第21章 一元二次方程 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

有16种，即11,41,71,81,14,44,74,84,17,47,77,87,18,48,78,88，这些结果出现的 可能性相等；(2)算术平方根大于4且小于7的结果有6种，即41,44,17,47,18,48，所 以P(算术平方根大于4且小于7)=品=冬.9白球103001.解：1)根据A 组10名同学得分从小到大排列的顺序，排在第5和第6名的成绩为84,86，.A组同 学得分的中位数为(84十86)÷2=85（分）.由表格可知，A组同学得分的众数为82分： (2)将A组的两名同学分别记为甲、乙，将B组的两名同学分别记为丙，丁，根据题意， 可以画出如下的树状图：第一名 甲 丙 由树状图可以看出，所 个个个个N 第二名乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙 有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等，其中这2名同学恰好来自 同一组的结果有4种，所以P(这2名同学恰好来自同一组)=2=了· 4.1 常考题型演练 1.C2B3.D4 5.解：(1)根据题意，列表如下： y a b c a (a,a) (a,b) (a,c) b (b,a) (b,b) (b,c) 由表可以看出，可能出现的结果有6种，并且它们出现的可能性相等：(2)七年级年级 组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的结果有4种，即(a,b),(a,c),(b,a),(b, c0,所以P(该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基电互不相同)=青=号。 6.解：(1)200喜欢乒乓球的人数为200一44一16一88=52，补全条形统计图如图： ↑人数 88 （2②)客欢乒乓球运动的学生约有120×器-312x名)： 篮球足球乒乓球羽毛球类别 (3)根据题意，可以画出如下的树状图：第一名 甲 乙 个、 丙 个 不由 第二名乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙 树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等，其中 拾好选中甲、乙两名同学的结果有2种，所以P(拾好选中甲，乙两名同学)=是=合 综合评价答案 第二十一章综合评价 1.C2.A3.C4.D5.C6.D7.A8.A9.A10.B11.x1=5,2=-1 12.k413.614.215.316117.51825或1619.解：10号-5)2=18， (x-5)2=36,x-5=士6，x1=11,2=-1;(2)移项整理，得3(x-2)2-x(x-2)=0. 因式分解，得(x-2)[3(x-2)-x]=0,(x-2)(2x-6)=0.于是得x-2=0,或2.x-6 =0,0=2,2=3.20.解：(1)关于x的一元二次方程kx2-(2k十4)x十k-6=0 有两个不相等的实数根，“4=[-(2k+4)]-4k(k-6)>0且≠0，∴>一号且≠ 0;(2)当k=1时，原方程为x2-(2×1+4)x+1-6=0,即x2-6.x-5=0.移项，得x -6.x=5.配方，得x2-6x+9=5+9,(x-3)2=14.由此可得x-3=士√14，x1=3+ √14，x2=3-√14.21.解：(1)由题意，得a=2,b=5,c=3,∴.a-b+c=2-5十3=0， ,.一元二次方程2x2+5x+3=0是“黄金方程”：(2)"，3x2一ax十b=0是关于x的“黄 金方程”，.3-（一a)十b=0,∴.b=-a-3,代入原方程，得3x2一a.x-a-3=0.a是 此“黄金方程”的一个根，.3a2-a2-a-3=0,即2a2一a-3=0,解得a=-1,或a 2解，1)根据题意，得4=[-(3m+1门-4[（受m)'+号]=6m-1≥0，解 3 第31页（共54页） 得m≥石；(2)：m为1)中符合条件的最小正整数，m=1,“原一元二次方程为t -4r+具=0ia+b=4,ah=a2-4a+是=0d-4a=-是子ad+a6 -4a=子a2(a+b)-4a=d-4u=-是.23.解：1)换元转化(2②)①设r=y,则 x=y2,原方程可化为y2-y-6=0.解得y=3,2=-2.当y=3时，x2=3,解得x 士5；当y=一2时，x2=一2，此方程没有实数根.∴.原方程的解为0=5，x2=一√5； ②设x-3x=a,则原方程可化为合=a-3.整理，得a2-3a-4=0.解得a1=4,a= 一1.当a=4时，x2-3x=4,解得0=4,2=-1.当a=-1时，x2-3.x=一1，解得 =35-35。∴原方程的解为=4函=-13535 2 24.解：(1)y=300一10x(2),销售单价不低于44元，且获利不超过30%，∴.44≤44 十x≤40×(1十30%)，∴.0≤x≤8.根据题意，得(300-10x)(44-40+x)=2400.整 理，得x2-26.x十120=0.解得=6，x2=20(不符合题意，舍去)..44十6=50（元）. 答：文化衫的销售单价为50元时，商店每天获利2400元.25.解：(1)2√26cm (2)∠B=90°，∴.△BPQ是等腰三角形时，只能有BP=BQ,由题意可知：BP=(11一 t)cm.,'点Q从点B出发，以每秒2cm的速度沿BC向点C匀速运动，到达点C后返 回点B,当有一点停止运动时，另一点也停止运动，∴.当0≤t≤4时，BQ=21cm:当4<1 ≤8时，BQ=(16-21)cm;当8<t11时，BQ=(2t16)cm;,'BP=BQ,.11-t=2t, 解得1=号<4，符合题意：11-1=16-2，解得1=5，符合题意：11-1=21-16，解得1 =9,符合题意；综上所述，当1的值为，5或9时，△BPQ是等腰直角三角形；(3)假 设存在t,使得△BPQ的面积等于10cm.由(2)可知：BP=(11-t)cm,当0≤t≤4时， BQ=2tcm:当4<t≤8时，BQ=(16-2t)cm:当8<t≤11时，BQ=(2t-16)cm.∴.当 0<1<4时，Sa0=2BP·BQ-号×(11-0X21=10.整理，得P-11+10=0,解 得1=1，或1=10（舍去）.当41≤8时，S0=号BP,BQ-=号×(11-)X(16-2) =10.整理，得2-19t+78=0,解得t=6,或t=13(舍去).当8<t≤11时，S△Q= 2BP,BQ-号×11-0X(21-16)=10.整理，得2-191+98=0.“4=(-19)2 4×1×98=一31<0，∴.此方程无实数根.综上所述，当1的值为1或6时，△BPQ的面 积等于10cm. 第二十二章综合评价 1.B2.C3.D4.D5.C6.B7.A8.C9.C10.D11.(0,2)12.<13.1 14(3.0)15.m116y=-72+3x或y=72-3x17.201843或7 19解：1=一x2-x+号=-合（x+12+2,顶点坐标为(-1,2)：令)=-合 =0，解得0=一3，m=1.故它与x轴的交点坐标为(-3,0，(1,0)：(2)列表 一x十2 如下： -4-3-2-1012… y -2.501.521.50-2.5… 描点、连线如图； (3)x<一3或x>1.20.解：(1)将A(0,3), B以-1,0)代入抛物线y=ar+2x十c,得/3=c, 0=a-2+c. 、。解得“二2”抛物线的函数 解析式为y=-x2十2x十3；(2)：y=一x2十2x十3=-(x一1)2十4，.抛物线顶点D 的坐标为(1,4).对称轴与x轴相交于点E,∴.DE=4,OE=1.B(一1,0)，∴.OB= 第32页（共54页） 1,∴.BE=OB+OE=1+1=2.在Rt△BED中，根据勾股定理，得BD=√BE+DE =√/22+4=25.21.解：(1)抛物线y=(x+1)2+k的对称轴为直线x=一1.把 C(0,一3)的坐标代入y=(x十1)2+k,得一3=1十k,解得k=一4；(2)由(1)，得抛物线 的函数解析式为y=(x十1)2-4.令y=0,则(x十1)2-4=0，解得m=1,x2=一3， ∴.点A的坐标为（一3,0），点B的坐标为(1,0)；(3)连接AC,交抛物线的对称轴于点 P,此时PB十PC的值最小.易得直线AC的解析式为y=一x一3.对称轴为直线x= -1,∴.xp=-1,∴p=-（-1)-3=-2,∴.点P的坐标为(-1，-2).22.解：(1)把 A(-1,0),B(3,0)分别代人y=2+ba+c中，得-6十c=0 9+36+c=0, 解得 b=一2抛物 c=-3, 线的解析式为y=x-2x-3.,y=x2一2x一3=(x一1)2一4，顶点坐标为(1，一4). 由图象可得当0<x<3时，-4≤y<0:(2)A(-1,0),B(3,0),AB=4.设P(x,y), 则Samm=AB·y=2=10,=5∴y=士5.①当y=5时2-2x-3= 5,解得x0=一2,2=4，此时点P的坐标为(-2,5)或(4,5)：②当y=-5时，x2-2x 3=一5，方程无解.综上所述，点P的坐标为（一2,5）或(4,5).23.解：(1)设y与x的 函数解析式为y=.x+b.将点(8,2200)和点(14,1600)的坐标代入，得 ,8k+b=2200, 解得怎10，y与r的函数解折式为y=-10x十300：(2)设 14k+b=1600, b=3000, 销售这种荔枝日获利为w元.根据题意，得0=(x一6一2)（一100x+3000)=一100x +3800x一24000=一100(x-19)2+12100,∴.抛物线开口向下，且对称轴为直线x= 19,.当x<19时，w随x的增大而增大.，销售价格不高于18元/kg,即x≤18，∴.当 x=18时，取得最大值，最大值为一100×(18-19)2+12100=12000.即当每千克荔 枝的销售价格定为18元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为12000元.24.解： (1)AB=xm,.BC=(24-3.x)m,∴.S=x(24-3.x)=-3x2+24x.墙长为10m, 0<24-3<10,解得4<<8.∴5=-3x+24x(告<<8)：2)当S=45时， -3x+24=45,解得=3，西=5：兰≤<8，=5，答：如果要围成面积为 45m的花圃，那么AB的长为5m;(3)能围成.S=一3.x2+24x=一3(x-4)2+48. :一3<0∴此地物线的开口向下.：地物线的对称轴为直线=4，“当号<r<8时。 图象在对称轴右侧，S随x的增大而减小，“当x=兰时，S有最大值，S大=一3X (告-4)°+4格=46号>45÷能围出比456㎡更大的花周，最大面积是46子m㎡. 25.解：(1)，抛物线过点O(0,0),A(5,5),且它的对称轴为直线x=2,∴.抛物线与x轴 的另一个交点的坐标为(4,0).设抛物线的解析式为y=a.x(x一4)，把A(5,5)代入，得 5a=5,解得a=1,.y=x(x-4)=x2一4x,故此抛物线的解析式为y=x2一4x; (2),点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，∴.设B(2,m)(m>0).连接 OA,设直线OA的解析式为y=kx,则5k=5,解得k=1,∴.直线OA的解析式为y=x. 设直线OA与抛物线对称轴交于点H,如答图①，则H(2,2),.BH=|m一2|.S△4B =15,…号×m-2到×5=15，解得m=8或-4.：m>0,m=8,点B的坐标为(2， 8》:3)设直线AB的解析式为)y=cx+d,把A(5,5),B(2,8)代人，得c十二5， 解得 2c+d=8, C二1：直线AB的解析式为y=一x十10.当PA-PB的值最大时，A,B,P在同- d=10, 条直线上，如答图②.P是抛物线上的动点，联立 +10解得西2， y=x2-4x, 1y=12, 1x2=5, (舍去).∴.P(-2,12),此时，PA-PB=AB=√(5-2)2+(5-8)=3√2. 12=5 答图① 答图② 第33页（共54页）第二十一章综合评价 (时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共30分） 委 1.下列方程是一元二次方程的是 乐 A.x2-3=0 B.x2+x=1 数 C.3x2-8=0 D.(x-1)(x-2)=x2 2.将方程x2十6x一5=0的左边配成完全平方式后所得方程 为 A.(x+3)2=14 B.(x-3)2=14 苏 1 批 C(+6)2= D.以上答案都不对 3.下列一元二次方程无实数根的是 A.x2+x-2=0 B.x2-2x=0 C.x2+x+5=0 D.x2-2.x+1=0 4.2024年以来，某厂生产的电子产品处于高速上升期，该厂生产 一件产品起初的成本为256元，经过两次技术改进，现生产一 封 件这种产品的成本比起初下降了31元.设每次技术改进产品 的成本下降率均为x,则下列方程正确的是 ( A.256(1-2x)=256-31 B.(256-31)(1+x)2=256 C.256(1-x)2=31 D.256(1-x)2=256-31 5.若一元二次方程2x2一mx十2=0有一个根是x=1,则另一个 根是 ( A.x=-2 B.x=-1 C.x=1 D.x=2 6.在解一道一元二次方程时，因印刷不清楚，小影在解题过程中 仅看错了常数项，解得方程的两个根是6和1；小冬仅看错了一 部 次项的系数，解得方程的两个根是一2和一5.则原来的方程 是 ( A.x2+6.x+5=0 B.x2-6.x-10=0 独 C.x2-5.x+2=0 D.x2-7x+10=0 7.若菱形两条对角线的长分别是方程x2一7x+12=0的两根，则 阳 该菱形的面积是 ( ) A.6 B.12 C12或y D8或 第1页（共6页） 8.已知关于x的方程x2一(2k一2)x十k2一1=0有两个实数根， 则√(k一1)一（√2一）2的化简结果是 ) A.-1 B.1 C.-1-2k D.2k-3 9.已知x1,x2是方程x2-x一2025=0的两个实数根，则代数式 x3一2025x1十x2的值是 ( A.4051 B.4049 C.2025 D.1 6x-a≥-10， 10.使得关于x的不等式组 -1+< 1,3有且只有4个 8x+ 整数解，且关于x的一元二次方程(a一5)x2十4x十1=0有实 数根的所有整数a的值之和为 A.35 B.30 C.26 D.21 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.方程(x一2)2一9=0的根是 12.若关于x的一元二次方程x2一4x十k=0有两个不相等的实 数根，则的取值范围是 13.如图，已知A,B,C是数轴上异于原点O的三个点，且点O为 AB的中点，点B为AC的中点.若点B对应的数是x,点C 对应的数是x2-3x,则x= AOB C 14.若方程2x2一3x一1=0有一个根为m,则代数式3m(2m 3)-1的值为 15.已知关于x的方程ax2十bx十c=3的解与(x一1)(x一4)=0 的解相同，则a十b十c的值为 16.已知1,2是方程2x2-3x十1=0的两根，则代数式十2 1十C1x2 的值为 17.如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为 60m,宽为40m的矩形空地上，修建一个矩形 花圃，并将花圃四周余下的空地建成同样宽的通 道，若通道所占面积是整个矩形空地面积的。，则此时通道的 宽为 m. 18.在等腰三角形ABC中，BC=8,AB,AC的长是关于x的一元二 次方程x2一10x十m=0的两个根，则m的值是 第2页（共6页） 三、解答题（共66分） 19.(8分)解下列方程： 1)2x-5)2-18=0: (2)3(x-2)2=x2-2x. 20.(8分)已知关于x的一元二次方程kx2一(2k十4)x十k一6=0 有两个不相等的实数根， (1)求k的取值范围； (2)当k=1时，用配方法解方程. 21.(8分)定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠ 0)满足a一b十c=0,那么我们称这个方程为“黄金方程”. (1)判断一元二次方程2x2+5x十3=0是否为“黄金方程”； (2)已知3x2一ax十b=0是关于x的“黄金方程”，若a是此 “黄金方程”的一个根，求a的值. 第3页（共6页） 2.10分)已知关于x的方程x2-(3m+1)x+(受m)2+)=0 3 有实数根 (1)求m的取值范围： (2)若m为(1)中符合条件的最小正整数，设此时对应的一元 二次方程的两个实数根分别为a,b,求代数式a十 是adb4a的值。 23.(10分)阅读材料： 为解方程(x2一1)2一5(x2一1)+4=0，我们可以将x2一1视 为一个整体，然后设x2-1=y,则(x2-1)2=y2. 原方程化为y2一5y+4=0.① 解得y1=1,y2=4. 当y=1时，x2一1=1，解得x=士√2. 当y=4时，x2一1=4，解得x=士√5. ∴原方程的解是x1=√2，x2=一√2，x3=√5，x4=一√5. 解答问题： (1)填空：在由原方程得到方程①的过程中利用了 法 达到降次的目的，体现了 的数学思想； 第4页（共6页） (2)解方程： ①x4-x2-6=0: ② =x2-3x-3. 测控 24.(10分)某商店销售一种文化衫，每件进价40元，规定销售单 价不低于44元，且获利不超过30%，试销售期间发现，当销售 单价定为44元时，每天可售出300件，销售单价每上涨1元， 每天销售量减少10件.设每天的销售量为y件，销售单价上 涨x元. (1)y与x的函数关系是 (2)文化衫的销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？ 第5页（共6页）》 25.(12分)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=11cm,BC= 8cm,点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB向点B匀 速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2cm的速度沿BC向 点C匀速运动，到达点C后返回点B,当有一点停止运动时， 另一点也停止运动，设运动时间为ts. 备用图 (1)当t=1时，P,Q两点间的距离为 (2)是否存在t,使得△BPQ是等腰三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由； (3)是否存在t,使得△BPQ的面积等于10cm?若存在，请 求出t的值；若不存在，请说明理由！ 第6页（共6页）