湖南省长沙市望城区长郡斑马湖中学2025-2026学年高二上学期数学第2周周考试卷

2025-2026学年高二年级上学期第2周周考答案解析 1．D【详解】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误； 当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误； 根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量与的方向不一定相同，故③错误； 命题④显然正确； 对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误． 故选：D. 2．A【详解】. 故选：A 3．A【详解】构成空间的一组基底，则不共线， 假设共面，则存在不全为零的实数，使，即， 则，则，与不共线矛盾，故不共面； ，故共面； ，故共面； ，故共面. 故选：. 4．D【详解】因为点在平面内，且， 所以，解得. 故选：D 5．A【详解】-＝，. 故选：A． 6．B【详解】，.故选：B 7．CD【详解】由正四棱柱可知，A：，但与方向相反，故A不符题意； B：，但与方向不同，故B不符题意； C：，且与方向相同，故C符题意； D：，且与方向相同，故D符题意. 故选：CD. 8．AC 【详解】若，则，得，故A正确，B错误； 若，则，即，故C正确，D错误； 故选：AC. 9．/【详解】，由的范围为， 所以. 故答案为：. 10．【详解】如图可知，，则， 又分别是的中点，则是的中位线， 故，且，于是. 故答案为： 11．证明见解析 【详解】设，则， 为的中点，， 又，， ， 为共面向量， 又三向量有相同的起点，四点共面． 12．(1)；(2) 【详解】（1）由图知：，， . （2） . 13．(1)或 (2) (3)或 【详解】（1）因为，所以，又因为， 所以，又因为，所以， 因此或； （2）因为 所以与的夹角的余弦值为； （3）因为与互相垂直， 所以或. 14．(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）如图，以为原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 因为，， 所以， 所以，故； （2）因为，所以 因为，且， 所以； （3）因为是的中点，所以， 又因为，所以，，即. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二年级上学期第2周周考试卷 数学 答案解析 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 给出下列命题： ①零向量没有方向； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量满足，则； ④若空间向量满足，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为 （     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【详解】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误； 当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误； 根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量与的方向不一定相同，故③错误； 命题④显然正确； 对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误． 故选：D. 2. 在长方体中， （     ） A． B． C． D． 【详解】. 故选：A 3. 若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为 （     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【详解】构成空间的一组基底，则不共线， 假设共面，则存在不全为零的实数，使，即， 则，则，与不共线矛盾，故不共面； ，故共面； ，故共面； ，故共面. 故选：. 4. 已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 （     ） A． B． C． D． 【详解】因为点在平面内，且， 所以，解得. 故选：D 5. 如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为点M，，，，则 （       ） A． B． C． D． 【详解】-＝， . 故选：A． 6. 如图，空间四面体的每条棱都等于1，点，，分别是，，的中点，则等于 （     ） A． B． C． D． 【详解】，. 故选：B 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7. 如图正四棱柱，则下列向量相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【详解】由正四棱柱可知， A：，但与方向相反，故A不符题意； B：，但与方向不同，故B不符题意； C：，且与方向相同，故C符题意； D：，且与方向相同，故D符题意. 故选：CD. 8. 已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【详解】若，则，得，故A正确，B错误； 若，则，即，故C正确，D错误； 故选：AC. 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分 9. 已知，，，则与的夹角 . 【详解】，由的范围为，所以.故答案为：. 10. 在三棱锥中，，平面，，分别是的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则向量的坐标为 ． 【详解】如图可知，，则，又分别是的中点，则是的中位线，故，且，于是. 故答案为： 四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 11. （12分） 如图所示，在长方体中，为的中点，，且，求证：四点共面． 【详解】设，则， 为的中点，， 又，， ， 为共面向量， 又三向量有相同的起点，四点共面． 12. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与、的夹角都等于60°，M在棱上，，设，，． (1)试用，，表示出向量； (2)求． 【详解】（1）由图知：，， . （2） . 13. 已知空间三点，设． (1)若，，求； (2)求与的夹角的余弦值； (3)若与互相垂直，求k． 【详解】（1）因为， 所以，又因为， 所以，又因为， 所以， 因此或； （2）因为 所以与的夹角的余弦值为； （3）因为与互相垂直， 所以 或. 14. 棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点. (1)证明：； (2)求； (3)求FH的长. 【详解】（1）如图，以为原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 因为，， 所以， 所以，故； （2）因为，所以 因为，且， 所以； （3）因为是的中点，所以， 又因为，所以，，即. 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二年级上学期第2周周考试卷 数 学 考试范围：人教A版2019选择性必修第一册（第1章 1.1.1~1.3.2）； 考试时间：60分钟； 总分：100分 班级：___________ 学号：__________ 姓名：___________ 分数：___________ 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 给出下列命题： ①零向量没有方向； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量满足，则； ④若空间向量满足，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为 （     ） A．4 B．3 C．2 D．1 2. 在长方体中， （     ） A． B． C． D． 3. 若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为 （     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4. 已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 （     ） A． B． C． D． 5. 如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为点M，，，，则（     ） （      ） A． B． C． D． 6. 如图，空间四面体的每条棱都等于1，点，，分别是，，的中点，则等于（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7. 如图正四棱柱，则下列向量相等的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 8. 已知向量，，则下列结论正确的是 （     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分 9. 已知，，，则与的夹角 . 10. 在三棱锥中，，平面，，分别是的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则向量的坐标为 ． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 11. （12分） 如图所示，在长方体中，为的中点，，且，求证：四点共面． 12. （12分） 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与、的夹角都等于60°，M在棱上，，设，，． (1)试用，，表示出向量； (2)求． 13. （12分） 已知空间三点，设． (1)若，，求； (2)求与的夹角的余弦值； (3)若与互相垂直，求k． 14. （12分） 棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点. (1)证明：； (2)求； (3)求FH的长. 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $