2．2 基本不等式（思维导图+3大知识点+10大题型）（讲义）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

本讲义聚焦高中数学“基本不等式”核心内容，系统构建从定义理解到证明方法、再到均值定理应用的完整知识链，前后衔接紧密，层层递进。通过知识点一至三的逻辑演进，帮助学生建立“一正二定三相等”的思维框架，为后续题型训练提供清晰的学习支架。 资料设计亮点突出，体现数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养。例如题型三“1的代换”巧妙融合代数变形与构造意识，引导学生从现实问题中抽象出恒等式结构，强化模型观念；题型八实际应用案例贴近生活情境，培养学生用数学语言表达真实世界的能力，如鱼池占地最小化问题，既锻炼运算能力又提升建模意识。课中可辅助教师精准施教，课后便于学生查漏补缺，实现从理解到迁移的闭环学习。

2．2 基本不等式 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：基本不等式 4 知识点二：基本不等式的证明 4 知识点三：均值定理 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：基本不等式的理解 6 题型二：直接使用基本不等式 7 题型三：“1”的代换 8 题型四：换元与消元 8 题型五：齐次化 9 题型六：多变量问题 9 题型七：利用均值不等式证明不等式 10 题型八：利用基本不等式解决实际问题 11 题型九：利用基本不等式求解恒成立问题 13 题型十：万能K法 14 知识点一：基本不等式 1、对公式及的理解． （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． 2、由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：． 知识点二：基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有． 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，． 所以，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点三：均值定理 已知． ①若（和为定值），则当时，积取得最大值； ②若（积为定值），则当时，和取得最小值． 注意（1）此结论应用的前提条件是“一正”、“二定”、“三相等”．其中“一正”指正实数；“二定”指求最值时和或积为定值；“三相等”指满足等号成立的条件，即取等条件成立． （2）连续使用基本不等式要注意取值条件一致． 题型一：基本不等式的理解 【例题1】设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 应用基本不等式时的三个关注点 （1）一正数：指式子中的a，b均为正数． （2）二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值． （3）三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值． 【变式1】如图，是半圆O的直径，点C是直径上一动点，过点C作的垂线，交弧于点D，联结、、．设，，比较线段与的长度，得出结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则由知，的最小值为1 C．若，则 D．若，则 【变式3】《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作于点F，下列推理正确的是（    ） A．由题图（1）和题图（2）面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 题型二：直接使用基本不等式 【例题3】（25-26高一上·上海·开学考试）已知且，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C．2 D．4 【例题4】（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【方法技巧与总结】 模型：，当且仅当时等号成立； 【变式4】已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【变式5】（24-25高一下·广西贵港·期中）已知正数a，b满足，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6】若，，且，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 题型三：“1”的代换 【例题5】已知且，则的最小值为 ． 【例题6】已知，，且，则的最小值是 ． 【方法技巧与总结】 （1）根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法． （2）条件不是“1”时，注意要先把系数化为“1”． 【变式7】（24-25高一上·天津·期中）已知x，y均为正数，，则的最小值 . 【变式8】（24-25高一上·四川泸州·期末）若正数a，b满足：，则的最小值为 ． 【变式9】（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知，，且，则的最小值是 . 题型四：换元与消元 【例题7】若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【例题8】已知正实数，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B． C．3 D．2 【方法技巧与总结】 在不等式求解领域，针对含两个变量的问题（常见为二元二次结构，亦涵盖更高次情况），消参法是一种核心解题策略。其核心思路是：通过代数变形，用其中一个变量（或参数）表达另一个变量（或参数），将原本的双变量问题转化为单变量问题，随后借助基本不等式的性质（如 “一正、二定、三相等”）推导最值或不等关系。 尤其当遇到双元分式型问题时，消参法可进一步优化为 “双换元” 的具体操作形式：不再直接对原变量进行代换，而是选择两个分式的分母分别作为新的变量（即新参数），通过变量替换重构问题框架。这种方式能快速剥离原分式的复杂结构，将问题转化为新变量之间的不等关系，最终结合基本不等式或其他不等式工具完成求解。 【变式10】（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知且，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．6 【变式11】（24-25高一上·云南玉溪·期中）若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 【变式12】（24-25高一下·浙江·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 题型五：齐次化 【例题9】已知，则的最小值为 ． 【例题10】（24-25高二下·浙江宁波·期末）已知正实数，满足，则的最小值为 . 【方法技巧与总结】 齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以相关变量得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解． 【变式13】（24-25高一上·山东临沂·期中）已知，则的最大值为 【变式14】已知，，且，则的最大值为 . 【变式15】已知，且，则的最小值为 ． 题型六：多变量问题 【例题11】（24-25高一上·重庆黔江·期末）已知实数，若，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．8 【例题12】设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．9 B．1 C． D．4 【变式16】（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式17】已知正实数、、满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式18】（13-14高二上·河南郑州·期中）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型七：利用均值不等式证明不等式 【例题13】已知为正实数，利用基本不等式证明（1），确定（2），并指出等号成立的条件，然后解（3）中的问题． (1)请根据基本不等式，证明； (2)请根据（1）中的结论，确定与的大小关系（无须推导）； (3)若，求的最小值． 【例题14】（1）已知实数均大于0，证明：． （2）已知，证明：． 【方法技巧与总结】 利用基本不等式证明不等式时应注意的问题 （1）注意基本不等式成立的条件； （2）多次使用基本不等式，要注意等号能否成立； （3）对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 【变式19】设，且，证明：，并指出其“=”成立的条件． 【变式20】（25-26高一上·全国·单元测试）选用恰当的证明方法，证明下列不等式． (1)已知，且，求证：； (2)已知，求证：． 【变式21】已知，都是正数，求证：. 题型八：利用基本不等式解决实际问题 【例题15】某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【例题16】（25-26高一上·全国·单元测试）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）． (1)现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ (3)若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值． 【变式22】如图，要挖一个面积为的矩形鱼池，并在四周修出宽的小路，试求鱼池与路的占地总面积的最小值． 【方法技巧与总结】 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识（函数及不等式性质等）解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： （1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． （2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． （3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值． （4）正确写出答案． 【变式23】某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【变式24】某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件元时，每天销售的件数为，若想每天获得的利润最多，则销售价为多少？ 【变式25】（24-25高一上·四川成都·期末）利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）． (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库占地（即底面）面积S的最小值； (3)求仓库的储物量（即容积V）的最大值． 题型九：利用基本不等式求解恒成立问题 【例题17】已知，若对任意正数，不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【例题18】已知，且，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式26】对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 【变式27】（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式28】已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 题型十：万能K法 【例题19】若实数x，y满足，则x的最大值是 . 【例题20】（22-23高一上·重庆渝中·期中）若，，则当 时，取得最大值，该最大值为 . 【变式29】（2021·浙江·二模）设，，若，且的最大值是，则 . 【变式30】若x，y为实数且满足，试分别求x、y的最值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2．2 基本不等式 目录 01 题型归纳目录 3 02 思维导图 4 03 知识点梳理 5 知识点一：基本不等式 5 知识点二：基本不等式的证明 5 知识点三：均值定理 6 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：基本不等式的理解 7 题型二：直接使用基本不等式 10 题型三：“1”的代换 11 题型四：换元与消元 13 题型五：齐次化 15 题型六：多变量问题 17 题型七：利用均值不等式证明不等式 20 题型八：利用基本不等式解决实际问题 22 题型九：利用基本不等式求解恒成立问题 26 题型十：万能K法 29 知识点一：基本不等式 1、对公式及的理解． （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． 2、由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：． 知识点二：基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有． 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，． 所以，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点三：均值定理 已知． ①若（和为定值），则当时，积取得最大值； ②若（积为定值），则当时，和取得最小值． 注意（1）此结论应用的前提条件是“一正”、“二定”、“三相等”．其中“一正”指正实数；“二定”指求最值时和或积为定值；“三相等”指满足等号成立的条件，即取等条件成立． （2）连续使用基本不等式要注意取值条件一致． 题型一：基本不等式的理解 【例题1】设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，则， 又，则，所以. 故选：B 【例题2】（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，， ，当且仅当时，等号成立， 则. 故选：A. 【方法技巧与总结】 应用基本不等式时的三个关注点 （1）一正数：指式子中的a，b均为正数． （2）二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值． （3）三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值． 【变式1】如图，是半圆O的直径，点C是直径上一动点，过点C作的垂线，交弧于点D，联结、、．设，，比较线段与的长度，得出结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是圆的半径，所以， 因为是圆的直径，所以， 则，即，即， 所以， 当点与点重合时，，否则，即， 所以. 故选：B 【变式2】下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则由知，的最小值为1 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A，，当时，，当且仅当等号成立， 当时，，当且仅当等号成立， 当异号时，，当且仅当即等号成立，故A错误； 对于B，当，则由，当且仅当，显然等号不成立，故错误， 对于C，若，则，当且仅当即等号成立，故C错误； 对于D，若，则，当且仅当或等号成立，故D正确. 故选：D. 【变式3】《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作于点F，下列推理正确的是（    ） A．由题图（1）和题图（2）面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 【答案】D 【解析】A选项：由图（1）和图（2）面积相等可得，所以，A错误； B选项：因为，所以，得， 设图（3）中正方形边长为t，因为小三角形（青）与相识， 所以，解得，所以， 因为，所以，整理得，B错误； C选项：因为D为斜边BC的中点，所以， 因为，所以，整理得，C错误； D选项：因为，所以，整理得，D正确. 故选：D 题型二：直接使用基本不等式 【例题3】（25-26高一上·上海·开学考试）已知且，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C．2 D．4 【答案】B 【解析】因为且， 所以，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以， 故选：B 【例题4】（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】因为，要使根式有意义，则，所以，解得． 又，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为2． 故选：C. 【方法技巧与总结】 模型：，当且仅当时等号成立； 【变式4】已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】因为，， 根据基本不等式可得，所以. 当时，取最大值. 故选：A. 【变式5】（24-25高一下·广西贵港·期中）已知正数a，b满足，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】因为，所以，所以． 当且仅当时，取得最大值1. 故选：A 【变式6】若，，且，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】D 【解析】因为，，且，由基本不等式可得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立，故有最大值为. 故选：D. 题型三：“1”的代换 【例题5】已知且，则的最小值为 ． 【答案】9 【解析】由，得，令，则， 故， 当且仅当即时等号成立， 也即，即时，等号成立， 故的最小值为9． 故答案为：9. 【例题6】已知，，且，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】由可得： ； 当且仅当，即当时，等号成立. 即的最小值为. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 （1）根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法． （2）条件不是“1”时，注意要先把系数化为“1”． 【变式7】（24-25高一上·天津·期中）已知x，y均为正数，，则的最小值 . 【答案】 【解析】已知x，y均为正数，，则， ， 当且仅当取最小值. 故答案为：. 【变式8】（24-25高一上·四川泸州·期末）若正数a，b满足：，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为正数a，b满足：，即， 所以， 当，且，得时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式9】（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知，，且，则的最小值是 . 【答案】9 【解析】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：9. 题型四：换元与消元 【例题7】若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解法1：因为实数满足，所以． 再由，可得（当且仅当时等号成立）， 解得，所以， 故的最大值为． 故选：A. 解法2：令，则，代入可得，， 整理得，得， 故． 故选：A. 【例题8】已知正实数，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B． C．3 D．2 【答案】B 【解析】设，又，且． 所以，当且仅当“”时取等号． 则， 故选：B． 【方法技巧与总结】 在不等式求解领域，针对含两个变量的问题（常见为二元二次结构，亦涵盖更高次情况），消参法是一种核心解题策略。其核心思路是：通过代数变形，用其中一个变量（或参数）表达另一个变量（或参数），将原本的双变量问题转化为单变量问题，随后借助基本不等式的性质（如 “一正、二定、三相等”）推导最值或不等关系。 尤其当遇到双元分式型问题时，消参法可进一步优化为 “双换元” 的具体操作形式：不再直接对原变量进行代换，而是选择两个分式的分母分别作为新的变量（即新参数），通过变量替换重构问题框架。这种方式能快速剥离原分式的复杂结构，将问题转化为新变量之间的不等关系，最终结合基本不等式或其他不等式工具完成求解。 【变式10】（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知且，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【解析】已知，且， 法一：由得， 则 ， 当且仅当时取等号，则的最小值为； 法二：由得， 则， 当且仅当，即，时取等号， 则的最小值为． 故选：B. 【变式11】（24-25高一上·云南玉溪·期中）若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【解析】由，得， 则， ∴， 当且仅当，即时等号成立． ∴的最小值是18. 故选：B 【变式12】（24-25高一下·浙江·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【解析】由题意得且所以 所以 当且仅当即时取等号， 所以的最小值为 故选：C. 题型五：齐次化 【例题9】已知，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】法一： ，当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为； 法二：因为，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 【例题10】（24-25高二下·浙江宁波·期末）已知正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】3 【解析】，当且仅当即时取等号， 所以的最小值为3. 故答案为：3. 【方法技巧与总结】 齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以相关变量得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解． 【变式13】（24-25高一上·山东临沂·期中）已知，则的最大值为 【答案】 【解析】因为， 所以， 又因为， 当且仅当即时等号成立， 所以有最小值为，则有最大值为. 故答案为：. 【变式14】已知，，且，则的最大值为 . 【答案】/0.125 【解析】已知，，且， 则， ， 当且仅当，即时等号成立， 则有，，所以的最大值为. 故答案为：. 【变式15】已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由于，因此， 则， 当且仅当时取等号． 故答案为：. 题型六：多变量问题 【例题11】（24-25高一上·重庆黔江·期末）已知实数，若，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【解析】由题意知实数，， 故 ， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为4， 故选：B 【例题12】设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．9 B．1 C． D．4 【答案】D 【解析】由题意可知，， 所以， 因为，所以，当，即时，等号成立， 此时取最大值为1，， 所以， 当时，上式取得最大值4，所以的最大值为4. 故选：D 【变式16】（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 【变式17】已知正实数、、满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得出，利用不等式的性质结合基本不等式可求得的最小值.，，， 由于、、均为正数，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值是. 故选：C. 【变式18】（13-14高二上·河南郑州·期中）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由正实数，，满足， ． ， 当且仅当时取等号，此时． ，当且仅当时取等号， 即的最大值是1． 故选：D 题型七：利用均值不等式证明不等式 【例题13】已知为正实数，利用基本不等式证明（1），确定（2），并指出等号成立的条件，然后解（3）中的问题． (1)请根据基本不等式，证明； (2)请根据（1）中的结论，确定与的大小关系（无须推导）； (3)若，求的最小值． 【解析】（1）因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立． 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立． （2），当且仅当时等号成立． 推导如下： 由于，当且仅当时等号成立， 令， 得， 即，故， 所以，当且仅当时等号成立. （3）因为，所以，当且仅当时等号成立，所以， 因此，当且仅当时等号成立，所以的最小值为3． 【例题14】（1）已知实数均大于0，证明：． （2）已知，证明：． 【解析】证明：（1）根据待证不等式结构选用 ， 当且仅当时等号成立，所以． （2）因为，所以，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以，因此． 【方法技巧与总结】 利用基本不等式证明不等式时应注意的问题 （1）注意基本不等式成立的条件； （2）多次使用基本不等式，要注意等号能否成立； （3）对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 【变式19】设，且，证明：，并指出其“=”成立的条件． 【解析】证明  由二元均值不等式得 ， 当且仅当时等号成立． . 因为，且， 所以，所以，， 所以， 故得证 当且仅当，即，时等号成立． 【变式20】（25-26高一上·全国·单元测试）选用恰当的证明方法，证明下列不等式． (1)已知，且，求证：； (2)已知，求证：． 【解析】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以； （2） ， 因为，所以，所以， 所以，即. 【变式21】已知，都是正数，求证：. 【解析】证明∵，都是正数， ∴，，，，， ∴，（当且仅当时等号成立）. ∴， 即，当且仅当时，等号成立. 题型八：利用基本不等式解决实际问题 【例题15】某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【解析】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. 当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 【例题16】（25-26高一上·全国·单元测试）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）． (1)现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ (3)若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值． 【解析】（1）由题得，即，，， 设每间虎笼的面积为，则， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以每间虎笼的长为，宽为时，可使每间虎笼面积最大，最大为． （2）由题意可得，，，设钢筋网总长为，则， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以每间虎笼的长设计为、宽设计为时， 可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为． （3）依题意，得． 方法一： ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为． 方法二：，则，， 当且仅当时等号成立． 故，当且仅当时等号成立． 所以的最小值为． 【变式22】如图，要挖一个面积为的矩形鱼池，并在四周修出宽的小路，试求鱼池与路的占地总面积的最小值． 【解析】设所建矩形鱼池的一边长为，则另一边唱为， 于是鱼池与路的占地面积为： ， 当，即时，取最小值为， 故鱼池与路的占地最小面积是. 【方法技巧与总结】 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识（函数及不等式性质等）解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： （1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． （2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． （3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值． （4）正确写出答案． 【变式23】某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【解析】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. （3）当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 【变式24】某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件元时，每天销售的件数为，若想每天获得的利润最多，则销售价为多少？ 【解析】设每天获得的利润为元，则， 令，， 则， 当且仅当，即时每天获得的利润最多， 所以销售价为元. 【变式25】（24-25高一上·四川成都·期末）利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）． (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库占地（即底面）面积S的最小值； (3)求仓库的储物量（即容积V）的最大值． 【解析】（1）由题设，则且； （2）由，得， 易知S是关于b的减函数，所以当b取最大值3m时，S取最小值． 故仓库占地面积的最小值为，此时． （3）解法一：由，得． 因为（当且仅当时取等号）． 所以，故，解得， 故（当且仅当时取等号）． 所以仓库容积的最大值为，此时． 解法二：由，得． 故． 因为（当且仅当时取等号）． 所以（当且仅当时取等号）． 故仓库容积的最大值为，此时． 题型九：利用基本不等式求解恒成立问题 【例题17】已知，若对任意正数，不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】已知，，， 恒成立等价于恒成立. 又，则， . ，即， 解得（舍去）或， 的最小值为， 故选：B. 【例题18】已知，且，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】由，可得， 因为，两边同除，可得，即， 又因为，可得，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以， 所以， 令，其中，则，即，解得或（舍去）， 所以，即的最小值为，此时，. 故选：A. 【变式26】对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 【答案】B 【解析】因为x，，所以，所以， 又， 当且仅当时，取等号，所以， 所以实数a的最小值是. 故选：B. 【变式27】（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式恒成，即， ， 当且仅当，即时等号成立，故. 故选：. 【变式28】已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】A 【解析】， ，当且仅当时等号成立， 恒成立，， 解得. 故选：A. 题型十：万能K法 【例题19】若实数x，y满足，则x的最大值是 . 【答案】/ 【解析】将条件变形为，，解得， 故. 故答案为： 【例题20】（22-23高一上·重庆渝中·期中）若，，则当 时，取得最大值，该最大值为 . 【答案】 / / 【解析】令，则， 则， 即， 由，解得：， 故， 故，解得：，， 所以当且仅当，时，等号成立， 故答案为：， 【变式29】（2021·浙江·二模）设，，若，且的最大值是，则 . 【答案】4 【解析】令=d，由消去a得：，即， 而，，则，，， 依题意，解得. 故答案为：4 【变式30】若x，y为实数且满足，试分别求x、y的最值. 【解析】由已知变形得，， 则，即有， 于是，即，即； 同理可得，，， 则，即有， 于是，即， . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $