0，g>0,z>0,证明：1<”十+名<2 r十yy十zz十x 5 高一秋季培优讲义 不经一番寒彻骨，怎得梅花扑鼻香 您卫(24-2为高二下浙江宁波期中)已知a>6>0,则“号>8册”是“m>0”的（） A充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件 D.必要不充分条件 练2(24一25高一上四川成都阶段练习)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著 名的糖水不等式：型<y牛m(e>y>0,m>0). xx+m (1)证明糖水不等式； (②已知a,6,c是三角形的三边，求证：1<6。十a中e+a+6 a+ca+6<2 练3下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？写出式子并证明. (1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡； (3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了· 6 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 2026》高 【顶型】利用不等式性质求代数式取值范圈（待定系数法 例题：已知-1<x+y<4,且2<x-y<3,求2-3y和xy的取值范围. 第一步：令2x-3y=m(x+)+n(x-),并化简该式 第二步：列方程组，求出m,n的值. 第三步：分别求出m(x+),n(c-y)的取值范围. 第四步：合并第三步的结果，即得2c一3y的取值范围 第五步：将-1<x十y<4和2<x-y<3平方作差即可得出xy的取值范围 解析：（①设2-3y=me+g+ne-=m+mz+(m-n,则m+n=2解得m= m-n=-3, n=号， 由已知得-2<-e+<专5<号a-<号，则3<-z+)+号e-<8. 即3<2x-3y<8. 国255茶等 4<x2-2xy+<9 所以 -9<-x2+2ay-f<-4则-8<4y<12,所以-2<y<3 ∫1<x2+2xy+y2<16 例①(24-25高一上江苏徐州.阶段练习)已知实数x,y满足0≤2x+y≤3，-2≤x-y≤1， 则x的取值范围是，4x+5y的取值范围是 例②(24-25高一上·广东汕尾期末)已知3<a+b<4,1<a-b<2,则2ab的取值范围是 A.(4,18) B.(2,9) C.(5,15) 练1)已知2<心<3,2<y<3,则下列代数式的范围错误的是 A6<2c+y<9B.-1≤x-y<1C.2<2-y<3D.4<y<9 练2(24-25高一上江苏苏州.阶段练习)已知1≤a-b≤2,3≤a+b≤4则9a+3b的取值范围 为 练3已知1≤a-b≤2,3≤a+b≤4，则ab的最大值为 A C.3 D.4 高一秋季培优讲义 不经一番寒彻骨，怎得梅花扑鼻香 模块二 基本不等式综合题型 【题型4】和，积，平方和之间的转化（常用不等式链+换元 涉及和，积，平方和的最值问题时利用基本不等式变形求解 常用不等式能：b≤口+6≤©心（主要用于和积转接 4 例①(24-25高一上·湖南长沙.阶段练习)若正实数x,y满足x+4y-xy=0,则t=xy的取值范 围为 () A.{t0<t≤4} B.{tt≥2} c.{tt≥4} D.{tt≥16} 例②已知a2+b2=ab+4,则a+b的最大值为 () A.2 B.4 C.8 D.2W2 例③（湖南长沙.高一长郡中学校考）己知a,b>0且ab=a+b+3,则a+b的取值范围为 练1)（高一上天津河北期中）若a>0,b>0,且ab=a+b+3,则ab的取值范围是() A[9,+∞) B.[3,十∞) C.(0,3) D.(3,9] 练2若a>0,b>0,2ab+a+2b=3,则a+2的最小值是 A② B.1 C.2 D.3V2 2 2 练3已知实数a,b满足a2+4b2-ab=1,则a2+4b2的最大值为 8 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 2026》高 练4（多选题）已知正数x,y满足x2+xy+寸=9，则 Axy≤2 B.x2+y2≥6 C.x+y≤2W5 D.x十y≥6 练5(24-25高一上四川宜宾期末)（多选）若a,b>0,且3ab=a+b+1,则 () Aab≥1 B.ab<1 C.a+b≥2 D.a2+b2≥2 【题型5】调和平均数（平均速度，平均价格） 不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等 式的解法、基本不等式求最值，构建数学模型是关键，重点培养数学建模、数学运算素养. 一、调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数： 若a,beR,则，2，≤ab≤a+b年 + 2 @2+b(当且仅当a=b时取“-”) 2 其中， 2 日+ 2b为a,b的调和平均值反应了平均速度或平均价格 a+b a 二、证明： 2 ≤a+b 1 2 a 如图，在C是以AB为直径的半圆上一点，CD⊥AB,DE⊥CO,记AD=a,BD=b,则有 CE<CD<CO E O Db B 由三角函数可得：cos∠0CD=C”=Cg→CB=Cg=h=,2, 显然CB≤ CO CD COato1+L’ ) CD 9 高一秋季培优讲义 不经一番寒彻骨，怎得梅花扑鼻香 例①小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为a和b(a>b),其全程的平均时速为v,则 A.a<u<√ab B.b<v<Vab C.√ab<u<atbD.u=a+b 2 2 例②(24一25高一上江苏苏州阶段练习)两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略（每次购 买价格不同)，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是 不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.哪种购物方式比较经济？ () A.第一种 B.第二种 C.第一种和第二种一样 D.无法比较 练1)(24-25高一上吉林长春期中)下列问题中，a,b是不相等的正数，比较，y,z的表达式. 下列选项正确的是 () 问题甲：一个直径a寸的披萨和一个直径b寸的披萨，面积和等于两个直径都是x寸的披萨的面 积和； 问题乙：购买某物品所花钱数一定，第一次购买的单价为α元，第二次购买的单价为b元，则 这两次的平均价格为y, 问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为α（天平平衡），放右边 时左边砝码质量为b(天平平衡)，物体的实际质量为z A >y>z B.x>z>y C.z>x>y D.z>y>x 练2(24-25高一上江苏扬州·阶段练习)由于燃油的价格有升也有降，现本月要加两次油，第一 种方案：每次加30升的燃油：第二种方案：每次加200元的燃油.从两次加油的燃油均价角 度看，下列说法正确的是 () A无法确定采用哪种方案划算 B.两种方案一样划算 C.采用第一种方案划算 D.采用第二种方案划算 10