24.2.2 直线和圆的位置关系课件2025-2026学年人教版九年级数学上册

直线与圆的位置关系 O A C B （1） 点A在圆内 （2） 点B 在圆上 （3） 点C 在圆外 d<r d=r d>r 定量判断： 比较点到圆心O的距离 d与半径 r的大小 r 1、点与圆的位置关系有几种？ 三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外 2、判定点与圆的位置关系的方法是什么？ 回顾复习 回顾复习 3、点到直线的距离是如何定义的？ 直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 P 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短。 ┐ 活动与探究（温馨提示：规范操作、注意安全） A l O 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 学习新知 1.OA是半径 2. l ⊥OA 思考：如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线 l ⊥OA，直线l和⊙O有什么位置关系？ 判一判：下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ O. A O. A B A O (1) (2) (3) (1)不是，因为没有垂直半径OA. (2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A. 在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 注意 巩固新知 课堂练习 6 例2 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线. B A C O 证明：连接OC(如图). ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.　 ∴ AB⊥OC于C. ∵ OC是⊙O的半径, ∴ AB是⊙O的切线. 运用新知 1.半径 2.垂线段 6 1．直线与圆最多有两个公共点. 2．若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上. 3．若A是⊙O上一点，则直线AB与⊙O相切. 4．若C为⊙O外一点，则过点C的直线与⊙O相交或相离. 5．直线a 和⊙O有公共点，则直线a与⊙O相交. √ × × × × 探究新知 2025/9/17 7 问题1 同学们用直尺在圆上移动的过程中，除了发现公共点的个数发生了变化外，还发现有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢？ 相关知识： 点到直线的距离是指从直线外一点（A)到直线(l)的垂线段(OA)的长度. l A O 继续探究 2025/9/17 8 类比学习 点在圆外 d>r 点在圆上 d=r 点在圆内 d<r 直线与圆的位置关系能否类似地用相关的数量特征来刻画？ 二、探究新知 直线和圆相交 d< r 直线和圆相切 d= r 直线和圆相离 d> r 位置关系 数量关系 ∟ r d o 公共点个数 r d o A B ∟ r d o C 如果仅给出点到直线的距离d和圆的半径r，能否确定直线与圆的位置关系呢？ 2.Rt△ABC,∠C=90，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心画圆，当半径r为何值时，圆C与线段AB有一个公共点？当半径r为何值时，圆C与线段AB有两个公共点？ A B C A D 4 5 3 当r=2.4cm或3cm≤r＜4cm时,⊙C与线段AB有一个公共点. 当2.4cm＜r≤3cm 时,⊙C与线段AB有两公共点. 1.直线与圆最多有两个公共点. 2.若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上. 3.若A是⊙O上一点，则直线AB与⊙O相切. 4.若C为⊙O外一点，则过点C的直线与⊙O相交或相离. 5.直线a 和⊙O有公共点，则直线a与⊙O相交. 判一判： √ × × × × 　折叠发现：（1）图中的线段 PA = PB P O A B （2）∠APO=∠BPO 已知： 线段PA,PB切⊙O于点A，B，连接OP 求证：（1）PA=PB（2）∠APO=∠BPO P O A B 在Rt△ PAO和 Rt△ PBO中 ∴△PAO ≌ △PBO（HL） ∴PA=PB ∴∠APO=∠BPO 证明：连接OA，OB ∵PA，PB为⊙O的切线 ∴PA⊥OA，PB⊥OB ∠PAO=∠PBO=90° OA=OB OP=OP d r 相切 .A . C .O r d 相交 . C . A O 1、直线与圆相交 2、直线与圆相切 3、直线与圆相离 d<r d=r d>r d r 相离 .A . C .O 知识讲解 15 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布以小岛的中心为圆心，半径为47km的圆形区域。已知小岛中心位于轮船正西80km处，港口位于小岛中心正北60km处，如果轮船沿直线返航，那么它是否会有触礁危险？  以小岛的中心为圆心，东西方向为轴，南北方向为轴建立直角坐标系，则问题归结为圆心到直线的距离与半径关系的问题 讲一讲 知识讲解 1. 如图所示，点 A 是⊙O 外一点，OA 交⊙O 于点 B，AC 是⊙O 的切线，切点是 C，且∠A＝30°，BC＝1. 求⊙O 的半径. 思路点拨： 连接 OC 可得△AOC 为直角三角形， 由∠A＝30°知∠COB＝60°， 从而得△BOC 为等边三角形， 所以OC＝BC＝1. 跟踪训练 解：连接 OC， 因为 AC 是⊙O 的切线， 所以∠OCA ＝90°， 又因为∠A＝30°， 所以∠COB＝60°， 所以△OBC 是等边三角形， 所以 OB＝BC＝1， 即⊙O 的半径为 1. 学习目标 1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线. 2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理. 3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题. 课堂导入 情景1：下雨天，转动的雨伞上的水滴是顺着伞的什么方向飞出去的? 情景2：用砂轮磨刀时擦出的火花，:是沿着什么方向飞出的？ 4.如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠BAD=∠B=30°，边BD交⊙O于点D． (1)BD是⊙O的切线吗？为什么？ (2)若AC=10，求线段BC的长度． 解： （1）BD是⊙O的切线. 证明：∵∠BAD=∠B=30°， ∴∠ADB=180°-30°-30°=120°，∵AO=DO，∴∠A=∠ADO=30°， ∴∠ODB=120°-30°=90°，∴BD是⊙O的切线； （2）解：∵AC=10，∴CO=5，∴DO=5，∵∠B=30°，∴BO=2DO=10， 在Rt△OBD中：BD= ． 分层作业 1.直线l和⊙O有公共点，则直线l与⊙O （ ）. A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交 2.已知⊙O的半径r＝3 cm，直线l和⊙O有公共点，则圆心O到直线l的距离d的取值范围是________. 3.⊙O的圆心到直线l的距离为d，⊙O的半径为R，若d,R是方程 的两个实数根，则直线和圆的位置关系是 ． 4.⊙O的圆心到直线l的距离为d，⊙O的半径为R，若d,R是方程 的两个实数根，则直线和圆的位置关系是 ． $