模型构建专题 与正方形有关的常考题型&重点突破专题 特殊平行四边形中的折叠问题-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

模型构建专题与正 类型1正方形中相交垂直问题模型 模型归纳 已知正方形ABCD中， 如图①，若AF⊥BE,则AF=BE: 如图②，若EF⊥GH,则EF=GH, 图① 图② 1.（教材P21例1变式)如图，在正方形ABCD 中，E,F分别在BC,CD上，BE=CF,AE与 BF之间有怎样的关系？请说明理由. 【变式】如图，在正方形ABCD中， E,F分别在CD,BC边上，AE与 DF相交于点P,∠APD=90°， 那么AE和DF的数量关系是 DE和CF的数量关系是 类型2正方形中过对角线交点的垂直 问题模型 模型归纳 如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点 O,正方形A1B1CD1的顶点D与点O重合，则 △AOE≌△BOF. 2.(教材Ps习题T4变式)如图，正方形ABCD 的对角线AC和BD相交于点O,O又是正 17名师测控·数学九年级上册配BSD版 方形有关的常考题型 方形A1B1CO的一个顶点，OA交AB于点 E,OC1交BC于点F. (1)求证：△AOE≌△BOF; (2)如果两个正方形的边长都为a,那么正方 形AB1C1O绕点O转动，两个正方形重 叠部分的面积等于多少？为什么？ 【变式1】如图，在正方形ABCD中，点O是 对角线AC,BD的交点，过点O作射线OM, ON分别交BC,CD于点E,F,且∠EOF= 90°，OC,EF交于点G.有下列结论： ①△DOF≌△COE;②CF=BE;③四边形 CEOF的面积为正方形ABCD面积的}： ④OF十+OE=EF2.其中，正确的是() A.③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④ (变式1题图) (变式2题图) 【变式2】如图，在正方形ABCD中，点O是 对角线AC,BD的交点，过点O作OE⊥OF, 分别交AB,BC于点E,F.若AE=4,CF= 3,则EF的长为 类型3正方形中轴对称问题模型 模型归纳 如图，点E在正方形ABCD的对角线BD上，则 △ABE≌△CBE,△ADE≌△CDE. 3.如图，在正方形ABCD中，∠DAF=15°，AF 交对角线BD于点E,交CD于点F,连接 CE,求∠BEC的度数， 类型4正方形中“外角平分线”问题模型 模型归纳 在正方形ABCD中，点E在直线BC上，EF交 外角∠DCG的平分线（图①）或其所在直线（图②）于 点F,AE⊥EF,则有AE=EF. 图① 图② 4.如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC 上任意一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角 ∠DCG的平分线CF于点F.求证：AE=EF, 类型5正方形中半角问题 模型归纳 在正方形ABCD中，如图，∠EAF=45°，延长 FB到点G,使BG=DE,则△ABG≌△ADE,△AEF ≌△AGF. 459 E 5.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点， F是AD延长线上一点，且DF=BE. (1)求证：CE=CF; (2)若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE= BE+GD成立吗？为什么？ 第一章特殊平行四边形18 重点突破专题特殊平 类型1折叠后顶点落在另一个顶点上 L.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点 B重合，点C落在点C'处，折痕为EF.若 ∠EFC=125°，则∠ABE的度数为() A.15° B.20°C.25° D.309 类型2折叠后顶点落在一边上 2.如图，在□ABCD中，AD>AB,沿直线AE 将□☐ABCD折叠，使点B落在AD边上的点 F处. (1)求证：四边形ABEF是菱形； (2)若菱形ABEF的周长为16，∠EBA= 120°，则AE的长为 类型3折叠后顶点落在对角线上 3.如图，若菱形ABCD的 边长为2cm,∠A=Bs 120°，将菱形ABCD折 叠，使点A恰好落在菱形对角线的交点O 处，折痕为EF,则EF的长为 cm. 19名师测控·数学九年级上册配BSD版 行四边形中的折叠问题 类型4沿对角线折叠 4.(教材P8习题T15变式)如图①，将一张矩形 纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点 C落到点E处，BE交AD于点F. 图① 图② (1)求证：△BDF是等腰三角形； (2)如图②，过点D作DG∥BE,交BC于点 G,连接FG交BD于点O ①判断四边形BFDG的形状，并说明 理由； ②若AB=6,AD=8,求FG的长.a2,∴.△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°.：PM⊥AB,PN⊥AC,∴.∠AMP= ∠ANP=90°，∴.∠BAC=∠AMP=∠ANP=90°，∴.四边形AMPN是矩形；(2)存在. 理由如下：连接AP.,四边形AMPN是矩形，∴.MN=AP.易得当AP⊥BC时，AP最 短.此时S=AB·AC=BC·AP∴2X3=EAP,∴AP-6厘.即MN 13 的长度最小值为5国 13 【变式B 3正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 基础过关 1.C2.C3.C4.B5.15°【变式1】75°【变式2】60°6.证明：(1)四边形AB- CD为正方形，∴.AB=BC,∠ABE=∠CBE=45°.在△EAB和△ECB中，AB=CB, ∠ABE=∠CBE,BE=BE,∴.△EAB≌△ECB(SAS):(2):四边形ABCD为正方形， ∴∠BDC=2∠CDA=45°，'△EAB≌△ECB,∠AEC=45,∴∠CED=∠AED= z∠AEC=22.5.∠BDC=∠CED+∠DCE=45,∴∠DCE=45°-22.5°=22.5， 1 ∴.∠CED=∠DCE,∴.DC=DE. 能力提升 7.A8B9.D10.(1)2(2) 2 11.解：(1)90°-a(2)AF=DE.证明如下： △OEF是等腰直角三角形，∴.OE=OF.四边形ABCD是正方形，.OA=OD, ∠COD=90°.'∠AOF=90°-a,∠DOE=90°-a,.∠AOF=∠DOE,∴.△AOF≌ △DOE(SAS),∴.AF=DE. 思维拓展 12.解：(1)PE+PF的值是定值.四边形ABCD为正方形，∴.AC⊥BD,∴.∠AOB= 90°.：PF⊥BD,PE⊥AC,∴∠PFO=∠PEO=90°，∴.∠EOF=∠PFO=∠PEO= 90°，∴四边形PFOE为矩形，∴.PE=OF.又：∠PBF=45°，易得△PBF是等腰直角 三角形.PF=BF,PE+PF=0F+BF=OB=号a:(2:∠BF=∠PED= ∠PFO=90°，∴.四边形PFOE为矩形，∴.PE=OF.又·∠PBF=∠ABO=45°，易得 △PBF是等餐直角三角形，PF=B邵PE一PF-OF-BF=OB=号a 第2课时正方形的判定 基础过关 1.A2.AC⊥BD3.证明：CD平分∠ACB,DE⊥AC,DF⊥BC,.DE=DF, ∠DFC=∠DEC=90°.又，∠ACB=90°，.四边形CEDF是矩形.，DE=DF,∴.四边 形CEDF是正方形.4.对角线互相垂直且相等5.AC=BD(答案不唯一)6.证 明：：四边形ABCD是正方形，∴.AB=BC=CD=DA,∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 又.AA'=BB'=CC=DD',.DA=A'B=B'C=CD.易得△AA'D≌△BBA'≌ △CCB'≌△DDC',∴.DA'=A'B'=B'C'=CD',∴.四边形A'B'C'D'是菱形.由全等 知∠ADA'=∠BA'B'.又，∠ADA'+∠AA'D'=90°，∴.∠AA'D'+∠BA'B'=90°， ∴∠DA'B'=180°-（∠AA'D'+∠BA'B)=90°，∴.四边形A'B'C'D'是正方形. 能力提升 7.C8.3√29.解：(1)：菱形AECF的对角线AC和EF交于点O,∴.AC⊥EF,OA =OC,OE=OF..DE=BF,∴.BO=DO.,.四边形ABCD是平行四边形.又AC1 BD,∴.四边形ABCD是菱形.：∠ADO=45°，∴∠ADC=90°，.四边形ABCD是正方 形：(2)：正方形ABCD的面积为72.2AC·BD=72号BD=72.BD=12. ∴.AC=12,.BO=DO=CO=AO=6.BF=4,.OF=2,.EF=2OF=4,∴.菱形 AECF的面积为AC,EF=24. 思维拓展 10.解：(1)如图 过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N,易得 B M F ∠MEN=90°.：点E是正方形ABCD对角线上的点，∴.EM=EN.:∠DEF=90°， ∴.∠DEN=∠MEF.在△DEN和△FEM中，：'∠DNE=∠FME=9O°，EN=EM, 第4页（共48页） ∠DEN=∠FEM,∴.△DEN≌△FEM(ASA),∴.EF=DE.∴.矩形DEFG是正方形： (2)CE+CG的值是定值，定值为6.理由如下：，四边形DEFG和四边形ABCD是正 方形，∴.DE=DG,AD=DC..∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=-90°，∴.∠CDG= ∠ADE.在△ADE和△CDG中，，AD=CD,∠ADE=∠CDG,DE=DG,∴△ADE≌ △CDG(SAS),∴.AE=CG,∴.CE+CG=CE+AE=AC=2AB=2X32=6,是定值. 模型构建专题与正方形有关的常考题型 1.解：AE=BF且AE⊥BF.理由如下：，四边形ABCD是正方形，∴.AB=BC,∠ABE =∠C=90°.又.BE=CF,.∴.△ABE2△BCF,.∠BAE=∠CBF,AE=BF. 又，∠BAE+∠AEB=90,∴.∠CBF+∠AEB=90°.∠BOE=90°，.AE⊥BF. 【变式】AE=DFDE=CF2.解：(1)：四边形ABCD和四边形A1BCO是正方形， ∴.AO=BO,∠AOB=∠AOC=90°，∠OAB=∠OBC=45°，∴.∠AOE+∠EOB=90°， ∠BOF+∠EOB=90°，∴.∠AOE=∠BOF.∴.△AOE≌△BOF(ASA);(2)两个正方形 重叠部分的面积等于于2.理由如下：：△AOE≌△BOF,∴S△E=S△F, :Sm=Sm十Saw=SaRs十SE=S版=子S形m=子.【变式D 1 【变式2】53.解：.四边形ABCD是正方形，∴.BA=BC,∠ADB=∠ABE=∠CBE= 45°.又BE=BE,∴△ABE≌△CBE(SAS),∴.∠BEA=∠BEC.∠BEA=∠ADB +∠DAF=45°+15°=60°，∴.∠BEC=60°.4.证明：在AB上截取BM=BE,连接 ME.四边形ABCD是正方形，.∠B=∠DCB=90°，AB=BC,,∴.∠BME=∠BEM =45°，∴.∠AME=180°-∠BME=180°-45°=135°.：CF是正方形外角∠DCG的平 分线，.∠DCF=45°，∴.∠ECF=∠ECD+∠DCF=90°+45°=135°.：∠AEF=90°， ∴.∠AEB+∠CEF=90°.又：'∠AEB+∠MAE=90°，∴.∠MAE=∠CEF.AB= BC,BM=BE,∴.AB-BM=BC-BE,即AM=EC.:∠AME=∠ECF=135, .△AME≌△ECF(ASA),∴.AE=EF.5.解：(1)，四边形ABCD是正方形，∴.BC =CD,∠B=∠CDF=90.又，BE=DF,∴.△CBE≌△CDF(SAS),∴.CE=CF; (2)GE=BE+GD成立.理由如下：由(1)得，△CBE≌△CDF,∴.∠BCE=∠DCF, ∴.∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠BCD=∠ECF=90°.又.'∠GCE=45°， ∴.∠GCF=∠ECF-∠GCE=90°-45°=45°，∴.∠GCF=∠GCE.又CE=CF,GC= GC,∴.△ECG≌△FCG(SAS),.GE=GF.,GF=DF+DG,∴.GE=BE+GD. 重点突破专题特殊平行四边形中的折叠问题 1.B2.解：(1)，四边形ABCD为平行四边形，.BC∥AD.∴∠AEB=∠EAF.由折 叠知∠EAB=∠EAF,AB=AF,BE=EF.,∴.∠BEA=∠BAE.,∴.AB=BE..∴.AB=AF =BE=EF.∴.四边形ABEF是菱形；(2)453.54.解：(1)由折叠得△BDC≌ △BDE,∴.∠DBC=∠DBE.:四边形ABCD是矩形，∴.AD∥BC,.∠DBC= ∠FDB,.∠DBE=∠FDB,∴.DF=BF,△BDF是等腰三角形；(2)①四边形 BFDG是菱形.理由如下：，四边形ABCD是矩形，.FD∥BG.又，DG∥BE,∴.四边 形BFDG是平行四边形.，DF=BF,∴.四边形BFDG是菱形；②在Rt△ABD中，由勾 股定理，得BD=√AB+AD=√6+8=10.：四边形BFDG是菱形，∴，GF⊥BD, FG=2FO,OB=2BD=5.设DF=BF=x,则AF=AD-DF=8-x.在R△ABF中， 由勾股定理，得AB+AR=BFP,即6十(8一)P=2,解得x=草，·BF=草在 Rt△FOB中，由勾股定理，得FO=√BF一OB 25 -5=5,FG=2F0= 第一章整合与提升 高频考点突破 1.B2.333.解：(1)D是边BC的中点，∴.BD=CD.DF=ED,.四边形BF CE是平行四边形.：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，E是边AC的中点，∴.BE=CE, “四边形BFCE是菱形；(2)：四边形BFCE是菱形，BC=4,EF=2,∴BD=号BC= 2,DE=EF=1,∴BE=2+下=5，∴AC=2BE=25,.AB=AC-BC- √/20-16=2，.AD=/AB2+BD=2√2.4.A5.B6.证明：(1)，四边形ABCD 是矩形，∴.AB=DC,∠B=∠C=90°.E是BC的中点，.BE=CE.在△ABE和 △DCE中，：AB=DC,∠B=∠C,BE=CE,∴△ABE≌△DCE(SAS):(2)·△ABE ≌△DCE,.AE=DE,.∠EAD=∠EDA.7.解：(I):四边形ABCD是菱形，.AC 第5页（共48页） ⊥BD,A0=OC=号AC,∠DOC=90,:DE∥AC,DE=号AC,DE=OC,DE,∥ OC,∴.四边形OCED是平行四边形.又，∠DOC=90°，.四边形OCED为矩形： (2):四边形ABCD是菱形，ACLBD,BC=CD=4,OB=OD,A0=OC=号AC :∠BCD=60°，.△BCD是等边三角形，OD=OB=2.∴.OC=√CD-OD= √42-2=23，.AC=2OC=4√3.由(1)，得四边形OCED为矩形，.CE=OD=2, ∠OCE=90°.在Rt△ACE中，由勾股定理，得AE=√AC+CE=√(43)2+22= 2√3，即AE的长为2√13.8.C9.410.C11.1012.解：(1)四边形ABCD 是正方形，∠A=∠B=90°，∠AEH+∠AHE=90°.，四边形EFGH是正方形， .EH=EF,∠HEF=90°，∴.∠AEH+∠BEF=90°..∠BEF=∠AHE.在△AEH 和△BFE中，∠A=∠B=90°，∠AHE=∠BEF,EH=FE,∴.△AEH≌△BFE (AAS),∴.AH=BE.∴.AE+AH=AE+BE=AB;(2)AE=CF 易错易混专攻 1.(1)×(2)×(3)×(4)×2.C 常考题型演练 1.D2.√103.解：(1)四边形BEFE是正方形.理由如下：由旋转的性质可知， ∠CEB=∠AEB=90°，∠EBE=90°，BE=BE.:'∠BEF+∠AEB=180°，∴∠BEF =90°.∴.四边形BEFE是矩形.又BE=BE,.矩形BEFE是正方形；(2)CF= FE.证明如下：过点D作DH⊥AE于点H,则∠DAH十∠ADH=90°.DA=DE, ∴AH=EH=号AE.:四边形ABCD是正方形，∴AB=DA,∠DAB=90.∠DAH +∠BAE=90°.∴.∠ADH=∠BAE.在△ADH和△BAE中，：∠AHD=∠BEA, ∠ADH=∠BAE,AD=BA,∴.△ADH≌△BAE(AAS.∴.AH=BE.由旋转的性质可 知，AE=CE.:四边形BEFE是正方形，BE=EF.EF=AH=号AE=CE. ..CF=FE'. 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 基础过关 1.A2.a≠13.A4.3,-4,-15.B6.x2+4x-60=0 能力提升 7.C【变式】-28.-509.解：(1)(90-2x)(70-2x)(90-2x)(70-2x)= 1700(2)用到了数形结合的数学思想：(3)化为一般形式为x2一80x十1150=0；是一 元二次方程；二次项系数为1，一次项系数为一80，常数项为1150. 第2课时一元二次方程的解及其估算 基础过关 1.3【变式】-42.-1,63.C4.(1)-1334-0.010.363.33.4 (2)33 能力提升 5.A6.D7.x2-1=0(答案不唯一)8.解：把a代人原方程，得a2-2024a十1=0. d-202a=-1a+1=202ad2-2025a+g-a-202a-a)+208器 =-1-a+a=-1. 2用配方法求解一元二次方程 第1课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 基础过关 1.D2.D3.x-1=3x-1=-34-24.5(答案不唯一，只要c≥0即可) 5.解：(1)移项、化简，得x=4.两边开平方，得x=士2.1=2，x2=一2；(2)由原方 程，得（红一1=是.两边开平方，得x一1=士号，即x-1=号，或x一1=一号.∴ =号=-合6142(2)366(3)号号(0%吉1.x-10-4 8.A9.解：(1)移项，得x2+2x=1.配方，得x2+2x十1=1十1，即(x十1)2=2.两边 开平方，得x十1=士2，即x十1=2，或x+1=一√2..x=√2-1，x2=一√2-1；(2) 移项，得x2一3x-3x=1.合并同类项，得x2-6.x=1.配方，得x2-6x十32=1十32，即 (x-3)2=10.两边开平方，得x一3=士√10，即x-3=√10，或x-3=-/10..x= 第6页（共48页）