21.1 一元二次方程-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

第二十一章 21.1 ②基础过关。逐点击破 知识点1 一元二次方程的定义以及一 般形式 1下列方程是关于x的一元二次方程的是( A.x2+1=0 B.ax2+bx+c=0 C.(x+1)(x-2)=x2D.(7x+1)x=2x-1 2.若关于x的方程ax2十x一3=0是一元二次 方程，则a的取值范围为 () A.a>0B.a≠0C.a=1D.a≥0 3.已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常 数项是1，则这个一元二次方程可能是( A.3x+1=0 B.x2+3=0 C.3.x2+6x=1 D.3.x2+1=0 4.(教材P习题T1变式)将下列方程化成一元 二次方程的一般形式，并写出其中的二次项 系数、一次项系数和常数项， (1)4x2=√3.x; (2)(2.x+1)(2x-1)=2x2; (3)2(x-1)2=3x(x-2). 知识点2一元二次方程的根 5.(教材P4习题T3变式)下列各数是方程x2一 x一2=0的根的是 A.-2 B.0 C.-1 D.1 6.若关于x的一元二次方程x2一2x十m=0的 一个根为一1，则m的值为 ( ) A.-3 B.-1 C.1 D.2 1名师测控·数学九年级上册配R版 元二次方程 元二次方程 【变式】数学思想整体思想(2024·四川南充) 已知m是方程x2十4x一1=0的一个根，则 (m+5)(m-1)的值为 知识点3用一元二次方程刻画实际问题 中的数量关系 7.社会热点新能源)近年来，由于新能源汽车的 崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下 滑，某款燃油汽车1月份的售价为20万元， 3月份的售价为16.2万元，设该款汽车这两 个月售价的月平均下降率是x,可列方程 为 A.16.2(1+x)2=20B.16.2(1-x)2=20 C.20(1-x)2=16.2D.20(1-2x)=16.2 8.情境题修建花圃)（教材P4习题T4变式）为美 化环境，某园林部门计划在某地修建一个面 积为200m的矩形花圃，它的长比宽多 10m.设宽为xm,可列方程为 ( ) A.x(x-10)=200 B.2x+2(x+10)=200 C.x(x+10)=200 D.2x+2(x-10)=200 9.已知如图所示的图形的面积为24，根据图中 的条件，可列方程为 十 !易错点忽视一元二次方程的二次项系 数不为零而致错 10.(2024·四川凉山州)若关于x的一元二次 方程(a十2)x2+x十a2-4=0的一个根是 x=0,则a的值为 () A.2 B.-2 C.2或-2 D号 可能力提升。整合运用 11.(教材P2“问题1”变式)如图是一块矩形铁 皮，长50cm,宽30cm,在它的四个角各切 去一个同样的正方形，然后将四周突出部 分折起，就能制作一个无盖方盒，要制作的 无盖方盒的底面积为800cm.设切去的正 方形的边长为xcm,可列方程为( A.4x2=800 B.50×30-4x2=800 C.(50-x)(30-x)=800 D.(50-2x)(30-2x)=800 12.若关于x的一元二次方程a.x2一bx 2025=0满足a+b=2025,则方程必有 一根为 ) A.1 B.-1 C.±1 D.无法确定 13.若x=2n(n≠0)是关于x的方程x2一2mx十 2n=0的根，则m一n的值为 14.已知关于x的方程(k一3)xk--5x=2. (1)当k为何值时，方程是关于x的一元二 次方程？ (2)若方程是关于x的一元一次方程，求 的值. 15.(教材P,习题T2变式)根据下列问题列出 一元二次方程，并将其化成一般形式。 (1)两个连续奇数的平方和为130，求这两 个奇数； (2)一个QQ群里共有x个好友，每个好友 都分别给群里其他好友发送一条消息， 这样共有756条消息： (3)小明用30cm的铁丝围成一个斜边长 为l3cm的直角三角形，求该直角三角 形的两直角边长 ②思维拓展。学科素养 16.新视角新定义将4个数a,b,c,d排成2行 2列，两边各加一条竖线，记成|日，定 义|&1-ad一c,上述记法就叫做二阶 行列式那么十：生=2表示的方 程是一元二次方程吗？若是，请写出它的 一般形式 第二十一章一元二次方程2参考答案 正文答案 第二十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 基础过关 1.D2.B3.D4.解：(1)4x-√3x=0,二次项系数是4，一次项系数是一3，常数项 是0：(2)2x2-1=0,二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是一1；(3)x2一2x-2= 0,二次项系数是1，一次项系数是-2，常数项是-2.5.C6.A【变式】-47.C 8.C9.(x+1)2-1=2410.A 能力提升 11.D12.B13.令14解：(1)根据题意，得k-1=2,且k-3≠0，解得k=-1. .当k=一1时，方程是关于x的一元二次方程；(2)当k一3=0时，解得k=3,此时方程 弥为一5x=2,是一元一次方程；当k-1|=1时，解得k=0,或k=2.方程分别为一3x一 帐 5x=2和-x一5.x=2,都是一元一次方程.综上所述，当k的值为3或0或2时，方程是 关于x的一元一次方程.15.解：(1)设n为任意整数，则两个连续奇数分别为2一1， 21十1，则有(2-1)2+(21十1)2=130，n2-16=0:(2)x(x-1)=756,x2-x-756=0: (3)设该直角三角形的一直角边长为acm,则有a2+(17-a)2=132,a2-17a+60=0. 思维拓展 16.解：根据题意，得(x+1)·2x-(x+2)(x-2)=22,.2x2+2x-x2+4=22,即x2+ 2x一18=0，它符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，其一般形式为x2十2x一 她 18=0. 21.2解一元二次方程 21.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 基础过关 1.D2.C34=642=16x=士44-44解：1)x=号x=±号= 0 =是：(206r=32=5a=5a=-5,(3)5r=-52=-1-1< 3 0,.方程无实数根.5.D6.C7.解：(1)(x+1)2=5,x+1=士5，x=-1土√5 =-1+5,=-1-后，(21-P=0,1-x=±号x=1±号4=号 822-0=4,2r-1=22r-1=±-2a=2-1与2 9 2 (4)(x-3)2=5,x-3=士5，x=3士5，m=3十√5,2=3-5.8.B 线 能力提升 9.B10.5(答案不唯-，只要≥0即可)11.4或-212.解：(1)4x2=1,x2=4, x=土 4=7w=-3:(242x+12=25,(2x+102=翠，2x+1=±号 1 3 = 4(3)(x-2)2=(3-2x)2,x-2=±(3-2x,x-2=3-2,或x-2= 5 -(3-2x）x=3x=1. 思维拓展 13.解：(1)由题意，得4△3=42-32=7：(2)由题意，得(x十2)△5=(x十2)2-52=0， 即(x+2)2=25.两边直接开平方，得x十2=士5，解得x1=3,x2=-7;(3)由题意，得 3△(x-8)=32-(x-8)2=9-(x-8)2=0.解方程9-(x-8)2=0,得x=11,x2=5. 当11是该直角三角形的斜边长时，第三边长为√112-5=4√6：当11是该直角三角 形的直角边长时，第三边长为√1+5子=√146.综上所述，该直角三角形的第三边长 为46或√146. 第1页（共54页） 第2课时用配方法解一元二次方程 基础过关 1.C2.A3.(1)42(2)号4解：(1)配方，得x-6x+32=4+3,(x-3)2= 13.由此可得x-3=士瓜，=3+，m=3-瓜：(2)移项，得2+x=是.配 方，得x+x+(合)=+（合）(+)》=1.由此可得x+子=士1= 四=-是.5D6A7.解：1)二次项系数化为1，得父-2z=子配方，得2 2x+1=子+1，一1=是由此可得一1=土号M=1+号=1号：(2)移 项，得后-x=-子.二次项系数化为1，得-3x=-2配方，得-3x十 (受)=-2+（受）()=子由此可得一号=±=2w=1.&D 能力提升 9.D10.D11.二12.解：A-B=(2x2-4x-1)-(x2-6x-6)=2x2-4x-1 x2+6x+6=x2+2x+5=(x+1)2+4.(x+1)2≥0，∴.(x+1)2+4>0,∴.A-B>0, .A>B. 思维拓展 13.解：(1)x2-4x+y+2y+5=0,∴.x2-4x+4+y2+2y+1=0,即(x-2)2+(y+ 1)2=0.:(x-2)2≥0，(y十1)2≥0，.(x-2)2=0,(y+1)2=0,.x-2=0,y+1=0, 即x=2,y=-1;(2)1(3)a2+6=12a+8b-52,∴.a2+b2-12a-8b+52=0, .a2-12a+36+b-8b+16=0,即(a-6)2+(b-4)2=0..(a-6)2≥0，(b-4)2≥0， .(a-6)2=0,(b-4)2=0,∴.a-6=0,b-4=0,即a=6,b=4.△ABC是等腰三角 形，c的值为6或4. 21.2.2公式法 基础过关 1.C2.B3.解：(1)a=1,b=4,c=5.△=6-4ac=42-4×1X5=-4<0.方程无实 数根：(2)a=3,b=2,6=子4=-4ac=艺-4X3×号=0.方程有两个相等的实数 根；(3)方程化为3.x2-5x-3=0.a=3,b=-5,c=-3.△=(-5)2-4×3×(-3)=61 >0.方程有两个不相等的实数根.4.(1)C(2)C(3)B5.A6.D7.253 -28.解：(1)a=1,b=-6,c=4,△=62-4ac=(-6)2-4×1×4=20>0,方程有两 个不等的实数根x=二b=二（二生2四=3士5，即西=3+5，， 2a 2×1 3-5;(2)a=2,b=-3,c=-1,△=-4ac=(-3)2-4×2×(-1)=17>0,方程有 两个不等的实数根=一吐恤=二（一》吉亚=3生亚，即=3士亚， 2a 2×2 4 4 9=3-17 4 能力提升 9C10.一名11.直角12.解：使方程有两个不相等的实数根，“4=？-4ac= -4c>0,即>4c,∴.②③均可.选②解方程，则这个方程为x2十3x+1=0,…x= -b士一0c=-3士5,0=-35=二3,5：选③解方程，则这个方程为 2 2 2 +3x-1=0,x=二b±4ac=二3±压，n=二3+压， 2a 2 2 -3飞.13.解：(1)根据题意，得△=-4ac=(-2)2-4(4-m)=4m-12>0, 2 解得m>3:(2m>8,m3>0写÷四号·号=1十mg0: 7m一3 ,m3=-2. 第2页（共54页） 思维拓展 14.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下：把x=一1代入原方程，得2a+c一4b+2a 一c=0,∴.4a一4b=0,∴a=b,∴.△ABC是等腰三角形：(2)当△ABC是等边三角形时， a=b=c,∴.原方程可化为(2a十a)x2十4a.x十2a-a=0,.3a.x2十4a.x十a=0.又.a> 0,3x2+4+1=04=-4X3X1=4>0.x=4=-21.即0=-1， 2×3 3 Γ3 21.2.3因式分解法 基础过关 1.B2.C3.2x-3-6=04.解：(1)因式分解，得x(2x一√5)=0.于是得x=0,或 x5=0,d=0,m=号；2)因式分解，得(3x+7)(3x-7)=0.于是得3x-7=0,或 3+7=0,a=子w=-子 7 3:(3)移项，得42-8x十4=0.因式分解，得(2x-2)2=0. 于是得2x-2=0,x1=x2=1.5.D6.解：(1)(x-1)2=25,x-1=士5.x1=6,x2= -4;(2)方程化为2x2+3.x-3=0.a=2,b=3,c=-3.△=2-4ac=32-4×2×(-3) =33>0.方程有两个不等的实数根x=二b士4ac=-3志压=3±3玉，即 2a 2×2 4 3士压，n=-3愿：（3)因式分解，得(x一4(2x-4)=0,于是得-4= I=- 4 4 0,或2x-4=0,解得01=4,2=2.7.未考虑x-7=0x=7 能力提升 8.D9.B10.C11.1012.解：(1)移项，得x2+4x=1.配方，得x2+4x十2=1十 2,(x十2)2=5.由此可得x十2=士5，=-2十√5,2=-2-√5；(2)移项整理，得 3x(x一2)+4(x一2)=0.因式分解，得(x一2)(3x+4)=0.于是得x一2=0，或3x十4= 0,x1=2,x=-3 4 思维拓展 13.解：(1)(x十2)(x+4)(x-10)(x十3)(2)x2+2x-3=(x+3)(x-1),∴.方程 x2+2x-3=0可化为(x+3)(x-1)=0,.x+3=0,或x-1=0,.x1=-3,2=1: (3)4.x2-8.x-5=(2x-5)(2.x+1),∴.方程4x2-8x-5=0可化为(2x-5)(2x+1) =02x-5=0,或2x+1=0=号w=-号 计算强化专练一元二次方程的解法 1.D2.解：1)3x2=27,x=9,0=3,m=-3;(2)4(x-2)2=121,(x-2)=121, 4 一2=士号函号=子3C4解：1)移项，得父+6=8配方，得2+ 6x+32=9+3,(x+3)2=18.由此可得x十3=士3√2,01=-3+3√2，x2=-3 32;(2)移项，得2x+8x=10.二次项系数化为1，得x十4x=5.配方，得x2+4x十2 =5+2,(x+2)2=9.由此可得x+2=士3，=1，x2=-5.5.D6.解：(1)a=3,b =一6，c=4.△=b2-4ac=(-6)2-4X3×4=-12<0.方程无实数根；(2)a=一3，b= 5,c=2.△=b2一4ac=52-4×(-3)×2=49>0.方程有两个不相等的实数根x= 生2证=罗-若，即西=20=-子7C8解：1因式分 解，得(x-2-5)2=0,(x-7)2=0.于是得x-7=0,x1=2=7:(2)移项整理，得3(x +5)+2x(x+5)=0.因式分解，得(x+5)(2x+3)=0.于是得x+5=0,或2x+3=0, =-5=号.9.C10.411.解：1设2=y,则原方程可化为y-3y-4 0.解得y=4,或y=一1.当y=4时，x2=4,x=士2.当y=-1时，x2=一1，此方程 无解..原方程的解为=2，x2=一2；(2)设x2一2=y,则原方程可化为y2一11y十18 =0.解得y=2,或y=9.当y=2时，x2-2=2,.x2=4,x=士2.当y=9时，x2-2 =9,x2=11,x=士√工.∴原方程的解为0=2，x2=一2，=一√，x4=√I. 第3页（共54页）