专题2.3 一元二次方程、不等式重难点题型梳理【14类题型】-【重难点突破】2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦一元二次方程与不等式的重难点突破，系统构建从基础解法到含参问题、根的分布、恒成立条件及逻辑关系的完整知识链条，前后衔接紧密，层层递进，形成清晰的学习支架。 资料设计亮点突出，体现数学抽象、逻辑推理与建模思想的核心素养。例如通过“题型1至题型4”夯实基础，再以“题型5至题型14”实现思维跃迁，如用判别式法分析恒成立问题，借助分类讨论解决含参不等式，强化学生数形结合与严谨推理能力。课中可辅助教师精准施教，课后便于学生查漏补缺，巩固提升，真正实现从理解到应用的闭环学习。

专题2-3 一元二次方程、不等式重难点突破 题型较多，贪多嚼不烂，如果未能深入理解知识要点，即使笔记和刷题虽多但仍会问题成堆，课后缺乏巩固与总结，此等行为导致学习效率低下，事倍功半，学习成果就会大打折扣 总览 题型解读 【复习】基本不等式常见题型回顾（一题多问） 2 模块一 基础题型梳理 4 【题型1】解一元二次不等式 4 【题型2】 分式不等式 6 【题型3】绝对值不等式 8 【题型4】由一元二次不等式的解集求参数 11 【题型5】含参一元二次不等式恒（能）成立问题（1）：判别式法 14 【题型6】简单的含参一元二次不等式的解集 16 【题型7】“一元二次不等式”结合“集合与常用逻辑用语”答题专练 19 模块二 进阶训练 23 【题型8】含参一元二次不等式恒（能）成立问题（2）：参变分离法 23 【题型9】解含参一元二次不等式（分类讨论） 30 【题型10】含参一元二次不等式恒成立问题（3）：变更主元法解 34 【题型11】基本不等式恒（能）成立问题与一元二次不等式 36 【题型11】一元二次方程根的分布 39 【题型12】含参一元二次不等式整数解个数问题 46 【题型13】含参一元二次不等式与充分，必要条件 47 【题型14】其它恒成立综合问题 51 【课后作业】 57 课前小练 基本不等式常考题型回顾 【复习】基本不等式常见题型回顾（一题多问） 【巩固练习1】若a，b>0，且a＋b＝2 （1）求ab的最大值 （2）求的最小值； （3）求的最大值； （4）求的最小值 （5）求的最大值； （6）求的最小值 4 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】前4小题均为轮换式，即a与b地位对等，故a=b=1时取到最值，证明略 （1）1；（2）2；（3）2；（4）2 （5）配凑+乘“1”： （6）“1”的代换： 【巩固练习2】已知，且 （1）求的最小值 （2）求的最小值 （3）求的最小值 （4）的最小值 （5）求的最小值 （6）的最小值 【答案】（1）16；（2）6；（3）4；（4）；（5） ；（6） （1），仅当时取等 （2）“1”的代换： （3）配凑+乘“1”： （4）配凑或换元： （5）分离常数+乘1： （6）“1”的代换： 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 基础题型梳理 【题型1】解不含参的一元二次不等式 一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形 总结：一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、元二次方程求解，步骤如下： (1)化二次项系数为正； (2)若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则可得到两根x1，x2，那么“y>0”型的解为x<x1或x>x2(俗称“大于取两边”)，“y<0”型的解为x1<x<x2(俗称“小于取中间”)； 【例题1】解不等式 （1） （2） 【答案】(1). (2)R. 【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求得答案. 【详解】（1）原不等式化为 ， 即 ， 所以 ， 故不等式的解集为 . （2）原不等式化为， 又 ， 所以 的解集为R. 【巩固练习1】解不等式： （1） （2） （3） (4) 【答案】（1）x>2或x<-2 (2) (3) (4) 【分析】(1)对原式因式分解化简即可解得. (2)先将最高次前的系数化为正数再因式分解即可解得. 【详解】（1）x>2或x<-2 （2）原不等式等价于： 解得： 所以原不等式解集为： （3）原不等式等价于： 即 解得：或 所以原不等式的解集为： （4）， 整理得， 解得， 即不等式的解集为. 【巩固练习2】解下列不等式． (1) (2) 【解析】（1）对于方程，因为，所以方程有两个相等的实数根， 解得， 画出二次函数的图象，如图， 结合图象得不等式的解集为； （2）原不等式可化为， 对于方程，方程有两个实数根，解得， 画出二次函数的图象，如图， 结合图象得不等式的解集为 故所求不等式的解集为. 【题型2】 分式不等式 解题技巧 简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 例： 策略一： 同乘分母的平方，注意分母不能为0 （也可以提公因式） 策略二：也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号： 同乘： 策略三：先将一端变为0，再由分式的正负得出分子分母是否同号，注意分母不能为0 【例题1】不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】，即，则且．解得， 不等式的解集为. 故答案为：. 【例题2】的解集为 【答案】 【解析】由, 可得, 即, 所以, 解得, 所以原不等式的解集为. 故答案为: . 【巩固练习1】解下列不等式： （1） （2） 【答案】（1） (2)或 【解答】 （1）由，得，解得或， 故不等式的解集为. （2）由，得， 即，解得或， 所以不等式得解集为或. 【巩固练习2】解不等式：（1） （2） 【答案】（1） （2） 【解答】（1）因为， 所以，则，即，故，解得 （2）解：由可得，解得， 故原不等式的解集为. 【题型3】绝对值不等式 解绝对值不等式的常见方法 法一：等式两边同时平方 法二：分类讨论去绝对值 法三：利用绝对值的几何意义 一．绝对值的几何意义 的几何意义：数轴上数到原点的距离 的几何意义：在数轴上，数和数之间的距离 二．常见的绝对值不等式 （1）的解集是，如图1． （2）的解集是，如图2． （3）若 （4）若或 （5） 若 【例题1】解不等式：（1）；（2） 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）由题意，，解得， 所以原不等式的解集为． （2）由题意，或，解得或， 所以原不等式的解集为． 【例题2】不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将，转化为不等式组求解即可. 【详解】因为，所以 所以 即所以不等式的解集为． 【巩固练习1】 【答案】 【解析】由题意，，解得， 所以原不等式的解集为． 【巩固练习2】解不等式：(1) (2) 【答案】（1）或；（2） 【解析】（1）方法一：（分类讨论） ①当时，原不等式变为：， 解得，所以； ②当时，原不等式变为：， 解得，所以； 综上所述，原不等式的解集为． 方法二：或，解得或， 所以原不等式的解集为． （2） 则有，即，解得或 【巩固练习3】不等式的解集是___________ 【答案】或 【解析】不等式可化为， ∴，或； 解之得：或 【题型4】由一元二次不等式的解集求解 通过韦达定理列出参数相关的方程组，注意判断开口方向以及结合图像， 【例题1】（多选题）（高一·山东泰安·期中）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】由于不等式的解集为， 所以和是的两个实数根， 所以，故， ，故AB正确， 对于C,不等式为，故，故C错误， 对于D, 不等式可变形为， 解得，故D正确 【例题2】已知关于的不等式的解集为，则（   ） A． B．的最小值为 C．的解集为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，不等式成立， 即是不等式的一个解，于是，A正确； 对于B，由不等式的解集为， 得且，， 而，当且仅当，即时取等号， 因此，即的最大值为，B错误； 对于C，由选项B知，，即，解得，C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确. 【巩固练习1】不等式的解集为，则函数的图象大致为（   ） A．     B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案. 【详解】由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，对称轴为，与轴交点纵坐标为 【巩固练习2】(24-25深圳宝安中学月考) 不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式化为，即的两个根为，，代入求出，再利用分式不等式的解法即可求解. 【详解】不等式可转化为， 其解集为或， 所以，且方程的两个根为，， 则 或，解得或（舍去）， 即有，即，解得. 所以不等式的解集为. 【巩固练习2】已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（   ） A．{或} B． C．{或} D． 【答案】B 【分析】由不等式的解集是可得，，从而不等式可化为，解出即可. 【详解】关于的不等式的解集为， ，， 可化为， 即 ， 关于的不等式的解集是. 【巩固练习3】（多选题）若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A．且 B． C． D．不等式的解集是 【答案】ABD 【详解】因为的解集为，解集属于两根之内的情况，所以，又因为，所以；A．，故正确；B．因为，所以，故正确；C．因为解集为，所以，故错误；D．因为即为，即，解得，故正确 【巩固练习4】若关于的不等式的解集是，则的值为_____． 【答案】 【解析】因为函数,关于的不等式的解集是，的两根为：和；所以有：且； 且； 【题型5】含参一元二次不等式恒（能）成立问题（1）：判别式法 解题技巧 一元二次不等式在R上的恒（能）成立问题 方法是通过二次函数的图像来理解. 1.若ax2+bx+c>0恒成立，则a>0，Δ<0；2.若ax2+bx+c<0恒成立，则a<0，Δ<0； 3.若ax2+bx+c≠0恒成立，则Δ<0. 4.若存在x，使得ax2+bx+c>0成立，则应该满足什么条件？（求对立，再取补集） 【例题1】已知关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对二次项系数是否为0分类讨论可得正确的选项. 【详解】若，则，此不等式恒不成立，故原不等式无解，符合题设； 若，因为不等式的解为空集，故， 故，综上，， 【例题2】（24-25·山东临沂·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可. 【详解】当时，不等式，解得，显然解集不是，不符合题意； 当，由不等式的解集为， 则，，解得， 即的取值范围为． 【例题3】下列条件中，为 “关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对讨论：；，；，结合二次函数的图象，解不等式可得的取值范围，再由充要条件的定义判断即可. 【详解】因为关于的不等式对恒成立， 当时，原不等式即为恒成立； 当时，不等式对恒成立， 可得，即，解得：. 当时，的图象开口向下，原不等式不恒成立， 综上：的取值范围为：. 所以“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有 或. 【巩固练习1】不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案：B 【分析】由题意列不等式组求解 【详解】当即时，恒成立，满足题意， 当时，由题意得，解得， 综上，的取值范围是 【巩固练习2】若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解答】当时，不等式为有解，故，满足题意； 当时，若不等式有解， 则满足，解得或； 当时，此时对应的函数的图象开口向下， 此时不等式总是有解，所以， 综上可得，实数a的取值范围是. 【巩固练习3】已知命题，是真命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出，综合可解得实数的取值范围. 【详解】因为命题，是真命题， 当时，则有，合乎题意； 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 【巩固练习4】若存在实数，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】①当时，不等式化为，解得：，符合题意； ②当时，为开口方向向上的二次函数， 只需，即； ③当时，为开口方向向下的二次函数， 则必存在实数，使得成立； 综上所述：实数的取值范围为 【题型6】简单的含参一元二次不等式的解集 【例题1】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【分析】考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可. 【解析】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，的解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，的解集为，故B可能. 【例题2】（高一上·山西朔州·阶段练习）关于x的一元二次不等式，当时，该不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，知，原不等式等价于，再确定相应二次方程的根的大小得不等式的解集. 【详解】由，则，原不等式等价于不等式的解集， 又由，则方程的两根分别为， 当时，，故原不等式的解集为. 【巩固练习1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【分析】根据t的范围可得，从而即可求得不等式的解集. 【解析】 ， ， 不等式， 即不等式的解集为. （24-25高一上·浙江·期中）当时，关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【分析】确定二次项的系数符号和两根的大小关系，直接写出解集即可. 【解析】因为，又因为， 所以，所以， 又因为，于是等价于， 可得， 所以的解集为. 【巩固练习3】（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原不等式转换为，在的前提下，比较的大小即可得解. 【详解】时，，不等式可化为， 因为，且， 所以，， 解原不等式，得， 所以原不等式的解集为. 【题型7】“一元二次不等式”结合“集合与常用逻辑用语”答题专练 【例题1】已知不等式的解集为，不等式的解集为，集合. (1)设全集，求集合； (2)设集合，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先解不等式求出集合、，再根据交集、补集的定义计算可得； （2）依题意可得，即可得到，解得即可. 【详解】（1）由，即，解得， 又不等式的解集为，则. 由，等价于，解得， 又不等式的解集为，则， 所以，则； （2）因为“”是“”的必要条件，所以， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 【例题2】已知命题；命题. (1)若p为真命题，求实数a的最小值； (2)若与q恰有1个为假命题，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用不等式的解集为，求解可得实数a的最小值， （2）利用基本不等式求得为真命题时a的取值范围，为真命题时a的取值范围，进而可求结论. 【详解】（1）因为为真命题，所以的解集为， 所以，解得， 所以实数a的最小值为； （2）因为，所以，所以， ， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以， 因为，所以当为真命题时，， 由（1）可知为真命题时，， 当为真命题，为假命题时，，所以， 当为假命题，为真命题时，，所以， 综上所述：与恰有1个为假命题，实数a的取值范围为. 【例题3】已知全集，集合． (1)若b＝4时，存在集合M使得AMB，求出所有这样的集合M； (2)集合A，B能否满足？若能，求实数b的取值范围；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)能，. 【分析】（1）当时，由，得到，求得，结合条件即可求解； （2）由，得到，分和，两种情况讨论，结合集合的包含关系，即可求解. 【详解】（1）解：当时，可得， 因为，所以， 又由， 又因为AMB， 所以这样的集合M共有如下6个：. （2）解：能； 由，可得， 若时，此时满足是的一个子集，此时，解得； 若时，由（1）知， 当时，，此时，此时不是的一个子集； 当时，，此时，此时是的一个子集； 当时，，此时，此时是的一个子集， 综上可得，当或时，满足， 此时实数的取值范围为. 【巩固练习1】设集合. (1)求 (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解不等式求出集合，再利用交集、补集的概念计算即可； （2）先求出并集的补集，再根据集合间的基本关系计算即可. 【详解】（1）由得， 由得或，即{或}， 所以，故； （2）由上知{或}，所以， 而， 则，解之得， 即的取值范围为. 【巩固练习2】（24-25高一上·深圳实验·月考）已知集合，，． (1)当时，是的充分条件，求实数a的取值范围； (2)若，求实数α的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，，再根据，列出不等式组求解即可； （2）由（1）得或，分、分别求解后再取并集即可. 【详解】（1）因为，， 又因为，所以， 因为是的充分条件，所以， 所以，解得，所以实数的取值范围为：； （2）由（1）得或，， 又因为， 所以当时，有，解得； 当时，或，或或， 解得或或或， 综上所述，实数的取值范围为. 【巩固练习3】已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件与解绝对值不等式化简集合，再利用集合的交集运算即可得解； （2）根据题意分类讨论与两种情况，利用混合运算的结果得到关于的不等式（组），解之即可得解. 【详解】（1）当时，， 又， 所以. （2）因为，， 当时，，则，满足题意， 此时，解得； 当时，或，且， 又，所以，解得. 综上，或，即的取值范围为. 【巩固练习4】已知，命题，，命题，． (1)若为真命题，求的最小值； (2)若和恰好一真一假，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据基本不等式求出最值即可得解； （2）求出为真时的范围，分真假，假真两种情况得出解即可. 【详解】（1）为真命题，即对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，解得，即的最小值为. （2）若为真命题，即当时，有解， 因为开口向上，对称轴为， 所以只需，即， 所以当真假时，则，解得； 当假真时，则，解得， 综上，的取值范围. 【巩固练习5】（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知集合和非空集合，. (1)若命题“，都有”为真命题，求实数的取值； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2). 【分析】（1）由题意得到，分或或三种情况，得到方程，求出； （2）由题意得到，从而得到不等式，求出的取值范围. 【详解】（1）由命题“，都有，”为真命题知， 因为集合非空，所以或或. 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，无解. 综上，实数的取值是1. （2）因为“”是“”的必要条件，所以， 所以， 解得. 故实数的取值范围是. 模块二 进阶训练 【题型8】含参一元二次不等式恒（能）成立问题（2）：参变分离法 解题技巧 含参一元二次不等式在区间上的恒成立问题一般通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题 参变分离法：如果能够将参数分离出来,建立起明确的参数和变量的关系, ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 类型一： 结合基本不等式 【例题1】命题 使得 成立，若是假命题，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是假命题，则命题的否定为真命题，写出命题的否定，利用分离参数的方法求解即可． 【详解】命题，使得成立，若是假命题， 则命题的否定为：，成立，为真命题． 所以在上恒成立， 由，当且仅当时取得等号， 【例题2】当时，关于x的不等式恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】参变分离得，再利用基本不等式求的最小值即可得答案． 【详解】关于x的不等式恒成立 即，时恒成立， ， 又， 当且仅当，即时等号成立，． 类型二： 结合二次函数 【例题3】若不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案：B 【解析】将不等式在上有解，转化为不等式在上有解求解. 【详解】因为不等式在上有解， 所以不等式在上有解， 令，则， 所以，所以实数的取值范围是 【例题4】已知命题：“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用分离参数法得，只需求出不等式右边的最大值即可． 【详解】，， 设，对称轴为，在上单调递增， 故，即， ，，使得成立， ，，，故 类型三： 对钩函数型 【例题5】若关于x的不等式在上有实数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案：A 【分析】根据题意转化为不等式在上有实数解，结合函数的单调性，求得，即可求解. 【详解】由不等式在上有实数解， 等价于不等式在上有实数解， 因为函数在上单调递减，在单调递增， 又由， 所以，所以，即实数的取值范围是. 【巩固练习1】若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由关于的不等式在区间内有解可得在区间内有解，从而大于在区间的最小值，结合二次函数的性质即可得出结果． 【详解】由关于的不等式在区间内有解， 得在区间内有解， 令，则，即， 所以实数的取值范围是． 【巩固练习2】若不等式对一切正实数都成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意恒成立，即，然后由基本不等式求的最大值即可. 【详解】由题意恒成立，即， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为，所以. 【巩固练习3】已知存在使成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，将问题转化为存在，使得，求出的最值得解. 【详解】由，得， 又， 故存在，使得， 令，，则， ， . 【巩固练习4】设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若为真命题，即对于，即可. （2）若为真命题，即转化为对于，即可求出的范围，再分类讨论的真假即可解出. 【详解】（1）若为真命题，即，使得不等式成立， 则对于，即可. 由于,，则. （2）若为真命题，即，不等式成立， 则对于，即可. 由于，，，解得 p、q有且只有一个是真命题，则或， 解得. 【巩固练习5】若 ，不等式 恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】分离参数得，令，求出函数在上的最大值即可求解. 【详解】，不等式 恒成立， 则，即，恒成立， 令，由图知在上单调递减，在上单调递增， 又，故，则. 故答案为： .      【巩固练习6】若不等式在时不等式恒成立，则实数的取值范围为________；若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为________. 答案：, 【解析】首先分离参数可得，然后结合对勾函数的性质求得，从而可确定的取值范围． 【详解】（1）因为不等式，所以在区间上恒成立，，当x=1时取等号，故 （2）不等式对一切恒成立， 由对勾函数的性质可知函数 在区间上单调递增， 且当时，，所以 故实数的取值范围是． 【巩固练习7】当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】. 【分析】根据题意分离参数，进而构造函数求定区间的最值即可. 【详解】当时，不等式恒成立， 所以当时，恒成立，则， 令，则在单调递增， 所以，所以. 【巩固练习8】已知命题，为真命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意可知，需对二次项系数进行分类讨论，并结合判别式即可求出实数的取值范围 【详解】由题意得：当时，，不符题意； 当时，的对称轴为， 所以，只需，解得：， 当时，显然满足题意， 综上，的取值范围为 【巩固练习9】已知命题：存在实数，使成立.命题：对于，使有解，如果是假命题，是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为命题：存在实数，使成立， 所以，解得或， 故实数的取值范围为； 因为命题：对于，使有解， 即在上能成立，令，则， 则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，则， 如果是假命题，则；如果是真命题，则； 所以，即实数的取值范围. 【巩固练习10】不等式对任意的及恒成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把不等式恒成立问题转化为恒成立，令，则在上恒成立，利用二次函数求得最值即可求解实数的范围. 【详解】因为不等式对任意的及恒成立， 所以对任意的及恒成立， 令，因为及，所以，则在上恒成立， 因为的对称轴为，所以的最大值为， 所以，所以实数的范围是. 【题型9】解含参一元二次不等式（分类讨论） 解题技巧 对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏 【例题1】解下列关于的不等式：． 【答案】答案见解析. 【分析】对分三种情况讨论得解. 【详解】由得或. 当，即时，不等式解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为． 综上：时，不等式解集为；时，解集为；时，解集为． 【例题2】解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【解析】由题意可知，可化为 （1）当时，不等式化为，解得， （2）当时，不等式化为，解得， （3）当时，不等式化为，解得或， （4）当时，不等式化为，解得， （5）当时，不等式化为，解得或， 综上所述，时，不等式的解集为 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为 【巩固练习1】解关于的不等式. 【答案】见解析 【详解】试题分析：对 分四种情况讨论：时，时，时，时，分别利用一元二次不等式的解法即可得到不等式的解集. 试题解析：当时，不等式的解为； 当时，有； 当时，原不等式等价于，不等式的解为或； 当时，，不等式的解为； 当时，，不等式的解为； 当时，不等式的解为. 【巩固练习2】（2024-2025厦门第一中9月月考）（多选）设a为实数，则下列集合可能是不等式的解集的是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，将分式不等式等价为，再对参数进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】因为，所以， 显然必有，则不等式等价于， 当时，不等式可化为，又，解得或； 当时，不等式可化为，解得，此时A选项满足题意； 当时，不等式可化为， 若，即，解得，此时C选项满足题意； 若，即，此时不等式无解； 若，即，解得，此时D选项满足题意； 综上可知，B选项不满足题意. 【巩固练习3】解关于的不等式：. 【解析】不等式，即， 当时，原不等式即，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为或； 当时，解得或，即不等式的解集为或； 综上可得：当时不等式的解集为， 当时不等式的解集为或， 当时不等式的解集为或. 【巩固练习4】当时，解关于的不等式. 【解析】当时，代入不等式可得，解得； 当时，化简不等式可得即， 由得不等式的解为， 当时，化简不等式可得即， 由得不等式的解为或， 综上可知，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 【巩固练习5】解关于的不等式：． 【分析】根据条件得，讨论与的大小，求解即可． 【详解】原不等式可化为， 讨论与的大小． （1）当，即时，不等式的解为或； （2）当，即时，不等式的解为； （3）当，即时，不等式的解为或． 综上：当时，不等式的解为或；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为或． 【巩固练习6】解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分，和三种情况，在时，再分三种情况，求出不等式解集. 【详解】①当时，原不等式化为，解得． ②当时，原不等式化为，解得或． ③当时，原不等式化为. 当，即时，解得； 当，即时，解得满足题意； 当，即时，解得． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【题型10】含参一元二次不等式恒成立问题（3）：变更主元法解 解题技巧 变更主元：在有几个变量的问题中,常常有一个变量处于主要地位,我们称之为主元。在解含有参数的不等式时,有时若能换一个角度,变参数为主元,则可以得到意想不到的效果。 一般来说，这类问题的特点是给出参数范围求x的范围 【例题1】对于中的任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】法一：由题意，可以采用分离参数法．，分，，，结合进行讨论并求解不等即可得． 法二：构造函数法，构造关于的函数，，即，对于中的任意恒成立，从而求解不等式组即可得． 【详解】法一：由题意，恒成立， 等价于， 当时，即，，则恒成立， ，，解得：， 当时，即时，不等式不成立， 当时，即，，则， ，，解得：， 综上所述：的取值范围是或； 法二：由，即， 令函数， ，即，对于中的任意恒成立， 则有且，即，解得或， 所以的取值范围是或. 【例题2】已知，不等式恒成立，求的取值范围。 【答案】或 【详解】解因为时，不等式恒成立，即恒成立。当时，不等式不成立，所以。令(其中为自变量)，，问题转化为在时恒大于0，则解得或。所以的取值范围为或 【例题3】已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意构造函数关于a的函数，则可得，从而可求出x的取值范围． 【详解】由题意，因为当，不等式恒成立， 可转化为关于a的函数， 则对任意恒成立， 则满足， 解得， 即x的取值范围为 【巩固练习1】若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】把题意转化为，设，由一次函数的单调性列不等式组，即可求解． 【详解】可转化为． 设，则是关于m的一次型函数． 要使恒成立，只需，解得． 【巩固练习2】若恒成立，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】采用变换主元的策略，看作关于的一次函数，利用端点函数值不小于0建立不等式组求解即可． 【详解】令，当时，恒成立， 只需 即 解得或． 所以实数x的取值范围是． 故答案为： 【题型11】基本不等式恒（能）成立问题与一元二次不等式 【例题1】若对，都有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据题意，结合基本不等式求得的最小值为，转化为恒成立，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】因为，可得，当且仅当时，即时，等号成立，即的最小值为， 要使得不等式恒成立，可得，即， 因为，解得， 即实数的取值范围时. 【例题2】(24-25湖南师大附中期中)已知两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】借助基本不等式“1”的活用可得不等式有解等价于，解出即可得. 【详解】由均为正实数，且， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 则不等式有解等价于， 即有，解得或. 【巩固练习1】对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可算出，再将最小值代入，即可求解 【详解】不等式恒成立 ，，且 当且仅当，即时取等号 ，即 解得 故实数的取值范围是 【巩固练习2】已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】利用基本不等式求得的最小值，再解一元二次不等式来求得正确答案. 【详解】解因为不等式恒成立， 则， 因为，，由可得， 所以， 当且仅当，即，时取等号，故， 所以，即，解得， 则实数的取值范围是． 【巩固练习3】若存在正实数x，y满足于，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解一元二次不等式即可. 【详解】因为，且， 所以． 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，解得或， 所以m的取值范围是． 【巩固练习4】当x＞0，y＞0，且满足时，有恒成立，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】妙用“1”，利用基本不等式先求的最小值，然后解不等式可得. 【详解】因为，x＞0，y＞0， 所以 当且仅当，即时等号成立， 因为恒成立， 所以有恒成立，解得，即k的取值范围为. 【题型12】一元二次方程根的分布 解题技巧 一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想.一般考虑以下几方面： 1. 开口（若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况 ）. 2. 判定给定点处函数值的正负.（开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则△＞0 恒成立） 3. 判定△符号. 4. 判定对称轴的位置.       总之，耐心去分类讨论（分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解），借助图象去分析就可以得到结论，无需记忆. （1）二元二次方程在上根的分布情况 ①方程有两个不等的实数根; ②方程有两个相等的实数根; ③方程没有实数根 （2）一元二次方程的根的“0”分布 ①方程有两个不等正根； ②方程有两个不等负根 ③方程有一正根和一负根,设两根为 （3）一元二次方程的根的“”分布 ①两根都小于； ②两根都大于 ③一根小于，一根大于 （4）一元二次方程根在区间的分布 ①两根都在内 ②两根都在外 ③两根仅有一根在内 4 一根在内,另一根在内 类型一 ：根的“0”分布 【例题1】已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围 解析 方法一： 当时，若要满足题意，必须； 当时，若要满足题意，必须； 即，解得。 方法二：(韦达定理) 设是的两个根，若要满足题意等价于 ，解得。 【例题2】(24-25华南师范大学附属中学月考)已知关于x的方程，则下列结论中正确的是（    ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程无实数根的充分不必要条件是 C．方程有两个正根的充要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】B 【分析】由判断A；利用方程对应函数的性质列不等式组求参数范围，结合充分、必要性定义判断B、C、D. 【详解】A：由题设，显然无解，错； B：若方程无实根，则，即， 所以是方程无实数根的充分不必要条件，对； C：令，要使方程有两个正根， 所以，可得，故不是充要条件，错； D：同C分析， ，可得，故不是充要条件，错. 类型二 ：两根与的大小比较 【例题3】已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 . 【答案】 【解析】设， 因为方程 的一个实根小于2，另一个实根大于2， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 类型三 ：根在区间上的分布 【例题4】若方程的一个根在区间上，另一根在区间上，则实数的取值范围为　 　． 答案 解析 设函数， 方程的一个根在区间上，另一根在区间， ，∴，即， 则 即实数的取值范围是； 故答案为：(4，2)． 【例题5】已知方程的两根分别在区间之内，则实数的取值范 围为　 　． 答案 解析 设， 方程的两根分别在区间，之内， 可得，， 即有，且， 即为，解得． 故答案为：． 【例题6】若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，且， 则实数的取值范围是(　　) 答案 解析 由题意设， 方程有两个不相等的实根，且，， ，则，解得 【巩固练习1】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】令函数，依题意，的两个不等实根满足， 而函数图象开口向上，因此，解得， 所以实数a的取值范围为. 【巩固练习2】已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知条件及方程的根与函数零点的等价关系，再结合二次函数的性质即可求解． 【详解】显然，关于的方程对应的二次函数 当时，二次函数的图象开口向上， 因为的两个实根一个小于，另一个大于等价于二次函的图象与轴的两个零点一个小于0，另一个大于， 所以，即，解得； ②当时，二次函数的图象开口向下， 因为的两个实根一个小于，另一个大于等价于二次函的图象与轴的两个零点一个小于0，另一个大于， 所以，即，解得； 综上所述，实数的范围是． 【巩固练习3】若，是关于x的方程的解，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据题意将问题转化为利用二次函数零点的分布，得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为，是关于x的方程的解，且满足， 所以在上有两个零点， 所以，解得，则， 所以的取值范围是. 【巩固练习4】已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是　 　． 解析 关于的方程对应的二次函数 若，即图象开口向上， 的两个实根一个小于，另一个大于， 只需，且， 即且，则； 若，即图象开口向下， 的两个实根一个小于，另一个大于， 只需，且， 即且，则． 综上可得的范围是． 故答案为：． 【巩固练习5】已知方程的两根为，且，则的取值范围是　　． 答案 解析 由程， 知对应的函数图象开口方向朝上 又方程的两根满足, 则 ,即 ,即 ， 故答案为 【巩固练习6】关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实数是不是为零进行分类讨论，结合根的判别式及韦达定理即可得解. 【详解】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 当方程有二个负根时，则有， 当方程有一个负根一个正根时，则有， 综上所述：当关于x的方程至少有一个负根时，有， 即关于x的方程至少有一个负根的充要条件是. 【巩固练习7】方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，由二次函数根的分布性质有，，，求得的取值范围. 【详解】令，由二次函数根的分布性质，若一根在区间内， 另一根在区间（3，4）内， 只需，即， 解不等式组可得，即的取值范围为 【巩固练习8】（24-25宁波中学期中）设，“”是“方程在区间上有两个不等实根”的（    ）条件. A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】举反例说明充分性，利用二次方程根的分布说明必要性，从而得解. 【详解】当时，取， 则方程为，显然无解，即充分性不成立； 当方程在区间上有两个不等实根时， 则，即，则， 此时成立，即必要性成立； 所以前者是后者的必要不充分，故C正确. 【题型13】含参一元二次不等式整数解个数问题 【例题1】设集合，若中恰含有3个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由交集的运算和一元二次不等式的求解即可得到答案； 【详解】若中恰含有3个整数且可得， 若，由集合可得，不符合题意； 若，由集合可得， 此时，因为，所以， 所以实数a的取值范围是 【巩固练习1】已知关于的不等式恰有四个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，分类讨论，和，解含参的一元二次不等式，再结合不等式恰有四个整数解，即可得出答案. 【详解】不等式，即可化为， 当时，不等式的解集为空集，不合题意； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则， 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则， 综上可得，实数的取值范围是． 【巩固练习2】（24-25高一上·福建·期中）已知关于的不等式的解集中不含有整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对实数的取值进行分类讨论，再由解集中不含有整数限定出不等式可得结果. 【详解】不等式可分解为， 当时，不等式解集为，依题意可得，解得， 所以； 当，不等式为，此时解集为空集，符合题意； 当时，不等式解集为，依题意可得，解得， 所以； 综上可得，实数的取值范围为. 【巩固练习3】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知关于的不等式的解集中恰有两个整数，则正整数的值为 ． 【答案】5 【分析】根据给定条件，按分类求出解集，进而求出的值. 【详解】不等式， 显然，否则原不等式解集为空集， 当时，解得，要原不等式的解集中恰有两个整数，必小于0，与为正整数矛盾， 因此，解得，要原不等式的解集中恰有两个整数，则， 所以正整数的值为5. 【巩固练习4】（24-25高一上·江苏常州·期中）已知集合，，若中恰有两个整数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求得集合，分类讨论解出集合，并根据中恰有两个整数，求出参数的取值范围即可. 【详解】由，可得，解得，所以， 当时，由，可得，， 因为中恰有两个整数，所以，解得， 当，由，可得，， 此时，不符合题意， 综上所述：若中恰有两个整数，实数的取值范围为. 【巩固练习5】（24-25高一下·江西南昌·期末）已知不等式的解集中有且仅有2个整数，且这两个整数均为非负数，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】解出不等式的解集，再分析非负整数解即可求解. 【详解】， ，即， ， ， 不等式的解集为， 不等式的解集中有且仅有2个整数，且这两个整数均为非负数， ，解得，实数a的取值范围为. 【巩固练习6】已知，关于的不等式的解集中有且仅有个整数，，，则 ，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据不等式解集中有且只有个连续整数，确定解集的区间长度， 得出的取值范围，再由对称轴判断出即可. 【详解】由题意，，即， 设不等式的解集为，则，， 则， 因为不等式解集中有且仅有个整数，所以， 即，解得， 所以的对称轴满足， 而，即离对称轴距离最近的整数只有， 所以，所以三个整数解为， 所以，解得. 【题型14】含参一元二次不等式与充分，必要条件 【例题1】已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】因为不等式的解集是空集， 所以不等式的解集是， 当即 时， 若 ，则 ， 舍； 若 ，则 ， ； 当时，则 ，解得 ， 综上所述 ， 所以条件是条件的充分不必要条件． 【例题2】（高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知“”是“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元二次不等式求为真对应x的范围，根据必要不充分条件求参数范围. 【详解】由或， 由， 又是成立的必要不充分条件，则且， 所以或，故的取值范围为. 【例题3】（24-25高一上·江苏海安高级中学·月考）(多选)关于的不等式成立的必要不充分条件是，则下列叙述正确的是（ ） A．的最小值为6 B．关于的不等式的解集为 C．关于的不等式的解集中整数解最少3个 D． 【答案】ABD 【分析】先根据条件关系可得,根据基本不等式可判断A的正误,利用配方法可判断B的正误;根据所求得的可判断CD的正误. 【详解】即为, 而关于的不等式成立的必要不充分条件是, 故, 所以,故. 对于A,因为, 当且仅当,即时等号成立; 故的最小值为6,故A正确; 对于B,因为,故,故的解集为,故B正确; 对于的解为, 因为,故不等式的解中至少有整数,故C错误; 对于D,因为,故,故,故D正确 【巩固练习1】（高一上·河南·期末）“”是“不等式对任意的恒成立”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】先根据不等式恒成立得出.比较，即可得出答案. 【详解】当时，对任意的恒成立； 当时，要使不等式对任意的恒成立， 则应有，解得. 综上所述，的取值范围为. 显然“”包含的范围包含于“”包含的范围， 所以，“”是“不等式对任意的恒成立”的充分不必要条件. 故选：A. 【巩固练习2】已知p：，q：，（），若p是q的充分非必要条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】命题对应的集合为，命题对应的集合为，由p是q的充分非必要条件，可得是的真子集，根据集合的包含关系列出不等式组，解之即可. 【详解】解：由不等式，解得， 设命题对应的集合为，则， 由不等式，解得， 设命题对应的集合为，则， 因为p是q的充分非必要条件， 所以是的真子集， 则（不同时取等号），解得， 所以实数m的取值范围是. 【巩固练习3】已知:, :，若是的充分而不必要条件, 则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先解绝对值不等式和二次不等式，再由充分不必要条件得出不等式组，求解即可. 【详解】由解得．由解得．不妨设，，因为是的充分而不必要条件，所以是的充分而不必要条件，所以是的真子集，即，解得． 【巩固练习4】设p：，q： ，若是q的充分不必充要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】试题分析：，，，是的充分不必充要条件，所以，解得. 【题型15】其它恒成立综合问题 【例题1】已知当时，不等式恒成立，则实数a= ． 【答案】 【分析】根据因式的符号可得且为方程的实数根，故可求的值. 【详解】若，则当时，， 故在上恒成立，但的图象为抛物线， 它的开口向上，故矛盾，舍； 故，故时，，故， 当时，，故， 考虑的解，因为，故此方程必有两个不同的解， 而，故此方程有且仅有一个正实根， 故为方程的正实根，故， 故 【例题1】（2024-2025南京一中9月月考）已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由命题为假命题，则在上无解，即与，函数图象没有交点，画出图象求出参数，命题为真命题，则，求出参数求交集即可. 【详解】命题为假命题， 在上无解， 即与，函数图象没有交点，      由图可知：或， 命题为真命题，则，解得， 综上所述：实数a的取值范围为. 【巩固训练1】若对任意，不等式恒成立，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】根据题意，令和，并在上讨论它们的取值情况，进而结合图象可得是方程的一个根，从而解方程可求的值. 【详解】的图象开口向上，又，图象恒过， 所以函数的图象与轴有一正一负的2个交点， 设方程的两个根分别， 所以在上，在上， 当时，在上， 于是在上，在上， 因此，当时，不等式不恒成立； 当时，由可解得， 则在上，在上， 要使不等式恒成立，则， 如图所示：    所以，将把代入方程， 即，即， 整理得，解得， 又，则. 综上所述，实数的取值集合为 【巩固训练2】已知集合，集合. (1)存在，使成立，求集合； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (3)命题，有，命题，使得成立．若命题为假命题，为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据一元二次函数的系数与根的个数的关系，可求得，又，代入集合，化简即可； （2）由是的必要不充分条件，得且，所以对于恒成立，再解含参的恒成立问题即可； （3）由命题为真命题，得，根据均值不等式求得，从而求得的范围，又为假命题，所以求其补集即为的范围；根据命题的否定，得，使得，再根据一元二次系数与根的关系进行运算求解即可. 【详解】（1）存在，使成立， ，解得， 又， 当时，集合， 此时. （2）由题. 是的必要不充分条件，且， 即对于恒成立， ， 由一元二次函数性质可知在上单调递增，在上单调递减， 因为， 所以当时，，即，解得， 的取值范围是. （3）由（2）知， 命题，都有，则. ，当且仅当即时取等号， ，即， 若命题为真命题，则，命题为假命题， 命题使得成立， 所以，使得为真命题， 则恒成立，所以恒成立，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 【巩固训练3】已知集合. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围； (3)若，使，求实数a的取值他围. 参考公式：若关于x的方程有两根与，则关于x的不等式的解集为，的解集为. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求得集合A，利用条件及二次函数的性质得集合B，由交集的概念计算即可； （2）利用反比例函数的性质求得C，再根据必要条件得出，利用集合的基本关系及二次函数动轴定区间分类讨论计算即可； （3）将问题转化为，结合（2）的结论分类讨论计算即可. 【详解】（1）由可得，即， 而时，， 由二次函数的性质知，即，所以； （2）根据反比例函数的性质知时，，则， 由（1）知：，由“”是“”的必要条件可得， ①若，即时，结合二次函数的性质， 当时，， 当时，， 即， 易知，所以， 若，显然满足， 若，， 要满足题意则需，或， 所以； ②若，即时，同上知， 且，所以，则， 此时， 要满足题意需，或， 所以； ③若，即时，结合二次函数性质， 当时，， 当时，， 即， 且，所以，与前提矛盾，舍去； ④若，即时，结合二次函数性质， 当时，， 当时，， 即， 且，所以， 即， 显然，有，不符题意； 而时，， 要满足题意需，与前提矛盾舍去， 或，也与前提矛盾，舍去； 综上所述：； （3）由，使恒成立知恒成立， 由（2）知： ①时，，则； ②时，，则； ③时，，则，所以； 综上所述：. 【课后作业】 1． （多选）已知关于的不等式的解集是或，则下列说法正确的是（　　） A． B．不等式的解集是 C．不等式的解集是 D． 【答案】ACD 【分析】由一元二次不等式与解集的关系可判断A选项；利用韦达定理可得出、与的等量关系，利用一次不等式的解法可判断B选项；利用二次不等式的解法可判断C选项；计算可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为关于的不等式的解集是或，则，A对； 对于B选项，由题意可知，关于的方程的两根分别为，， 由韦达定理可得，可得，，则， 由可得，解得，B错； 对于C选项，由可得，即，解得， 因此，不等式的解集是，C对； 对于D选项，，D对. 2． 若不等式对一切实数恒成立，实数的取值范围是________ 【答案】 【分析】讨论和两种情况，按开口方向和判别式列不等式组，解出实数的取值范围． 【详解】由题意，恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，满足， 即，解得； 故实数的取值范围是． 3． 若命题“，使得”是假命题，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先由题得，有，接着按时和时两种情况分类讨论即可得解. 【详解】因为命题“，使得”是假命题， 所以，使得， 当时，有，符合； 当时，则有即， ， 综上，实数a的取值范围为. 4． 若，使恒成立，则的取值范围为 【答案】 【分析】参变分离可得，使恒成立，由二次函数的性质求出，即可得解. 【详解】因为，使恒成立， 所以，使恒成立， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以， 即的取值范围为. 5． 关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】设，开口向上， 由题意知， 即，解得， 所以． 故答案为：． 6． 已知命题：“，，使得”是假命题，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】先分析得命题是真命题的等价条件，从而求得的取值范围，进而求得命题为假命题时的取值范围，由此得解. 【详解】若命题：“，，使得”是真命题， 则它等价于， 因为，，则， 所以当命题为假命题时，. 7． 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由基本不等式“1”的用法得，进而解不等式即可得答案. 【详解】 ，且， ，当且仅当,即时取等号. ， 由 恒成立，即， 解得： 8． 已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意构造函数关于a的函数，则可得，从而可求出x的取值范围. 【详解】由题意，因为当，不等式恒成立， 可转化为关于a的函数， 则对任意恒成立， 则满足， 解得， 即x的取值范围为． 9． （24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设集合，若中恰含有3个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由交集的运算和一元二次不等式的求解即可得到答案； 【详解】若中恰含有3个整数且可得， 若，由集合可得，不符合题意； 若，由集合可得， 此时，因为，所以， 所以实数a的取值范围是 10． （1）解关于的不等式. （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）. 【解析】（1）不等式化为：， 当时，解得；当时，不等式无解；当时，解得， 所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （2）当时，恒成立，则， 当时，不等式， 依题意，，，而最大值为2，因此， 所以实数的取值范围是. 11． 已知集合使不等式成立． (1)用区间形式表示集合M； (2)设不等式的解集为N，若是的必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分离参数法，转化为有解问题，结合二次函数的性质可求出结果； （2）根据题意得到，分类讨论根之间的大小关系，从而得到取值范围. 【详解】（1）根据题意可得在上有解， 即在上有解，只需， 令， 由知， 所以，则， 故的取值集合 （2）因为是的必要条件， 所以，显然不为空集，即不为， 因为不等式的解集为N， 所以①当即时，，， 则，解得； ②当即时，，， 则，解得； 综上所述，a的取值范围是. 12． 解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】先将不等式变形，然后分，和三种情况，在时，再分三种情况，求出不等式解集. 【详解】不等式化为， ①当时，原不等式化为，解得． ②当时，原不等式化为，解得或． ③当时，原不等式化为. 当，即时，解得； 当，即时，解得满足题意； 当，即时，解得． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 13． 已知命题；命题. (1)若p为真命题，求实数a的最小值； (2)若与q恰有1个为假命题，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用不等式的解集为，求解可得实数a的最小值， （2）利用基本不等式求得为真命题时a的取值范围，为真命题时a的取值范围，进而可求结论. 【详解】（1）因为为真命题，所以的解集为， 所以，解得， 所以实数a的最小值为； （2）因为，所以，所以， ， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以， 因为，所以当为真命题时，， 由（1）可知为真命题时，， 当为真命题，为假命题时，，所以， 当为假命题，为真命题时，，所以， 综上所述：与恰有1个为假命题，实数a的取值范围为. 14． 已知函数． (1)已知关于x的不等式的解集为，若存在，使关于x的不等式有解，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据不等式的解可求的值，从而可得关于的不等式，故可求的范围； （2）就分类讨论后可得不等式的解集. 【详解】（1）因为的解集为， 所以且的两个根为， 所以，故， 因为不等式在上有解，故或， 故. （2）即为， 故， 若，则，此时不等式的解为； 若，则，此时不等式的解为； 若， 若，则或，此时不等式的解为； 若，则不等式的解为； 若，则或，此时不等式的解为； 综上：当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为 $ 专题2-3 一元二次方程、不等式重难点突破 题型较多，贪多嚼不烂，如果未能深入理解知识要点，即使笔记和刷题虽多但仍会问题成堆，课后缺乏巩固与总结，此等行为导致学习效率低下，事倍功半，学习成果就会大打折扣 总览 题型解读 【复习】基本不等式常见题型回顾（一题多问） 1 模块一 基础题型梳理 2 【题型1】解一元二次不等式 2 【题型2】 分式不等式 3 【题型3】绝对值不等式 5 【题型4】由一元二次不等式的解集求参数 6 【题型5】含参一元二次不等式恒（能）成立问题（1）：判别式法 8 【题型6】简单的含参一元二次不等式的解集 10 【题型7】“一元二次不等式”结合“集合与常用逻辑用语”答题专练 11 模块二 进阶训练 14 【题型8】含参一元二次不等式恒（能）成立问题（2）：参变分离法 14 【题型9】解含参一元二次不等式（分类讨论） 16 【题型10】含参一元二次不等式恒成立问题（3）：变更主元法解 20 【题型11】基本不等式恒（能）成立问题与一元二次不等式 20 【题型11】一元二次方程根的分布 21 【题型12】含参一元二次不等式整数解个数问题 25 【题型13】含参一元二次不等式与充分，必要条件 26 【题型14】其它恒成立综合问题 28 【课后作业】 30 课前小练 基本不等式常考题型回顾 【复习】基本不等式常见题型回顾（一题多问） 【巩固练习1】若a，b>0，且a＋b＝2 （1）求ab的最大值 （2）求的最小值； （3）求的最大值； （4）求的最小值 （5）求的最大值； （6）求的最小值 【巩固练习2】已知，且 （1）求的最小值 （2）求的最小值 （3）求的最小值 （4）的最小值 （5）求的最小值 （6）的最小值 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 基础题型梳理 【题型1】解不含参的一元二次不等式 一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形 总结：一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、元二次方程求解，步骤如下： (1)化二次项系数为正； (2)若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则可得到两根x1，x2，那么“y>0”型的解为x<x1或x>x2(俗称“大于取两边”)，“y<0”型的解为x1<x<x2(俗称“小于取中间”)； 【例题1】解不等式 （1） （2） 【巩固练习1】解不等式： （1） （2） （3） (4) 【巩固练习2】解下列不等式． (1) (2) 【题型2】 分式不等式 解题技巧 简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 例： 策略一： 同乘分母的平方，注意分母不能为0 （也可以提公因式） 策略二：也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号： 同乘： 策略三：先将一端变为0，再由分式的正负得出分子分母是否同号，注意分母不能为0 【例题1】不等式的解集为 ． 【例题2】的解集为 【巩固练习1】解下列不等式： （1） （2） 【巩固练习2】解不等式：（1） （2） 【题型3】绝对值不等式 解绝对值不等式的常见方法 法一：等式两边同时平方 法二：分类讨论去绝对值 法三：利用绝对值的几何意义 一．绝对值的几何意义 的几何意义：数轴上数到原点的距离 的几何意义：在数轴上，数和数之间的距离 二．常见的绝对值不等式 （1）的解集是，如图1． （2）的解集是，如图2． （3）若 （4）若或 （5） 若 【例题1】解不等式：（1）；（2） 【例题2】不等式的解集为 ． 【巩固练习1】 【巩固练习2】解不等式：(1) (2) 【巩固练习3】不等式的解集是___________ 【题型4】由一元二次不等式的解集求解 通过韦达定理列出参数相关的方程组，注意判断开口方向以及结合图像， 【例题1】（多选题）（高一·山东泰安·期中）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【例题2】已知关于的不等式的解集为，则（   ） A． B．的最小值为 C．的解集为 D．的最小值为 【巩固练习1】不等式的解集为，则函数的图象大致为（   ） A．     B．     C．     D．   【巩固练习2】(24-25深圳宝安中学月考) 不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（   ） A．{或} B． C．{或} D． 【巩固练习3】（多选题）若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A．且 B． C． D．不等式的解集是 【巩固练习4】若关于的不等式的解集是，则的值为_____． 【题型5】含参一元二次不等式恒（能）成立问题（1）：判别式法 解题技巧 一元二次不等式在R上的恒（能）成立问题 方法是通过二次函数的图像来理解. 1.若ax2+bx+c>0恒成立，则a>0，Δ<0；2.若ax2+bx+c<0恒成立，则a<0，Δ<0； 3.若ax2+bx+c≠0恒成立，则Δ<0. 4.若存在x，使得ax2+bx+c>0成立，则应该满足什么条件？（求对立，再取补集） 【例题1】已知关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25·山东临沂·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题3】下列条件中，为 “关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（ ） A． B． C． D． 【巩固练习1】不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是__________． 【巩固练习3】已知命题，是真命题，则实数的取值范围为 . 【巩固练习4】若存在实数，使得成立，求实数的取值范围. 【题型6】简单的含参一元二次不等式的解集 【例题1】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【例题2】（高一上·山西朔州·阶段练习）关于x的一元二次不等式，当时，该不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高一上·浙江·期中）当时，关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型7】“一元二次不等式”结合“集合与常用逻辑用语”答题专练 【例题1】已知不等式的解集为，不等式的解集为，集合. (1)设全集，求集合； (2)设集合，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【例题2】已知命题；命题. (1)若p为真命题，求实数a的最小值； (2)若与q恰有1个为假命题，求实数a的取值范围. 【例题3】已知全集，集合． (1)若b＝4时，存在集合M使得AMB，求出所有这样的集合M； (2)集合A，B能否满足？若能，求实数b的取值范围；若不能，请说明理由． 【巩固练习1】设集合. (1)求；(2)若，求实数的取值范围. 【巩固练习2】（24-25高一上·深圳实验·月考）已知集合，，． (1)当时，是的充分条件，求实数a的取值范围； (2)若，求实数α的取值范围． 【巩固练习3】已知集合，集合. (1)当时，求；(2)若，求实数m的取值范围. 【巩固练习4】已知，命题，，命题，． (1)若为真命题，求的最小值；(2)若和恰好一真一假，求的取值范围. 【巩固练习5】（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知集合和非空集合，. (1)若命题“，都有”为真命题，求实数的取值； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 模块二 进阶训练 【题型8】含参一元二次不等式恒（能）成立问题（2）：参变分离法 解题技巧 含参一元二次不等式在区间上的恒成立问题一般通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题 参变分离法：如果能够将参数分离出来,建立起明确的参数和变量的关系, ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 类型一： 结合基本不等式 【例题1】命题 使得 成立，若是假命题，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【例题2】当时，关于x的不等式恒成立，则的取值范围是 ． 类型二： 结合二次函数 【例题3】若不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题4】已知命题：“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 类型三： 对钩函数型 【例题5】若关于x的不等式在上有实数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】若不等式对一切正实数都成立，则实数的取值范围是 . 【巩固练习3】已知存在使成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习4】设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围 【巩固练习5】若 ，不等式 恒成立，则的取值范围为 . 【巩固练习6】若不等式在时不等式恒成立，则实数的取值范围为________；若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为________. 【巩固练习7】当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【巩固练习8】已知命题，为真命题，则实数的取值范围为 ． 【巩固练习9】已知命题：存在实数，使成立.命题：对于，使有解，如果是假命题，是真命题，则实数的取值范围是 . 【巩固练习10】不等式对任意的及恒成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【题型9】解含参一元二次不等式（分类讨论） 解题技巧 对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏 【例题1】解下列关于的不等式：． 【例题2】解关于x的不等式. 【巩固练习1】解关于的不等式. 【巩固练习2】（2024-2025厦门第一中9月月考）（多选）设a为实数，则下列集合可能是不等式的解集的是（    ） A． B．或 C． D． 【巩固练习3】解关于的不等式：. 【巩固练习4】当时，解关于的不等式. 【巩固练习5】解关于的不等式：． 【巩固练习6】解关于的不等式：． 【题型10】含参一元二次不等式恒成立问题（3）：变更主元法解 解题技巧 变更主元：在有几个变量的问题中,常常有一个变量处于主要地位,我们称之为主元。在解含有参数的不等式时,有时若能换一个角度,变参数为主元,则可以得到意想不到的效果。 一般来说，这类问题的特点是给出参数范围求x的范围 【例题1】对于中的任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【例题2】已知，不等式恒成立，求的取值范围。 【例题3】已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为 ． 【巩固练习1】若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是 ． 【巩固练习2】若恒成立，则实数x的取值范围是 ． 【题型11】基本不等式恒（能）成立问题与一元二次不等式 【例题1】若对，都有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【例题2】(24-25湖南师大附中期中)已知两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是 . 【巩固练习1】对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 【巩固练习3】若存在正实数x，y满足于，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】当x＞0，y＞0，且满足时，有恒成立，则k的取值范围是 ． 【题型12】一元二次方程根的分布 解题技巧 一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想.一般考虑以下几方面： 1. 开口（若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况 ）. 2. 判定给定点处函数值的正负.（开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则△＞0 恒成立） 3. 判定△符号. 4. 判定对称轴的位置.       总之，耐心去分类讨论（分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解），借助图象去分析就可以得到结论，无需记忆. （1）二元二次方程在上根的分布情况 ①方程有两个不等的实数根; ②方程有两个相等的实数根; ③方程没有实数根 （2）一元二次方程的根的“0”分布 ①方程有两个不等正根； ②方程有两个不等负根 ③方程有一正根和一负根,设两根为 （3）一元二次方程的根的“”分布 ①两根都小于； ②两根都大于 ③一根小于，一根大于 （4）一元二次方程根在区间的分布 ①两根都在内 ②两根都在外 ③两根仅有一根在内 4 一根在内,另一根在内 类型一 ：根的“0”分布 【例题1】已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围 【例题2】(24-25华南师范大学附属中学月考)已知关于x的方程，则下列结论中正确的是（    ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程无实数根的充分不必要条件是 C．方程有两个正根的充要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 类型二 ：两根与的大小比较 【例题3】已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 . 类型三 ：根在区间上的分布 【例题4】若方程的一个根在区间上，另一根在区间上，则实数的取值范围为　 　． 【例题5】已知方程的两根分别在区间之内，则实数的取值范 围为　 　． 【例题6】若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，且， 则实数的取值范围是(　　) 【巩固练习1】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ． 【巩固练习2】已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是 ． 【巩固练习3】若，是关于x的方程的解，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【巩固练习4】已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是　 　． 【巩固练习5】已知方程的两根为，且，则的取值范围是　　． 【巩固练习6】关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习7】方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习8】（24-25宁波中学期中）设，“”是“方程在区间上有两个不等实根”的（    ）条件. A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【题型13】含参一元二次不等式整数解个数问题 【例题1】设集合，若中恰含有3个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知关于的不等式恰有四个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高一上·福建·期中）已知关于的不等式的解集中不含有整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知关于的不等式的解集中恰有两个整数，则正整数的值为 ． 【巩固练习4】（24-25高一上·江苏常州·期中）已知集合，，若中恰有两个整数，则实数的取值范围为 . 【巩固练习5】（24-25高一下·江西南昌·期末）已知不等式的解集中有且仅有2个整数，且这两个整数均为非负数，求实数a的取值范围． 【巩固练习6】已知，关于的不等式的解集中有且仅有个整数，，，则 ，的取值范围为 ． 【题型14】含参一元二次不等式与充分，必要条件 【例题1】已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题2】（高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知“”是“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高一上·江苏海安高级中学·月考）(多选)关于的不等式成立的必要不充分条件是，则下列叙述正确的是（ ） A．的最小值为6 B．关于的不等式的解集为 C．关于的不等式的解集中整数解最少3个 D． 【巩固练习1】（高一上·河南·期末）“”是“不等式对任意的恒成立”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【巩固练习2】已知p：，q：，（），若p是q的充分非必要条件，则实数m的取值范围是 ． 【巩固练习3】已知:, :，若是的充分而不必要条件, 则实数的取值范围是 . 【巩固练习4】设p：，q： ，若是q的充分不必充要条件，则实数的取值范围是 ． 【题型15】其它恒成立综合问题 【例题1】已知当时，不等式恒成立，则实数a= ． 【例题2】（2024-2025南京一中9月月考）已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固训练1】若对任意，不等式恒成立，则实数的取值集合为 . 【巩固训练2】已知集合，集合. (1)存在，使成立，求集合； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (3)命题，有，命题，使得成立．若命题为假命题，为真命题，求实数的取值范围. 【巩固训练3】已知集合. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围； (3)若，使，求实数a的取值他围. 参考公式：若关于x的方程有两根与，则关于x的不等式的解集为，的解集为. 【课后作业】 1． （多选）已知关于的不等式的解集是或，则下列说法正确的是（　　） A． B．不等式的解集是 C．不等式的解集是 D． 2． 若不等式对一切实数恒成立，实数的取值范围是________ 3． 若命题“，使得”是假命题，则实数a的取值范围为 ． 4． 若，使恒成立，则的取值范围为 5． 关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 6． 已知命题：“，，使得”是假命题，则实数m的取值范围是 . 7． 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 8． 已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为 ． 9． （24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设集合，若中恰含有3个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10． （1）解关于的不等式. （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 11． 已知集合使不等式成立． (1)用区间形式表示集合M； (2)设不等式的解集为N，若是的必要条件，求实数a的取值范围． 12． 解关于x的不等式. 13． 已知命题；命题. (1)若p为真命题，求实数a的最小值； (2)若与q恰有1个为假命题，求实数a的取值范围. 14． 已知函数． (1)已知关于x的不等式的解集为，若存在，使关于x的不等式有解，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式． 4 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $