重难点专训02 直线与圆中的范围与最值问题（高效培优专项训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

重难点专训02 直线与圆中的范围与最值问题 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型一：倾斜角与斜率的最值范围 2 题型二：含参双动直线的最值范围 3 题型三：线段和差的最值范围 3 题型四：斜率型 4 题型五：直线型 5 题型六：距离型 5 题型七：圆到直线距离的最值范围 6 题型八：面积的最值范围 6 题型九：数量积的最值范围 7 重难专题分层过关练 8 巩固过关 8 创新提升 8 一、距离的常用公式 ①点点距离：由点，由此得到两点间的距离公式， ②点到直线的距离公式：点到直线的距离 二、斜率型、直线型、距离型 可借助图形性质,利用数形结合求解， （1）形如的式子可转化为动直线斜率的问题. （2）形如的式子可转化为动直线截距的问题. （3）形如的式子可转化为曲线上的点到点的距离平方的问题 三、直线的线段和与差 （1）定直线的动点到两定点距离和的最小值:将其中一点作关于直线对称,使两点在直线异侧,三点共线最短 （2）定直线的动点到两定点距离差的最大值:将其中一点作关于直线对称,使两点在直线同侧,三点共线最短 四、圆上一点到圆外定直线的距离 若直线与圆相离,圆上一点到直线的距离为,为圆心到直线的距离,为圆半径,则. 五、三角代换 圆的标准方程,圆心为,半径为,则圆上的点可假设为是参数) 题型一：倾斜角与斜率的最值范围 【例1】已知点，过点的直线与线段AB相交，则的斜率的取值范围为 ． 【例2】直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知直线l过点，则（   ） A．直线l倾斜角的最大值为 B．直线l倾斜角的最小值为 C．直线l倾斜角的最大值为 D．直线l倾斜角的最小值为 【变式1-2】已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k取值范围是 ，其倾斜角的取值范围是 ． 【变式1-3】已知直线，若直线l不经过第三象限，则k的最大值是 . 题型二：含参双动直线的最值范围 【例3】设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P，点P到直线的距离为d，则d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例4】设，圆．若动直线与圆M交于点A，C，动直线与圆M交于点B，D，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】设，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，中点为，则的值为 . 【变式2-2】（多选）已知直线，动直线，则下列结论正确的有（   ） A．存在实数，使得的倾斜角为 B．存在实数，使得与没有公共点 C．对任意的与都不重合 D．存在实数，使得与垂直 【变式2-3】（多选）已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点（与，不重合），则下列结论正确的是（   ） A．点 B． C． D．的最大值为 题型三：线段和差的最值范围 【例5】在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点的坐标为，则的最小值是（   ） A． B． C．2 D．3 【例6】已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，动点P，Q关于直线对称（在上方），且，，，则的最小值为 ． 【变式3-2】已知直线和两点，若直线上存在点使得最小，求点的坐标和的最小值. 【变式3-3】已知直线与直线平行，点，. (1)求； (2)若点关于直线对称后的点为，求点坐标； (3)已知，分别在直线，上，且，求的最小值. 题型四：斜率型 【例7】在平面直角坐标系xOy中，已知动点到两直线与的距离之和为 ，则的最大值为 . 【例8】已知为圆上任意一点，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知、，点在线段上，则的取值范围为 . 【变式4-2】在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图所示是放在平面直角坐标系中的太极图，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为 . 题型五：直线型 【例9】已知实数满足方程，则的最小值和最大值分别为（     ） A．-9，1 B．-10，1 C．-9，2 D．-10，2 【变式5-1】已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知实数，满足方程，则的最大值和最小值分别为 和 . 题型六：距离型 【例11】已知点满足，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例12】已知实数x，y满足方程，则的最大值为 ，的取值范围是 ． 【变式6-1】已知x，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知点在直线上，则的最小值为 . 【变式6-3】已知直线恒过定点，圆上的两点满足，则的最小值为 ． 题型七：圆到直线距离的最值范围 【例13】已知P是：上的动点，则P到直线l：距离的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【例14】直线分圆周长的比为，，则圆心到直线的最大距离为 . 【变式7-1】已知圆上的点到直线的距离的最大值是，最小值是，则 . 【变式7-2】在一个平面上，机器人甲到与点距离为5的地方绕点顺时针而行，在行进过程中保持与点的距离不变，机器人乙在过点与的直线上行进，机器人甲与机器人乙的最近距离是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知直线与圆相交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 题型八：面积的最值范围 【例15】已知点，直线将分割成面积相等的两部分，则实数的取值范围为 . 【例16】已知直线． (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【变式8-1】已知圆，圆分别是圆和圆上的动点，则由坐标原点和点A，B构成的三角形的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】在平面直角坐标系中，已知圆，点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为 . 【变式8-3】已知圆是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为. (1)当点的横坐标为2时，求切线的方程； (2)当点在直线上运动时，求四边形面积的最小值. 题型九：数量积的最值范围 【例17】已知为坐标原点，直线与圆相交于、两点，则（   ） A． B． C． D． 【例18】已知点，动点P满足，设P的轨迹为C． (1)求C的轨迹方程； (2)若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围． 【变式9-1】如图，半径为2的圆上的点到直线的最小距离恰好也是2，是圆的任意一直径，是上动点，则的最小值为 . 【变式9-2】已知抛物线的方程为，圆C：，点A，B在圆C上，点P在抛物线上，且满足，则的最小值是 . 【变式9-3】已知直线交于不同的、两点，． (1)求直线的方程； (2)若为上一动点，求的最小值． 巩固过关 1．点到直线的距离最大时，其最大值以及此时过点P且垂直于直线l的直线方程分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 2．已知圆及两点，，若圆上任一点，都满足，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 3．已知实数，满足圆的方程，则（   ） A．圆心为，半径为 B．的最大值为2 C．的最大值为 D．的最大值为 4．已知点，，且点P在直线上，下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．存在点，使得 D．的最大值为6 5．已知曲线：，曲线：.设，分别为曲线，上的动点，为轴上的动点，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．直线与，的公共点的个数之和为3 D．当取得最小值时，点的横坐标为 6．已知点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是 ． 7．若直线与曲线有一个交点，则实数的取值范围是 ． 8．已知实数、、、满足：，，，则的最小值为 . 9．已知实数、满足方程．求： (1)的最大值和最小值； (2)的最小值； (3)的最大值和最小值． 10．已知圆，过点的两条互相垂直的直线分别交圆于四点，求四边形面积的最大值与最小值． 创新提升 1．已知直线与圆交于不同的两点，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 3．已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为 ；当最小时，则直线的方程为 . 4．在平面直角坐标系中，已知点，，过点作直线分别交射线，轴正半轴于点，，则面积的最小值为 ． 5．已知在平面直角坐标系中，圆，点和点，为圆上的动点，则的最大值为 ． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训02 直线与圆中的范围与最值问题 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型一：倾斜角与斜率的最值范围 2 题型二：含参双动直线的最值范围 5 题型三：线段和差的最值范围 7 题型四：斜率型 11 题型五：直线型 15 题型六：距离型 16 题型七：圆到直线距离的最值范围 20 题型八：面积的最值范围 22 题型九：数量积的最值范围 26 重难专题分层过关练 30 巩固过关 30 创新提升 31 一、距离的常用公式 ①点点距离：由点，由此得到两点间的距离公式， ②点到直线的距离公式：点到直线的距离 二、斜率型、直线型、距离型 可借助图形性质,利用数形结合求解， （1）形如的式子可转化为动直线斜率的问题. （2）形如的式子可转化为动直线截距的问题. （3）形如的式子可转化为曲线上的点到点的距离平方的问题 三、直线的线段和与差 （1）定直线的动点到两定点距离和的最小值:将其中一点作关于直线对称,使两点在直线异侧,三点共线最短 （2）定直线的动点到两定点距离差的最大值:将其中一点作关于直线对称,使两点在直线同侧,三点共线最短 四、圆上一点到圆外定直线的距离 若直线与圆相离,圆上一点到直线的距离为,为圆心到直线的距离,为圆半径,则. 五、三角代换 圆的标准方程,圆心为,半径为,则圆上的点可假设为是参数) 题型一：倾斜角与斜率的最值范围 【例1】已知点，过点的直线与线段AB相交，则的斜率的取值范围为 ． 【答案】或. 【详解】， 如图， 由图象知，过点的直线与线段AB相交， 则的斜率或. 故答案为：或. 【例2】直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，直线的倾斜角为； 当时，，则； 当时，，则， 所以所求倾斜角的取值范围是. 故选：D 【变式1-1】已知直线l过点，则（   ） A．直线l倾斜角的最大值为 B．直线l倾斜角的最小值为 C．直线l倾斜角的最大值为 D．直线l倾斜角的最小值为 【答案】D 【详解】因为,则直线斜率存在，由直线斜率的计算公式可得直线l的斜率． 设该直线l的倾斜角为，则，且，则， 即直线l倾斜角的最小值为． 故选：D 【变式1-2】已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k取值范围是 ，其倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为， 又过点的直线l与线段AB有公共点，如图，    所以，即； 因为，所以， 由正切函数的性质可知或. 故答案为：； 【变式1-3】已知直线，若直线l不经过第三象限，则k的最大值是 . 【答案】0 【详解】直线的方程可化为， 令，所以， 所以直线过定点，所以， 由直线可得：， 若不经过第三象限，则. 所以的最大值为. 故答案为：0.    题型二：含参双动直线的最值范围 【例3】设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P，点P到直线的距离为d，则d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】动直线 过定点 ， 动直线 即 过定点 . 因为， 所以直线与直线垂直， 又直线的斜率一定存在， 点 在以 为直径的圆上（去除点）， 圆心为 ，半径 ， 圆心 到直线 的距离为 所以圆与直线 相切（切点不是点），的最小值为0； 圆的直径，且点到直线 的距离为，所以， 即 的取值范围为 . 故选：A . 【例4】设，圆．若动直线与圆M交于点A，C，动直线与圆M交于点B，D，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，圆心，半径为， 、均恒过点， 由知，且，即在圆内，如下图示， 所以，设分别是的中点，则， 令，则， 所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号，故最大值为. 故选：A 【变式2-1】设，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，中点为，则的值为 . 【答案】 【详解】由于，经过的定点为，所以， 由，经过定点，故， 因为，所以两直线垂直，如图，    因此为直角三角形，所以. 故答案为： 【变式2-2】（多选）已知直线，动直线，则下列结论正确的有（   ） A．存在实数，使得的倾斜角为 B．存在实数，使得与没有公共点 C．对任意的与都不重合 D．存在实数，使得与垂直 【答案】AD 【详解】对于A，当时，的方程为，故倾斜角是，故A正确； 对于B，直线为，所以直线过定点， 又直线过点，所以两直线总有公共点，故B错误； 对于C，当时，两直线的方程都是，故重合，故C错误； 对于D，由于，解得，故当时两直线垂直，故D正确． 故选：AD. 【变式2-3】（多选）已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点（与，不重合），则下列结论正确的是（   ） A．点 B． C． D．的最大值为 【答案】ABD 【详解】因为可化为， 所以直线恒过定点.所以A选项正确； 又因为可化为， 所以直线恒过定点，对于直线，，因为， 所以，所以B选项正确； ，所以C选项错误； 设，因为，所以为锐角，，， 所以，其中， 所以当时，取得最大值，所以D正确. 故选：ABD. 题型三：线段和差的最值范围 【例5】在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点的坐标为，则的最小值是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】如图，在直线上， 设点关于直线的对称点为，设所在直线为， 代入点，可得，解得，故所在直线为， 联立，解得， 故直线与直线交点为，则点关于直线的对称点的坐标为， ， 因为，所以的最小值是. 故选：B.    【例6】已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可知圆心为，半径， 由题意， 所以当时，取最小值， 由点到直线的距离公式可得， 此时， 过作直线的对称点，连接，，与直线的交点即为所求的点， 由于与关于直线对称，，与关于直线对称， 因此与就是同一条直线，即点即为所求的点， 所以的最小值为. 故选：C    【变式3-1】在平面直角坐标系中，动点P，Q关于直线对称（在上方），且，，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设为，则， 则， 可知等于点到点的距离， 由题意可知：点在与直线平行的直线上，且两平行线间距离为， 设直线， 则，解得， 即点在直线， 设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 则， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式3-2】已知直线和两点，若直线上存在点使得最小，求点的坐标和的最小值. 【答案】，12 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 因为，，所以直线的方程为， 联立，解得，所以点. 故P的坐标为时，取到最小值为12. 【变式3-3】已知直线与直线平行，点，. (1)求； (2)若点关于直线对称后的点为，求点坐标； (3)已知，分别在直线，上，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由直线与直线平行， 则， 解得或， 当时，直线，，两直线平行； 当时，直线，，两直线重合，不成立； 综上所述； （2）由（1）得，其斜率， 设点，则，中点为， 则，解得， 即； （3） 由（2）得点关于直线的对称点为，则， 又，分别在直线，上，且， 则，且， 则， 以，为平行四边形邻边作平行四边形， 则，且， 此时， 所以， 所以当点，，三点共线时， 取得最小值为. 题型四：斜率型 【例7】在平面直角坐标系xOy中，已知动点到两直线与的距离之和为 ，则的最大值为 . 【答案】 【详解】依题意，，即， 于是得或或或， 动点的轨迹如图中正方形，其中， 表示正方形边上的点与定点确定直线的斜率， 观察图象知，当点与点重合时，直线的斜率最大， 所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用分类讨论的思想作出轨迹，再利用目标函数的几何意义求解是关键. 【例8】已知为圆上任意一点，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径， 依题意，， 可看作圆上任意一点与定点确定直线的斜率， 当直线与圆相切时，取得最大值或最小值，如图， 当直线切圆于点时，取得最大值，切圆于点时，取得最小值， 直线，， 直线的斜率， 所以的最小值为. 故选：D    【变式4-1】已知、，点在线段上，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由直线的斜率公式可得：；.    将看成线段上一点与定点连线的斜率， 结合图形，要使直线经过点，且与线段有交点， 的斜率需满足或. 故答案为： 【变式4-2】在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将直线与化为一般式为， 所以到两直线的距离之和为， 所以①． 当时，①式变形为； 当时，①式变形为； 当时，①式变形为； 当时，①式变形为． 则动点的轨迹为如图所示的四边形的边， 的几何意义为四边形边上任意一点与连线的斜率． 由，得， 由，得, ，，，， 所以的取值范围是． 故选：C    【变式4-3】如图所示是放在平面直角坐标系中的太极图，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】依题意，表示点与定点确定直线的斜率， 令，得直线：， 观察图形知，当与半圆相切于第一象限时，最小， 此时，因此，解得，所以的最小值为. 故答案为： 题型五：直线型 【例9】已知实数满足方程，则的最小值和最大值分别为（     ） A．-9，1 B．-10，1 C．-9，2 D．-10，2 【答案】A 【详解】即为 y－2x可看作是直线y＝2x＋b在y轴上的截距， 当直线y＝2x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b＝－9或1．所以y－2x的最大值为1，最小值为－9． 故选A. 【变式5-1】已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由， 则可设为参数，， 故，其中， 当时，取得最小值，最小值为． 故选：D． 【变式5-2】已知实数，满足方程，则的最大值和最小值分别为 和 . 【答案】 【详解】解：因为，即，表示以为圆心，半径的圆，令，即，则圆心到直线的距离，解得，所以的最大值为，最小值为； 故答案为：；； 题型六：距离型 【例11】已知点满足，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为表示点到点的距离，表示点到直线的距离， 又，所以点到点的距离等于点到直线的距离， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 设，则， 当且仅当时，等号成立． 故选：B． 【例12】已知实数x，y满足方程，则的最大值为 ，的取值范围是 ． 【答案】 【详解】方法一  可化为，此方程表示圆心为，半径为1的圆． 设，则直线与圆有公共点（将所求问题转化为直线与圆有公共点进行求解是解题的关键）， 所以，解得，所以的最大值为． 表示圆上的点到直线的距离， 因为圆心到直线的距离为， 所以，即． 方法二  可化为，此方程表示圆心为，半径为1的圆， 所以可以看作是圆：上一点与原点连线的斜率， 如图所示，OA，OB与圆分别相切于A，B，所以，连接MA，OM， 所以，所以， 所以圆上一点与原点连线的斜率的最大值为．设 所以 且， 所以．    故答案为：，. 【变式6-1】已知x，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】可看成点到点的距离的平方， 点在直线的图象上，点在反比例函数的图象上， 问题转化为在图象上找一点，使得它到直线的距离的平方最小. 注意到反比例函数的图象关于直线对称，直线也关于对称， 设，因为所以到直线的距离为， 当且仅当即时距离最小， 最短距离为，所以的最小值为. 故选：A. 【变式6-2】已知点在直线上，则的最小值为 . 【答案】 【详解】， 表示直线上的点到定点和的距离和， 假设点关于直线的对称点为，且交直线于点， 则有，解得， 因此得到， ， 当三点共线时，最小，最小值为. 故答案为：.    【变式6-3】已知直线恒过定点，圆上的两点满足，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由，可得定点， 因为，所以三点共线，且， 所以为过点的直线与圆的交点， 设线段的中点为，则， ， 因为表示点到直线的距离和， 表示点到直线的距离， 分别过点作与直线垂直，垂足为， 则，即， 因为，直线过点，所以， 所以点在以为直径的圆上，方程为， 所以点到直线的距离的最小值为， 即，所以， 所以. 故答案为：. 题型七：圆到直线距离的最值范围 【例13】已知P是：上的动点，则P到直线l：距离的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】圆C的方程可化为， 所以，半径， 则C到直线l：的距离为， 所以所求距离的最小值为． 故选：C 【例14】直线分圆周长的比为，，则圆心到直线的最大距离为 . 【答案】1 【详解】由题意可知，优弧与劣弧所对的圆心角之比为，则劣弧所对的圆心角为， 化简得，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 因，则，， 故圆心到直线的最大距离为. 故答案为： 【变式7-1】已知圆上的点到直线的距离的最大值是，最小值是，则 . 【答案】 【详解】可化为，圆心，半径， 圆心到直线的距离， 则直线与圆相离， 故，，则. 故答案为： 【变式7-2】在一个平面上，机器人甲到与点距离为5的地方绕点顺时针而行，在行进过程中保持与点的距离不变，机器人乙在过点与的直线上行进，机器人甲与机器人乙的最近距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为机器人甲到与点距离为5的地方绕点顺时针而行，且在行进过程中保持与点的距离不变， 所以机器人甲的运行轨迹为； 又因为，， 所以机器人乙的运行轨迹为直线，其方程为：； 机器人甲与机器人乙的最近距离，其中为圆心到直线的距离，为圆的半径， 又因为，， 所以， 即机器人甲与机器人乙的最近距离为. 故选：D. 【变式7-3】已知直线与圆相交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】可知直线恒过定点， 由于，故点P在圆内； 圆的圆心，半径， 直线的斜率， 圆心到直线l的距离为d，当直线的斜率为0时，d取最大值1，此时弦最短， 所以， 故选：C．nn 题型八：面积的最值范围 【例15】已知点，直线将分割成面积相等的两部分，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】，由已知得，由得，， ，直线与轴交于， 当在点与点之间（包括点）时， ，， 则有..，所以，， ，故，所以，，又，，故； 当在点的左侧时， 解得，， 由得，此时，， 点到直线的距离， ，得， 则有，所以，， 又，，故，，即. 综上所述：实数b的取值范围. 故答案为：. 【例16】已知直线． (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1） 如图所示，结合图象可知， 当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第二象限，则，解得； 综上，. （2）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 【变式8-1】已知圆，圆分别是圆和圆上的动点，则由坐标原点和点A，B构成的三角形的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，所以，所以． 当点为的延长线与圆的交点时，取最大值，当点为的延长线与圆的交点时，取最大值， 并且当和均取最大值时，，此时的面积最大，其最大值为． 故选：A. 【变式8-2】在平面直角坐标系中，已知圆，点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为 . 【答案】8 【详解】由题意，得圆的半径为4，， 所以， 四边形的面积， 所以当取得最小值时，四边形的面积取得最小值，此时也取得最小值， 由题意可知，的最小值是圆心到直线的距离， 因为，所以的最小值为2，四边形面积的最小值为8. 故答案为：8 【变式8-3】已知圆是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为. (1)当点的横坐标为2时，求切线的方程； (2)当点在直线上运动时，求四边形面积的最小值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】 【详解】（1）由圆，可得圆心，半径， 点在直线上，且点的横坐标为点的坐标为， ①当切线的斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，满足题意，； ②当切线的斜率存在时，设斜率为，此时切线方程为， 即：，设圆心到切线的距离为，根据题意可得：， ， 此时，切线方程为， 化简，得， 切线方程为或； （2）为公共边，， ， 又当最小时，最小， 由题意可知，当时，最小， 此时，， ， 四边形面积的最小值为. 题型九：数量积的最值范围 【例17】已知为坐标原点，直线与圆相交于、两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 易知直线过圆心，所以为线段的中点， 所以 ， 故选：D. 【例18】已知点，动点P满足，设P的轨迹为C． (1)求C的轨迹方程； (2)若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设P点坐标为， 由可得，化简得， 所以C的轨迹方程为. （2）因为表示圆心为，半径为2，的圆， 且，则点A的直线与C必相交， 法一：设MN的中点为， 因为，则点的轨迹是以的中点为圆心，半径为的圆， 则 ， 又因为表示点到定点的距离的平方，即， 可知，所以； 法二：当直线MN的斜率不存在时，不妨取， 此时； 当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为， 联立方程，整理得， 设，则， 因为， 则 ， 因为，则，可得，所以； 综上所述：． 【变式9-1】如图，半径为2的圆上的点到直线的最小距离恰好也是2，是圆的任意一直径，是上动点，则的最小值为 . 【答案】12 【详解】由已知可得，， 所以. 由已知可知，，， 所以，. 故答案为：. 【变式9-2】已知抛物线的方程为，圆C：，点A，B在圆C上，点P在抛物线上，且满足，则的最小值是 . 【答案】3 【详解】∵圆的圆心为C(2，0)，半径r＝1，，∴AB是圆的直径，C是AB的中点，连接PC、PA、PB.设. ＝，当且仅当m＝0时取等号. 故答案为：3. 【变式9-3】已知直线交于不同的、两点，． (1)求直线的方程； (2)若为上一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：圆心为，圆心到直线的距离为， 由题意可知，圆的半径为， 由勾股定理可得，即，整理可得，解得， 因此，直线的方程为，即. （2）解：设线段的中点为，由垂径定理可知， 且， ， 因为，则， 所以，直线的方程为，即， 联立，解得，即点， 则，    所以，， 当且仅当点为线段与圆的交点时，等号成立， 所以，， 故的最小值为． 巩固过关 1．已知直线与圆交于不同的两点，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将直线变形为， 则可知直线恒过定点，且， 若，则直线可和圆相切，如图所示，此时重合，若直线与圆交于不同的两点， 则可不断趋于0，不存在最小值，与题意不符，故， 即在圆内，直线与圆一定交于两点，此时对于任意给定的半径， 根据圆的性质，当时，弦最短，最小，此时弦长， 在中，当时，此时， 由题意，已知最小值不大于，则最小值对应的弦满足， 即，解得， 综上，的取值范围为. 故选：C. 创新提升 1．（多选）已知，则（   ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】ACD 【详解】方程的圆心为， 对于A，表示圆上一点到点的距离， ， 所以的最小值是，故A正确； 对于B，圆上一点到直线的距离为， ，所以求的最小值，即求， 所以即为到直线的距离减半径， 所以到直线的距离为， 所以，所以的最小值为，故B错误； 对于C，因为，所以 表示圆上一点到点距离之和， 所以，当三点在一条直线上时取等， 故的最小值是，故C正确； 对于D，因为，所以 ， 表示圆上一点到点距离之差的2倍， 所以，当三点在一条直线上时取等， 的最大值是，故D正确. 故选：ACD. 2．已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为 ；当最小时，则直线的方程为 . 【答案】 【详解】因为圆可化为，可知圆心为，半径， 又因为是圆的两条切线，则， 可知四点共圆，且，， 因为， 当且仅当时，取到最小值，即取得最小值， 可设直线的方程为， 代入点可得，即，所以直线的方程为， 联立方程，解得，即， 则的最小值为， 所以的最小值为； 又因为， 当且仅当时，取到最小值，即取得最小值， 此时，，且线段的中点为， 则以为直径的圆的圆心为，半径为， 以为直径的圆的方程为，即， 因为圆，两圆相交， 所以两圆方程相减即为直线的方程. 故答案为：；. 3．在平面直角坐标系中，已知点，，过点作直线分别交射线，轴正半轴于点，，则面积的最小值为 ． 【答案】3 【详解】如图所示： 由点，，得直线解析式为：， 设点，点， 由三点共线和点可知， 当时，，解得， 此时面积为， 令，即， 则，当且仅当，即时等号成立， 即当时，的最小值为； 当时，，此时， 综上的最小值为. 故答案为：3. 4．已知在平面直角坐标系中，圆，点和点，为圆上的动点，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】已知圆和点，且点不在圆上、不与点重合， 则根据性质1知一定存在唯一一个定值和一个定点， 使得对于圆上的任意一点都有． 设点，令， 则，因此圆是关于点的阿波罗尼斯圆，且． 根据定点，圆心三点共线可知点在轴上， 由，和相似比可知点． 如图，当点位于图中的位置时， 的值最大，最大值为． 故答案为：． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $