2．2 基本不等式（10大题型）（精练）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

2．2 基本不等式 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：基本不等式的理解 2 题型二：直接使用基本不等式 3 题型三：“1”的代换 4 题型四：换元与消元 5 题型五：齐次化 6 题型六：多变量问题 8 题型七：利用均值不等式证明不等式 9 题型八：利用基本不等式解决实际问题 11 题型九：利用基本不等式求解恒成立问题 12 题型十：万能K法 14 02 重难点拓展 15 题型一：基本不等式的理解 1．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【答案】C 【解析】由题意，由于小于或等于圆的半径，是圆的直径， 且，， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 2．（22-23高一上·北京丰台·期中）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是 C．当时， D．当时，的最小值为1 【答案】C 【解析】对于A，当时，，故A错误， 对于B，当时，，当且仅当时等号成立，故B错误， 对于C，当时，，当且仅当即时等号成立，故C正确， 对于D，当时，，当且仅当即时等号成立，故D错误， 故选：C 3．（22-23高一上·吉林长春·期中）以下结论正确的是（    ） A．若且，则 B．正实数满足，则的最小值是 C．的最小值是 D．函数的最小值是 【答案】B 【解析】当时，，当时，，故A错误； 因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，所以的最小值为，故B正确； 因为与不能相等，所以的最小值不是，故C错误； 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，，故D错误 故选：B 题型二：直接使用基本不等式 4．已知，求的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因此取到最大值． 故选：B. 5．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知都为正数，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】都为正数，， 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立， 故答案为： 6．（24-25高一上·吉林四平·期末）若正数满足：，则当取最大值时的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】根据基本不等式，解得，所以，所以， 当且仅当时等号成立，此时的值为1. 故选：C 题型三：“1”的代换 7．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）设且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 8．（2023·陕西咸阳·一模）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】由，， 得 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 9．（2015·广东惠州·一模）若，，，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】易知， 当且仅当时，等号成立； 即的最小值为4； 故答案为：4 题型四：换元与消元 10．（24-25高一上·云南大理·期末）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为正实数，满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 故选：C. 11．（24-25高一上·四川绵阳·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】D 【解析】，，可得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为7. 故选：D. 12．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以. ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故选：D 题型五：齐次化 13．已知，，，则的最小值为 【答案】/ 【解析】由 ，， 可得， ， 当且仅当 ，即时，等号成立， 所以， 的最小值为 ． 故答案为： 14．对任意的正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】任意的正实数，满足， 由于为正实数，故由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，的最小值为. 故答案为： 15．（23-24高三下·浙江·开学考试）已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】正实数满足，有， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 题型六：多变量问题 16．设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为正实数、、满足，则， 则，当且仅当时取等号. 故的最大值为. 故选：C. 17．（2021·山西运城·二模）若a，b，c均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为a，b均为正实数， 则 ， 当且仅当，且，即时取等号， 则的最大值为． 故选：A． 18．若x，y，z均为正数，且满足，则的最小值是（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为x，y，z均为正数，满足， 则有， 当且仅当时，即，时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 题型七：利用均值不等式证明不等式 19．（1）已知都是非负实数，比较与的大小. （2）已知，，均为正实数，求证：. 【解析】（1）因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 同理，，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以， 即，当且仅当时等号成立. （2）因为，，均为正实数，所以有： （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 将三式相加得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）. 20．（1）已知，证明： （2）已知，证明： 【解析】（1）由，得，即， 所以，又， 故，所以． （2），，， ，，，当且仅当时，等号成立， ， ； 21．（1）已知，，均为正实数，且满足．证明： ①． ②． （2）已知，若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 【解析】（1）①，，均为正实数， 则（当且仅当时取“＝”）， 同理可得：，（当且仅当，时等号成立）， 故（当且仅当时取“＝”）， 又，故； ② （当且仅当时取“＝”）， 同理（当且仅当时取“＝”）， （当且仅当时取“＝”）. 又由，， 所以，（当且仅当时取“＝”）， 所以， 故 ， （当且仅当时取“＝”）． （2）因为对任意，不等式恒成立， 所以，则，， 令，则，， 所以， 当且仅当即时等号成立， 即当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 题型八：利用基本不等式解决实际问题 22．（24-25高一上·甘肃·期末）某企业年年初花费64万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为30万元，设备使用年后该设备的维修保养费用为万元，盈利总额为y万元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额＝盈利总额÷使用年数）． 【解析】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 则，因为（当且仅当时取等号）， 所以有万元， 故第8年年平均盈利额取得最大值，最大值为10万元. 23．（24-25高一上·江苏镇江·期末）如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为 (1)设，试用表示AP，并求的取值范围； (2)当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？ 【解析】（1）依题意可得， 所以，即，可得； 因此， 又要求AP的长不小于40m且不大于90m，即， 解得， 即； （2）易知， 所以 由基本不等式可得； 当且仅当时，即时，等号成立， 此时取得最小值1200； 因此m时，取得最小值，最小值为1200. 题型九：利用基本不等式求解恒成立问题 24．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为正实数,满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以． 故选：B． 25．（24-25高一下·湖南·开学考试）已知，且恒成立，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】因为，则，又恒成立， 即恒成立， 又， 当且仅当，即时取等号，所以， 故选：B. 26．（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【答案】B 【解析】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为. 故选：B. 题型十：万能K法 27．（22-23高一上·陕西西安·期末）已知正实数满足则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则， 因为， 所以，即：， 所以， 解得：， 又因为，为正实数， 所以， 所以的最大值为. 故选：C. 28．已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】D 【解析】根据题意， 若方程有解，则， 即， 所以， 当时，，此时，即， 也就是说当且仅当时，. 故选：D 1．已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【解析】正数满足，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A 2．设，，且不等式有解，则正实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，， （当且仅当时取等号， 又有解，，解得：. 故选：C 3．已知，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 则， 等号成立时，，即， 所以函数的最小值为. 故选：B. 4．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）已知，，且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【解析】因为，所以，所以， 又，，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立， 所以，即的最小值是4． 故选：A． 5．已知且，则的最小值为（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】由可得. 因为，所以. 令，则有. 因为， 所以 当且仅当时取等号，此时取最小值0. 故选：B. 6．（24-25高一下·陕西·期末）实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 7．已知正实数，满足，则的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， 当且仅当时取等号. 故选：D 8．已知长为，宽为的长方形面积为，则其周长的最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【解析】由题意得，则， 则，等号成立时， 故周长的最小值为. 故选：D 9．（多选题）（25-26高一上·河南南阳·开学考试）已知，，，则下列结论成立的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AB 【解析】对于A，，当且仅当时，取等号，故A正确； 对于B，，故，当且仅当时，取等号，故B正确； 对于C，由，可知，且，， ， 不等式取等号的条件是，即，与题设矛盾， 故的最小值大于2，故C错误； 对于D，，故，最小值大于1，故D错误. 故选：AB. 10．（多选题）（24-25高一上·湖北十堰·期中）下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则有最小值2 C．若，则 D．若，则有最大值1 【答案】ACD 【解析】对于A：若，由， 因，故，又，即，.故A正确； 对于B：当时，，则， 当且仅当，即时取等号， 因，则有，故B错误； 对于C：若，则， 故由，可得，故C正确； 对于D：因为，当且仅当时取等号， 因，故，即有最大值，故D正确. 故选：ACD. 11．（多选题）（2025·全国·模拟预测）已知，且，则（   ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是4 D．的最小值是 【答案】AC 【解析】由均值不等式知：，当且仅当时，等号成立，选项A正确； 因为，故，当且仅当时，等号成立， 即最小值是，选项B错误； ， 当且仅当且，即时，等号成立，选项C正确； ，故， 当且仅当时等号成立， 即的最大值为，选项D错误， 故选：AC． 12．（多选题）（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（   ） A．xy的最大值为1 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．的最小值为3 【答案】ACD 【解析】正数x、y，满足， 对于A，，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ACD 13．已知正实数，满足，则的最小值是 . 【答案】3 【解析】因为，，当且仅当，时取等号， 所以， 当且仅当，时原不等式取等号. 故答案为：3. 14．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知，，且，则的最小值是 . 【答案】8 【解析】因为，所以，则. 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值是8. 故答案为：8. 15．若实数满足，则的最大值与最小值的和为 ． 【答案】/ 【解析】因为，故， 而， 若，则，则， 若，则， 设，则，令， 则， 若，则； 若， 故， 故即且， 综上，， 故的最小值为，最大值为， 所以的最大值与最小值的和为． 故答案为：. 16．（25-26高一上·广东广州·开学考试）已知正数、满足． (1)求的最大值，并求出此时、的值； (2)求的最小值，并求出此时、的值． 【解析】（1）∵，，∴． 又，∴． 当且仅当时等号成立，∴的最大值为1． （2） 当且仅当，即，时，的最小值为． 17．已知，关于的方程有一个实数根，求的最小值． 【解析】显然不是原方程的根．原方程可等价变形为， 配方得，则有，即， 当且仅当，且时等号成立， 此时，或．所以的最小值为8． 18．（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）如图，某农户计划用的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜地．设该矩形菜地与墙平行的边长为，与墙垂直的边长为． (1)当为何值时，面积取得最大值？最大面积为多少？ (2)求的最小值． 【解析】（1）由题意得，，都为正数， 则该菜地的面积为， 当且仅当时，等号成立， 所以当时，面积取得最大值，最大面积为． （2）由，，都为正数，则， 所以 ， 当且仅当，又，即时，等号成立， 所以的最小值为． 19．已知，是正实数，且，求的最小值． 【解析】解法1：设，， 则，所以 ． 因为， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 当且仅当，时取等号． 所以的最小值为． 解法2：因为，则， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号． 所以的最小值为． 解法3：， 当且仅当，即，，即，时取等号． 所以的最小值为． 20．已知实数，，满足，求的最小值． 【解析】解法1：由想到“均值换元法”，于是引入新的参数， 设，，，其中． ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值是． 解法2：由， 得， 即，当且仅当时等号成立, 即的最小值是． 解法3：由均值不等式有， 所以，当且仅当时等号成立．即的最小值是． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2．2 基本不等式 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：基本不等式的理解 2 题型二：直接使用基本不等式 3 题型三：“1”的代换 3 题型四：换元与消元 3 题型五：齐次化 4 题型六：多变量问题 4 题型七：利用均值不等式证明不等式 4 题型八：利用基本不等式解决实际问题 5 题型九：利用基本不等式求解恒成立问题 6 题型十：万能K法 6 02 重难点拓展 7 题型一：基本不等式的理解 1．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 2．（22-23高一上·北京丰台·期中）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是 C．当时， D．当时，的最小值为1 3．（22-23高一上·吉林长春·期中）以下结论正确的是（    ） A．若且，则 B．正实数满足，则的最小值是 C．的最小值是 D．函数的最小值是 题型二：直接使用基本不等式 4．已知，求的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知都为正数，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·吉林四平·期末）若正数满足：，则当取最大值时的值为（    ） A． B． C．1 D． 题型三：“1”的代换 7．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）设且，则的最小值为 ． 8．（2023·陕西咸阳·一模）已知，且，则的最小值为 ． 9．（2015·广东惠州·一模）若，，，则的最小值为 . 题型四：换元与消元 10．（24-25高一上·云南大理·期末）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·四川绵阳·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A． B．5 C． D．7 12．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 题型五：齐次化 13．已知，，，则的最小值为 14．对任意的正实数，满足，则的最小值为 . 15．（23-24高三下·浙江·开学考试）已知正实数满足，则的最小值为 . 题型六：多变量问题 16．设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 17．（2021·山西运城·二模）若a，b，c均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 18．若x，y，z均为正数，且满足，则的最小值是（   ） A．6 B． C． D． 题型七：利用均值不等式证明不等式 19．（1）已知都是非负实数，比较与的大小. （2）已知，，均为正实数，求证：. 20．（1）已知，证明： （2）已知，证明： 21．（1）已知，，均为正实数，且满足．证明： ①． ②． （2）已知，若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 题型八：利用基本不等式解决实际问题 22．（24-25高一上·甘肃·期末）某企业年年初花费64万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为30万元，设备使用年后该设备的维修保养费用为万元，盈利总额为y万元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额＝盈利总额÷使用年数）． 23．（24-25高一上·江苏镇江·期末）如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为 (1)设，试用表示AP，并求的取值范围； (2)当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？ 题型九：利用基本不等式求解恒成立问题 24．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（24-25高一下·湖南·开学考试）已知，且恒成立，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 26．（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 题型十：万能K法 27．（22-23高一上·陕西西安·期末）已知正实数满足则的最大值是（    ） A． B． C． D． 28．已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．0 1．已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 2．设，，且不等式有解，则正实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）已知，，且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 5．已知且，则的最小值为（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 6．（24-25高一下·陕西·期末）实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．已知正实数，满足，则的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 8．已知长为，宽为的长方形面积为，则其周长的最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 9．（多选题）（25-26高一上·河南南阳·开学考试）已知，，，则下列结论成立的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 10．（多选题）（24-25高一上·湖北十堰·期中）下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则有最小值2 C．若，则 D．若，则有最大值1 11．（多选题）（2025·全国·模拟预测）已知，且，则（   ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是4 D．的最小值是 12．（多选题）（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（   ） A．xy的最大值为1 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．的最小值为3 13．已知正实数，满足，则的最小值是 . 14．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知，，且，则的最小值是 . 15．若实数满足，则的最大值与最小值的和为 ． 16．（25-26高一上·广东广州·开学考试）已知正数、满足． (1)求的最大值，并求出此时、的值； (2)求的最小值，并求出此时、的值． 17．已知，关于的方程有一个实数根，求的最小值． 18．（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）如图，某农户计划用的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜地．设该矩形菜地与墙平行的边长为，与墙垂直的边长为． (1)当为何值时，面积取得最大值？最大面积为多少？ (2)求的最小值． 19．已知，是正实数，且，求的最小值． 20．已知实数，，满足，求的最小值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $