精品解析：广东省东莞市翰林实验学校2023-2024学年人教版八年级下学期期中数学测试试题卷

人教版2023-2024学年度第二学期八年级下学期期中数学测试试题卷 测试范围：第16章《二次根式》，第17章《勾股定理》，第18章《平行四边形》 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判断，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不能含分母．据此逐个判断即可． 【详解】A. ：被开方数为分数，含有分母，可化为，不是最简，不符合题意； B. ：，含完全平方因数，可化为，不是最简，不符合题意； C. ：被开方数，无平方因数，且根号外无分母，符合最简条件，符合题意； D. ：，含完全平方因数，可化为，不最简，不符合题意； 故选：C． 2. 下列运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质及运算法则，需逐一验证各选项的正确性． 【详解】A. ，正确，不符合题意； B. ，正确，不符合题意； C. 不能合并，故原式错误，符合题意； D. ，正确，不符合题意； 故选：C． 3. 能作为直角三角形的三边长的一组数是（ ） A. 1，2，3 B. 6，9，12 C. 6，8，10 D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据较短两边的平方和等于较长边的平方的三角形是直角三角形，逐项判断即可． 【详解】解：A、，1，2，3不能作为直角三角形三边长，故不符合题意； B、，6，9，12不能作为直角三角形的三边长，故不符合题意； C、，6，8，10能作为直角三角形的三边长，故不符合题意； D、，，，不能作为直角三角形的三边长，故不符合题意； 故选：C． 4. 下列根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简，根据同类二次根式的概念即可判断． 【详解】A.=，与是同类二次根式 B.=3，与不是同类二次根式， C.与不是同类二次根式 D.=与不是同类二次根式 故选A． 【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 5. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，角直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由矩形得到，然后求出，继而利用角直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：在矩形中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 故选：B． 6. 如图，△ABC中，已知AB＝8，∠C＝90°，∠A＝30°，DE是中位线，则DE长为（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先由含30°角的直角三角形的性质，得出BC，再由三角形的中位线定理得出DE即可． 【详解】解：∵∠C=90°，∠A=30°， ∴BC=AB=4， 又∵DE是中位线， ∴DE=BC=2． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握含30°角的直角三角形的性质及三角形的中位线定理． 7. 如图，在平行四边形中，垂直于，是垂足．如果，那么的角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的两个锐角互余，先根据平行四边形的对角相等得到，再根据直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴， ∵垂直于， ∴， 故选：C． 8. 如图，在菱形中，，对角线，相交于点O，以，为边作矩形，已知菱形的面积为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，利用菱形的性质得出，，，利用含的直角三角形的性质得出，利用勾股定理求出，然后根据菱形面积求出，即可求出，最后根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：在菱形中，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵菱形的面积为， ∴，即， 解得， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 故选：C． 9. 如图，平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是（﹣2，0）和（0，3），以A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为（−2，0），（0，3）， ∴OA＝2，OB＝3， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝， ∴AC＝AB＝， ∴OC＝， ∴点C的坐标为（，0）， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出OC的长． 10. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论： （1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质得AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，则由CE=DF易得AF=DE，根据“SAS”可判断△ABF≌△DAE，所以AE=BF；根据全等的性质得∠ABF=∠EAD，利用∠EAD+∠EAB=90°得到∠ABF+∠EAB=90°，则AE⊥BF；连接BE，BE＞BC，BA≠BE，而BO⊥AE，根据垂直平分线的性质得到OA≠OE；最后根据△ABF≌△DAE得S△ABF=S△DAE，则S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，即S△AOB=S四边形DEOF． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°， 而CE=DF， ∴AF=DE， 在△ABF和△DAE中 ∴△ABF≌△DAE， ∴AE=BF，所以（1）正确； ∴∠ABF=∠EAD， 而∠EAD+∠EAB=90°， ∴∠ABF+∠EAB=90°， ∴∠AOB=90°， ∴AE⊥BF，所以（2）正确； 连接BE， ∵BE＞BC， ∴BA≠BE， 而BO⊥AE， ∴OA≠OE，所以（3）错误； ∵△ABF≌△DAE， ∴S△ABF=S△DAE， ∴S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF， ∴S△AOB=S四边形DEOF，所以（4）正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是掌握判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据题意可得，从而可得答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 解得：， 故答案为： 12. 化简：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，解题关键是掌握二次根式的除法法则．根据二次根式的除法法则进行运算即可得解． 【详解】解：原式=， 故答案为． 13. 如图，菱形中，，，则边上的高_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，先根据菱形的性质求出长，然后根据解题即可． 【详解】解：∵是菱形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在菱形中，，点E、F分别在边上，且，若菱形边长为2，则四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，通过证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键． 连接，由菱形的性质可证明，得出，作，即可求出四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ， 又∵， ∴和都是等边三角形， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 作交于点， 在中，， ， ∴， ， ， 则四边形的面积为， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点，分别是边，上的点，已知点，点，连接，则的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】延长到使，作轴于，由正方形的性质推出，得到，，由，得到，得到，即可证明，得到，即可得到的周长，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：延长到使，作轴于， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的周长， 的坐标是， ，， ， 的周长是． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形的性质，关键是通过作辅助线构造全等三角形，证明的周长． 三、解答题一：本大题共3小题，共21分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，零指数幂，先化简二次根式并去绝对值，再计算乘法和零指数幂，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 17. 已知．求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式加法法则、乘法法则是解题的关键． （1）根据二次根式的加减法法则分别求出、，根据平方差公式把原式变形，代入计算即可； （2）根据完全平方公式把原式变形，代入计算得到答案． 【小问1详解】 解： ，， ，， ； 【小问2详解】 解：，， ∴，， ． 18. 如图，在矩形中，点E，F在边上，，交于点M，且，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质，由矩形的性质得出，，由等边对等角得出，推出，再由证明，即可得证． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 四、解答题二：本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 如图，在中，，，，． （1）求线段的长； （2）求的长． 【答案】（1）6；（2）． 【解析】 【分析】（1）由AD⊥BC可得出∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，利用勾股定理即可求出AD的长； （2）由AD⊥BC、∠ACD＝45°可得出△ACD为等腰直角三角形，结合AD的长度可得出CD，利用勾股定理即可求出AC的长度． 【详解】解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°． 在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝10，BD＝8， ∴AD＝． （2）∵AD⊥BC，∠ACD＝45°， ∴∠CAD＝∠ACD＝45°， ∴CD＝AD＝6， ∴AC＝． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是利用等腰三角形的性质及勾股定理求线段的长度． 20. 如图，在平行四边形中，，平分，交于点E，过点E作交于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若菱形的周长为16，，求的大小． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，解题的关键是利用这些性质和判定解决问题． （1）由题意可得四边形是平行四边形，由平分，可得，则结论可得 （2）连接交于点；则于点．由题意可得，，，可得的长即可求的长． 【小问1详解】 证明：四边形为平行四边形， ，即 ， ， ∴四边形为平行四边形， 平分， ， ∵， ， ， ， ∴四边形是菱形； 小问2详解】 解：连接交于点， ∵四边形为菱形， ∴，， ，， ， ∵菱形的周长为， ， 在中， ， 由勾股定理可得：， ． 21. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作且，连接，，连接交于点．     （1）求证：． （2）若菱形的边长为4，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形性质得出，证明四边形是平行四边形．根据，证明平行四边形是矩形，即可证明结论； （2）先证明为等边三角形，得出，根据勾股定理得出，最后根据勾股定理求出结果即可． 【小问1详解】 证明：为菱形， ， ， 四边形是平行四边形． ， ∴， 平行四边形是矩形； ． 【小问2详解】 解：∵在菱形中，，， 为等边三角形， ， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴在中，由勾股定理得． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握矩形的判定，勾股定理． 五、解答题三：本题共2小题，22题13分，23题14分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22. 在平面直角坐标系中，A（a，0）、B（b，0），且a，b满足，C、D两点分别是y轴正半轴、x轴负半轴上的两个动点； （1）如图1，若C（0，4），求△ABC的面积； （2）如图1，若C（0，4），BC=5，BD=AE，且∠CBA=∠CDE，求D点的坐标； （3）如图2，若∠CBA=60°，以CD为边，在CD的右侧作等边△CDE，连接OE，当OE最短时，求A，E两点之间的距离． 【答案】（1）△ABC的面积为12；（2）D点的坐标为（-2，0）；（3）A，E两点之间的距离为 【解析】 【分析】（1）利用完全平方式和绝对值的性质求出a，b，然后确定A、B两点坐标，从而利用三角形面积公式求解即可； （2）根据题意判断出，从而得到，然后利用勾股定理求出，及可求出结论； （3）首先根据“双等边”模型推出，得到，进一步推出，从而确定随着D点的运动，点E在过点A且平行于BC的直线PQ上运动，再根据点到直线的最短距离为垂线段的长度，确定OE最短时，各点的位置关系，最后根据含30°角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 由非负性可知，，解得：， ∴，，， ∵， ∴， ∴； （2）由（1）知，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）由（2）可知CB=CA， ∵∠CBA=60°， ∴△ABC为等边三角形，∠BCA=60°，∠DBC=120°， ∵△CDE为等边三角形， ∴CD=CE，∠DCE=60°， ∵∠DCE=∠DCB+∠BCE，∠BCA=∠BCE+∠ECA， ∴∠DCB=∠ECA， 在△DCB和△ECA中， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：随着D点的运动，点E在过点A且平行于BC的直线PQ上运动， ∵要使得OE最短， ∴如图所示，当OE⊥PQ时，满足OE最短，此时∠OEA=90°， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当OE最短时，A，E两点之间的距离为． 【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形和等边三角形的判定与性质等，理解平面直角坐标系中点坐标的特征，掌握等腰或等边三角形的性质，熟练使用全等三角形的判定与性质是解题关键． 23. 【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见详解，（2），理由见详解，（3），理由见详解 【解析】 【分析】（1）直接证明，即可证明； （2）过E点作于点M，过E点作于点N，先证明，可得，结合等腰直角三角形的性质可得：， ，即有，，进而可得，即可证； （3）过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，先证明，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明． 【详解】（1），理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2），理由如下： 过E点作于点M，过E点作于点N，如图， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，平分，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形， ∴是正方形对角线，， ∴， ， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 即有； （3），理由如下， 过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数量关系，是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版2023-2024学年度第二学期八年级下学期期中数学测试试题卷 测试范围：第16章《二次根式》，第17章《勾股定理》，第18章《平行四边形》 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，是最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 能作为直角三角形的三边长的一组数是（ ） A. 1，2，3 B. 6，9，12 C. 6，8，10 D. ，， 4. 下列根式中与是同类二次根式的是（ ） A B. C. D. 5. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则长为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 如图，△ABC中，已知AB＝8，∠C＝90°，∠A＝30°，DE是中位线，则DE的长为（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 2 7. 如图，在平行四边形中，垂直于，是垂足．如果，那么的角度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，对角线，相交于点O，以，为边作矩形，已知菱形的面积为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 9. 如图，平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是（﹣2，0）和（0，3），以A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，E、F分别是正方形ABCD边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论： （1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是________． 12. 化简：__________． 13. 如图，菱形中，，，则边上高_____． 14. 如图，在菱形中，，点E、F分别在边上，且，若菱形边长为2，则四边形的面积为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点，分别是边，上的点，已知点，点，连接，则的周长为___________． 三、解答题一：本大题共3小题，共21分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 17. 已知．求下列各式的值． （1）； （2）． 18. 如图，在矩形中，点E，F在边上，，交于点M，且，求证：． 四、解答题二：本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 如图，在中，，，，． （1）求线段的长； （2）求的长． 20. 如图，在平行四边形中，，平分，交于点E，过点E作交于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若菱形的周长为16，，求的大小． 21. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作且，连接，，连接交于点．     （1）求证：． （2）若菱形的边长为4，，求的长． 五、解答题三：本题共2小题，22题13分，23题14分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22. 在平面直角坐标系中，A（a，0）、B（b，0），且a，b满足，C、D两点分别是y轴正半轴、x轴负半轴上的两个动点； （1）如图1，若C（0，4），求△ABC的面积； （2）如图1，若C（0，4），BC=5，BD=AE，且∠CBA=∠CDE，求D点的坐标； （3）如图2，若∠CBA=60°，以CD为边，在CD的右侧作等边△CDE，连接OE，当OE最短时，求A，E两点之间的距离． 23. 【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $