重难点专训02 解三角形中的最值及范围问题（高效培优专项训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

重难点专训02 解三角形中的最值及范围问题 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型一：已知三角形一角求取值范围 2 题型二：已知三角形一角及其对边求取值范围 5 题型三：已知三角形一角及其邻边求取值范围 8 题型四：已知三角形一角及另外两边的关系求取值范围 10 题型五：中线长的最值问题 12 题型六：角平分线长的最值问题 16 题型七：与三角形有关的实际问题的最值问题 20 重难专题分层过关练 23 巩固过关 23 创新提升 31 一、核心解题思路 首先建立所求量（式子）与已知角、边的直接关联，将已知角或边设为自变量，所求量（式子）作为函数值，通过这种转化构建明确的函数关系，使原问题等价转化为求函数值域的问题。 在此过程中，需充分结合两重范围限制：一是题目给定的显性条件（如边的长度范围、角的特定区间等）；二是三角形自身的隐性约束（如内角和为 π、两边之和大于第三边、边角对应关系等）。务必全面梳理自变量（角或边）的取值范围 —— 即函数的定义域，避免因定义域疏漏导致最终结果的范围扩大。 二、三角形中的最值范围问题的解题策略： ①基本不等式法 利用基本不等式求最值范围，主要结合余弦定理，可求周长及面积的题目，若要求解周长的范围时，还需利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）” ②三角函数法 先利用正弦定理将边转化成角，然后利用或者题干中角的关系，可将所求式子中的角统一成一个角，需要注意题干中对角有没有限制要求，利用角的范围求出范围 ③坐标法 “坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法,解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值: 题型一：已知三角形一角求取值范围 典例1-1．在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得，即，所以，所以，，所以，又，，所以，所以，所以，故的取值范围为．故选A． 【点睛】(1)本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)利用函数的思想研究数学问题，一定要注意“定义域优先”的原则，所以本题一定要准确计算出A的范围，不是. 典例1-2．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （Ⅰ）若，，求b （Ⅱ）求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）． 【详解】试题分析：（Ⅰ）首先根据正弦定理,,将边化为角，求得角B,再根据余弦定理求边； （Ⅱ）根据（1）的结果，将角C表示为,再根据化简，以及两角和的正弦公式展开化简，最后根据辅助角公式化简为,根据三角形是锐角三角形，可得角A的范围和的范围，根据三角函数的性质得到的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）由，根据正弦定理得， 又，所以， 由为锐角三角形得． 根据余弦定理，得．所以，． （Ⅱ） ．由为锐角三角形知， ，，所以，，所以． 由此有，所以的取值范围为． 考点：1．正余弦定理；2．三角恒等变形；3．三角函数的性质． 变式1-1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求角B的大小； （2）求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由已知 利用正弦定理得：，即 由余弦定理得： 又， （2）由（1）知，故 由，知， 利用正弦函数性质知 故原式的取值范围为 【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）代数变形或者三角恒等变换前置； （4）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到. 变式1-2．已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，. (1)求； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），且， ， ， ， ， ， 由正弦定理可得， ， ， ，． （2）由（1）知，，则， 为锐角三角形，，则， ，． ． ，，， ，， 的取值范围为，则， 所以的范围为. 题型二：已知三角形一角及其对边求取值范围 典例2-1．已知在锐角中，角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为，应用正余弦定理可得， ，化简可得：，即. （2） ，即 ， ，， ; ， , 又在锐角中，, ， 周长 ， 由，则， 故， 即周长的取值范围为. 典例2-2．在锐角中，内角所对的边分别为，已知， (1)求角的大小； (2)求取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得 ， 化简可得， 即，又因为三角形为锐角三角形，所以． （2）根据正弦定理，可得 ， 故， 又因为，所以． 变式2-1．已知的内角 所对应的边分别为，若. (1)求； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），得到， 由余弦定理知，， 因为，所以． （2），得到，当且仅当取等， 所以，（当且仅当取等．）故面积的最大值为． 变式2-2．在中，内角的对边分别为，且，. (1)求的大小； (2)若，求的面积； (3)求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由正弦定理得：，又， ， 即，又，，， 又，. （2）由余弦定理得：，解得：， . （3）由余弦定理得：， （当且仅当时取等号），， 又，； ， 令，，则在上单调递增， ，即，的最大值为. 题型三：已知三角形一角及其邻边求取值范围 典例3-1．已知 内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，的面积. (1)求边c； (2)若为锐角三角形，求a的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）因为，，所以； 因为，所以 . （2）在 中，由正弦定理， 由（1）知，，代入上式得：， 因为为锐角三角形，则,所以， 所以， 所以. 典例3-2．在中，设角，，的对边长分别为，，，已知. （1）求角的值； （2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由已知及正弦定理，得，即， 即，即. 由余弦定理，得，因为，所以. （2）因为，，由正弦定理，得 ， ∴， 因为为锐角三角形，则，从而， 所以. 变式3-1．已知的内角的对边分别为， (1)求的值； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 由余弦定理得，， 整理得； （2）因为，因为，由（1）可得，则.， 又，即，当且仅当时等号成立. 于是 所以的最大值为. 变式3-2．在锐角中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，并且. (1)求b的值； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，其中R为的外接圆半径. 因为，从而， 整理得； 又在中，，从而，则. （2）由及余弦定理， 又为锐角三角形，因此，即，解得. 又， 因此面积的取值范围是. 题型四：已知三角形一角及另外两边的关系求取值范围 典例4-1．记的内角，，的对边分别为，，，，若的面积为2，则当的周长取到最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，因为，所以．由余弦定理，得，得，则．因为函数在上单调递增，所以当最小时，的周长最小．又（当且仅当时，等号成立），所以．故当的周长取到最小值时，． 故选：A 变式4-1．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若___________． (1)求角B； (2)若，求周长的最小值． 【答案】(1)任选一条件，都有； (2)12 【详解】（1）选①：，由正弦定理得，∵， ∴，即， ∵，∴，∴，∴． 选②：，由正弦定理可得， ∵，∴，∵， ∴． 选③：已知，结合正弦定理可得， ∴，∴， ∵，∴ （2）由余弦定理得， 即，∴，解得， 当且仅当时取等号，∴周长的最小值为12． 变式4-2．在中，已知. (1)若且，求的面积； (2)若求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理得，又，从而，         由得，            从而，                               所以的面积. （2）由，            又，当且仅当时取等号，       从而，所以，                        又因为中，，从而，                       所以的范围是. 题型五：中线长的最值问题 典例5-1．在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，点为的中点，则中线的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由是边上的中线，得， 则， 由正弦定理得，得，， 则， 而， ， 于是 ， 由为锐角三角形，，得，即， 则，，因此，即， 所以的取值范围为. 故选：C 典例5-2．已知在锐角三角形中，内角，，，所对应的边分别为，，，且是，，则中线长的取值范围是 . 【答案】 【详解】在中，. ，为的中点，所以. 由正弦定理得. 又，设， 由余弦定理知，得， 代入，整理得. 因为是锐角三角形，所以 ， ， ， 解得. 当时，取最小值为；当或时，取最大值为. 因为，所以. 变式5-1．在中，内角所对的边分别是，且，，则边上的中线的取值范围是 . 【答案】 【详解】由，可得， 因为，所以，所以，所以， 所以，所以，所以，所以， 由余弦定理可得， 因为是的中点，所以， 所以， 由正弦定理可得， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 变式5-2．在锐角中，设角的对边依次为，满足. (1)求的大小； (2)若，求边上的中线的取值范围. 【答案】(1). (2) 【详解】（1）由题设知. 由正弦定理,可得.① 又，则. 将上式代入①式得 即， 即. 又，，故， 则，即. 又，则，则，解得. （2）因为为的中点，所以， 两边平方得. 在中，由余弦定理得，因， 即， 所以. 在中，由正弦定理得，即得，， 所以 . 因为锐角三角形，则且，解得， 则，故，故， 则， 故中线的取值范围是. 题型六：角平分线长的最值问题 典例6-1．在中，，，点为边上的点，是的角平分线，则 ，的取值范围是 ． 【答案】 1：2 【解析】设，由正弦定理得：，则可得；又得，，化简即可得的取值范围. 【详解】设，由正弦定理得：，又， 所以； 又得，， 所以，又，故. 故答案为：（1）；（2） 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，三角形面积公式，二倍角公式，考查了学生的运算求解能力. 典例6-2．在中，角的对边分别为，且，. (1)若，求的值； (2)若为锐角三角形. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若是的角平分线，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， ∴， ∴， ∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴． 由余弦定理可得， ∴， ∴． （2）（ⅰ）已知，，， ∴，又∵△ABC为锐角三角形， 所以，即， ∴，∴． （ⅱ）因为，所以， 所以． 又∵， ∴， 化简得， 又∵，∴， ∴，∴． 变式6-1．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，D为BC中点，求线段AD长； (3)若该三角形面积为，AD为内角A的角平分线，交BC边于点D，求线段AD长的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 即，由余弦定理得，而， 所以. （2）由（1）知，，由D为BC中点，得，而， 所以. （3）由的面积为，得，解得， 由为内角的角平分线，得， 由，得， 因此，，当且仅当时取等号， 所以线段AD长的最大值为. 变式6-2．在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知且. (1)求； (2)求的最大值； (3)若的角平分线交于点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由，得， 即， 所以，而， 所以. （2）由（1），，即， ， ，即，当且仅当时，取等号. 所以的最大值为. （3）由（1），，， ，即， ， 由，得， 所以， 由，令， 设，则， 所以在上单调递增， ，即， 所以的取值范围为. 题型七：与三角形有关的实际问题的最值问题 典例7-1．湖北省第十六届运动会将于2022年10月在宜昌举行，为了方便宜昌市民观看，夷陵广场大屏幕届时会滚动直播赛事，已知大屏幕下端B离地面2.5米，大屏幕高3米，若某位观众眼睛离地面1.5米，则这位观众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值）（　　） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【详解】画出示意图，如图所示，可得， 设，则， 所以， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，因为，且正切函数在锐角范围内是增函数， 所以当时，可以达到最大值，此时这位观众可以获得观看的最佳视野. 故选：D. 典例7-2．如图，在点处有一座灯塔，是一条直的海岸线，已知，，从灯塔处射出的灯光照到线段上的线段，、是线段（含端点）上的动点，在转动灯光的过程中，始终保持不变. (1)当时，求被灯光照到的区域的面积； (2)求海岸线上被照到的线段长的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：在中，， 由正弦定理，得，所以， 在中，， 由正弦定理，得，所以， 所以； （2）解：设A到EF的距离为， 由，得， 所以EF的最小值即为面积的最小值， 设，， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， ， 当且仅当时，取“”， 当面积最小时，由，得， 所以线段的最小值为. 变式7-1．某园区有一块三角形空地（如图），其中，，，现计划在该空地上划分三个区域种植不同的花卉，若要求，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，因为，所以在如图所示的圆上， 圆的半径为， 由圆周角的性质可得，，， 连接，可得， 所以当为与圆的交点时，取最小值，即， 又，在中，，，， 根据余弦定理可知， 所以的最小值为. 故选：B 变式7-2．如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台D．已知湿地夹在公路之间（的长度均超过），且．在公路上分别设有游客接送点E，F，．若要求观景台D建在E，F两点连线的右侧，并在观景台D与接送点E，F之间建造两条观光线路与，，则观光线路与之和最长为 ． 【答案】4 【详解】在中，； 在中，设，由余弦定理可得：， 即：，即， 因为，所以，， 当且仅当时，取到最大值4，即与之和最长为4. 故答案为：4. 巩固过关 1．已知中，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，由，得， 由，得，则，，， 由正弦定理，得 ，由，得，则， 所以的取值范围是. 故选：A 2．在中，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，， 则， 故由正弦定理可知， ， 于是， 其中，当且仅当时，等号成立，故B正确. 故选:B. 3．在锐角中，为的面积，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且， 所以，即. 由余弦定理得：，所以. 又，所以，解得：或. 因为为锐角三角形，所以，, 因为，所以， 由正弦定理得：，故， 因为为锐角三角形，所以，即，所以. 所以, 因此，即， 故选：D 4．在中，若，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由，得， 由正弦定理得，则，当且仅当时等号成立. 又，且余弦函数在上单调递减，则， 而正弦函数在上单调递增，因此， 所以的取值范围为. 故答案为： 5．在内，内角的对边分别为，若，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由余弦定理得， 由正弦定理，得， 因为， 又，所以， 所以，即， 化简得,解得． 又,故 所以的取值范围是． 故答案为： 6．如图所示，公路一侧有一块空地，其中，市政府拟在中间开挖一个人工湖，其中都在边上（不与重合，在之间），且. (1)若在距离A点处，求和的长度； (2)为节省投入资金，人工湖的面积尽可能小，设，试确定的值，使的面积最小，并求出最小面积. 【答案】(1), (2)， 【详解】（1）在中，其中， ， 在中，， 则 , ， 在中， ， 在中，； （2）， 在中，， 在中，， ， 因为，所以时面积最小，最小值为 7．在中，内角，，所对的边分别是，，，且，. (1)求角； (2)若，求边AC上的角平分线BD长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由可得， 因为， 所以， 由，得，又，则. （2）如图： 由余弦定理，，因为，， 所以，又，所以. 由，得， 整理得：. （3）因为是边上的中线，则， 两边取平方，， 由（2）已得，代入可得， 由正弦定理，， 则， 所以 ， 因为为锐角三角形，则有，解得， 则， 由正弦函数的图象性质，可得， 故得，从而， 故边上的中线的取值范围为. 8．在中，角所对的边分别为，已知向量满足，，且． (1)求角； (2)若是锐角三角形，且，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）∵，∴， 即，由正弦定理得， ∴，∴，∵，∴或； （2）∵a＝3，且三角形为锐角三角形，∴， ∴由正弦定理得：， ∴， ∴ ， 又∵为锐角三角形，∴，∴， 得，∴， ∴，∴的取值范围为：. 9．设的内角的对边分别是，已知，且. (1)求角C； (2)若D为的中点，求线段长的取值范围. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）因为， 所以，即， 所以. 因为，所以. （2）因为为的中点，所以， 所以. 又，所以， 所以，即. 由，得， 则，解得，即线段长的取值范围是. 10．的内角的对边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)设，求的最大值及取得最大值时的面积． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）因，则， 利用正弦定理可化为， ， 又因为，故，故，即， 又，所以，得到. （2）由题意及（1）知，， 由正弦定理可得，则， 故 ， 其中，且， 因为，故，而， 故当，即时，取最大值1，的最大值为， 故， 所以， 又， 故， 此时. 创新提升 1．在中，内角的对边分别为．已知上的中线长为4，则面积的最大值是 ． 【答案】 【详解】因为 由余弦定理，得得 设, 由余弦定理，得 即 当且仅当即时，等号成立. 故答案为：. 2．在锐角中，内角所对的边分别为，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】∵，∴， ∴ 由余弦定理得，， ∴， ∴由得，，∴， ∴，，. 又由正弦定理得，， ， 是锐角三角形，， ， ，， . 故答案为：. 3．在中，角，，的对边分别是，，，向量，，且. (1)若，，求面积的最大值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，即， 由正弦定理得， 所以. 即 因为，所以， 所以，所以. 因为，所以. 因为，所以， 所以， 所以， 因为，且， 所以，当且仅当时，等号成立， 则的面积， 即面积的最大值为. （2）由正弦定理可得， 则，， 故， 在中，，所以， 所以，所以， 则， 即的取值范围为. 4．已知，，分别为三个内角，，的对边，且. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵，，∴， 在中，由余弦定理得，化简整理得， ∴由余弦定理得， ∵，∴. （2）由（1）知. ∵，∴，∴. 在中，∵，，又， ∴，. ∵，且，∴. 令，因为，所以 则，， ∴，， 令，，∵在上单调递增，∴. 又在上单调递减， ∴由复合函数的单调性可得在上单调递减，∴， 即的取值范围为. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训02 解三角形中的最值及范围问题 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型一：已知三角形一角求取值范围 2 题型二：已知三角形一角及其对边求取值范围 3 题型三：已知三角形一角及其邻边求取值范围 4 题型四：已知三角形一角及另外两边的关系求取值范围 5 题型五：中线长的最值问题 6 题型六：角平分线长的最值问题 6 题型七：与三角形有关的实际问题的最值问题 7 重难专题分层过关练 9 巩固过关 9 创新提升 11 一、核心解题思路 首先建立所求量（式子）与已知角、边的直接关联，将已知角或边设为自变量，所求量（式子）作为函数值，通过这种转化构建明确的函数关系，使原问题等价转化为求函数值域的问题。 在此过程中，需充分结合两重范围限制：一是题目给定的显性条件（如边的长度范围、角的特定区间等）；二是三角形自身的隐性约束（如内角和为 π、两边之和大于第三边、边角对应关系等）。务必全面梳理自变量（角或边）的取值范围 —— 即函数的定义域，避免因定义域疏漏导致最终结果的范围扩大。 二、三角形中的最值范围问题的解题策略： ①基本不等式法 利用基本不等式求最值范围，主要结合余弦定理，可求周长及面积的题目，若要求解周长的范围时，还需利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）” ②三角函数法 先利用正弦定理将边转化成角，然后利用或者题干中角的关系，可将所求式子中的角统一成一个角，需要注意题干中对角有没有限制要求，利用角的范围求出范围 ③坐标法 “坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法,解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值: 题型一：已知三角形一角求取值范围 典例1-1．在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为 A． B． C． D． 典例1-2．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （Ⅰ）若，，求b （Ⅱ）求的取值范围． 变式1-1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求角B的大小； （2）求的取值范围. 变式1-2．已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，. (1)求； (2)求的取值范围. 题型二：已知三角形一角及其对边求取值范围 典例2-1．已知在锐角中，角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若，求周长的取值范围. 典例2-2．在锐角中，内角所对的边分别为，已知， (1)求角的大小； (2)求取值范围． 变式2-1．已知的内角 所对应的边分别为，若. (1)求； (2)求面积的最大值. 变式2-2．在中，内角的对边分别为，且，. (1)求的大小； (2)若，求的面积； (3)求的最大值. 题型三：已知三角形一角及其邻边求取值范围 典例3-1．已知 内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，的面积. (1)求边c； (2)若为锐角三角形，求a的取值范围. 典例3-2．在中，设角，，的对边长分别为，，，已知. （1）求角的值； （2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围. 变式3-1．已知的内角的对边分别为， (1)求的值； (2)若，求面积的最大值． 变式3-2．在锐角中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，并且. (1)求b的值； (2)若，求面积的取值范围. 题型四：已知三角形一角及另外两边的关系求取值范围 典例4-1．记的内角，，的对边分别为，，，，若的面积为2，则当的周长取到最小值时，（    ） A． B． C． D． 变式4-1．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若___________． (1)求角B； (2)若，求周长的最小值． 变式4-2．在中，已知. (1)若且，求的面积； (2)若求的取值范围. 题型五：中线长的最值问题 典例5-1．在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，点为的中点，则中线的取值范围是（    ） A． B． C． D． 典例5-2．已知在锐角三角形中，内角，，，所对应的边分别为，，，且是，，则中线长的取值范围是 . 变式5-1．在中，内角所对的边分别是，且，，则边上的中线的取值范围是 . 变式5-2．在锐角中，设角的对边依次为，满足. (1)求的大小； (2)若，求边上的中线的取值范围. 题型六：角平分线长的最值问题 典例6-1．在中，，，点为边上的点，是的角平分线，则 ，的取值范围是 ． 典例6-2．在中，角的对边分别为，且，. (1)若，求的值； (2)若为锐角三角形. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若是的角平分线，求的取值范围. 变式6-1．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，D为BC中点，求线段AD长； (3)若该三角形面积为，AD为内角A的角平分线，交BC边于点D，求线段AD长的最大值． 变式6-2．在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知且. (1)求； (2)求的最大值； (3)若的角平分线交于点，求的取值范围. 题型七：与三角形有关的实际问题的最值问题 典例7-1．湖北省第十六届运动会将于2022年10月在宜昌举行，为了方便宜昌市民观看，夷陵广场大屏幕届时会滚动直播赛事，已知大屏幕下端B离地面2.5米，大屏幕高3米，若某位观众眼睛离地面1.5米，则这位观众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值）（　　） A． B． C．3 D．2 典例7-2．如图，在点处有一座灯塔，是一条直的海岸线，已知，，从灯塔处射出的灯光照到线段上的线段，、是线段（含端点）上的动点，在转动灯光的过程中，始终保持不变. (1)当时，求被灯光照到的区域的面积； (2)求海岸线上被照到的线段长的最小值. 变式7-1．某园区有一块三角形空地（如图），其中，，，现计划在该空地上划分三个区域种植不同的花卉，若要求，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式7-2．如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台D．已知湿地夹在公路之间（的长度均超过），且．在公路上分别设有游客接送点E，F，．若要求观景台D建在E，F两点连线的右侧，并在观景台D与接送点E，F之间建造两条观光线路与，，则观光线路与之和最长为 ． 巩固过关 1．已知中，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．在中，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．在锐角中，为的面积，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．在中，若，则的取值范围为 . 5．在内，内角的对边分别为，若，且，则的取值范围是 ． 6．如图所示，公路一侧有一块空地，其中，市政府拟在中间开挖一个人工湖，其中都在边上（不与重合，在之间），且. (1)若在距离A点处，求和的长度； (2)为节省投入资金，人工湖的面积尽可能小，设，试确定的值，使的面积最小，并求出最小面积. 7．在中，内角，，所对的边分别是，，，且，. (1)求角； (2)若，求边AC上的角平分线BD长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围. 8．在中，角所对的边分别为，已知向量满足，，且． (1)求角； (2)若是锐角三角形，且，求的取值范围． 9．设的内角的对边分别是，已知，且. (1)求角C； (2)若D为的中点，求线段长的取值范围. 10．的内角的对边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)设，求的最大值及取得最大值时的面积． 创新提升 1．在中，内角的对边分别为．已知上的中线长为4，则面积的最大值是 ． 2．在锐角中，内角所对的边分别为，且，则的取值范围是 ． 3．在中，角，，的对边分别是，，，向量，，且. (1)若，，求面积的最大值； (2)若，求的取值范围. 4．已知，，分别为三个内角，，的对边，且. (1)求； (2)若，求的取值范围. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $