2 第2课时 矩形的判定-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

第2课时 ②基础过关。逐点击破 知识点1有一个角是直角的平行四边 形是矩形 1.如图，要使☐ABCD成为矩形，需添加的条 件可以是 A.AB-BC B.AC⊥BD C.∠ABC=90° D.∠1=∠2 2.(2024·吉林长春)如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠B=90°，O是边AB的中点， ∠AOD=∠BOC.求证：四边形ABCD是矩形. 知识点2对角线相等的平行四边形是矩形 3.情境题砌门如图，工人师傅砌门时，要想检 验门框ABCD是否符合设计要求（即门框是 否为矩形)，在确保两组对边分别相等的前 提下，只要测量出对角线AC,BD的长度，然 后看它们是否相等就可以判断了，这种做法 的根据是 (第3题图) (第4题图) 4.新视角条件开放题)如图，已知四边形ABCD 为平行四边形，对角线AC与BD交于点O, 试添加一个条件： 使□ABCD为矩形 9名师测控·数学九年级上册配BSD版 矩形的判定 5.如图，在四边形ABCD中，AB=CD,AD= BC,对角线AC,BD相交于点O,且OA= OD.求证：四边形ABCD是矩形 知识点3有三个角是直角的四边形是矩形 6.我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说 法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆， “矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比 较专业的名称“矩形”.木艺活动课上，小明 用四根细木条a,b,c,d搭成如图所示的一个 四边形，现要判断这个四边形是否是矩形， 以下测量方案正确的是 A.测量是否有三个角是 直角 B.测量对角线是否相等 C.测量两组对边是否分别相等 D.测量对角线是否互相垂直 7.如图，BD,BE分别是∠ABC与它的邻补角 ∠ABP的平分线，AE⊥BE,AD⊥BD,垂足 分别为E,D.求证：四边形AEBD是矩形. 习能力提升。整合运用 8.(2024·河北石家庄一模)依据所标数据，下 列四边形不一定为矩形的是 90 90 90 90 9.如图，在□ABCD中，下列条 件：①AC=BD:②∠1+∠3= 90,®0B=专AC:④∠1= ∠2.其中能判定□ABCD是矩形的有( A.1个 B.2个C.3个 D.4个 10.如图，已知△ABC为等边三角形，CF∥ AB,点P为线段AB上任意一点(，点P不 与A,B重合)，过点P作PE∥BC,分别交 AC,CF于点G,E. (1)四边形PBCE是平行四边形吗？为 什么？ (2)试探索：当P为AB的中点时，四边形 APCE是什么样的特殊四边形？并说 明理由. ⊙ 思维拓展。学科素养 11.新考法化动为静法如图，在四边形ABCD中， AD∥BC,∠B=90°，AB=14cm,AD= 21cm,BC=24cm.点P从点A出发，以 1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C出 发，以2cm/s的速度向点B同时运动.规 定其中一个动点到达终点时，另一个动点 也随之停止运动.设点P运动的时间为ts. (1)若点P和点Q同时运动了7s,PQ与 CD有什么数量关系？并说明理由； (2)在整个运动过程中是否存在t值，使得 四边形ABQP是矩形？若存在，请求出 t值；若不存在，请说明理由. 第一章特殊平行四边形10参考答案 正文答案 第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 基础过关 1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形2.(2，一3)3.D4.30cm5.证明：，四 边形ABCD是菱形，∴.AD=CD.:'AE⊥CD,CF⊥AD,∴∠AED=∠CFD=90°.在 △AED和△CFD中，∠AED=∠CFD,∠D=∠D,AD=CD,∴.△AED≌△CFD (AAS),..DE=DF,..AD-DF=CD-DE,.'.AF=CE.6.D 7.A 8.32 9.: (1)60°(2)：四边形ABCD是菱形，∴.ACLBD,OD=号BD=号X6=3,AC=20C :在Rt△OCD中，∠ACD=30°，∴.DC=2OD=6,∴.OC=√/DC-OD=√/J6-32= 35,.AC=20C=6√5. 弥能力提升 10.C11.20√512.解：(1)四边形ABCD是菱形，.AB=AD,∠B=∠D.又AE ⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,∴.∠AEB=∠AFD=90°.在△ABE和△ADF中， :∠B=∠D,∠AEB=∠AFD,AB=AD,∴.△ABE≌△ADF(AAS),.AE=AF;(2) ,四边形ABCD是菱形，∴.∠B十∠BAD=180°，而∠B=60°，∴.∠BAD=180°-∠B =180°-60°=120.，∠AEB=90°，∠B=60°，∴.∠BAE=180°-∠AEB-∠B=180 -90°-60°=30°.由(1)知△ABE≌△ADF,∴.∠DAF=∠BAE=30°，∴.∠EAF= ∠BAD-∠BAE-∠DAF=120°-30°-30°=60°.又.AE=AF,.△AEF是等边三 角形，∠AEF=60° 她 思维拓展 13.解：(1)△AMN是等边三角形.证明如下：如图，连接AC, D,四边形 EM ABCD是菱形，∴.∠B=∠D=60°，AB=BC=CD=AD.∴.△ABC,△ACD都是等边三 角形.∴.AB=AC,∠BAC=∠ACD=60°=∠MAN..∠BAC-∠MAC=∠MAN ∠MAC,即∠BAM=∠CAN.又∠B=∠ACN=60°，∴.△BAM≌△CAN.∴.AM= 0 AN.又，∠MAN=60°，∴.△AMN是等边三角形：(2)四边形AMCN的面积是定值 由(I)得△BAM≌△CAV,∴.S△BAM=S△cN.∴.S四边形CN=S△AC+S△MCN=S△MMC十 S△BM=S△BC.S四边形wCv不发生变化.如图，过点A作AE⊥BC于点E.:△ABC是 等边三角形，BE=EC=号X2=1,·AE=√AB-BE=/2-下=3， 2 “SMe=Sa慨=子X2X月=E 第2课时菱形的判定 基础过关 线 1.2有一组邻边相等的平行四边形是菱形2.证明：AE∥BF,.∠ADB ∠DBC.:BD平分∠ABC,∴.∠DBC=∠ABD,∴.∠ADB=∠ABD,∴.AB=AD. 又，AB=BC,∴.AD=BC.AE∥BF,即AD∥BC,∴.四边形ABCD是平行四边形 又AB=AD,∴.四边形ABCD是菱形.3.C4.证明：四边形ABCD是平行四边 形，∴AD=BC,AD∥BC.DE=BF,∴AD-DE=BC-BF,即AE=CF.又AE∥ CF,∴.四边形AECF是平行四边形.：AC⊥EF,∴.四边形AECF是菱形.5.D 6.证明：AB=AC,AD是BC边上的中线，∴.AD垂直平分BC,∴.EB=EC,FB=FC BD=CD.,CF∥BE,∴.∠BED=∠CFD,∠EBD=∠FCD.又：BD=CD,∴.△EBD ≌△FCD(AAS),∴.BE=FC,∴.EB=BF=FC=EC,∴.四边形BECF是菱形 能力提升 7.D8.(3,5)或(2,6)9.证明：(1)连接BD,交AC于点O.四边形ABCD是平行 四边形，∴.OB=OD.,BM∥DN,.∠MBO=∠NDO.又，∠BOM=∠DON, ∴.△BOM≌△DON(ASA),∴.BM=DN,∴.四边形BMDN是平行四边形，∴.BN∥ DM,.∠DMN=∠BNM;(2),四边形ABCD是平行四边形，∴.BC∥AD,.∠BCA =∠DAC.∠BAC=∠DAC,∴.∠BAC=∠BCA,∴.AB=BC,∴.四边形ABCD是菱 形，AC⊥BD,∴.MN⊥BD.又由(1)知四边形BMDN是平行四边形，.四边形 BMDN是菱形. 第1页（共48页） 思维拓展 10.解：(1)由题意，得AB=AF,∠BAM=∠FAN,∠B=∠F.在△ABM和△AFN中， .∠BAM=∠FAN,AB=AF,∠B=∠F,∴.△ABM≌△AFN(ASA).∴.BM=FN; (2)当旋转角a=30时，四边形ABPF是菱形.理由如下：：a=30°，∴.∠FAN=30°， ∠FAB=120°.∠B=60°，.∠B+∠FAB=180°..AF∥BP..∠FPC=∠F=60. ∴.∠FPC=∠B=60°.AB∥FP.四边形ABPF是平行四边形.又：AB=AF,.平 行四边形ABPF是菱形. 第3课时菱形的性质与判定的综合应用 基础过关 1.B2.52cm3.解：(1).四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,AO=CO,BO=DO, ∠ABD=号∠ABC=合×60°=30，∴A0=号AB=号×20=10(m,AC=2A0=2 X10=20(m).在Rt△AB0中，由勾股定理，得BO=√/AB-AO=√202-10= 103(m),∴.BD=2B0=2×103=20√3(m:(2)200√54.C5.①②③④6.83 7.解：(1)由尺规作∠BAD的平分线的过程可得AB=AF,∠BAE=∠FAE.:四边形 ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC,.∠FAE=∠AEB,.∠BAE=∠AEB,∴.AB= BE,∴.BE=AF,∴.四边形ABEF是平行四边形..AB=AF,.四边形ABEF是菱形： (2)②：四边形ABEF是菱形，.AELBF,B0=BF=合X6=3,AE=2A0在 Rt△AOB中，由勾股定理，得AO=√AB-BO=√52-3=4，∴.AE=2AO=8. 能力提升 8.D9.510.解：(1).DE∥AC,DF∥AB,.四边形AEDF是平行四边形，∠EAD =∠ADF.:AD是△ABC的角平分线，∴.∠EAD=∠FAD,∴.∠ADF=∠FAD, .FA=FD,.四边形AEDF是菱形；(2)连接EF交AD于点O.由(1)可知，四边形 AEDF是菱形，.OA=OD=2AD=7X24=12,OE=OF,EF⊥AD,∠AOE- 00O-AB-OA-13-125EF-20E-10.Mr-AD EF=7×24×10=120. 思维拓展 11.解：(1).AD∥BC,∴.∠ADO=∠CBO.在△ADO和△CBO中，.∠ADO= ∠CBO,∠AOD=∠COB,OA=OC,∴.△ADO≌△CBO(AAS),∴.OD=OB,∴.四边形 ABCD是平行四边形.，AB=BC,∴.四边形ABCD是菱形；(2)与线段CE相等的线段 有：AE,DE,AG,CF.[解析：由(1)知：四边形ABCD是菱形，∴.AB=BC=CD=AD, AC⊥BD.:'AB=AC,.AB=BC=CD=AD=AC,.△ABC和△ADC为等边三角 形.，CH⊥AD,∴.AH=DH,即CH为AD的垂直平分线，∴.AE=DE.同理可得：CE =AE,∴AE=DE=EC.:△ADC为等边三角形，CH⊥AD,·∠ACH=7∠ACD= 30°.：∠FEC=75,∴.∠EFC=180°-∠ACH-∠FEC=75°，∴.∠EFC=∠FEC, ∴.CF=CE.,△ABC和△ADC为等边三角形，∴.∠BAC=∠CAD=60°..CE=AE, .∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°，∠AEC=180°-∠EAC ∠ECA=120°，∴∠AEG=∠AEC-∠FEC=45°，.△AGE为等腰直角三角形，∴.AE =AG,∴.AG=EC.综上所述，AE=DE=CF=AG=CE.] 2矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 基础过关 1.C2.20°3.证明：，四边形ABCD为矩形，∴.AB=CD,∠B=∠C=90°.，BE= CF,∴.BE+EF=CF+EF,即BF=CE.在△ABF和△DCE中，：AB=DC,∠B= ∠C,BF=CE,∴.△ABF≌△DCE(SAS),∴.AF=DE.4.C5.C6.证明：四边形 ABCD是矩形，∴.AC=BD,AD∥BC.又.BE∥AC,.四边形AEBC是平行四边形， .BE=AC,.BE=BD.7.A8.A9.2.5【拓展设问】24 能力提升 10.B11.312.解：(1).在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB的中线，.CD =AD=AB.:CF⊥DE,·∠CFD=∠CFE=9O.又：DF=EF,CF=CR, ∴.△CFD2△CFE(SAS),.CE=CD,∴.AD=CE,(2)由(I)知，CE=CD=2AB=5, ∴AB=10.在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=√AB-AC=/102-6=8..BE 第2页（共48页） =BC+EC=8+5=13,.S△m=2BE·AC=2×13X6=39. 思维拓展 13.解：(1).四边形BCAD是矩形，.AD∥BC,∠DAC=90°，∴.∠F=∠CBF,∠EAF =90.点G是EF的中点AG=2EF=FG,∠F=∠GAR.:EF=2AB,∴AB =AG,∴.∠ABG=∠AGB=∠F+∠GAF=2∠F=2∠CBF,∴.∠ABC=∠ABG+ ∠CBF=2∠CBF+∠CBF=3∠CBF,∴射线BF是∠ABC的一条三等分线：(2)30 第2课时矩形的判定 基础过关 1.C2.证明：O是边AB的中点，∴.OA=OB.在△AOD和△BOC中，∠AOD= ∠BOC,OA=OB,∠A=∠B,∴△AOD≌△BOC(ASA),∴.DA=CB.∠A=∠B= 90°，∴∠A十∠B=180°，DA∥CB,.四边形ABCD是平行四边形.又：∠A=90 ∴.四边形ABCD是矩形.3.对角线相等的平行四边形为矩形4.AC=BD(答案不 唯一)5.证明：AB=CD,AD=BC,∴.四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OA, BD=2OD..OA=OD,∴AC=BD,∴.四边形ABCD是矩形.6.A7.证明：，AE BE,AD⊥BD,∴.∠E=∠D=90°.BD,BE分别平分∠ABC,∠ABP,∴∠ABD= ∠ABC,∠ABE=Z∠ABP.:∠ABC+∠ABP=1S0,∠ABD+∠ABE- 3(∠ABC+∠ABP)=号X180=90,即∠EBD=90,∠E=∠EBD=∠D=90, ∴四边形AEBD是矩形. 能力提升 8.A9.D10.解：(1)四边形PBCE是平行四边形.理由如下：，CF∥AB,PE∥BC, ∴.四边形PBCE是平行四边形；(2)当P为AB的中点时，四边形APCE是矩形.理由 如下：：P为AB的中点，AP=BP.:由(1)知四边形PBCE是平行四边形，∴.BP= CE,∴.AP=CE.:CF∥AB,即EC∥AP,∴四边形APCE是平行四边形.又，△ABC 是等边三角形，P为AB的中点，∴.CP⊥AB,∴∠APC=90°，∴.四边形APCE是矩形 思维拓展 11.解：(1)PQ=CD.理由如下：由题意，得AP=tcm,CQ=2tcm,.DP=AD-AP= (21-t)cm,BQ=BC-CQ=(24-2t)cm.当t=7时，DP=21-7=14(cm),CQ=2X7 =14(cm),.DP=CQ.AD∥BC,即DP∥CQ,.四边形DPQC是平行四边形.∴.PQ =CD:(2)存在.理由如下：·在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，∴.当AP=BQ 时，四边形ABQP是矩形.∴1=24一21，解得1=8.∴.当1=8时，四边形ABQP是矩形. 第3课时矩形的性质与判定的综合应用 基础过关 1.B2.A3.B4.125.126.解：(1)：△AOB为等边三角形，∴.∠BAO=60°= ∠AOB,OA=OB.四边形ABCD是平行四边形，∴.OB=OD,∴.OA=OD,易得 ∠OAD=∠ODA=30°，∴.∠BAD=∠BAO+∠OAD=60°+30°=90，.□ABCD为 矩形；(2)在Rt△ABD中，∠ADB=30°，AB=4,.BD=8.由勾股定理，得AD= √BD-AB=√82-4=4√5.∴.☐ABCD的面积为AB·AD=4×45=165. 7.解：(1)选择①，证明：AD∥BC,AB∥CD,.四边形ABCD是平行四边形 :∠ABC=90°，∴.四边形ABCD是矩形；选择②，证明：AD∥BC,AD=BC,四边 形ABCD是平行四边形.：∠ABC=90°，.四边形ABCD是矩形；(2)：四边形ABCD 是矩形，∴.∠ABC=90°.，AB=3,AC=5,∴.BC=√AC-AB=√52-3=4，.四 边形ABCD的面积为AB·BC=3×4=12. 能力提升 8.B9.解：(1)，BM∥AC,CN∥DB,∴.四边形BECO是平行四边形.，四边形ABCD 是菱形，∴.AC⊥BD,∴.∠BOC=90°，∴.平行四边形BECO是矩形；(2)四边形ABCD 是菱形，∴.BC=AB=2,OA=OC,OB=OD,AC⊥BD.:'∠BAC=60°，∴.△ABC是等 边三角形，AC=AB=2,0C=号AC=1.在R△B0C中，由勾股定理，得OB= √BC-O=√22-1卫=√5，∴.BD=2OB=2√3.由(1)可知，四边形BECO是矩形， ∴.BE=OC=1,∠OBE=90°.在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE=√BE+BD= √12+(2√5)=√3，即DE的长为√3. 思维拓展 10.解：(1)：a-√13|+√b-2+(c-3)2=0,a-√13|≥0，√6-2≥0，(c-3)≥ 0,∴.a-√13=0，b-2=0,c-3=0,∴.a=√/13，b=2,c=3..6+c2=22+32=13= 第3页（共48页）