《长方体和正方体的表面积和体积》思维拓展题型整理（专项训练）-2025-2026学年六年级上册数学苏教版

长方体和正方体的表面积和体积思维拓展题 例1、 把一个长、宽、高分别是8厘米、7厘米、4厘米的长方体切成两个小长方体，这两个小长方体的表面积之和最大是多少？最小是多少？ 方法技巧：要使切割后两个小长方体表面积之和最大，则平行于最大面进行切割；要使切割后两个小长方体表面积之和最小，则平行于最小面进行切割。 举一反三： 1、 把一个长方体木块按下面两种方法平均分成三块后，三块木块的表面积之和各增加多少平方厘米？ 2、 把一个长12厘米、宽9厘米、高18厘米的长方体木块分割成三个同样大小的小长方体（不考虑分割过程的损耗），三个小长方体的表面积之和最大是多少平方厘米？ 3、 一个长方体正好可以切成5个同样大小的小正方体，切成的5个小正方体的表面积之和比原来长方体表面积多了200平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 挑战：把一个表面积为56平方厘米的长方体平均切成27个小长方体（如图），这27个小长方体表面积的和是多少平方厘米？ 例2、把一个表面积是24平方厘米的正方体切成两个完全一样的长方体，每个长方体的表面积是多少平方厘米？ 方法技巧：一个正方体切成长方体，切一次增加两个正方形面。 举一反三： 1、 把一个棱长为a厘米的正方体切成两个完全一样的长方体，表面积增加多少平方厘米？每个长方体的表面积是多少平方厘米？ 2、 把一个正方体切成两个完全一样的长方体，每个长方体的表面积是12平方厘米，这个正方体的表面积是多少平方厘米？ 3、把一个表面积是48平方厘米的正方体切成两个完全一样的长方体，再把这两个长方体改拼成一个大长方体，那么这个大长方体的表面积是多少平方厘米？ 4、一个正方体的棱长是10分米，如果把正方体切割成棱长是2.5分米的小正方体，求切割后所有小正方体的表面积。 挑战：如图，有一个正方体木块被切成了24个小长方体，这些小长方体的表面积之和为162平方厘米，那么原正方体的表面积是多少平方厘米？ 类型2、挖走后的表面积 例3、如图，大正方体的棱长为6分米，在它的一个角上挖去一个棱长为1分米的小正方体，剩下的立体图形的表面积是多少平方分米？ 方法技巧：求挖走后立体图形的表面积，其关键在于找出挖走后的立体图形减少了哪些面，同时又增加了哪些面，进而判断表面积是不变、增加还是减少。 举一反三： 1、 一个长方体，长5厘米，宽1厘米，高3厘米。如图，切下一小块正方体后，余下部分的表面积是多少平方厘米？（单位：厘米） 2、 如图，这个立体图形的表面积为多少平方厘米？（单位：厘米） 3、 有一块长方体石块，长30厘米，宽18厘米，高15厘米，加工时在长方体的八个顶点处各挖去一个棱长是2厘米的小正方体，这时石块的表面积是多少平方厘米？ 4、 在一个棱长是4厘米的正方体上面，居中挖一个棱长是2厘米的正方体小洞（如图），接着在小洞底面居中再向下挖一个棱长是1厘米的正方体小洞，第三个小洞的挖法与前两个相同，棱长是0.5厘米。那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？ 挑战：下图是一个棱长为4厘米的正方体，分别在前、后、左、右、上、下各面中心位置挖去一个棱长为1厘米的小正方体，做成一个玩具，它的表面积是多少平方厘米？ 类型3、等积变形法求体积 例4、 有一个长方体容器（如图①），长30厘米，宽20厘米，高10厘米，里面的水深6厘米。如果把这个容器密封好，再朝左竖起来放（如图②），容器内的水深应该是多少厘米？（单位：厘米） 方法技巧：解决此类问题的关键是抓住不变量，明确水的体积没有发生变化。根据水的体积不变，结合长方体的体积公式即可求出水深。 举一反三： 1、 有一个密封的长方体水箱（如图①），从里面量得长3分米，宽3分米，高5分米，水箱内水的高度是4分米。如果将水箱向后推倒，以它的后面为底面（如图②），这时水箱内水的高度是多少分米？ 2、 有两个水池，甲水池长8米，宽6米，水深3米，乙水池空着，它的长为6米，宽和高都是4米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两水池中水面同样高，那么水面高多少米？ 3、 如图，已知A面的面积为50平方米，B面的面积为30平方米，h=4米。现在要把A地的土堆往B地，使A、B两地同样高，这样B地可升高多少米？ 挑战：如图，有空的长方体容器A和装有21厘米深的水的长方体容器B。现在要将B容器中的水倒一部分到A容器，使B容器中的水深是A容器中水深的2倍，那么A容器中的水深多少厘米？ 例5、 将表面积分别为54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三个正方体铁块熔铸成一个大正方体铁块（不计损耗），这个大正方体铁块的体积是多少立方厘米？ 方法技巧：解答本题的关键是了解把几个物体熔铸在一起，熔铸前后物体的体积不变。 举一反三： 1、 将表面积分别为24平方厘米、54平方厘米、216平方厘米的三个正方体铁块熔铸成一大正方体铁块（不计损耗）。这个大正方体铁块的体积是多少立方厘米？ 2、 将一个长12厘米、宽10厘米、高5厘米的长方体铁块和一个棱长20厘米的正方体铁块铸成一个长20厘米、宽5厘米的长方体铁块（不计损耗），新长方体铁块的高是多少厘米？ 3、 将表面积分别为216平方厘米和384平方厘米的两个正方体铁块熔铸成一个长方体铁块（不计损耗）。已知这个长方体铁块的长是13厘米，宽是7厘米，它的高是多少厘米？ 挑战：把8块棱长是3厘米的正方体铁块熔铸成一个大正方体，这个大正方体的表面积是多少？ 类型4、排水法求体积 例6、有大、中、小三个正方体水池，从里面量棱长分别为6米、3米、2米。把两堆碎石分别沉在中、小水池里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米。如果将这两堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面将升高多少厘米？（碎石浸没且都没有水溢出） 方法技巧：解决此类问题的关键是明确上升部分水的体积等于浸没于水中的物体的体积。 举一反三： 1、 有大、中、小三个正方体水池，从里面量棱长分别为4米、3米、2米。把两堆石子分别在中、小水池中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米。如果将这两堆石子都在大水池中，大水池的水面将升高多少厘米？（石子浸没且都没有水溢出） 2、 有大、中、小三个长方体水池，池口都呈正方形，边长分别是5米、3米、2米。把两堆铁分别投入中、小水池中，两个水池的水面分别升高了8厘米和6厘米。如果把这两堆块都投入大水池中，大水池的水面会升高多少厘米？（铁块浸没且都没有水溢出） 3、 一个容积是100立方厘米的水杯内有一部分水，亮亮向杯中放入了一个正方体，水溢出了20立方厘米；他又向杯中放入了一个相同的正方体，水又溢出了30立方厘米（如图），那么原来水杯中装有多少立方厘米的水？ 类型5、根据表面积的变化求体积 例6、 一个长方体，如果高增加2厘米就成了一个正方体，而且表面积增加64平方厘米，原来这个长方体的体积是( )立方厘米。 方法技巧：解答本题的关键是弄清增加的表面积是由哪几个面的面积组成的，这些面的面积有什么特点，是否相同。 举一反三： 1、 一个长方体木块，从上部截去高5厘米的长方体，剩下部分是正方体，表面积减少了120平方厘米，那么原来长方体的体积是多少立方厘米？ 2、 一个长方体的底面是正方形，沿平行于底面的方向切去一个高3分米的小长方体，剩下部分的表面积比原来的长方体表面积减少了60平方分米。截去的小长方体的体积是少立方分米？ 3、 一根横截面为正方形的长方体木料，表面积为114平方厘米，锯下一个最大的正方体后，剩下部分的表面积为50平方厘米。求锯下的最大正方体的表面积与体积。 挑战：小明买了一块长方体蛋糕，想和朋友分享，他决定从上部和下部分别截去一个高为3厘米的长方体蛋糕后，给自己留下一块正方体蛋糕，结果蛋糕表面积减少了120平方厘米。属长方体蛋糕的体积是多少立方厘米？（单位：cm） 例7、 如图，把一根长30厘米的长方体木料锯成3段，表面积比原来增加了20平方厘米。这根木料的体积是多少立方厘米？ 方法技巧：将长方体或正方体沿横截面切割，每切一次，表面积就增加2个切面的面积。 举一反三： 1、 一根长4米的长方体钢材，横截面是正方形，沿横截面截成两段后，表面积比原来增加400平方厘米。求这根钢材的体积。 2、 如图，将一个长方体平均截成3段，每段长2米，表面积增加了16平方米，求原来长方的体积。 3、 如图，将三个长4米的长方体拼合成一个大长方体，表面积减少了64平方米，这个拼成的长方体的体积是多少立方米？ 挑战：一根长2.4米的长方体钢材截成4段比截成3段表面积多增加12平方分米。这根长体钢材的体积是多少立方米？ 类型6、多种剪法求容积 例8、 四块相同的正方形纸板，在四个角各剪去一个相同的正方形，分别做成没有盖的纸盒（黏合处和纸板厚度忽略不计），在甲、乙、丙、丁中，哪块纸板做出来的纸盒容积最大？（单位：厘米） 甲 乙 丙 丁 方法技巧：解决此类问题时，先把每种情况的容积一一计算出来，再将计算的结果进行比较即可。 举一反三： 1、有一张长10厘米、宽8厘米的长方形铁皮，从它四个角各剪去一个边长是整厘米数的正方形，然后做成无盖的长方体铁盒，这个铁盒的容积可能是多少立方厘米？最大是多少立方厘米？（焊接处和铁皮厚度忽略不计） 2、如图，有一张宽为16厘米的长方形铁皮，在它的四个角上分别剪去一个边长为4厘米的正方形，然后焊成一个无盖的长方体盒子。已知这个盒子的体积是768立方厘米，原来这个长方形铁皮的面积是多少平方厘米？（焊接处和铁皮厚度忽略不计） 3、用一张长方形铁皮制作一个无盖的长方体容器，为了不浪费，可以如下图这样，在长方形铁皮的左边两个角上剪去适当大小的正方形，再移到右边焊接起来，再通过折叠、焊接制成无盖的长方体容器。 （1）请你计算出这个长方体容器的容积。（焊接处和铁皮厚度忽略不计） （2） 如果给你一张长70厘米、宽60厘米的长方形纸板，用上面的方法制作一个无盖的方体容器，请你计算出它的容积。（黏合处和纸板厚度忽略不计） 挑战：用一张长48厘米、宽24厘米的长方形铁皮做一个深6厘米的无盖的长方体容器（处和铁皮厚度忽略不计）。有几种焊接方法？所得最大与最小的容积相差多少立厘米？ 类型7、推理法求容积 例9、 一个长方体的某相邻两个面的面积之和为77平方厘米， 它的长、宽、高都是整厘米数，且都是质数。这个长方体的体积是多少立方厘米？ 方法技巧：解决此题的关键是利用分解质因数的方法，先推出长、宽、高，再把数据代入体积公式解答。 举一反三： 1、 下图是一个长16厘米的长方体，已知它的前面和上面的面积之和为240平方厘米。若宽和高的厘米数均为质数，则它的体积是多少？ 2、 一个长方体的前面和上面的面积之和为91平方厘米，已知长、宽、高的厘米数均为质数，则这个长方体的体积是多少立方厘米？ 3、 一个长方体，不同的三个面的面积分别是25平方厘米、18平方厘米和8平方厘米。这长方体的体积是多少立方厘米？ 挑战：一个长方体，它的右面和上面的面积之和是90平方厘米，如果已知它的长、宽、高的数是三个连续的自然数，那么这个长方体的体积是多少立方厘米？ 答案： 切割后的表面积 例1 1、 分法①：5×5×4=100（平方厘米） 分法②：15×5×4=300（平方厘米） 2、 (12×9+12×18+9×18)×2+12×18×4=1836(平方厘米） 3、200÷(4×2)=25(平方厘米) 25×(5×4+2×1)=550(平方厘米) 挑战：56x2＋56＝168（平方厘米） 例2 1、12÷4×6=18(平方厘米) 2、6+2-1=7(个) 48÷6×7=56(平方厘米) 3、方法一:10÷2.5=4（份） 4×4×4=64(个) 2.5×2.5×6×64=2400(（平方分米） 方法二:10÷2.5=4（份） (4-1)×2+2=8（个）10×10×8×3=2400(平方分米) 挑战：(1+2+3)×2=12(个) 162÷(12+6)=9平方厘米）9x6＝54（平方厘米） 挖走后的表面积 例3 1、 (5×1+5×3+1×3)×2=46(（平方厘米） 2、 15×15×6-10×5×2+10×15×2+5×15×2=1700（平方厘米） 3、(30×18+30×15+18×15)×2=2520(平方厘米) 4、42×6+22×4+12×4+0.52×4=117（平方厘米） 挑战：4×4×6+1×1×4×6=120(平方厘米) 等积变形法求体积 例4 1、3×3×4÷(5×3)=2.4(分米) 2、8×6×3÷(8×6+6×4)=2(米） 3、50×4÷(50+30)=2.5(米) 挑战：解：设A容器中水深x厘米，则B容器中水深2x厘米。 20×10×x+30×20×2x=30×20×21 x=9 答：A容器中水深9厘米。 例5 1、24÷6=4(平方厘米) 4=2×2 54÷6=9(平方厘米) 9=3×3 216÷6=36(平方厘米) 36=6×6 2×2×2+3×3×3+6×6×6=251(立方厘米) 2、10×12×5+20×20×20=8600(立方厘米) 8600÷20÷5=86(厘米) 3、216÷6=36(平方厘米） 36=6×6 384÷6=64(平方厘米） 64=8×8 (6×6×6+8×8×8)÷(13×7)=8(厘米） 挑战：3×3×3×8=216(立方厘米) 6×6×6=216(平方厘米) 排水法求体积 例6 1、4厘米=00.04米 11厘米=0.11 (3×3×0.04+2×2×0.11)÷(4×4)=0.05(米) 0.05米=5厘米 2、8厘米=0.08米 6厘米=0.06米 (3×3×0.08+2×2×0.06)÷(5×5)=0.0384(米）0.0384米=3.84厘米 3、30-20=10（立方厘米） 100-10=90（立方厘米） 挑战：设小石头的体积为a。中石头的体积：a+2a=3大、小石头的体积和：3a+3a=6a 大石头的体积：6a-a=5a 5a÷a=5 根据表面积的变化求体积 例7 1、120÷4÷5=6(厘米） 6×6×(6+5)=396(立方厘米) 2、60÷4÷3=5(分米) 5×5×3=75（立方分米） 3、(114-50)÷4=16(平方厘米) 16=4×4 表面积：4×4×6=96(（平方厘米） 体积：4×4×4=64(立方厘米) 挑战：120÷4÷(3+3)=5(厘米) 5×5×(5+3+3)=275(立方厘米) 例8 1、2-1=1(次) 1×2=2(个) 400÷2=200(平方厘米) 4米=400厘米 200×400=80000(立方厘米) 2、3-1=2(次） 2×2=4(个) 16÷4=4（平方米） 4×2×3=24(立方米) 3、(3-1)×2=4(个) 64÷4=16(平方米） 16×4×3=192(立方米） 挑战：(4-1)×2=6(个) (3-1)×2=4(个)12÷(6-4)=6(平方分米）6平方分米＝0.06平方米0.06×2.4=0.144(立方米) 例9 1、当剪去的小正方形的边长是1厘米时：(10-1×2)×(8-1×2)×1=48立方厘米） 当剪去的小正方形的边长是2厘米时：(10-2×2)×(8-2×2)×2=48(立方厘米) 当剪去的小正方形的边长是3厘米时：(10-3×2)×(8-3×2)×3=24(立方厘米) 容积可能是48立方厘米或24立方厘米。 48>24 容积最大是48立方厘米。 2、铁盒的宽：16-4×2=8(厘米) 铁盒的长：768÷8÷4=24厘米） 长方形铁皮的面积：(24+4×2)×16=512(（平方厘米） 3、(1)40÷4=10(厘米) (60-10)×(40-10×2)×10=10000(立方厘米) (2)60÷4=15(厘米) (70-15)×(60-15×2)×15=24750(立方厘米) 挑战：①（单位：厘米） 48-6×2=36(厘米） 24-6×2=12(厘米） 36×12×6=2592(立方厘米) ②（单位：厘米） 48-6=42(厘米） 24-6×2=12（厘米） 42×12×6=3024(立方厘米） ③ 48÷2=24(厘米) 24×24×6=3456(立方厘米) 2592<3024<3456 3456-2592=864(立方厘米) 有3种焊接方法，所最大与最小的容积相差864立方厘米。 例9 1、240÷16=15(厘米) 15=2+13 16×13×416（立方厘米） 2、91=13×7=13×(5+2)=7×(2+11) 13×5×2=130(立方厘米)或7×2×11=154(立方厘米) 3、25×18×8=3600 3600=60×60 这个长方体的体积是60立方厘米。 挑战：90=6×(7+8) 6×7×8=336(立方厘米) ( 第 1 页 共 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $