1.4.2用空间向量研究距离夹角问题 学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.2用空间向量研究距离夹角问题

（第2课时）

 

学案

 

一、     自主学习

1.课前任务：求直线的方向向量与平面的法向量

如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P为BC的中点，点Q, R分别在棱AA1，BB1上，A1Q= 2AQ，BR= 2RB1. 

(1)求直线PQ的方向向量；

(2)求平面PQR的法向量.

 

 

 

 

 

二、     复习引入

2.空间中点到直线、点到平面距离的向量表达式分别是什么？

点到直线的距离：

点到直线的距离：

 

 

 

三、     新知探究

1. 新知探究：直线与直线的夹角：（线线角）

问题1：若直线a与b的方向向量分别为，，则直线a与b所成角θ与向量夹角<, >的区别与联系是什么？

 

 

 

 

2.类比探究：直线与平面的夹角：（线面角）

问题2：若直线a的方向向量分别为，平面α的法向量为，则直线a与平面α所成角θ与向量夹角<, >的区别与联系是什么？

 

 

 

3.合作探究：平面与平面的夹角：（面面角）

问题3：若平面与的方向向量分别为，，则直线a与b所成角θ与向量夹角< >的区别与联系是什么？

 

 

 

 

填写表格：

空间角	范围	向量表示
线线角
线面角
面面角

 

四、     典例剖析

例7 如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形) ABCD中，M, N分别为BC, AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值.

 

（课前任务）：求直线PQ与平面PQR的夹角的正弦值.

 

 

 

 

 

例8如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P为BC的中点，点Q, R分别在棱AA1，BB1上，A1Q= 2AQ，BR= 2RB1.求平面PQR与平面 A1B1C1 夹角的余弦值.