第2章 一元二次方程(随堂反馈)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 知识梳理 ①只含有 个未知数，未知数的最高次数是 的 方程叫做一元二次方程. ②我们把方程ax2十bx十c=0(a,b,c为常数，a≠0)称为一元二次方程的 形式，其 中 ,分别称为二次项、一次项和常数项.为二次项系数，为 一次项系数 ③建立一元二次方程模型，解决实际问题中的数量关系的一般思路是：分析题意→找等量 关系→设未知数→列方程。 当堂练习 1.下列四个方程中，是一元二次方程的为 A.x2-2=0 B.2.x2-2x+3=4+2x+2x2 C.2x2-3√x+1=0 D2xr2--3=0 2.方程2x2一7x=5的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 A.7,2,5 B.2,-7,5 C.2,-7,-5 D.2,7,5 3.如图，在一个宽为9m,长为16m的矩形地面上，修等宽的三条互相垂直的道路，余下部 分种草，耕地面积为112m.设小路的宽为xm,那么x满足的方程是 A.(92x)(16-2x)=112 B.(9-x)(16-2x)=112 C.(9-x)(16-x)=112 D.(9-2x)(16-x)=112 4.若一个关于x的一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为一5，则这个 一元二次方程是 5.如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14cm,面积为24cm,求它的两条直角边的长 (列出方程并将其化为一般形式即可) ·9· 第2课时一元二次方程的解及其估算 知识梳理 ①能使方程左右两边 的未知数的值叫做方程的解；求方程解的过程叫做解方程 ②对于一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)的解的估算，当某个x的取值使代数式a.x2+ bx十c的值等于 或接近于 时，这个x的值就是一元二次方程的近似解. 当堂练习 1.若-1是方程x2一3x十k=0的一个根，则常数k的值为 A.4 B.-4 C.2 D.-2 2.根据下列表格的对应值判断关于x的方程ax2十bx十c=0(a≠0)的一个解x的范 围是 ( 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c -0.02 0.01 0.03 A.x<3.24 B.3.24<x<3.25 C.3.25x3.26 D.3.25x<3.28 3.数一4，一3，-2，一1,0,1,2,3,4中，是方程x2+x一12=0的解的是 4.根据下面的表格，确定方程x2一8x十7.5=0的解的范围是 1.0 1.1 1.2 1.3 x2-8.x+7.5 0.5 -0.09 -0.66 -1.21 5.阅读并回答问题：对于竖直向上抛出的物体，在没有空气阻力的条件下，有如下关系： h=t-)g,其中么是离抛出点所在平面的高度，0是初速度g是重力加速度(g= 10m/s2),t是抛出后所经过的时间.如果将一物体以25m/s的初速度向上抛出，几秒 钟后它在离抛出点20m高的地方？ (1)由上述陈述的问题，可得到的方程为 (2)填写下表： 2 3 5 6 (3)请估算，当t为 s时，物体在离抛出点20m高的地方. ·10· 2用配方法求解一元二次方程 第1课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 知识梳理 ①利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.形如x =m(m≥0)的方程，其解为x= ②完全平方公式：a士2ab十b= ③通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为 法. 当堂练习 1.方程4x2=16的解是 A.x1=4,x2=-4 B.x=4 C.x=-4 D.x1=2,x2=-2 2.方程(x一2)2=9的解是 A.x1=1,x2=-5 B.01=-1,x2=-5 C.x1=1,x2=5 D.x1=-1,x2=5 3.用配方法解方程x2十2x一1=0时，配方结果正确的是 A.(x+2)2=2 B.(x+1)2=2 C.(x十2)2=3 D.(x+1)2=3 4.用配方法解方程x2+2x=8的解为 A.x1=4,x2=-2 B.x1=-10,x2=8 C.x1=10,x2=-8 D.x1=-4,x2=2 5.解下列一元二次方程： (1)2(x-1)2=338; (2)x2-6x-6=0. ·11· 第2课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 知识梳理 用配方法解一般形式的一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)的一般步骤： (1)化二次项系数为1一两边同除以 、 (2)移项一将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； (3)方程两边都加上 (4)将原方程变成(x十m)2=n的形式； (5)判断右边代数式的符号，若≥0，则可以直接开平方求解；若n<0,则原方程无解， 当堂练习 1.用配方法解方程4x2十2x一8=0，开始出现错误的一步是 ①4r+2x-8:@2+-2:③2+7x+}-2+④(+号)-21 A.① B.② C.③ D.④ 2.若M=3a2-a-1,N=-a2+3a-2,则M,N的大小关系为 A.M=N B.M<N C.M≥N D.无法确定 3.把方程2x2十4x一1=0配方后，得(x十m)2=k,则m= ,k= 4.代数式2x2-6x十1的最小值为 5.大家知道在用配方法解一般形式的一元二次方程时，都先要把二次项系数化为1，再进 行配方.现请你阅读如下方程(1)的解答过程，并要求按照此法解方程(2). 方程(1)：2x2-2√2x-3=0 方程(2)：5x2-2√15x-2=0. 解：2x2-2√2x=3, (2x)2-2√2x+1=3+1, (2x-1)2=4, √2x-1=±2， 9=32 2 ·12· 3用公式法求解一元二次方程 第1课时公式法 知识梳理 ①利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式ax2+bx十c=0,确定a, b,c的值，再计算b-4ac的值，当 时，把a,b,c及b-4ac的值代入公式 x= ,求得方程的解. ②-元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)中，当b-4ac>0时，方程有 实数 根；当b2-4ac=0时，方程有 实数根，x1=x2=；当b2-4ac<0 时，方程 实数根. 当堂练习 1.方程x2十x一12=0的两个根为 ) A.x1=一2，x2=6 B.x1=-6,x2=2 C.x1=-3,x2=4 D.x1=-4,x2=3 2.若关于x的一元二次方程x2十4x十k=0有两个实数根，则k的取值范围是 A.k≤-4 B.k<-4 C.k≤4 D.k<4 3.若关于x的一元二次方程x2十2x十m=0有两个相等的实数根，则m的值是 4.已知一元二次方程2x2-3.x十1=0，则b2-4ac=,此方程的根为 5.用公式法解下列方程： (1)x2-x-1=0; (2)(x+1)(x-2)=4. ·13· 第2课时用一元二次方程解决面积问题 当堂练习 1.如图，某课外活动小组准备围建一个矩形场地.其中一边靠墙（墙的长度不超过45m), 另外三边用长为80m的篱笆围成.能否使所围矩形场地的面积为810m?为什么？ 2.如图是一张长6dm,宽5dm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩 形（阴影部分）后，剩余部分可制成底面积是6dm的有盖长方体铁盒，求剪去的正方形 的边长. 底 5 dm 6 dm- ·14· 4用因式分解法求解一元二次方程 知识梳理 用因式分解法解一元二次方程的步骤： (1)通过移项，将方程右边化为零； (2)将方程左边分解成两个一次因式之积； (3)分别令每个因式等于零，得到两个一元一次方程； (4)分别解这两个一元一次方程，求得方程的解， 当堂练习 1.方程x2一5x=0的解是 A.01=0,x2=一5 B.x=5 C.x1=0,x2=5 D.x=0 2.方程2x(x一3)=5(3一x)的解是 A.4=3,= 5 B.x1=0,x2= 52 C.x=3,x2=-2 D.x1=-3,x2=- 5 2 3.若代数式x2+3.x一5与2x+1的值相等，则x的值为 A.C1=3,x2=-2 B.x1=-3,x2=2 C.x1=x2=2 D.x1=x2=-3 4.方程3(x-5)2=2(x-5)的根是 5.选择适当的方法解下列方程： (1)x(x+2)=3x+6; (2)(x-2)(x-3)=12. ·15· *5一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 如果方程a.x十bx十c=0(a≠0)有两个实数根0，x2,那么x1十x2= T1T2= 当堂练习 1.设a,3是一元二次方程x2+2x一1=0的两个根，则a8的值是 A.2 B.1 C.-2 D.-1 2.如果0，x2是一元二次方程x一6.x一2=0的两个实数根，那么x1十2的值是 ) A.-6 B.-2 C.6 D.2 3.已知关于x的一元二次方程x十x一8=0的一个实数根为2，则另一个根为 A.2 B.4 C.-4 D.6 4.设一元二次方程x2一7x+3=0的两个实数根分别为x1和x2,则x1十x2= ,1.T2 5.已知关于x的一元二次方程x2一x一3=0的两个实数根分别为α，B,则(a+3)(3+3)= 6.已知2是一元二次方程2一x一1=0的两个实数根，不解方程，求式子+的值. ℃1℃2 7.已知关于x的一元二次方程x2+(2k一1)x十十1=0，如果方程的两根之和等于两根 之积，求的值， ·16· 6应用一元二次方程 第1课时一元二次方程的应用（一） 知识梳理 以几何图形为背景的应用题，通常利用图形的面积来建立等量关系列方程求解，同时 切记要检验解的合理性. 当堂练习 1.用10m长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6m.若设它的一条边长为xm,则根据 题意，可列出关于x的方程为 A.x(5+x)=6 B.x(5-x)=6 C.x(10-x)=6 D.x(10-2x)=6 2.如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形 场地的半径为 A.5 m B.(5+√2)m C.(5+3√2)m D.(5+5√2)m x+1一 (第2题图) (第3题图) 3.如图是一个无盖长方体铁盒的平面展开图，若铁盒的容积为3m3,则根据图中的条件， 可列出方程为 4.已知梯形的面积为240cm,高比上底长4cm,而比下底短20cm,则这个梯形的高为 cm 5.如图，某小区有一块长为30m,宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形 绿地，它们的面积之和为480，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行 通道的宽度为多少米？ .30m ·17· 第2课时一元二次方程的应用（二） 知识梳理 ①求平均增长（降低）率公式为b=a(1士x)”,其中a为起始量，b为终止量，x为 n为 ②商品利润= ；利润率= ×100%. 当堂练习 1.某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x为 ) A.8 B.20 C.36 D.18 2.某商品的进价为每件40元.当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，为占有更多市 场份额，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元时，每星期可多卖出20件.现在要使 每星期的利润为6120元，每件商品应降价 A3元 B.2.5元 C.2元 D.1.5元 3.原价100元的某商品，连续两次降价后售价为81元.若每次降低的百分率相同，则降低 的百分率为 4.小华在某平台上开了一家羽毛球拍专卖店，平均每天可销售20个，每个盈利40元.若每 个降价1元，则每天可多销售5个.如果每天要盈利1700元，那么每个应降价元 (要求每个降价幅度不超过15元) 5.某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的 营业额达到633.6万元.求3月份到5月份营业额的月平均增长率. ·18·3 正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 知识梳理 ①相等直角②轴中心3直角相等④相等 当堂练习 1.C2.A3.22.5°4.证明：四边形ABCD是正方形，∴.BC=CD,∠BCD=90. ,CE⊥BG,DF⊥CE,∴.∠BEC=∠CFD=90°，∴.∠BCE+∠CBE=90°=∠BCE+ ∠CBE=∠DCF, ∠DCF,∴.∠CBE=∠DCF.在△CBE和△DCF中，J∠BEC=∠CFD,∴.△CBE≌ BC=CD, ADCF(AAS),.'.CF=BE,CE=DF..'CE=EF+CF,..DF=BE+EF. 第2课时正方形的判定 知识梳理 ①矩形②矩形3直角④相等 当堂练习 1.D2.D3.AC=BD(答案不唯一)4.证明：：DE⊥AC,DF⊥AB,·∠AED= ∠AFD=90°.又：∠A=90°，∴.四边形AFDE是矩形.：D是BC的中点，.BD=CD. 在R△BDF和R△CDE中BPCE.R△BDF≌R△CDE(HD,DE=DP .四边形AEDF是正方形. 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 知识梳理 ①一2整式②一般a.x2 ba c a b 当堂练习 1.A2.C3.B4.2x2+3x-5=05.解：设其中一条直角边的长为xcm,则另一条 直角边的长为(14一x)m.根据题意，得2x(14-）=24.化为一般形式为2-14x十 48=0. 第2课时一元二次方程的解及其估算 知识梳理 ①相等②00 当堂练习 1.B2.B3.-4,34.1.0x1.15.(1)25t-5t2=20(2)255203030 200一30(3)1和4 2用配方法求解一元二次方程 第1课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 知识梳理 ①士m②(a士b)23配方 当堂练习 1.D2.D3.B4.D5.解：(1)两边同除以2，得(x-1)2=169.两边开平方，得x- 1=士13，即x-1=13,或x-1=一13.∴.=14,2=一12；(2)移项，得x2-6x=6.配 方，得x2一6x十32=6+32，即(x-3)2=15.两边开平方，得x一3=±√15，即x-3= /5,或x-3=-√/15.∴.x=3+√/15,2=3-√15. 第2课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 知识梳理 (1)二次项的系数(3)一次项系数一半的平方 当堂练习 1.C2.C3.1 ,4.-3.55.解：5x2-2√15.x=2,(W5x)2-2√/15.x+(5)2= 2+W5,5-5=5w5-5=士5，=压-1，=压+1. 5 5 3用公式法求解一元二次方程 第1课时公式法 知识梳理 ①b2-4ac≥0 -b±-4ac 2a ②两个不相等的两个相等的 -2a 没有 第43页（共48页） 当堂练习 1D2C3.14.1=1,=之5解：1)这里a=1,6=-1c=-1.:8 4c=(-1-4X1X(-1)=5>0=-（2生5-15，即4=15 2×1 125,(2将原方程化为一般形式，得-工一6=0这里a=1,6=-1,c=-6.:6 4c=(-1)2-4X1X(-6)=25>0,∴x=二《-先压=15，即a=3,w=-2 2×1 第2课时用一元二次方程解决面积问题 当堂练习 1.解：假设能，设AD=xm,则AB=(80-2x)m.根据题意，得x(80一2x)=810.整理， 得x2-40x+405=0.,△=6一4ac=(-40)2-4×1×405=-20<0,.原方程无实 数根，∴.不能使所围矩形场地的面积为810m.2.解：设剪去的正方形的边长为 xdm,则底面的长为(5-2x)dm,宽为6,2=(3-xdm根据题意，得(5-2)(3-） =6.整理，得2x-11x十9=0，解得=1=号.当x=1时，5-2x=3,3-x=2,符 合题意：当x=号时，5-2红=-4<0，不合题意，舍去.答：剪去的正方形的边长为 1 dm. 4用因式分解法求解一元二次方程 当堂练习 1C2.C3B4n=5=号5.解：1)原方程可变形为x(x+2)-3(x+2)= 0,(x十2)(x-3)=0.x+2=0,或x-3=0.·x=-2,2=3;(2)将原方程化为一般 形式为x2-5x-6=0.这里a=1,b=-5,c=-6.6-4ac=(-5)2-4×1×(-6) =40>0=二（法®-，即=6=-1 2×1 *5一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 b c aa 当堂练习 1.D2.C3.C4.735.96.解：.m,2是一元二次方程x2-x-1=0的两个 实数根，0十m=1,01x2=一1，型十互=2十2=工十2P-22= 2 2-2×(-D=1+2=-3.7.解：根据题意，得△=(2k-1)2-4(k2+1)≥0，解得k -1 -1 ≤-子.设方程的两根为1，则十。=一(2-1)=1一2次，=发十1.：方程的 两根之和等于两根之积1一2=2+1，解得=0，也=一2.：k≤-三 ∴k=-2 6应用一元二次方程 第1课时一元二次方程的应用（一） 当堂练习 1.B2.D3.x(x十1)=34.125.解：设人行通道的宽度为xm,将两块矩形绿地 合在一起长为(30一3.x)m,宽为(24一2x)m.根据题意，得(30-3.x)(24一2x)=480.整 理，得x2-22x+40=0.解得=2,2=20.当x=20时，30-3x=-30<0,24-2x= 一16<0，不符合题意，舍去.当x=2时，30一3x=24,24一2x=20,符合题意.答：人行 通道的宽度为2m. 第2课时一元二次方程的应用（二） 知识梳理 ®平均增长（降）串猫长（降低）次数®售价进价界 当堂练习 1.B2.A3.10%4.65.解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x.根据 题意，得400X(1+10%)(1十x)2=633.6.解得=0.2=20%，x2=一2.2（不符合题 意，舍去).答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%. 第44页（共48页） 第三章概率的进一步认识 1用树状图或表格求概率 第1课时用树状图或表格求随机事件的概率 当堂练习 1.A2C3号4解：画树状图如图： 开始 总共有4种可能的 第一辆左转 右转 第二辆左转右转左转右转 结果，每种结果出现的可能性相同.(1)，一辆左转，一辆右转的结果有2种：（左转，右 转).（佑转，左转P(一辆左转，一辆右转）=是=之：(2至少一辆右转的结果有 3种：（左转，右转）.（右转，左转），（右转，右转）P(至少一辆右转)=圣。 第2课时利用概率判断游戏的公平性 知识梳理 概率 当堂练习 1.D2.对乙有利3.解：画树状图如下： 开始 总共有9种可能的结 红 红 红红白红红白红红白 果，每种结果出现的可能性相同.其中，两次摸到红球的结果有4种：（红，红），（红，红）， (红，红)，（红，红），摸到一红一白或二白的结果有5种：（红，白），（红，白），（白，红）， (白，红，（伯，白）P(甲获胜)=青，P(乙获胜)=号.：P(甲获胜)<P(乙获胜) .游戏对双方不公平. 第3课时利用概率玩“配紫色”游戏 知识梳理 红色蓝色 当堂练习 1.C2.解：这个游戏对双方是公平的.理由如下：列表格如下： B盘 A盘 蓝 蓝 红 蓝 (蓝，蓝) (蓝，蓝) (蓝，红) 红 (红，蓝) (红，蓝)（红，红） 总共有6种可能的结果，每种结果出现的可能性相同.其中，能配成紫色的结果有3种： (蓝，红)，（红，蓝），（红，蓝P(小颗去观看）=号=合，P(小亮去观看)=1一号 号：P(小颖去观看)=P(小亮去观看)，“这个游戏对双方公平。 2用频率估计概率 当堂练习 1.C2.B3.C4.B5.12 第四章图形的相似 1成比例线段 第1课时线段的比与成比例线段 知识梳理 ①长度m:n 数 ®成比例线段③ad=c号-号 当堂练习 1C22:3322相等4解：品=甍意-5A-842 4.8 5.6(cm),.∴.AC=AE+EC=5.6+4.2=9.8(cm). 第2课时等比的性质及其应用 知识梳理 第45页（共48页）