21.2.3 因式分解法&计算强化专练 一元二次方程的解法-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

参考答案 正文答案 第二十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 基础过关 1.D2.B3.D4.解：(1)4x-√3x=0,二次项系数是4，一次项系数是一3，常数项 是0：(2)2x2-1=0,二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是一1；(3)x2一2x-2= 0,二次项系数是1，一次项系数是-2，常数项是-2.5.C6.A【变式】-47.C 8.C9.(x+1)2-1=2410.A 能力提升 11.D12.B13.令14解：(1)根据题意，得k-1=2,且k-3≠0，解得k=-1. .当k=一1时，方程是关于x的一元二次方程；(2)当k一3=0时，解得k=3,此时方程 弥为一5x=2,是一元一次方程；当k-1|=1时，解得k=0,或k=2.方程分别为一3x一 帐 5x=2和-x一5.x=2,都是一元一次方程.综上所述，当k的值为3或0或2时，方程是 关于x的一元一次方程.15.解：(1)设n为任意整数，则两个连续奇数分别为2一1， 21十1，则有(2-1)2+(21十1)2=130，n2-16=0:(2)x(x-1)=756,x2-x-756=0: (3)设该直角三角形的一直角边长为acm,则有a2+(17-a)2=132,a2-17a+60=0. 思维拓展 16.解：根据题意，得(x+1)·2x-(x+2)(x-2)=22,.2x2+2x-x2+4=22,即x2+ 2x一18=0，它符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，其一般形式为x2十2x一 她 18=0. 21.2解一元二次方程 21.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 基础过关 1.D2.C34=642=16x=士44-44解：1)x=号x=±号= 0 =是：(206r=32=5a=5a=-5,(3)5r=-52=-1-1< 3 0,.方程无实数根.5.D6.C7.解：(1)(x+1)2=5,x+1=士5，x=-1土√5 =-1+5,=-1-后，(21-P=0,1-x=±号x=1±号4=号 822-0=4,2r-1=22r-1=±-2a=2-1与2 9 2 (4)(x-3)2=5,x-3=士5，x=3士5，m=3十√5,2=3-5.8.B 线 能力提升 9.B10.5(答案不唯-，只要≥0即可)11.4或-212.解：(1)4x2=1,x2=4, x=土 4=7w=-3:(242x+12=25,(2x+102=翠，2x+1=±号 1 3 = 4(3)(x-2)2=(3-2x)2,x-2=±(3-2x,x-2=3-2,或x-2= 5 -(3-2x）x=3x=1. 思维拓展 13.解：(1)由题意，得4△3=42-32=7：(2)由题意，得(x十2)△5=(x十2)2-52=0， 即(x+2)2=25.两边直接开平方，得x十2=士5，解得x1=3,x2=-7;(3)由题意，得 3△(x-8)=32-(x-8)2=9-(x-8)2=0.解方程9-(x-8)2=0,得x=11,x2=5. 当11是该直角三角形的斜边长时，第三边长为√112-5=4√6：当11是该直角三角 形的直角边长时，第三边长为√1+5子=√146.综上所述，该直角三角形的第三边长 为46或√146. 第1页（共54页） 第2课时用配方法解一元二次方程 基础过关 1.C2.A3.(1)42(2)号4解：(1)配方，得x-6x+32=4+3,(x-3)2= 13.由此可得x-3=士瓜，=3+，m=3-瓜：(2)移项，得2+x=是.配 方，得x+x+(合)=+（合）(+)》=1.由此可得x+子=士1= 四=-是.5D6A7.解：1)二次项系数化为1，得父-2z=子配方，得2 2x+1=子+1，一1=是由此可得一1=土号M=1+号=1号：(2)移 项，得后-x=-子.二次项系数化为1，得-3x=-2配方，得-3x十 (受)=-2+（受）()=子由此可得一号=±=2w=1.&D 能力提升 9.D10.D11.二12.解：A-B=(2x2-4x-1)-(x2-6x-6)=2x2-4x-1 x2+6x+6=x2+2x+5=(x+1)2+4.(x+1)2≥0，∴.(x+1)2+4>0,∴.A-B>0, .A>B. 思维拓展 13.解：(1)x2-4x+y+2y+5=0,∴.x2-4x+4+y2+2y+1=0,即(x-2)2+(y+ 1)2=0.:(x-2)2≥0，(y十1)2≥0，.(x-2)2=0,(y+1)2=0,.x-2=0,y+1=0, 即x=2,y=-1;(2)1(3)a2+6=12a+8b-52,∴.a2+b2-12a-8b+52=0, .a2-12a+36+b-8b+16=0,即(a-6)2+(b-4)2=0..(a-6)2≥0，(b-4)2≥0， .(a-6)2=0,(b-4)2=0,∴.a-6=0,b-4=0,即a=6,b=4.△ABC是等腰三角 形，c的值为6或4. 21.2.2公式法 基础过关 1.C2.B3.解：(1)a=1,b=4,c=5.△=6-4ac=42-4×1X5=-4<0.方程无实 数根：(2)a=3,b=2,6=子4=-4ac=艺-4X3×号=0.方程有两个相等的实数 根；(3)方程化为3.x2-5x-3=0.a=3,b=-5,c=-3.△=(-5)2-4×3×(-3)=61 >0.方程有两个不相等的实数根.4.(1)C(2)C(3)B5.A6.D7.253 -28.解：(1)a=1,b=-6,c=4,△=62-4ac=(-6)2-4×1×4=20>0,方程有两 个不等的实数根x=二b=二（二生2四=3士5，即西=3+5，， 2a 2×1 3-5;(2)a=2,b=-3,c=-1,△=-4ac=(-3)2-4×2×(-1)=17>0,方程有 两个不等的实数根=一吐恤=二（一》吉亚=3生亚，即=3士亚， 2a 2×2 4 4 9=3-17 4 能力提升 9C10.一名11.直角12.解：使方程有两个不相等的实数根，“4=？-4ac= -4c>0,即>4c,∴.②③均可.选②解方程，则这个方程为x2十3x+1=0,…x= -b士一0c=-3士5,0=-35=二3,5：选③解方程，则这个方程为 2 2 2 +3x-1=0,x=二b±4ac=二3±压，n=二3+压， 2a 2 2 -3飞.13.解：(1)根据题意，得△=-4ac=(-2)2-4(4-m)=4m-12>0, 2 解得m>3:(2m>8,m3>0写÷四号·号=1十mg0: 7m一3 ,m3=-2. 第2页（共54页） 思维拓展 14.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下：把x=一1代入原方程，得2a+c一4b+2a 一c=0,∴.4a一4b=0,∴a=b,∴.△ABC是等腰三角形：(2)当△ABC是等边三角形时， a=b=c,∴.原方程可化为(2a十a)x2十4a.x十2a-a=0,.3a.x2十4a.x十a=0.又.a> 0,3x2+4+1=04=-4X3X1=4>0.x=4=-21.即0=-1， 2×3 3 Γ3 21.2.3因式分解法 基础过关 1.B2.C3.2x-3-6=04.解：(1)因式分解，得x(2x一√5)=0.于是得x=0,或 x5=0,d=0,m=号；2)因式分解，得(3x+7)(3x-7)=0.于是得3x-7=0,或 3+7=0,a=子w=-子 7 3:(3)移项，得42-8x十4=0.因式分解，得(2x-2)2=0. 于是得2x-2=0,x1=x2=1.5.D6.解：(1)(x-1)2=25,x-1=士5.x1=6,x2= -4;(2)方程化为2x2+3.x-3=0.a=2,b=3,c=-3.△=2-4ac=32-4×2×(-3) =33>0.方程有两个不等的实数根x=二b士4ac=-3志压=3±3玉，即 2a 2×2 4 3士压，n=-3愿：（3)因式分解，得(x一4(2x-4)=0,于是得-4= I=- 4 4 0,或2x-4=0,解得01=4,2=2.7.未考虑x-7=0x=7 能力提升 8.D9.B10.C11.1012.解：(1)移项，得x2+4x=1.配方，得x2+4x十2=1十 2,(x十2)2=5.由此可得x十2=士5，=-2十√5,2=-2-√5；(2)移项整理，得 3x(x一2)+4(x一2)=0.因式分解，得(x一2)(3x+4)=0.于是得x一2=0，或3x十4= 0,x1=2,x=-3 4 思维拓展 13.解：(1)(x十2)(x+4)(x-10)(x十3)(2)x2+2x-3=(x+3)(x-1),∴.方程 x2+2x-3=0可化为(x+3)(x-1)=0,.x+3=0,或x-1=0,.x1=-3,2=1: (3)4.x2-8.x-5=(2x-5)(2.x+1),∴.方程4x2-8x-5=0可化为(2x-5)(2x+1) =02x-5=0,或2x+1=0=号w=-号 计算强化专练一元二次方程的解法 1.D2.解：1)3x2=27,x=9,0=3,m=-3;(2)4(x-2)2=121,(x-2)=121, 4 一2=士号函号=子3C4解：1)移项，得父+6=8配方，得2+ 6x+32=9+3,(x+3)2=18.由此可得x十3=士3√2,01=-3+3√2，x2=-3 32;(2)移项，得2x+8x=10.二次项系数化为1，得x十4x=5.配方，得x2+4x十2 =5+2,(x+2)2=9.由此可得x+2=士3，=1，x2=-5.5.D6.解：(1)a=3,b =一6，c=4.△=b2-4ac=(-6)2-4X3×4=-12<0.方程无实数根；(2)a=一3，b= 5,c=2.△=b2一4ac=52-4×(-3)×2=49>0.方程有两个不相等的实数根x= 生2证=罗-若，即西=20=-子7C8解：1因式分 解，得(x-2-5)2=0,(x-7)2=0.于是得x-7=0,x1=2=7:(2)移项整理，得3(x +5)+2x(x+5)=0.因式分解，得(x+5)(2x+3)=0.于是得x+5=0,或2x+3=0, =-5=号.9.C10.411.解：1设2=y,则原方程可化为y-3y-4 0.解得y=4,或y=一1.当y=4时，x2=4,x=士2.当y=-1时，x2=一1，此方程 无解..原方程的解为=2，x2=一2；(2)设x2一2=y,则原方程可化为y2一11y十18 =0.解得y=2,或y=9.当y=2时，x2-2=2,.x2=4,x=士2.当y=9时，x2-2 =9,x2=11,x=士√工.∴原方程的解为0=2，x2=一2，=一√，x4=√I. 第3页（共54页）21.2.3 因式分解法 ②基础过关。逐点击破 知识点2用适当的方法解一元二次方程 知识点1用因式分解法解一元二次方程 5.解方程2(5.x-1)2=3(5.x一1)最适当的方法 是 () 1.方程中x(x一1)=0的根是 A.直接开平方法 B.配方法 A.x1=0,x2=-1B.x1=0,x2=1 C.公式法 D.因式分解法 C.x1=x2=0 D.c1=x2=1 6.用适当的方法解下列方程： 2.已知某一元二次方程的两根分别为x1= (1)3(x-1)2=75; 一2，x2=一3，则这个方程可能为( A.(x-2)(x+3)=0 B.(x+2)(x-3)=0 C.(x+2)(x+3)=0 D.(x-2)(x-3)=0 3.用因式分解法解一元二次方程(2x一3)2 36=0时，要转化成两个一元一次方程求解， 其中的一个一元一次方程是2x一3十6=0， (2)2x2+3.x=3; 则另一个一元一次方程是 4.用因式分解法解下列方程： (1)2x2-√5x=0; (3)(x-4)2+x(x-4)=0. (2)9x2-49=0: (3)4x2-8.x=-4. 易错点解一元二次方程时，方程两边 同除以含有未知数的代数式导致漏根 7.小明在解方程(x一7)2=x一7时，只得出一个 根为x=8,其错误原因是 漏掉的一个根是 9名师测控·数学九年级上册配RJ版 可能力提升。整合运用 思维拓展。学科素养 8.一元二次方程x(x一2)=2一x的根是( 13.新考法类比法我们知道可以用公式x2十 A.x=-1 B.x=0 (p+q)x十q=(x+)(x+q)来分解因式 C.x1=1,x2=2 D.x1=-1,x2=2 解一元二次方程.如：x2+6x+8=0,因式 9.点P的横、纵坐标恰好是方程x2一2x一 分解，得 =0,x2-7x 24=0的两个根，则经过点P的正比例函数 30=0,因式分解，得 =0. 图象一定过 ( ) (1)完成题目中的填空； A.第一、三象限 B.第二、四象限 (2)因式分解法解方程：x2+2x一3=0； C.第一象限 D.第四象限 (3)爱钻研的小明同学发现二次项系数不 10.在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算 是1的方程也可以借助此方法解一元 规则为a※b=3(a+b)一5ab,根据这个规 二次方程.如方程3.x2一7x十2=0可因 则，方程x必(x+1)=一1的解是( 式分解，得(x一2)(3x一1)=0，从而可 A- 以快速求出方程的解.请你利用此方法 B.x=1 尝试解方程：4x2一8x一5=0. Cx=一号或=1Dx-号或x=1 11.三角形的两边长分别为6和8，第三边长是 方程x2一12x+20=0的一个实根，则第三 边长为 12.用适当的方法解下列方程： (1)x2+4x-1=0: (2)3x(x-2)=8-4x. 第二十一章一元二次方程10 计算强化专练一元二次方程的解法 类型1 直接开平方法 4.用配方法解下列方程： 方法指得 (1)x2+6x-9=0; 形如x2=n(n≥0)或(ax十m)2=n(a≠0，n≥0) 的一元二次方程，用直接开平方法求解」 1.用直接开平方法解方程(x十6)2=9，下列结 论正确的是 A.x+6=3 B.x+6=-3 C.x+6=9,或x+6=-9 (2)2x2+8x-10=0. D.x+6=3,或x+6=-3 2.用直接开平方法解下列方程： (1)3x2-27=0: 类型3公式法 (2)4(x-2)2-121=0. 方法指得 如果一元二次方程易化为它的一般形式且系数 的绝对值较小，那么用公式法求解较简便 求根公式：x= -b士J6-4ac 2a 5.用公式法解方程x2一6x十1=0所得的解正 确的是 ( A.x=-3士W10 B.x=3士√/10 类型2配方法 C.x=-3士2√2 D.x=3士2√2 方法指导 6.用公式法解下列方程： 当一元二次方程的二次项系数化为1后，一次项 (1)3x2-6.x+4=0; 系数为偶数时，用配方法求解。 3.用配方法解一元二次方程2x2一4x一1=0， 配方正确的是 A.(x-2)2=5 B.(x-2)2=1 C.(x-1)2=3 2 D.(x-1)2=1 2 11名师测控·数学九年级上册配RJ版 (2)-3.x2+5.x+2=0. 类型5换元法 方法指得 如果方程中出现一些相同的代数式，那么用换元 法求解的方法是：构造元和假设元： 9.已知关于x的方程(x一2)2一3(x一2)+2= 0,则x一2的值为 A.1或3 B.2或3 C.1或2 D.4 10.已知实数a,b满足(a十)2一(a2十b2)一 12=0,则a2十b2的值为 11.阅读材料： 类型4 因式分解法 【例】解方程(x-1)2-5(x-1)+4=0. 方法指导 解：设x一1=y, 可化为形如(x十a)(x十b)=0的一元二次方程， 则原方程可化为y2一5y十4=0. 用因式分解法求解 解得y1=1,y2=4. 7.一元二次方程x(x一3)=x一3的根是（ 当y=1时，x一1=1，解得x=2. A.x=1 B.x=-3 当y=4时，x一1=4，解得x=5. C.x1=1,x2=3 D.x1=0,x2=3 ∴.原方程的解为x1=2,2=5. 8.用因式分解法解下列方程： 上述解法称为“整体换元法” (1)(x-2)2-10(x-2)+25=0: 请运用“整体换元法”解方程： (1)x-3x2-4=0; (2)(x2-2)2-11(x2-2)+18=0. (2)3x+15=-2x2-10x. 第二十一章一元二次方程12