第04讲 根与系数的关系（1个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（人教版）

第04讲 根与系数的关系 课程标准 学习目标 ①根与系数的关系 1. 掌握根与系数的关系的基本式并能够熟练的进行求值。 2. 掌握根与系数的拓展式，能够熟练对拓展式变形再利用基本式对其求值。 知识点01 根与系数的关系 1. 一元二次方程根与系数的关系： 由公式法可知，若一元二次方程的时，一元二次方程有两个不相等的实数根，分别是 与 。 ①求 。 ②求 。 2. 根与系数的关系的推广应用： ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ 。 ⑥ 。 【即学即练1】 1．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2的值是 　． 【即学即练2】 2．已知x1，x2是方程2x2+3x﹣7＝0的两个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 【即学即练3】 3．若a，b是方程的两个根，则的值为（　　） A．﹣16 B．16 C．﹣20 D．20 题型01 根与系数的关系求基本式子 【典例1】若x1，x2是方程x2﹣5x+4＝0的两根，则x1•x2＝（　　） A．4 B．5 C．﹣4 D．﹣5 【变式1】已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x＝1的两个根，则x1+x1x2+x2的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2 【变式2】若x1，x2是方程x2﹣8x+7＝0的两个根，则＝（　　） A． B． C． D． 【变式3】若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则2024﹣x1﹣x2的值为（　　） A．2025 B．2023 C． D． 【变式4】若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程a（y﹣2）2+b（y﹣2）+c＝0的两根之积是（　　） A．2p+q+4 B．2p﹣q+4 C．q﹣2p+4 D．q﹣2p﹣4 题型02 利用基本式子求拓展式子的值 【典例1】设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣11＝0的两个根，则＝（　　） A．﹣11 B．4 C．16 D．38 【变式1】一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根为x1，x2，则的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【变式2】已知α和β是一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两个实数根，则＝（　　） A．﹣6 B． C．6 D． 【变式3】已知α，β是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两根，则的值等于（　　） A． B． C． D． 【变式4】若x1，x2是方程2x+4＝x2的两个根，则（x1+1）（x2+1）的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【变式5】设x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则+＝（　　） A． B． C．3 D．5 【变式6】若一元二次方程﹣x2+2024x﹣1＝0的两个实数根分别为α，β，则的值为（　　） A． B．2024 C． D．±2024 题型03 利用根与系数的关系求代数式的值 【典例1】已知m，n是一元二次方程x2+x﹣6＝0的两个实数根，则代数式m2﹣n的值等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【变式2】若m，n为方程x2+2x﹣2016＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝（　　） A．2014 B．2015 C．2016 D．2017 【变式3】如果m，n是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021的值为（　　） A．2021 B．2032 C．2022 D．2030 【变式4】m，n是方程x2﹣2023x+2024＝0的两根，则代数式（m2﹣2022m+2024）（n2﹣2022n+2024）的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 题型04 利用根与系数满足的关系式求未知字母 【典例1】已知一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2，若x1x2+3x1+3x2＝1，则实数k的值为（　　） A． B．﹣8 C．﹣10 D．10 【变式1】设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）＝8，则m的值为（　　） A．1 B．﹣3 C．3或﹣1 D．1或﹣3 【变式2】若关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x1、x2，且+＝3，则p的值为（　　） A． B． C．﹣6 D．6 【变式3】已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k＝0的两个实数根分别为x1、x2，且+＝4，则k的值是（　　） A．﹣1或﹣2 B．﹣1或2 C．2 D．﹣1 【变式4】已知关于x的方程3x2﹣5x+k＝0的两根分别为x1和x2，若6x1+x2＝0，则k的值为（　　） A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣ 【变式5】已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣2）x+m2﹣m＝0有两个实数根x1和x2，且|x1|＝|x2|，m的值为（　　） A．﹣1或1 B．﹣1或0 C．﹣1 D．1 题型05 根与系数的关系求方程的另一个根 【典例1】已知关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则方程的另一个根是（　　） A．﹣3 B．2 C．3 D．﹣4 【变式1】已知关于x的方程3x2﹣（k﹣1）x+2＝0的一个根是1，则另一个根是 　 　． 【变式2】若关于x的方程x2﹣mx﹣6＝0的一个根是﹣2，则另一个根和m的值分别为（　　） A．2、﹣3 B．﹣2、3 C．﹣3、﹣1 D．3、1 【变式3】已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0． （1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）已知5是此方程x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0的一个根，求k的值和这个方程的另一个根． 题型06 根与系数与根的判别式 【典例1】已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0． （1）求证：m取任意实数，该方程总有两个实数根； （2）设该方程的两根分别为x1，x2，且满足x1+x2＝3x1x2，求m的值． 【变式1】已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0． （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1，x2是原方程的两根，且，求m的值． 【变式2】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为a，b，求（a﹣b）2的值． 【变式3】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|＝2，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程x2+2x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣2，|0﹣（﹣2）|＝2，方程x2+2x＝0是“伴根方程”． （1）判断方程x2+8x+15＝0是否为“伴根方程”； （2）已知关于x的方程x2+（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“伴根方程”，求m的值． 1．小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是﹣2和﹣5．则原来的方程是（　　） A．x2+6x+5＝0 B．x2﹣7x+10＝0 C．x2﹣5x+2＝0 D．x2﹣6x﹣10＝0 2．已知m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+5m+n+2024的值是（　　） A．2023 B．2025 C．2026 D．2027 3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的两个根为x1，x2，且x1＝2x2，则m﹣x1+x2 的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3 4．若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2﹣14x+m＝0的两个实数根，且其面积为20，则该菱形两对角线长分别为（　　） A．3与11 B．4与10 C．2与10 D．5与8 5．已知m，n是一元二次方程x2+3x+2＝0的两根，则的值是（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 6．▱ABCD中，AB，BC的长分别等于一元二次方程x2﹣5x+6＝0两根之和与两根之积，则对角线AC长的取值范围是（　　） A．AC＞1 B．1＜AC＜6 C．AC＞5或AC＜11 D．1＜AC＜11 7．平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程的两个实数根．若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的两根之积是（　　） A．p+q+1 B．p﹣q+1 C．q﹣p+1 D．q﹣p﹣1 9．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+k2x+1＝0有两个实数根x1，x2，且满足（x1+1）（x2+1）＝2，则k的值是（　　） A．k＝﹣1 B．k＝1 C．k＝﹣2 D．k＝1或k＝﹣2 10．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（其中a≠0）的解是x1＝4，x2＝﹣6，且m满足，则的值是（　　） A．2或﹣8 B．3或﹣5 C．2 D．﹣8 11．已知﹣2是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则这个方程的另一个根为 　 　． 12．关于x的方程x2+mx﹣2n＝0的两根之和为﹣4，两根之积为3，则m+n的值为 　 　． 13．关于x的一元二次方程2x2+4mx+m＝0有两个不同的实数根x1，x2，且+＝，则m＝　 　． 14．设a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为 　 　． 15．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则+的值为 　 　． 16．已知关于x的一元二次方程x2+9x+20﹣2k2＝0． （1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0． （1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； （2）若一元二次方程的两根为x1，x2，且满足+﹣x1x2＝19，求m的值． 18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x+2m﹣10＝0． （1）求证：此一元二次方程总有实数根； （2）已知△ABC两边长a，b分别为该方程的两个实数根，且第三边长c＝3，若△ABC的周长为偶数，求m的值． 19．已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2． （1）填空：x1+x2＝　 　，x1x2＝　 　； （2）求+，x1+； （3）已知+＝2p+1，求p的值． 20． 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图2中阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图1：　 　；图2：　 　． 【例题解析】：如图3，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 方法一：从“数”的角度解： ∵a+b＝3，∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9； 又∵ab＝1，∴a2+b2＝7． 方法二：从“形”的角度解： ∵a+b＝3，∴S大正方形＝9，又∵ab＝1，∴S2＝S3＝ab＝1， ∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7． 其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题． 【类比迁移】： （2）若（3﹣x）（x+1）＝3，则（3﹣x）2+（x+1）2＝　 　． （3）如图4，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝7，两正方形的面积和S1+S2＝29，求图中阴影部分面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 根与系数的关系 课程标准 学习目标 ①根与系数的关系 1. 掌握根与系数的关系的基本式并能够熟练的进行求值。 2. 掌握根与系数的拓展式，能够熟练对拓展式变形再利用基本式对其求值。 知识点01 根与系数的关系 1. 一元二次方程根与系数的关系： 由公式法可知，若一元二次方程的时，一元二次方程有两个不相等的实数根，分别是 与 。 ①求 。 ②求 。 2. 根与系数的关系的推广应用： ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ 。 ⑥ 。 【即学即练1】 1．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2的值是 　8　． 【分析】由根与系数的关系可得：x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0的两个实数根分别是x1，x2， ∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣6， ∴x1+x2﹣x1x2 ＝2﹣（﹣6） ＝8， 故答案为：8． 【即学即练2】 2．已知x1，x2是方程2x2+3x﹣7＝0的两个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2和x1x2，再利用整体思想即可解决问题． 【解答】解：∵x1，x2是方程2x2+3x﹣7＝0的两个根， ∴，， ∴＝＝＝＝． 故选：B． 【即学即练3】 3．若a，b是方程的两个根，则的值为（　　） A．﹣16 B．16 C．﹣20 D．20 【分析】利用根与系数的关系求出a+b和ab的值，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为a，b是方程的两个根， 所以a+b＝，ab＝， 所以＝＝． 故选：C． 题型01 根与系数的关系求基本式子 【典例1】若x1，x2是方程x2﹣5x+4＝0的两根，则x1•x2＝（　　） A．4 B．5 C．﹣4 D．﹣5 【分析】根据根与系数的关系解决问题． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣5x+4＝0的两根， ∴x1•x2＝4， 故选：A． 【变式1】已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x＝1的两个根，则x1+x1x2+x2的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2 【分析】把方程化为一般形式，利用根与系数的关系可求得x1+x2和x1x2的值代入即可求得答案． 【解答】解：把方程化为一般形式可得x2﹣3x﹣1＝0， ∵x1，x2是方程的两个根， ∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣1， ∴x1+x1x2+x2＝3+（﹣1）＝2， 故选：D． 【变式2】若x1，x2是方程x2﹣8x+7＝0的两个根，则＝（　　） A． B． C． D． 【分析】利用根与系数关系求解． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣8x+7＝0的两个根， ∴x1+x2＝8，x1x2＝7， ∴＝． 故选：A． 【变式3】若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则2024﹣x1﹣x2的值为（　　） A．2025 B．2023 C． D． 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算即可． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝﹣1， ∴2024﹣x1﹣x2 ＝2024﹣（x1+x2） ＝2024﹣（﹣1） ＝2024+1 ＝2025， 故选：A． 【变式4】若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程a（y﹣2）2+b（y﹣2）+c＝0的两根之积是（　　） A．2p+q+4 B．2p﹣q+4 C．q﹣2p+4 D．q﹣2p﹣4 【分析】根据关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为p，两根之积为q，可以得到关于y的方程a（y﹣2）2+b（y﹣2）+c＝0的根符合（y1﹣2）+（y2﹣2）＝p，（y1﹣2）（y2﹣2）＝q，然后整理化简，即可解答本题． 【解答】解：设关于y的方程a（y﹣2）2+b（y﹣2）+c＝0的两根分别为y1，y2， ∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为p，两根之积为q， ∴x1+x2＝p，x1x2＝q， ∴（y1﹣2）+（y2﹣2）＝p，（y1﹣2）（y2﹣2）＝q， 化简，得：y1+y2＝p+4，y1y2﹣2（y1+y2）+4＝q， 整理可得，y1y2＝2p+q+4， 故选：A． 题型02 利用基本式子求拓展式子的值 【典例1】设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣11＝0的两个根，则＝（　　） A．﹣11 B．4 C．16 D．38 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣11＝0的两个根， ∴x1+x2＝4，x1•x2＝﹣11， ∴； 故选：D． 【变式1】一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根为x1，x2，则的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，然后直接代入所求代数式进行计算即可． 【解答】解：∵一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣1， ∴＝xx2（x1+x2）＝﹣1×（﹣2）＝2． 故选：A． 【变式2】已知α和β是一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两个实数根，则＝（　　） A．﹣6 B． C．6 D． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行计算即可． 【解答】解：a＝1，b＝﹣6，c＝5， ∵α和β是一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两个实数根， α+β＝6，αβ＝5， ∴＝＝， 故选：D． 【变式3】已知α，β是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两根，则的值等于（　　） A． B． C． D． 【分析】先利用根与系数的关系得α+β＝﹣2，αβ＝﹣9，再利用通分和完全平方公式变形得到＝＝，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据根与系数的关系得α+β＝﹣2，αβ＝﹣9， 所以＝＝＝＝﹣． 故选：A． 【变式4】若x1，x2是方程2x+4＝x2的两个根，则（x1+1）（x2+1）的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】利用根与系数的关系即可得到x1+x2＝2，x1x2＝﹣4，代入（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1求解即可． 【解答】解：原方程整理得x2﹣2x﹣4＝0， ∵x1，x2是方程2x+4＝x2的两个根， ∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣4， ∴（x1+1）（x2+1） ＝x1x2+（x1+x2）+1 ＝﹣4+2+1 ＝﹣1． 故选：A． 【变式5】设x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则+＝（　　） A． B． C．3 D．5 【分析】先求出（+）2，再求其算术平方根即可． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两根， ∴x1+x2＝3，x1•x2＝1， 而（+）2＝x1+x2+2＝3+2＝5， 且≥0，≥0故+≥0， ∴+＝， 故选：B． 【变式6】若一元二次方程﹣x2+2024x﹣1＝0的两个实数根分别为α，β，则的值为（　　） A． B．2024 C． D．±2024 【分析】判断出α+β＝2024，αβ＝1，再利用整体代入的思想解决问题． 【解答】解：∵一元二次方程﹣x2+2024x﹣1＝0的两个实数根分别为α，β， ∴α+β＝2024，αβ＝1， ∴＝＝＝＝． 故选：A． 题型03 利用根与系数的关系求代数式的值 【典例1】已知m，n是一元二次方程x2+x﹣6＝0的两个实数根，则代数式m2﹣n的值等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据一元二次方程根的定义得到m2＝6﹣m，再利用根与系数的关系得到m+n＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣6＝0的两个实数根， ∴m+n＝﹣1，m2+m﹣6＝0， ∴m2＝6﹣m， ∴m2﹣n ＝6﹣m﹣n ＝6﹣（m+n） ＝6+1 ＝7． 故选：D． 【变式1】设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【分析】先利用一元二次方程解的定义得到a2＝﹣a+2021，利用降次的方法得到a2+2a+b＝a+b+2021，再根据根与系数的关系得到a+b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2021＝0的实数根， ∴a2+a﹣2021＝0， ∴a2＝﹣a+2021， ∴a2+2a+b＝﹣a+2021+2a+b＝a+b+2021， ∵a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根， ∴a+b＝﹣1， ∴a2+2a+b＝﹣1+2021＝2020． 故选：B． 【变式2】若m，n为方程x2+2x﹣2016＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝（　　） A．2014 B．2015 C．2016 D．2017 【分析】先根据一元二次方程的定义得到m2＝2016﹣2m，则m2+3m+n可化为2016+m+n，再根据根用途系数的关系得到m+n＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：m为方程x2+2x﹣2016＝0的实数根， ∴m2+2m﹣2016＝0， 即m2＝2016﹣2m， ∴m2+3m+n＝2016﹣2m+3m+n＝2016+m+n， ∵m，n为方程x2+2x﹣2016＝0的两个实数根， ∴m+n＝﹣2， ∴m2+3m+n＝2016﹣2＝2014． 故选：A． 【变式3】如果m，n是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021的值为（　　） A．2021 B．2032 C．2022 D．2030 【分析】先由根与系数的关系得：m+n＝1，mn＝﹣3，因为n是方程x2﹣x﹣3＝0的根，所以n2﹣n﹣3＝0，则n2＝n+3，最后整体代入可得结论． 【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根， ∴m+n＝1，mn＝﹣3，n2﹣n﹣3＝0， ∴n2＝n+3， ∴2n2﹣mn+2m+2021 ＝2n+6+3+2m+2021 ＝2（m+n）+9+2021 ＝2+9+2021 ＝2032． 故选：B． 【变式4】m，n是方程x2﹣2023x+2024＝0的两根，则代数式（m2﹣2022m+2024）（n2﹣2022n+2024）的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到m2﹣2023m+2024＝0，n2﹣2023n+2024＝0，再由根与系数的关系得到mn＝2024，进而得到m2﹣2022m＝m﹣2024，n2﹣2022n＝n﹣2024，据此代值计算即可． 【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2023x+2024＝0的两根， ∴m2﹣2023m+2024＝0，n2﹣2023n+2024＝0，mn＝2024， ∴m2﹣2022m＝m﹣2024，n2﹣2022n＝n﹣2024， ∴（m2﹣2022m+2024）（n2﹣2022n+2024） ＝（m﹣2024+2024）（n﹣2024+2024） ＝mn ＝2024， 故选：C． 题型04 利用根与系数满足的关系式求未知字母 【典例1】已知一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2，若x1x2+3x1+3x2＝1，则实数k的值为（　　） A． B．﹣8 C．﹣10 D．10 【分析】根据根与系数的关系，得到x1+x2＝3，x1x2＝k，整体代入等式中，求出实数k的值即可． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝3，x1x2＝k， ∵x1x2+3x1+3x2＝1， ∴x1x2+3（x1+x2）＝k+3×3＝1， ∴k＝﹣8， 故选：B． 【变式1】设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）＝8，则m的值为（　　） A．1 B．﹣3 C．3或﹣1 D．1或﹣3 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2与x1•x2的值，再代入代数式进行计算即可． 【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝2（m+1），x1•x2＝m2+2， ∵（x1+1）（x2+1）＝8， ∴x1•x2+x1+x2+1＝8，即x1•x2+（x1+x2）﹣7＝0， ∴m2+2+2（m+1）﹣7＝0， ∴（m﹣1）（m+3）＝0， 解得m1＝1，m2＝﹣3． 检验：当m＝1时，原方程可化为x2﹣4x+3＝0， ∵Δ＝16﹣4×1×3＝16﹣12＝4＞0， ∴方程有实数根，符合题意； 当m＝﹣3时，原方程可化为x2+4x+11＝0， ∵Δ＝42﹣4×1×11＝16﹣44＝﹣28＜0， ∴方程无实数根，不符合题意． 故选：A． 【变式2】若关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x1、x2，且+＝3，则p的值为（　　） A． B． C．﹣6 D．6 【分析】由根与系数的关系可得：x1+x2＝﹣2，x1x2＝p，再结合所给的条件从而要求解． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x1、x2， ∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝p， ∵+＝3， ∴， 即， 解得：p＝﹣． 故选：A． 【变式3】已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k＝0的两个实数根分别为x1、x2，且+＝4，则k的值是（　　） A．﹣1或﹣2 B．﹣1或2 C．2 D．﹣1 【分析】由一元二次方程x2﹣2kx+k2+k＝0的两个实数根分别为x1、x2，可得x1+x2＝2k，x1•x2＝k2+k，即可得（2k）2﹣2×（k2+k）＝4，解得k＝2或k＝﹣1，再检验根的判别式是否大于0即可得到答案． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2kx+k2+k＝0的两个实数根分别为x1、x2， ∴x1+x2＝2k，x1•x2＝k2+k， ∵+＝4， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝4， ∴（2k）2﹣2×（k2+k）＝4， 解得k＝2或k＝﹣1， 当k＝2时，一元二次方程为x2﹣4x+6＝0，此时Δ＝（﹣4）2﹣24＝﹣8＜0，原方程无实数解，这种情况不存在，舍去； 当k＝﹣1时，一元二次方程为x2+2x＝0，此时Δ＝22＞0，符合题意； ∴k的值是﹣1； 故选：D． 【变式4】已知关于x的方程3x2﹣5x+k＝0的两根分别为x1和x2，若6x1+x2＝0，则k的值为（　　） A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣ 【分析】利用根与系数的关系求出两根之和，再由6x1+x2＝0可求出x1，进而得出x2，最后用k表示出两根之积即可解决问题． 【解答】解：因为关于x的方程3x2﹣5x+k＝0的两根分别为x1和x2， 所以，； 又因为6x1+x2＝0， 所以， 解得， 所以， 所以， 解得k＝﹣2． 故选：A． 【变式5】已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣2）x+m2﹣m＝0有两个实数根x1和x2，且|x1|＝|x2|，m的值为（　　） A．﹣1或1 B．﹣1或0 C．﹣1 D．1 【分析】由|x1|＝|x2|知x1＝x2或x1+x2＝0，当x1＝x2时，（2m﹣2）2﹣4（m2﹣m）＝0，当x1+x2＝0时，2﹣2m＝0，解方程可得答案． 【解答】解：∵|x1|＝|x2|， ∴x1＝x2或x1+x2＝0， 当x1＝x2时，Δ＝0，即（2m﹣2）2﹣4（m2﹣m）＝0， 解得m＝1； 当x1+x2＝0时，2﹣2m＝0， 解得m＝1， 综上所述，m的值为1； 故选：D． 题型05 根与系数的关系求方程的另一个根 【典例1】已知关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则方程的另一个根是（　　） A．﹣3 B．2 C．3 D．﹣4 【分析】设方程的一个根x1＝1，另一个根为x2，再根据根与系数的关系进行解答即可． 【解答】解：设方程的一个根x1＝1，另一个根为x2，根据题意得： x1×x2＝3， 将x1＝1代入，得x2＝3． 故选：C． 【变式1】已知关于x的方程3x2﹣（k﹣1）x+2＝0的一个根是1，则另一个根是 　　． 【分析】设关于x的方程3x2﹣（k﹣1）x+2＝0的两根分别为1和a，然后根据根与系数的关系列关于a的方程求解即可． 【解答】解：设关于x的方程3x2﹣（k﹣1）x+2＝0的两根分别为1和a， 则有：，即：． 故答案为：． 【变式2】若关于x的方程x2﹣mx﹣6＝0的一个根是﹣2，则另一个根和m的值分别为（　　） A．2、﹣3 B．﹣2、3 C．﹣3、﹣1 D．3、1 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝﹣2代入关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣6＝0，求得m的值；利用根与系数的关系求得方程的另一根． 【解答】解：设方程的另一根为x＝p． ∵关于x的方程x2﹣mx﹣6＝0的一个根是﹣2， ∴x＝﹣2满足关于x的方程x2﹣mx﹣6＝0， ∴4+2m﹣6＝0， 解得m＝1， 又由根与系数的关系知：﹣2p＝﹣6， 解得p＝3， 故另一个根和m的值分别为3，1． 故选：D． 【变式3】已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0． （1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）已知5是此方程x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0的一个根，求k的值和这个方程的另一个根． 【分析】（1）根据根的判别式，即可得出Δ＝k2+8＞0，由此可证出不论k取何值，方程必有两个不相等的实数根； （2）把x＝5代入方程可求得k的值，再解方程可求得另一根． 【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（k+2），c＝k﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（k﹣1）＝k2+8 无论k取何值，k2≥0， 则k2+8＞0， ∴不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）解：把x＝5代入方程可得25﹣5（k+2）+k﹣1＝0， 解得k＝， 当k＝时，原方程为x2﹣x+＝0， 解得x1＝，x2＝5， 即方程的另一根为． 题型06 根与系数与根的判别式 【典例1】已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0． （1）求证：m取任意实数，该方程总有两个实数根； （2）设该方程的两根分别为x1，x2，且满足x1+x2＝3x1x2，求m的值． 【分析】（1）根据题意求出△的值，判断出△的符号即可； （2）根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后将其代入x1+x2＝3x1x2列出关于m的方程，并解方程即可． 【解答】（1）证明：在关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0中，a＝1，b＝﹣2m，c＝2m﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×1×（2m﹣1）＝4m2﹣8m+4＝4（m﹣1）2． ∵无论m为任何实数，（m﹣1）2≥0， ∴4（m﹣1）2≥0． ∴无论m为任何实数，该方程总有两个实数根； （2）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0的两根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝2m，x1•x2＝2m﹣1． ∵x1+x2＝3x1x2， ∴2m＝3（2m﹣1）． 解得m＝． 即m的值为． 【变式1】已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0． （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1，x2是原方程的两根，且，求m的值． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系即可求出答案； （2）先由根与系数的关系得到x1+x2＝﹣m﹣3，x1x2＝m+1，进而由完全平方公式的变形得到（﹣m﹣3）2﹣4（m+1）﹣20＝0，解方程即可得到答案． 【解答】（1）证明：由题意得，Δ＝b2﹣4ac＝（m+3）2﹣4×1•（m+1） ＝m2+2m+5 ＝（m+1）2+4＞0， ∴无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵x1，x2是原方程的两根， ∴x1+x2＝﹣m﹣3，x1x2＝m+1， ∵， ∴， ∴（﹣m﹣3）2﹣4（m+1）﹣20＝0， ∴m2+2m﹣15＝0， 解得：m＝3或m＝﹣5． 【变式2】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为a，b，求（a﹣b）2的值． 【分析】（1）用m表示出根的判别式即可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【解答】（1）证明：由题知， Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m）＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m＝1＞0， 所以无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：因为方程的两个实数根为a，b， 所以a+b＝，ab＝， 所以（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝（2m+1）2﹣4（m2+m）＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m＝1． 【变式3】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|＝2，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程x2+2x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣2，|0﹣（﹣2）|＝2，方程x2+2x＝0是“伴根方程”． （1）判断方程x2+8x+15＝0是否为“伴根方程”； （2）已知关于x的方程x2+（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“伴根方程”，求m的值． 【分析】（1）先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据“伴根方程”的定义进行判断； （2）先利用因式分解法解一元二次方程得到x1＝m，x2＝﹣1，再根据“伴根方程”的定义得到|m+1|＝2，然后解关于m的方程即可． 【解答】解：（1）解方程x2+8x+15＝0得x1＝﹣3，x2＝﹣5， ∵|﹣3﹣（﹣5）|＝2， ∴方程是“伴根方程”； （2）∵x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0， ∴（x﹣m）（x+1）＝0， ∴x﹣m＝0或x+1＝0， ∴x1＝m，x2＝﹣1， ∵方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“伴根方程”， ∴|m+1|＝2， ∴m＝1或m＝﹣3． 1．小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是﹣2和﹣5．则原来的方程是（　　） A．x2+6x+5＝0 B．x2﹣7x+10＝0 C．x2﹣5x+2＝0 D．x2﹣6x﹣10＝0 【分析】设原来的方程为ax2+bx+c＝0（a≠0），再利用根与系数的关系得出关于a，b及a，c之间的关系式即可解决问题． 【解答】解：设原来的方程为ax2+bx+c＝0（a≠0）， 由题知， ，， 所以b＝﹣7a，c＝10a， 所以原来的方程为ax2﹣7ax+10a＝0， 则x2﹣7x+10＝0． 故选：B． 2．已知m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+5m+n+2024的值是（　　） A．2023 B．2025 C．2026 D．2027 【分析】利用一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，可得出m2+4m﹣3＝0，m+n＝﹣4，将其代入原式中即可求出结论． 【解答】解：∵m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根， ∴m2+4m﹣3＝0，m+n＝﹣4， ∴m2+4m＝3， ∴m2+5m+n+2024 ＝m2+4m+m+n+2024 ＝3﹣4+2024 ＝2023． 故选：A． 3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的两个根为x1，x2，且x1＝2x2，则m﹣x1+x2 的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3 【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0的根与系数的关系：若方程两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣求出两根及m值，代入计算即可得到答案． 【解答】解：∵x2+3x﹣m＝0的两根为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣＝﹣3．x1•x2＝﹣m， ∵x1＝2x2， ∴x2＝﹣1，x1＝﹣2， ∴x1•x2＝2＝﹣m， ∴m＝﹣2． ∴m﹣x1+x2＝﹣2﹣（﹣2）+（﹣1）＝﹣1． 故选：B． 4．若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2﹣14x+m＝0的两个实数根，且其面积为20，则该菱形两对角线长分别为（　　） A．3与11 B．4与10 C．2与10 D．5与8 【分析】先设出菱形两条对角线的长，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再求出方程的解即可． 【解答】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b， ∵菱形的面积＝两条对角线积的一半， ∴ab＝20即ab＝40， ∴m＝40， ∴原方程可化为x2﹣14x+40＝0， （x﹣4）（x﹣10）＝0， 解得x1＝4，x2＝10， ∴该菱形两对角线长分别为4和10． 故选：B． 5．已知m，n是一元二次方程x2+3x+2＝0的两根，则的值是（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 【分析】先解方程可得x1＝﹣1，x2＝﹣2，再由，从而可得答案． 【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+3x+2＝0的两根， ∴（x+1）（x+2）＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝﹣2， ∴m＜0，n＜0， ∴， 故选：D． 6．▱ABCD中，AB，BC的长分别等于一元二次方程x2﹣5x+6＝0两根之和与两根之积，则对角线AC长的取值范围是（　　） A．AC＞1 B．1＜AC＜6 C．AC＞5或AC＜11 D．1＜AC＜11 【分析】先根据根与系数的关系得到AB＝5，BC＝6，然后利用三角形三边关系求解． 【解答】解：∵AB，BC的长分别等于一元二次方程x2﹣5x+6＝0两根之和与两根之积， ∴AB＝5，BC＝6， ∴对角线AC长的取值范围是1＜AC＜11． 故选：D． 7．平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程的两个实数根．若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】将x＝2代入原方程，可求出m的值，进而可得出原方程为x2﹣x+1＝0，利用根与系数的关系，可求出AB+AD的长，再利用平行四边形的周长计算公式，即可求出▱ABCD的周长． 【解答】解：把x＝2代入原方程得，4﹣2m+﹣＝0， 解得：m＝， ∴原方程为x2﹣x+1＝0， ∴AB+AD＝， ∴▱ABCD的周长是2（AB+AD）＝2×＝5． 故选：C． 8．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的两根之积是（　　） A．p+q+1 B．p﹣q+1 C．q﹣p+1 D．q﹣p﹣1 【分析】把方程a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0看作关于y﹣1的一元二次方程，则利用关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2得到y1＝x1+1，y2＝x2+1，然后利用根与系数的关系得到结论． 【解答】解：把方程a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0看作关于y+1的一元二次方程， 设关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2， 则方程a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的两根为y1＝x1+1，y2＝x2+1， ∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为p，两根之积为q， ∴x1+x2＝p，x1x2＝q， ∴y1y2＝（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝p+q+1． 故选：A． 9．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+k2x+1＝0有两个实数根x1，x2，且满足（x1+1）（x2+1）＝2，则k的值是（　　） A．k＝﹣1 B．k＝1 C．k＝﹣2 D．k＝1或k＝﹣2 【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣，x1x2＝，再利用（x1+1）（x2+1）＝2得到﹣++1＝2，然后解分式方程、检验得到k的值． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0的两根为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣，x1x2＝， ∵（x1+1）（x2+1）＝2， ∴（x1+x2）+x1x2+1＝2， 即﹣++1＝2， 化为整数方程为k2+k﹣2＝0， 解得k1＝﹣2，k2＝1， 经检验，k1＝﹣2是方程的解， ∴k＝﹣2． 故选：C． 10．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（其中a≠0）的解是x1＝4，x2＝﹣6，且m满足，则的值是（　　） A．2或﹣8 B．3或﹣5 C．2 D．﹣8 【分析】根据一元二次方程解的定义，求出m的值即可． 【解答】解：由题意+1＝4或+1＝﹣6， 解得m＝9， ∴﹣1＝3﹣1＝2． 故选：C． 11．已知﹣2是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则这个方程的另一个根为 　3　． 【分析】设另一个根为x＝m，则根据根与系数的关系得﹣2m＝﹣6，求出即可． 【解答】解：设另一个根为x＝m，则﹣2m＝﹣6， 解得：m＝3， 所以，另一个根为3． 故答案为：3． 12．关于x的方程x2+mx﹣2n＝0的两根之和为﹣4，两根之积为3，则m+n的值为 　　． 【分析】根据根与系数的关系x1+x2＝﹣，x1•x2＝得出﹣m＝﹣4，﹣2n＝3，求出m与n的值，然后计算即可得出答案． 【解答】解：∵方程x2+mx﹣2n＝0的两根之和为﹣4，两根之积为3， ∴﹣m＝﹣4，﹣2n＝3， ∴m＝4，n＝﹣， ∴m+n＝4﹣＝， 故答案为：． 13．关于x的一元二次方程2x2+4mx+m＝0有两个不同的实数根x1，x2，且+＝，则m＝　﹣　． 【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝，再由+＝变形得到（x1+x2）2﹣2x1x2＝，即可得到（8m﹣3）（8m+1）＝0，然后解此方程代入根的判别式后取舍即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+4mx+m＝0有两个不同的实数根x1，x2， ∴x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝， ∵Δ＝b2﹣4ac ＝（4m）2﹣4×2m， ＝16m2﹣8m， ∵+＝， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝， ∴4m2﹣2×＝， （8m﹣3）（8m+1）＝0， 解得：m1＝，m2＝﹣， 当m1＝时，Δ＝16×﹣8×＝﹣3＜0，不符合题意，舍去； 当m2＝﹣时，Δ＝16×﹣8×（﹣）＝＞0，符合题意； 综上，m＝﹣． 故答案为：﹣． 14．设a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为 　2022　． 【分析】由一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出a2+a＝2023、a+b＝﹣1，将其代入a2+2a+b＝a2+a+（a+b）中，即可求出结论． 【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个不相等的实数根， ∴a2+a＝2023，a+b＝﹣1， ∴a2+2a+b＝a2+a+（a+b）＝2023﹣1＝2022． 故答案为：2022． 15．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则+的值为 　　． 【分析】根据新定义先将方程化为一元二次方程，由根与系数的关系求得m+n＝﹣10，mn＝7，再结合分式的加减及完全平方公式代入计算可求解． 【解答】解：由题意得（x+2）*3＝0即为（x+2）2+6（x+2）﹣9＝0， 化简得x2+10x+7＝0， ∵m，n是该方程的两根， ∴m+n＝﹣10，mn＝7， ∴+＝＝， 故答案为：． 16．已知关于x的一元二次方程x2+9x+20﹣2k2＝0． （1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）将x＝1代入原方程可求出k的值，利用一元二次方程根与系数的关系可求出方程的另一个根． 【解答】（1）证明：∵Δ＝92﹣4（20﹣2k2）＝8k2+1≥1＞0， ∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：将x＝1代入原方程得， 1+9+20﹣2k2＝0， 解得k＝． 令方程的另一个根为m， 则m+1＝﹣9， 解得m＝﹣10， 所以方程的另一个根为﹣10． 17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0． （1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； （2）若一元二次方程的两根为x1，x2，且满足+﹣x1x2＝19，求m的值． 【分析】（1）利用根的判别式求出关于m的代数式，整理成非负数的形式即可判定b2﹣4ac≥0； （2）根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把+﹣x1x2＝19，转换为（x1+x2）2﹣3x1x2＝19，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可求出结果． 【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac ＝[﹣（m+3）]2﹣12m ＝m2+6m+9﹣12m ＝m2﹣6m+9 ＝（m﹣3）2； 又∵（m﹣3）2≥0， ∴b2﹣4ac≥0， ∴无论m取任何实数，方程总有实数根； （2）解：∵x1+x2＝m+3，x1•x2＝3m，+﹣x1x2＝19， ∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝19， ∴（m+3）2﹣3×3m＝19， 整理得m2﹣3m﹣10＝0， 解得m＝5或m＝﹣2， 故m的值为5或﹣2． 18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x+2m﹣10＝0． （1）求证：此一元二次方程总有实数根； （2）已知△ABC两边长a，b分别为该方程的两个实数根，且第三边长c＝3，若△ABC的周长为偶数，求m的值． 【分析】（1）由根的判别式进行求解即可； （2）由根与系数的关系可得：a+b＝m﹣3，ab＝2m﹣10，再结合三角形的三边关系进行求解即可． 【解答】证明：（1）Δ＝[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（2m﹣10） ＝﹣m﹣14m+4y ＝（m﹣7）2， ∵无论m为何实数，（m﹣7）≥0，即△≥0， ∴方程总有实数根； （2）解：由题意得：a+b＝m﹣3，ab＝2m﹣10， 设a＞b，则：， 据题意得：a﹣b＞3，则有：|m﹣7|＞3， 解得：6＜m＜10， ∵△ABC的周长：a+b+c＝m﹣3+3＝m， ∵周长m为偶数， ∴m＝8． 19．已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2． （1）填空：x1+x2＝　p　，x1x2＝　1　； （2）求+，x1+； （3）已知+＝2p+1，求p的值． 【分析】（1）由根与系数的关系直接可得答案； （2）把所求式子变形后，结合（1）代入即可； （3）把已知变形后代入可得p的方程，解出p值后再检验即可． 【解答】解：（1）由根与系数的关系得：x1+x2＝p，x1x2＝1， 故答案为：p，1； （2）∵x1+x2＝p，x1x2＝1， ∴+＝＝＝p； ∵关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2， ∴， ∴，即； （3）由根与系数的关系得：x1+x2＝p，x1x2＝1， ∵， ∴， ∴p2﹣2＝2p+1， 解得：p1＝3，p2＝﹣1， 当p＝3 时，Δ＝p2﹣4＝9﹣4＝5＞0； 当 p＝﹣1 时，Δ＝p2﹣4＝﹣3＜0； ∴p＝3． 20． 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图2中阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图1：　（a+b）2＝a2+2ab+b2　；图2：　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　． 【例题解析】：如图3，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 方法一：从“数”的角度解： ∵a+b＝3，∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9； 又∵ab＝1，∴a2+b2＝7． 方法二：从“形”的角度解： ∵a+b＝3，∴S大正方形＝9，又∵ab＝1，∴S2＝S3＝ab＝1， ∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7． 其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题． 【类比迁移】： （2）若（3﹣x）（x+1）＝3，则（3﹣x）2+（x+1）2＝　10　． （3）如图4，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝7，两正方形的面积和S1+S2＝29，求图中阴影部分面积． 【分析】（1）用两种方法分别表示图形中阴影部分的面积，可得答案； （2）设3﹣x＝m，x+1＝n，则m+n＝4，mn＝（3﹣x）▪（x+1）＝3，根据m2+n2＝（m+n）2﹣2mn求出m2+n2即可； （3）设AC＝p，BC＝q，则p+q＝AC+BC＝AB＝10，p2+q2＝S1+S2＝72，根据（p+q）2﹣2pq＝p2+q2，求出pq即可． 【解答】解：（1）图1是边长为（a+b）的正方形，因此面积为（a+b）2，图1也可以看作是四个部分的面积和，即a2+2ab+b2，因此（a+b）2＝a2+2ab+b2； 图2是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，所以面积为（a+b）（a﹣b），如图阴影部分的面积是两个正方形的面积差，即a2﹣b2，因此（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （2）设3﹣x＝m，x+1＝n，则m+n＝4，mn＝（3﹣x）▪（x+1）＝3， 所以（3﹣x）2+（x+1）2 ＝m2+n2 ＝（m+n）2﹣2mn ＝16﹣6 ＝10； 故答案为：10； （3）设AC＝p，BC＝q，则p+q＝AC+BC＝AB＝7，p2+q2＝S1+S2＝29， ∵（p+q）2﹣2pq＝p2+q2，即49﹣2pq＝29， ∴2pq＝49﹣29＝20， ∴pq＝5， 即阴影部分的面积为5． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$