21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系&重点突破专题 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 基础过关 1.A2.D【变式】23.A4.解：1)m十%=-3，m=1:(2)0十=- 6 1 通=后产号：(3)方程可化为3x十女一3=0山十=子函五=号- -1.5.A6.解：x1十x2=4,x1x2=2.(1)原式=(x0十2)2-20x2=42-2X2= 12;(2)原式=x1x2-3(x1+x2)+9=2-3×4+9=-1.7.C8.39.A 能力提升 10.A11.B12.士V713.解：1)p1(2)m十2=p,=1,1+1= =是=久：关于x的一元二次方程r一p虹十1=0(b为常数)有两个不相等的 T1T2 实数根西和∴-十1=0∴一p十子=0，即十=：《3)由根与系数 的关系，得01十2=p,x1x2=1..x+%=2p十1，.(x1十x2)2-2x1x2=2p+1, .p2-2=2p+1,解得p=3,p2=-1.当p=3时，△=p2-4=9-4=5>0;当p=-1 时，△=p2一4=-3<0，不合题意，舍去；∴.p=3. 思维拓展 14.解：(1)因式分解，得(x-2)(x-1)=0,于是得x-2=0,或x-1=0,∴=2，x2= 1,.方程x2-3x十2=0是“倍根方程”；(2)，(x一2)(mx十n)=0,.x一2=0，或mx +n=0,=2,=一品当一升=2X2=4时，n=-m,即4m+n=0:当一是 1时，1=一m,即m+n=0.综上所述，m,n的关系式为4m十n=0 (3)一元二次方程ax2+bx十c=0(6一4ac≥0)是“倍根方程”，.设方程的两根分别 为1,2，根据根与系数的关系，得1什21=一合1…21=台4=一品2·（一品）· ()=台26=9ac 重点突破专题一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.A2.C3.m≤5且m≠4【变式1】m>5【变式2m<5且m≠4【变式3】m≤5 4.解：(1)当m=0时，方程为一2x+2=0,此时方程有实数根；当1≠0时，△=[一(m十 2)]2一4m×2=2一4m+4=(m一2)2≥0，此时方程有两个实数根.综上所述，无论m 为何值，方程总有实数根；(2)，原方程可变形为(x一1)(m.x一2)=0，.=1,2= 品：方程有两个不相等的正整数根∴品为正整数，且品≠L.又m为整数∴m 1.5.D6.号7.B8解：1a=1,b=-(m+2),c=m-1a=-4ac=[-（m+ 2)]2-4×1×(m-1)=m2+4m+4-4m+4=m2+8.m2≥0，∴.△>0.∴.无论m取 何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)由题意，得十x2=m十2,0x2=m一1.·x 十x一x1x2=9,即(x1十x2)2-3.x1x2=9,∴.(m十2)2-3(m-1)=9.整理，得m2+m -2=0.∴.(m十2)(m-1)=0.解得m1=-2,m2=1.∴.m的值为-2或1. 21.3实际问题与一元二次方程 第1课时传播问题、循环问题与数字问题 基础过关 1.B2.(m+1)[m(m+1)门(m+1)23.114.A【变式】D5.解：设九(2)班有 x个同学，则每个同学交换出(x一1)件小礼物.根据题意，得x(x一1)=1560.整理，得 x2-x-1560=0.解得1=40，x2=-39(不合题意，舍去).答：九(2)班有40个同学. 6.B7.解：设原来的两位数十位上的数字为x,则个位上的数字为(5一x).根据题意， 得(10x+5-x)[10(5-x)十x]=736.整理，得x2-5.x+6=0.解得x1=2,2=3.当x =2时，5-x=5-2=3.当x=3时，5-x=5-3=2.答：原来的两位数是23或32. 能力提升 8.B9.14410.解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成x个有益菌.根据题 意，得60x=24000.解得0=20,2=一20（不合题意，舍去）.答：每轮分裂中平均每 个有益菌可分裂成20个有益菌；(2)24000×20=480000（个）.答：经过三轮培植后有 480000个有益菌. 第4页（共54页） 思维拓展 11.解：(1)根据题意，得2n(n-3)=14.整理，得f-3m-28=0.解得n=7,或n= 一4.n≥3，∴.n=一4不合题意，舍去.∴n=7,即这个多边形的边数是7：(2)A同学 的说法不正确.理由如下：当7(1-3)=10时，整理，得-31一20=0.解得n= 3±√8⑧，符合方程-31一20=0的正整数n不存在，∴多边形的对角线不可能有 2 10条，即A同学的说法不正确. 第2课时平均变化率与销售问题 基础过关 1.B2.10%3.解：设该市充电桩数量的年平均增长率为x.根据题意，得3.5(1十 x)2=5.04,解得0=0.2=20%，2=一2.2（不符合题意，舍去）.答：该市充电桩数量 的年平均增长率为20%.4.A5.解：设每份臊子面的价格提高x元.根据题意，得 (12一7十x)(160一10x)=1080.整理，得x2一11x+28=0.解得x1=4,2=7.当x=4 时，12十x=16;当x=7时，12+x=19.答：每份臊子面的价格是16元或19元时，“面 霸”餐馆能实现每天1080元的利润.6.解：(1)(100+200x)(2)根据题意，得(4一x 一2)100+200)=30.整理，得2x-3x+1=0.解得x1==1.当x=时， 1 100+200×2=200<260(舍去)：当x=1时，100+200×1=300>260，此时售价为4 一1=3（元）.答：老板需将每斤的售价定为3元.7.50+50(1+x)+50(1十x)2=182 能力提升 8.A9.解：(1)设2023年、2024年花卉产值的年平均增长率为x.根据题意，得640(1 +)=100.解得=子=25%，w=-号（不符合题意，舍去）.答：2023年，2024年 花卉产值的年平均增长率为25%：(2)1000×(1+25%)=1250（万元）.答：估计2025 年这个乡的花卉产值将达到1250万元. 思维拓展 10.解：(1)由题意，设一次函数的关系式为y=kx十b,又结合表格数据可知图象过(45， 5.(545解得怎y与之同的数关系式为y-计 155k+b=45, b=100. 100:(2)由题意，得销售额为x(-x十100)=-x2十100.x.当日销售额是2600元时， 2600=-x2+100x..x2-100x+2600=0.∴.△=(-100)2-4×2600=10000- 10400=一400<0.∴.此方程无实数根，故该商品日销售额不能达到2600元. 第3课时几何图形问题 基础过关 1.B2.D3.2cm,4cm4.解：设AB=xm,则BC=(50-2.x)m.根据题意，得x(50 -2x)=300.整理，得x2-25x十150=0.解得0=10，x2=15.当x=10时，50-2x= 30>25,不符合题意，舍去：当x=15时，50一2x=20<25,符合题意.答：当AB的长为 15m,BC的长为20m时，可使矩形花园的面积为300m.5.C6.27.解：(1)设道 路的宽度为xm.根据题意，得(40-x)(30一x)=1064.整理，得x2-70x+136=0.解 得=2，x2=68(不符合题意，舍去).答：道路的宽度为2m;(2)设道路的宽度为ym 根据题意，得(40-2)(30-20=之×30X40.整理，得)>-35y+150=0.解得n= 5,2=30(不符合题意，舍去).答：道路的宽度为5m. 能力提升 8.C9.C10.0.511.解：设页边距为xcm.根据题意，得(16一2x)(10-2x)=16× 10×70%.整理，得x2一13x十12=0，解得=1,2=12（不符合题意，舍去）.答：需设 置页边距为1cm. 思维拓展 12.解：任务一：设A型劳动工具的单价为a元，则B型劳动工具的单价为(a十3)元.根 据题意，得300-解得a=20.经检验a-20是原分式方程的解a十3=20十 3=23.答：A型劳动工具的单价为20元，B型劳动工具的单价为23元：任务二：(1)36 -3x(2)由题意知，36-3<20，解得≥号根据题意，得(36-3x)x=96.整理，得 x2-12.x十32=0.解得x0=8,2=4(舍去).∴.x的值为8. 第5页（共54页） 第二十一章整合与提升 高频考点突破 1.B2.0或43.C4.15.解：(1)移项，得x2十2x=1.配方，得x2十2x+1=1+ 1,(x+1)2=2.由此可得x+1=土√2，x=一1+√2，x2=一1-√2：(2)因式分解，得 x(x-3)=0.于是得x=0,或x-3=0,x1=0,x2=3;(3)配方，得x2一4x十2=4十22， (x-2)2=8.由此可得x-2=士2/2，x1=2+2√2,2=2-2√2：(4)a=1,b=-1,c= 一4，△=6一4ac=(一1)2一4×1×(-4)=17>0，方程有两个不等的实数根.x= 生延=1±正，即-1+，=1应.（任选两个即可）6.C 2a 2 2 2 7.B8.一39.解：(1)设方程的另一个根为x,则由根与系数的关系，得x十1=一a, x·1=a-2,解得x=-号a=之.即a=合，该方程的另一个根为-号：(2)：4=a -4(a-2)=a2-4a十8=a2-4a+4+4=(a-2)2+4>0,∴.不论a取何实数，该方程 都有两个不相等的实数根.10.解：(1)：一元二次方程x2-2mx十㎡+号m-1=0 有两个实数根心4=B-4ac=(-2m)2-4X(+号m-1)=-6m+4≥0，解得m ≤号.∴实数m的取值范围为m≤号(2)十=2m,0=㎡+受m-1∴十 =(m+m)P-2=(2m)2-2(+受m-1）=2m-3m+2由1)可知m≤ 号m的最大值为号当m=号时后十=2X(号)-3×号+2=号当m取 最大值号时，十的值是子.1.D1210%13.解：1C(2)卫(3)①所画 出的图形如图所示；「 ②设将要剪去的小正方形的边长为xcm.根据题 意，得(30一2x)2=484.解得1=4，x2=26(不符合题意，舍去)，此时纸盒的体积为4× 484=1936(cm),.答：将要剪去的小正方形的边长为4cm,这个纸盒的体积为1936cm. 易错易混专攻 1.D2.43.-1 常考题型演练 1.D2.D3.1,2或1，号4.解：1)：4=a2-4(a-1D=a2-4a+4=(a-22≥0， ∴.该方程总有两个实数根；(2)x2+a.x十a-1=0,∴.(x2-1)+(a.x十a)=0,∴.(x十 1)(x-1)+a(x+1)=0,∴.(x+1)[x+(a-1)]=0,.x+1=0,或x+(a-1)=0, ∴.1=一1,2=一a十1.该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根 的3倍，a为整数，-a十1=3×(-1)，或3(-a+1)=-1,解得a=4,a=专（舍 去)，∴.a的值为4.5.解：(1)设每个B款熊猫玩偶的售价为x元，则每个A款熊猫玩 偶的售价为号x元根据题意，得50-10-1解得x=25,经检验x=25是原分式 6 方程的解，且符合题意.答：每个B款熊猫玩偶的售价为25元；(2)设每个A款熊猫玩 偶应降价m元.根据题意，得(16-m)(100+受×20）=1200，整理，得m-6m-40= 0,解得1=10,2=一4.为了尽快减少库存，∴.m=10.答：每个A款熊猫玩偶应降 价10元. 第二十二章二次函数 22.1二次函数的图象和性质 22.1.1二次函数 基础过关 1.C2.(1)-1(2)≠23.(1)-4(2)1或-44.是-0.54-3是-2 0-6是-110不是01-15C6D7.-号2-号x是 第6页（共54页）*21.2.4一元二次 ②基础过关。逐点击破 知识点1利用根与系数的关系求两根 之和与两根之积 1.(2024·遵义汇川区三模)已知关于x的一 元二次方程x2一3.x一5=0的两个实数根分 别为01，x2,则x1x2的值为 () A.-5 B.-3 c. n号 2.下列一元二次方程两实数根之和为一4的 是 A.x2+2.x-4=0 B.x2-4x+4=0 C.x2+4.x+10=0 D.x2+4x-5=0 【变式】关于x的一元二次方程x2+2x一1= 0的两根之和为 3.若x1,x2是方程x2一6x一7=0的两个根， 则 ( A.x1+x2=6 B.x1十x2=-6 Cn名 D.x1x2=7 4.不解方程，求下列各方程的两根之和与两根 之积： (1)x2+3.x+1=0: (2)6x2+3.x-4=0: 13名师测控·数学九年级上册配R版 程的根与系数的关系 (3)2x2+3=5.x2+x. 知识点2利用根与系数的关系求相关代 数式的值 5.若x1,x2是方程x2一2x一1=0的两个根，则 20+2x2一x1x2的值为 () A.5 B.-5 C.3 D.-3 6.设方程x2一4x十2=0的两根为x1,x2,求下 列各式的值： (1)x7+x2; (2)(x1-3)(x2-3). 知识点3利用根与系数的关系求方程的 解或确定方程中待定字母的值 7.若关于x的方程2.x2十m.x十n=0的两个根 是一2和1，则n"的值为 () A.-8B.8 C.16D.-16 8.已知一元二次方程x2-一4x十+m=0的一个根 为x1=1,则另一个根x2= ?易错点利用根与系数的关系求待定字 母的值时，忽视△>0而致错 9.已知关于x的方程x2一(2m一1)x+m=0的 两实数根为0，x2.若(x1十1)(2+1)=3， 则m的值为 A.-3 B.-1 C.-3或1 D.-1或3 阅能力提升。整合运用 10.已知m,n是一元二次方程x2+2x一5=0 的两个根，则m2+mm+2m的值为() A.0 B.-10C.3 D.10 11.新考法逆向思维法在解一元二次方程x2十 px十q=0时，小红看错了常数项q,得到方 程的两个根是一4,2，小明看错了一次项系 数，得到方程的两个根是4，一3，则原来 的方程是 () A.x2+2x-8=0B.x2+2x-12=0 C.x2-2x-12=0D.x2-2x-8=0 12.新考法构造方程模型法已知实数s,t满足 2s2+3s-1=0,2t+3t-1=0且s≠t,则 片片的值为 13.(2024·四川内江)已知关于x的一元二次 方程x2一x十1=0(p为常数)有两个不相 等的实数根x1和x2. (1)填空：x1+x2 x1C2= (2)求1+1,0+1； (3)已知x+x吃=2饣十1，求p的值 思维拓展。学科素养 14.新视角新定义我们定义：如果关于x的一 元二次方程a.x2+bx十c=0有两个实数根， 且其中一个根为另一个根的2倍，则称这 样的方程为“倍根方程”. (1)请说明方程x2一3x+2=0是“倍根 方程”； (2)若(x一2)(mx十n)=0是“倍根方程”， 则m,n具有怎样的关系？ (3)若一元二次方程a.x2+bx十c=0(b2一 4ac≥0)是“倍根方程”，请直接写出a, b,c的等量关系. 第二十-章一元二次方程14 重点突破专题 一元二次方程 类型1根的判别式的应用 1.新视角新定义对于实数a,b定义运算“⑧” 为a⑧b=b-ab,例如3☒2=2-3×2= 一2，则关于x的方程(k一3)⑧x=k一1根的 情况，下列说法正确的是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 2.若关于x的一元二次方程x2一3x十m=0有 两个相等的实数根，则实数m的值为() A.-9 D.9 4 3.已知关于x的一元二次方程(m一1)2 x十1=0有实数根，则m的取值范围是 【变式1】若该一元二次方程没有实数根，则 m的取值范围是 【变式2】若该一元二次方程有两个不相等的实 数根，则m的取值范围是 【变式3别若方程(m-1)x2-x十1=0有 解，则m的取值范围是 4.已知关于x的方程mx2-（m+2)x十2=0. (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根； (2)m为何整数时，方程有两个不相等的正 整数根？ 15名师测控·数学九年级上册配RJ版 根的判别式及根与系数的关系 类型2根与系数的关系的应用 5.若c1,x2是一元二次方程x2+x一2=0的两 个实数根，则x1十x2一4x1x2的值为( A.4 B.-3C.0 D.7 6.新考法构建方程模型法方程，如同一首精致的 诗，以简洁的线条勾勒出深沉的数学之美. 已知a,b满足a2+2a-3=0,b+2b-3=0, 且a≠h,侧则日+6 类型3根的判别式和根与系数的关系 的综合应用 7.若关于x的一元二次方程x2+(a-2a)x+ a一1=0的两个实数根互为相反数，则a的 值为 ( ) A.2 B.0 C.1 D.2或0 8.(2024·四川遂宁)已知关于x的一元二次 方程x2-(m十2)x+m-1=0. (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相 等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且x十 x吃一x1x2=9,求m的值.