第21章 一元二次方程(随堂反馈)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

专练（七）与圆有关的计算或证明 1.30°2.2√133.2√724.解：(1)AB是直径，.∠AEB=90°，AE⊥BC. AB=AC,.BE=CE.AE=EF,∴.四边形ABFC是平行四边形.，AC=AB,.四 边形ABFC是菱形；(2)设CD=x,则AB=AC=7十x.由(1)知BC=2BE=4,连接 BD.'AB是半圆的直径，∴.∠ADB=∠BDC=90°，∴.AB-AD=CB2-CD,∴.(7+ x)2-7=42-x2,解得x=1或-8（不合题意，舍去）.AB=8,∴.BD=√82-7= 5,S形c=8√5，S羊=号·元·(8÷2)2=8元5.解：(1)AE与⊙0相切.理 由如下：连接OA,AD.CD为⊙O的直径，∴.∠DAC=90°.∠ADC=∠B=60°， ∴.∠ACE=90°-∠ADC=30°.又：AE=AC,OA=OD,∴.∠E=∠ACE=30°，∠DAO =∠ADO=60°，∴.∠EAD=∠ADO-∠E=30°，∴.∠EAO=∠EAD+∠DAO=90°， ∴.OA⊥AE.又OA是⊙O的半径，∴AE与⊙O相切；(2)AE=AC,AC=6,∴.AE =6.由(1)可知△AOE为直角三角形，且∠E=30°，∠AOD=60°，则OE=2OA.由勾股 定理，易得0A=2,反.∴Ss=Sae一Sw=子X6×2万-60X/B-6V5 360 2元 专练（八）概率初步 1.D2.B3.冬4解：(1)22)根据题意，可以画出如下的树状图： 红 黄 白 个 黄白白2红白白红黄白红黄白 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等，其 中先后两次摸出不同颜色的两个球的结果有10种，所以P(先后两次摸出不同颜色的 两个球)=吕号 5.解：(1)150(2)选择“长跑”的人数为150×10%=15（人）， ∴.选择“铅球”的人数为150一30-45-15一15=45（人），∴.表示“铅球”的扇形圆心角 度数是360×款=108，(3)将“跳高短“铅球*分州记为A,B.C根据题意，可以 画出如下的树状图： 开始 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有9 个个个N ABCABCABC 种，这些结果出现的可能性相等，其中两人恰好选择同一种比赛项目的结果有3种，所 以P(两人恰好选择同一种比赛项日)=号=子 期末复习综合测试 1.B2.B3.C4C5C6.C7.C8.A93,0)10.30或150°1.经+ 号2.2,13.解：(Da=1,6=n=m+3,c=2m∴4=(m+3-8m=m 2mm十9=(m-1)2+8.:(m-1)2≥0，.(m-1)2+8>0,即△>0，.方程总有两个不 等的实数根；(2)由题意可知△=n2一4×1×2m=2一8m=0,即n2=8m.当n=-2,m =?时，方程为2-2x十1=0，解得==1（答案不唯一）.14解：1)抛物线的 解析式为y=x2一2x一3；(2)设F(x,x2-2x-3)(-1<x≤4).设直线AB的解析式为 -6把点A-1.0,B4,代人，得(~解科直线AB的解 式为y=x+1.EF∥y轴，∴E(x,x+1),∴.EF=x+1-(x2-2x-3)=-x2+3x+4 =-(一号)+空当=号时，线段EF的最大值为翠15解：1DP0/C证 明如下：由折叠的性质可得∠APO=∠CPO.,OA=OP,∴.∠A=∠APO,∴.∠A= ∠CPO.∠A=∠PCB,∴.∠PCB=∠CPO,∴.PO∥BC;(2)·CD是⊙O的切线， .OC⊥CD.CD⊥AP,∴.AP∥OC,∴.∠APO=∠POC.∠AOP=∠POC, .∠APO=∠AOP,∴.AP=AO=OP,∴.△AOP是等边三角形，∴∠A=60°，∴∠PCO =∠A=60°.AP∥OC,.∠DPC=∠PCO=60°，∴.∠DCP=30°，.PC=2PD,即 AO=AP=PC=2PD..'AB=2AO,..AB=4PD. 第46页（共54页） 随堂反馈答案 第二十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 知识梳理 ①整式一2②a.x2+bx十c=0(a≠0)a.x2 a ba bc3相等根 当堂练习 1.D2.A3.B4.x2+5x-2=015-25.解：(1)由题意，得(m+3)(m-3) =0且m十3≠0时，方程是一元一次方程，所以m一3=0，解得m=3;(2)由题意，得(m 十3)(m一3)≠0时，方程是一元二次方程，所以m≠士3. 21.2解一元二次方程 21.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 知识梳理 ①(1)两个不等=一√下，x2=√币(2)两个相等x=x2=0(3)无②降次 当堂练习 1A2.C3D43-75解：1Dx+1D=)x+1=±3函=-号 32= -号：(2)2x+1=士34=-2=1 第2课时用配方法解一元二次方程 知识梳理 ①完全平方形式②1 当堂练习 1D2A3士3±号4多其5.解：(D配方，得2+6x+3=-7+3, (x十3)2=2.由此可得x+3=士厄，m=-3十2，=一3-2；(2)移项，得号2十 子x=3.二次项系数化为1，得+子=2.配方，得2+子十（合）=2+（石）， (+看)-器由此可得x+名=士名=-3=子 .6.证明：x2-x+1= (x-)+是.：(x一受）≥0(x-)+是>0无论x取何值，代数式父 一x+1的值总大于0. 21.2.2公式法 知识梳理 ①？一4ac两个不等的两个相等的无26一4ac≥0 当堂练习 1.B2.D3.40-3十而-3-而4.c<-5.解：(1)方程化为2-4r -4=0.a=1,b=-4,c=-4.△=6-4ac=16-4×1×(-4)=32>0.方程有两个不 等的实数根=b士40c-4续恩=4生4E=2士22，即=2+2反，0=2 Za 2×1 2 -2√2；(2)方程化为3.x2-5x-6=0.a=3,b=-5,c=-6.△=b2-4ac=25-4×3× (一6)=97>0.方程有两个不等的实数根x=b±石4c=5专_5±厘，即 2a 2×3 4=5+应，=5-.6.解：1)由题意知a≠0,4=6-4a=a十2)2-4如=a 6 十4a十4一4a=a2十4..a>0,∴.a2+4>0,即△>0，∴.方程有两个不相等的实数根： (2).方程有两个相等的实数根，∴.△=b一4a=0.若b=2,a=1,则方程变形为x2十2x 十1=0，解得x1=x2=一1.（答案不唯一） 21.2.3因式分解法 知识梳理 ①因式分解法 第47页（共54页） 当堂练习 1.D2.C3.D4.1或-25.解：(1)a=5,b=-2,c=-1.△=b-4ac=(-2)2-4 X5X(一1)=24>0，方程有两个不等的实数根x=一b士一4@=二(-2)±2 2×5 1,即n中5=1气，2移项，得-6x=-1配方，得-6+3= 5x2= 5 一1十3，(x一3)2=8.由此可得x一3=士2√2，=3十2√2，x2=3-2√2：(3)移项整 理，得x(3x十5)一2(3x+5)=0.因式分解，得(x一2)(3x+5)=0.于是得x一2=0，或 3x十5=0a=2.=-号：(40原方程可变形为2-3一4=0.a=1,6=-3,c=-4. △=6-4ac=(-3)2一4×1×（一4）=25>0，方程有两个不等的实数根x= 士=恤=二特医=3，即=4，=-1 2a 2×1 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 1-6c aa 一pq②(1)二次项系数不为0(2)△≥0 当堂练习 1.B2.B3.434.-15.解：(1)由题意，得△>0，即(-6)2-4(2a+5)>0,解得 a<2;(2)由根与系数的关系，得十x2=6,0x2=2a十5.：x1+x-x2≤30，.(x 十)2-3m≤30,36-3(2a+5)≤30a≥-号.“a为整数，且a<2∴a的值 为-1,0,1. 21.3实际问题与一元二次方程 第1课时传播问题、循环问题与数字问题 当堂练习 1.B2.103.a(1十m)24.解：设应邀请x个球队参加比赛.根据题意，得2x(x- 1)=28.整理，得x2一x一56=0.解得m=8,2=一7（不符合题意，舍去）.答：应邀请8 个球队参加比赛.5.解：设这个两位数的个位数字为x,则十位数字为(x十3).根据题 意，得10(x十3)+x(10x十x十3)=1300.整理，得x+3x一10=0.解得x1=一5（不 符合题意，舍去)，2=2.∴.10(x十3)十x=10×(2+3)+2=52.答：这个两位数为52. 第2课时平均变化率与销售问题 当堂练习 1.C2.251003.解：该超市这两个月糜子黄酒销量的月平均增长率为x.根据题 意，得150(1十x)2=216.解得=0.2=20%，2=一2.2（不符合题意，舍去）.答：该超 市这两个月糜子黄酒销量的月平均增长率为20%.4.解：(1)设年销售量y与销售单 价x的函数关系式为y=kx十b(k≠0).将(35,550)，(40,500)分别代入y=kx+b,得 35k+b=550 40k+b=500 解得/一10， 年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=一10x 1b=900. 十900：(2)设此设备的销售单价为x万元，则每台设备的利润为(x一30)万元，销售数 量为(-10x十900)台.根据题意，得(x一30)(-10x十900)=8000.整理，得x2一120x 十3500=0.解得x=50,x2=70.:此设备的销售单价不得高于60万元，∴.x=50. 答：该设备的销售单价应是50万元. 第3课时几何图形问题 当堂练习 1.C2.B3.(50+2x)(30+2x)=18004.解：设AD的长为xm(x≤36)，则AB的 长为9中1=(30-合)m根据题意，得z(30-立）=40.整理，得t-60x+ 2 800=0.解得=20，x2=40.x≤36，∴.x=20,∴.AD的长为20m.5.解：设横彩条 的宽为2xcm,竖彩条的宽为3xcm.根据题意，得(20一2x)(30-3x)=(1一19%)×20 ×30.整理，得x2-20x十19=0.解得x1=1,x2=19.当x=19时，2x=38>20,不符合 题意，舍去.∴.x=1.答：横彩条的宽为2cm,竖彩条的宽为3cm 第48页（共54页）第二十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 知识梳理 ①等号两边都是 ,只含有 个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 (二次)的方程，叫做一元二次方程. ②一元二次方程的一般形式是 .其中 是二次项， 是 二次项系数， 是一次项， 是一次项系数， 是常数项， ③使一元二次方程左右两边 的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次 方程的解也叫做一元二次方程的 当堂练习 1.已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x十a2-1=0有一个根为x=0,则a的值 为 A.0 B.±1 C.1 D.-1 2.若x=1是关于x的一元二次方程x2十ax+2b=0的解，则2a十4b等于 A.-2 B.-3 C.-1 D.-6 3.某校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条 件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足 的关系式为 ( A.2x(x+1)=28 B7(-1)=28 C.x(x+1)=28 D.x(x-1)=28 4.方程(x十3)(2x一1)=x2一1化成一般形式为 ,二次项系数是 一次项系数是 ,常数项是 5.已知关于x的方程(m+3)(m-3)x2十(m十3)x+2=0. (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ ·1 21.2解一元二次方程 21.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 知识梳理 ①一般地，对于方程x2=p. (1)当>0时，根据平方根的意义，方程有 的实数根 此法也叫做直接开平方法； (2)当=0时，方程有 的实数根 (3)当<0时，因为对任意实数x,都有x2≥0，所以此方程 实数根 ②用直接开平方法解一元二次方程，实质上是把一个一元二次方程“ ”,转化为两 个一元一次方程. 当堂练习 1.方程100x2-1=0的解是 1 1 A.x=10x2=- 10 B.x1=10,x2=-10 C.x1=x=10 1 D.x1=x2=-1 1 2.已知b<0,则关于x的一元二次方程(x一1)2=b的根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.有两个实数根 3.若2x2+3与2x2-4互为相反数，则x的值为 ) A B.2 C.±2 D± 4.在实数范围内定义一种运算“”，其规则为a*b=a2一b,根据这个规则，方程 (x十2)*5=0的根为x1= x2= 5.用直接开平方法解下列方程： (1)3(x+1)2=1 (2)(2x+1)2=9. ·2 第2课时用配方法解一元二次方程 知识梳理 ①通过配成 来解一元二次方程的方法，叫做配方法， ②用配方法解方程的一般步骤：(1)将二次项系数化为 ,并移项使含未知数的项在 方程的左边，常数项在方程的右边；(2)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平 方，通过配方将方程转化成(x十)2=p的形式；(3)若卫≥0，则可直接开平方求出方程 的解；若<0，则方程无实数根. 当堂练习 1.用配方法解方程x2十8x十9=0，变形后结果正确的是 A.(x+4)2=-9 B.(x+4)2=-7 C.(x+4)2=25 D.(x+4)2=7 2.一元二次方程x2十px十q=0在用配方法配成(x十)2=n时，下列说法正确的是( A.m是p的一半 B.m是饣的一半的平方 C.m是p的2倍 D.m是p的一半的相反数 3.用适当的数填空：m m十4 =(m )2. 4.把方程2x2+6.x一1=0配方后得(x十m)2=k,则m= ,k= 5.用配方法解下列方程： (1)x2+6x=-7; (2+ 2x-3=0. 6.用配方法证明：无论x取何值，代数式x2-一x十1的值总大于0. ·3· 21.2.2公式法 知识梳理 ①一般地，式子 叫做一元二次方程ax2十bx十c=0根的判别式，通过常用希腊 字母“△”表示它，即△=b-4ac.△>0台方程ax2十bx十c=0(a≠0)有 实 数根；△=0台方程a.x2十bx十c=0(a≠0)有 实数根；△<0台方程ax2+ bx十c=0(a≠0) 实数根 2一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)，当 时，x=一b士WB一4ac 2a 当堂练习 1.一元二次方程x2一3x十1=0的根的情况是 A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 2.下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2-4x十c=0一定有实数根的是 ( A.a>0 B.a=0 C.c>0 D.c=0 3.一元二次方程x2十6x=1中，b2一4ac= ,x1= ,x2 4.若一元二次方程x2十x一c=0没有实数根，则c的取值范围是 5.用公式法解下列方程： (1)x2-2x=2x十4； (2)3x2-6=5x. 6.已知关于x的一元二次方程ax2十bx十1=0. (1)当b=a十2时，利用根的判别式判断方程根的情况； (2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的α，b的值，并求此时方程的根. ·4· 21.2.3因式分解法 知识梳理 ①不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这 两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做 ②用因式分解法解一元二次方程的步骤：(1)将方程的一边化为0；(2)将方程另一边分解 成两个一次因式的积的形式；(3)令每个因式分别等于0，即得到两个一元一次方程； (4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 当堂练习 1.方程x(x十1)=3(1+x)的解是 A.x=-1 B.x=3 C.x1=3,x2=1 D.x1=3,x2=-1 2.解方程x一√2=（√2-x)最适合的方法是 ( A.配方法 B.公式法 C.因式分解法 D.无法确定 3.方程x2=4x的解为 ( A.士4 B.0或4 C.4 D.士4或0 4.若代数式x+2的值与x(x十2)的值相等，则x的值为 5.用适当的方法解下列方程： (1)5x2-2x-1=0; (2)x2-6x+1=0; (3)x(3x+5)=6x+10; (4)x2-3x=4. ·5· *21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 ①如果ax2十bx十c=0(a≠0)的两个根分别是x1,x2,那么x1十x2=,xx2= 如果x2十x十q=0的两根分别为x1,x2,那么x1十x2= x1x2= ②在运用一元二次方程根与系数的关系时应注意两个条件：(1) (2) 当堂练习 1.若x=一1是方程x2+x十m=0的一个根，则此方程的另一个根是 ( A.-1 B.0 C.1 D.2 2.已知关于x的一元二次方程x2一2x一a=0的两根分别记为x1,x2.若x1=一1，则a一 x一x的值为 A.7 B.7 C.6 D.-6 3.设x1,x2是方程x2一4x十m=0的两个根，且x1十x2一x1x2=1,则x1十x2= m= 4.若关于x的方程x2十(a-1)x十a2=0的两根互为倒数，则a= 5.已知关于x的一元二次方程x2一6.x十2a十5=0有两个不相等的实数根x1,x2. (1)求a的取值范围； (2)若x十x-x1x2≤30，且a为整数，求a的值. ·6· 21.3实际问题与一元二次方程 第1课时传播问题、循环问题与数字问题 当堂练习 1.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后会有81台电脑被感 染，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？设每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，则x满足的方程是 ) A.1+x2=81 B.(1+x)2=81 C.1+x+x2=81 D.1+x+(1+x)2=81 2.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用某社交软件转发的方式传播，他设计了如 下的传播规则：将倡议书发表在自己的账号上，再邀请个好友转发倡议书，每个好友 转发倡议书之后，他们又邀请个互不相同的好友转发倡议书，依次类推.已知经过两 轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n的值为 3.某种传染性禽流感在鸡群中迅猛传播，平均一只鸡每隔4h能传染m只鸡.现知道某鸡 场有a只鸡有此病，那么8h后感染此病的鸡共有 只. 4.要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛， 应邀请多少个球队参加比赛？ 5.阅读材料，解答下列问题： 反序数：有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单的说，就是 顺序相反的两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：12的反序数是21,456的 反序数是654. 用方程知识解决问题： 若一个两位数为正数，其十位上的数字比个位上的数字大3，这个两位数与其反序数之 积为1300，求这个两位数， 7 第2课时平均变化率与销售问题 当堂练习 1.国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加.2022年至2024年某地区快递 业务收入由749亿元增加到1033亿元.设该地区2022年至2024年快递业务收入的年 平均增长率为x,则可列方程为 A.749(1+2x)=1033 B.749×2(1+x)=1033 C.749(1+x)2=1033 D.749+749(1+x)+749(1+x)2=1033 2.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售 价为a元，则可卖出(350一10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%.若 商店计划要赚400元，则每件商品的售价为 元（取整数），需要卖出 件商品. 3.糜子黄酒是陕北人民在整理、挖掘、继承民间酿酒工艺的基础上，采用最新技术和现代 理化分析手段研制开发的一种风味独特的新型保健酒，因其香气浓郁、入口微甜、后味 醇厚，以及极高营养价值，深受省内外人们的喜欢.某超市今年10月份糜子黄酒的销量 为150瓶，经过两个月的连续增长，到12月份糜子黄酒的销量达到了216瓶.求该超市 这两个月糜子黄酒销量的月平均增长率. 4.为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技 设备，每台设备成本价为30万元.经过市场调研发现，每台售价为35万元时，年销售量 为550台；每台售价为40万元时，年销售量为500台.假定该设备的年销售量（单位：台） 和销售单价（单位：万元）成一次函数关系， (1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式； (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于60万元，如果该公司想获得8000万元 的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？ ·8… 第3课时几何图形问题 当堂练习 1.王叔叔从市场上买了一块长为80c,宽为70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱.如 图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为xc的正方形后，剩余的部分刚好能围 成一个底面积为3000cm的无盖长方体工具箱.根据题意可列方程为 A.(80-x)(70-x)=3000 B.80×70-4.x2=3000 C.(80-2.x)(70-2x)=3000 D.80×70-4x2-(70+80)x=3000 2.要用一条长24cm的铁丝围成一个斜边长是10cm的直角三角形，则两直角边的长分别 为 ( A.5 cm,9 cm B.6 cm,8 cm C.4 cm,10 cm D.7 cm,7 cm 3.在一幅长50cm,宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅 50 cm 矩形挂图，如图.如果要使整个矩形挂图的面积是1800cm.设金色 纸边的宽为xcm,那么x满足的方程为 4.某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为a=36m的墙，另三边用总长为59m 的篱笆围成.围成的花圃是如图所示的矩形ABCD,并在BC边上留有一扇1宽的门. 若围成的花圃面积为400m,求AD的长. 5.如图，要设计一副宽20cm、长30cm的图案，其中有一横一竖的彩条，横、竖彩条的宽度 之比为2：3.如果要彩条所占面积是图案面积的19%，问横、竖彩条的宽度各为多少？ 30 cm 20cm ·9