培优专题1 集合与常用逻辑用语压轴题型专练- 【重难点突破】2025-2026学年高一上·人教A版必修第一册

该高中数学讲义围绕集合与常用逻辑用语构建系统知识体系，通过思维导图清晰呈现概念层级、运算规则与逻辑关系，辅以表格对比子集、真子集、幂集等易混概念，用框图梳理充要条件、命题真假判断的推理路径，突出交并补运算、集合间关系与逻辑联结词的内在联系，精准定位高频考点与难点。 讲义的亮点在于“问题驱动+方法提炼”的练习设计，如第7题通过构造满足特定条件的子集个数问题，引导学生运用分类讨论和计数原理，培养逻辑推理素养；第15题借助“稳定子集”定义考查抽象建模能力，体现数学建模意识；第23题以“完美集”为载体，融合不等式分析与反证法，提升综合解题能力。每类题型均配解题策略提示与典型错误归因，帮助基础薄弱学生建立规范思路，助力优秀学生突破压轴难题，教师可据此实施分层教学与精准讲评，有效支持学生自主复习与课堂高效推进。

2025-2026学年高一上·人教A版必修第一册·【重难点突破】 培优专题1 集合与常用逻辑用语压轴题型专练 模块一 集合与常用逻辑用语选填压轴 1. （2024-2025南京一中9月月考）设，则满足 Ü 的集合A的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】集合至少包括所有元素，还要从根据任意取1个，2个或个元素，则根据组合个数可求解. 【详解】集合至少包括所有元素， 还要从根据任意取1个，2个或个元素， 则集合的个数为 2. （2024-2025重庆南开中学9月月考）若、、为三个集合，，则一定有（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知等式可推导得到，由此可依次判断各个选项得到结果. 【详解】因为， 所以，，， 所以, 所以， 对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，当且仅当时，，故B错误； 对于C，当时，满足，故C错误； 对于D，当时，满足，故D错误. 3. （2024-2025宝安中学10月月考）(多选)已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由，则可得到为奇数或4的倍数，从而可以判断A，B；根据，即可判断C；讨论M中元素的情况，进而可判断D． 【详解】由， 则，同为奇数或同为偶数，所以为奇数或4的倍数，故A错误；B正确； 因为，且，所以， 故成立，故C正确； 又，所以， 由，则为奇数或4的倍数， 当中至少有一个为4的倍数时，则为4的倍数，所以， 当都为奇数时，则可令， 所以，所以， 故，故D正确． 故选：BCD． 4. （2024-2025南京一中9月月考）(多选)如果我们把集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为.用表示有限集A的元素个数.则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．存在集合A，使得 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】选项A，列出集合的子集，然后得到集合，然后利用元素与集合关系判断即可； 选项B，利用集合元素的个数和子集个数的关系得到的元素个数判断即可； 选项C，利用集合的运算得出集合与集合无相同元素，然后再判断的交集即可； 选项D，利用集合元素个数和集合子集个数的关系判断即可. 【详解】若， 所以 故，选项A正确； 若一个集合有个元素，则其子集个数为个，即，显然当时，无解，故选项B错误； 若已知，则集合与集合无相同元素，故集合与集合只有唯一相同子集，所以，故选项C正确； 若，假设集合有个元素，则集合有个元素，所以集合与集合的子集个数分别为个， 即 故，所以选项D正确. 5. （2024-2025厦门第一中9月月考）对于非空正数集，其所有元素的几何平均数记为，即，若非空正数集B满足下列两个条件：（1）；（2）．则称B为A的一个“稳定子集”．根据以上信息，集合的“稳定子集”有（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】根据题意可得，且集合B至少有2个元素，分类讨论集合B的元素个数，结合题意分析求解即可. 【详解】因为，则， 又因为，由题意可知：集合B至少有2个元素， 若集合B有2个元素，则集合B可以为，共2个； 若集合B有3个元素，则集合B可以为，共2个； 若集合B有4个元素，则集合B可以为，共1个； 若集合B有5个元素，则集合B可以为，共1个； 综上所述：集合的“稳定子集”有个. 6. （24-25苏州中学月考）(多选)给定实数集，定义集合都有，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作．以下说法正确的是（   ） A．若数集中有2024个元素，则数集一定有上确界 B．若数集中没有最大值，则数集中一定没有上确界 C．若数集有上确界，则数集一定也有上确界，为 D．若数集有上确界，则数集一定也有上确界，为 【答案】AC 【分析】根据上确界的定义即可判断AC；举出反例即可判断BD. 【详解】对于A，若数集中有2024个元素，则数集中的元素一定有最大值， 所以数集一定有上确界，故A正确； 对于B，若，当时，， 则数集中的元素没有最大值， 因为，都有，所以， 所以，即数集中有上确界，故B错误； 对于C，若数集有上确界，设， 由上确界的定义可知，对于，都有， 所以， 即，故C正确； 对于D，若，则数集有上确界，且， 此时， 则，故D错误. 故选：AC. 7. （2024-2025重庆南开中学9月月考）设集合， 都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（i≠，），都有（表示两个数中的较小者），则的最大值是（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】 根据题意，首先分析出的所有含2个元素的子集数目，进而对其特殊的子集分析排除，注意对表示两个数、中的较小者）的把握，即可得答案． 【详解】 解：根据题意，对于，含2个元素的子集有15个， 但，、，、，只能取一个； ，、，只能取一个； ，、，只能取一个， 故满足条件的两个元素的集合有11个 8. （2024-2025重庆南开中学9月月考）(多选)集合，且若，则，那么下列说法正确的有（      ） A．若，则 B．，则 C． D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据集合的定义，由，，得到，，即，，然后利用一元二次不等式的解法化简后逐项判断. 【详解】∵非空集合满足：当时，有 ∴，，. 则，，且，. 即或，且， 所以或，且，故或, 对于A，当时，有，故A正确； 对于B，当时，，所以，所以，故B正确； 对于C，因为或，故C正确； 对于D，当时，可知或，故D错误. 9. （2024-2025重庆南开中学9月月考）已知集合，，定义集合，则中元素的个数为 . 【答案】 【分析】首先用列举法表示集合、，从而得到，即可得解. 【详解】因为， ， 又， 所以 ，， 所以中元素的共个. 10. （2024-2025厦门第一中9月月考）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数的所有可能取值构成集合是T，则 . 【答案】 【分析】先分析得，进而得到或，再分类讨论的取值情况，结合二次方程的判别式得到关于的方程或不等式，从而得解. 【详解】对于，有， 所以集合中有两个元素，即， 因为，所以或， 对于，易知必是方程中的一解， 当时，，所以有唯一解，且无解， 则，解得； 当时，若有唯一解，由上述分析可知无解，不满足题意； 若有两解，则有唯一解， 即，解得或； 综上，实数的所有可能取值为，则. 模块二 集合与常用逻辑用语解答题次压轴 11. （24-25重庆南开中学月考）已知，，. (1)若，求实数的取值范围; (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由交集为空集得到一元二次方程无解，再由判别式小于等于零可解出； （2）分和时，分别求出的范围，注意时中的点都在集合中，即可解出； 【详解】（1）由得，① 因为， 所以①的，解得， 所以实数的取值范围为， （2）①若，由（1）可得， ②若，且其中的点都在集合中，也符合题意， 此时，联立，得，且， 解得， 将代入中，整理可得， 令，整理得，解得， 同理，把代入，得， 令，整理并化简可得，所以， 综上，实数的取值范围为或. 12. （24-25深圳育才中学月考）已知集合，集合. (1)存在，使成立，求集合； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (3)命题，有，命题，使得成立．若命题为假命题，为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据一元二次函数的系数与根的个数的关系，可求得，又，代入集合，化简即可； （2）由是的必要不充分条件，得且，所以对于恒成立，再解含参的恒成立问题即可； （3）由命题为真命题，得，根据均值不等式求得，从而求得的范围，又为假命题，所以求其补集即为的范围；根据命题的否定，得，使得，再根据一元二次系数与根的关系进行运算求解即可. 【详解】（1）存在，使成立， ，解得， 又， 当时，集合， 此时. （2）由题. 是的必要不充分条件，且， 即对于恒成立， ， 由一元二次函数性质可知在上单调递增，在上单调递减， 因为， 所以当时，，即，解得， 的取值范围是. （3）由（2）知， 命题，都有，则. ，当且仅当即时取等号， ，即， 若命题为真命题，则，命题为假命题， 命题使得成立， 所以，使得为真命题， 则恒成立， 所以恒成立，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 13. （24-25高一上·江苏南京一中·月考）已知集合，， (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围； (3)若，使，求实数a的取值他围. 参考公式：若关于x的方程有两根与，则关于x的不等式的解集为，的解集为. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求得集合A，利用条件及二次函数的性质得集合B，由交集的概念计算即可； （2）利用反比例函数的性质求得C，再根据必要条件得出，利用集合的基本关系及二次函数动轴定区间分类讨论计算即可； （3）将问题转化为，结合（2）的结论分类讨论计算即可. 【详解】（1）由可得，即， 而时，， 由二次函数的性质知，即，所以； （2）根据反比例函数的性质知时，，则， 由（1）知：，由“”是“”的必要条件可得， ①若，即时，结合二次函数的性质， 当时，， 当时，， 即， 易知，所以， 若，显然满足， 若，， 要满足题意则需，或， 所以； ②若，即时，同上知， 且，所以，则， 此时， 要满足题意需，或， 所以； ③若，即时，结合二次函数性质， 当时，， 当时，， 即， 且，所以，与前提矛盾，舍去； ④若，即时，结合二次函数性质， 当时，， 当时，， 即， 且，所以， 即， 显然，有，不符题意； 而时，， 要满足题意需，与前提矛盾舍去， 或，也与前提矛盾，舍去； 综上所述：； （3）由，使恒成立知恒成立， 由（2）知： ①时，，则； ②时，，则； ③时，，则，所以； 综上所述：. 模块三 集合与常用逻辑用语解答题压轴 14. （2024-2025深圳宝安中学高一上期中）已知元有限集，若，则称集合为“元和谐集”. (1)写出一个“二元和谐集”(无需写计算过程)； (2)若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2； (3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3)存在1个，，理由见解析 【分析】(1)令得到答案； (2)法一：利用反证法进行证明；法二：构造一元二次方程利用判别式法证明； (3)设满足要求，则，不妨设，则，从而求出，，求出答案. 【详解】（1）不妨令，此时，满足要求； （2）法一：假设命题不成立，即元素，均小于等于2，因为 ，， 故可设，，两边同时除以得，，因为， 所以，与矛盾，不合要求，故假设不成立， 元素，中至少有一个大于2； 法二；集合是“二元和谐集”，设， 则，可以看成一元二次方程的两正根，则， 解得：(舍)或，即，所以至少有一个大于2； （3）设正整数集为“三元和谐集”，则， 不妨设，则，解得， 因为，故只有，满足要求， 综上，满足要求，其他均不合要求， 存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即. 15. (2024-2025广东执信中学期中)非空有限集合由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于个. 对于任意，，，若和中至少有一个属于，则称集合是“好集”；否则，称集合是“坏集”. (1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； (2)题设的有限集合中，既有大于的元素，又有小于的元素，证明：集合是“坏集”； (3)非空有限集合由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于个. 对于任意，，若和都属于，则称集合为“超级好集”，求出所有的“超级好集”. 【答案】(1)集合是“坏集”， 集合是“好集”；理由见解析 (2)证明见解析 (3)且 【分析】（1）根据“好集”还是“坏集”的定义，依次验证集合即可得到结论； （2）有限集合中的大于的最小元素为，最小元素为，根据指数函数单调性和“坏集”定义可得结论； （3）首先确定且为“超级好集”，再证明不可能存在其他元素即可. 【详解】（1）对于集合，当时，，；集合是“坏集”； 对于集合，不妨令， 当时，，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 对于任意，，若和中至少有一个属于，则集合是“好集”. （2）假设有限集合中的大于的最小元素为，最小元素为，则，， ，，，，有限集合是“坏集”. （3）当且时，，，是“超级好集”； 下面证明：集合中不可能存在其他元素. 由（2）知：集合中不可能同时有大于和小于的元素， 若，且为中大于的元素中最大的元素， 此时，，不是“超级好集”； 若，且为中小于的元素中最大的元素， 此时，，不是“超级好集”； 中不可能存在其他元素. 满足题意的“超级好集”且. 16. （2024-2025福建厦门一中高一上月考）已知A是非空数集，如果对任意，都有，，则称A是封闭集． (1)判断集合，，是否为封闭集，并说明理由； (2)判断命题“若非空集合，是封闭集，则也是封闭集”的真假，并说明理由； (3)若非空集合A是封闭集合，且，求证：不是封闭集． 【答案】(1)不是封闭集，是封闭集，理由见详解； (2)假命题，理由见详解； (3)证明见详解 【分析】（1）根据封闭集的定义判断即可； （2）举反例，说明判断命题真假； （3）运用反证法思想，假设是封闭集合，分和两种情况进行分析讨论，引出矛盾，从而得证. 【详解】（1）对于集合，因为，， 所以集合不是封闭集； 对于集合，任取，其中，， 则，， 所以集合是封闭集. （2）令，由（1）知是封闭集， ，任取，其中，， 则，， 所以是封闭集， 因为，，所以，但， 所以不是封闭集. 所以命题“若非空集合，是封闭集，则也是封闭集”是假命题. （3）假设是封闭集， 若，在中任取一个，，则， 否则，，此时，与矛盾， 所以，，而，这与矛盾， 所以当时， 不是封闭集， 同理可证，当时，也不是封闭集， 综上，不是封闭集. 17. (24-25学军中学期中)对于正整数，如果个整数满足，且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”个数为均为奇数的“正整数分拆”个数为. (1)写出整数4的所有“正整数分拆”； (2)对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值； (3)对所有的正整数，证明：；并求出使得等号成立的的值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析，或. 【分析】（1）根据“正整数分拆”的定义求得正确答案. （2）对进行分类讨论，由此求得的最大值. （3）对进行分类讨论，根据“正整数分拆”的定义来求得正确答案. 【详解】（1）整数4的所有“正整数分拆”为：. （2）当为偶数时，时，最大为； 当为奇数时，时，最大为； 综上所述：为偶数，最大为为奇数时，最大为. （3）当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故； 当为偶数时，设是每个数均为偶数的“正整数分拆”， 则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”， 故.综上所述：. 当时，偶数“正整数分拆”为（2），奇数“正整数分拆”为； 当时，偶数“正整数分拆”为，奇数“正整数分拆”为，故； 当时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为1的奇数拆分外， 至少多出一项各项均为1的“正整数分拆”，故. 综上所述：使成立的为：或. 18. (24-25长郡中学期中)我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.如果一个数列的项是有限个，那么称这样的数列为有穷数列. 已知有穷数列.若数列中各项都是集合的元素，则称该数列为数列.对于数列，定义如下操作过程：从中任取两项，将的值添在的最后，然后删除，这样得到一个项的新数列（约定：一个数也视作数列）.若还是数列，可继续实施操作过程，得到的新数列记作，如此经过次操作后得到的新数列记作. (1)设数列，请写出的所有可能的结果； (2)求证：对于一个项的数列实施操作过程，总共可以实施次； (3)设数列，求的可能结果，并说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）由题意可直接得到； （2）证明新增项一定是满足数列的项，就能得到每一次操作增加一项减少二项合计一次操作减少一项，所以得出总共的操作次数； （3）通过定义验证的结果与操作过程无关，所以最后结果就是任意两个元素进行计算，最后得出的一个数即为的结果. 【详解】（1）（1）有如下的三种可能结果： ，所以. ，， ， （2）因为，有 且， 所以，即每次操作后新数列仍是数列. 又因为每次操作中都是增加一项，删除两项， 所以对数列每操作一次，项数就减少一项， 所以对项的数列总共可进行次操作（最后只剩下一项）. （3）由（2）可知中仅有一项. 对于满足的实数定义运算：， 下面证明这种运算满足交换律和结合律：因为，且， 所以，即该运算满足交换律； 又因为， 且， 所以，即该运算满足结合律. 所以中的项与实施的具体操作过程无关. 选择如下操作过程求： 由（1）可知； 易知 所以的其中一种结果为； 易知经过4次操作后剩下一项为. 综上可知：. 19. (24 - 25 高一上·重庆外国语附属外国语学校·月考)由有限个元素组成的集合，，记集合中的元素个数为，即.定义，集合中的元素个数记为，当时，则称集合满足性质. (1)已知，，判断集合，是否满足性质，并说明理由； (2)设集合，且（），若集合满足性质，求的最大值. 【答案】(1)集合不满足性质，集合不满足性质，理由见解析 (2)6058 【分析】（1）由已知集合结合定义求得与，再由性质的概念判断； （2）要使取最大，则，，根据性质检验可得，可得的最大值. 【详解】（1）因为，， 所以，，则集合A不满足性质， 所以，，则集合不满足性质. （2），且，， 要使取最大，则，，          当时，，则不满足性质，   要使取最大，则，，             当时，，则不满足性质， 当时，，则不满足性质， 当时，则，不满足性质， 当时，满足性质，       则使得取最大，可得， 若集合A满足性质，则的最大值为6058. 20. (24 - 25 高一上·广东潮阳实验学校·月考) 已已知集合，对于A的子集S若存在不大于的正整数，使得对于S中的任意一对元素，都有，则称具有性质. (1)当时，判断集合和是否具有性质P？并说明理由； (2)若时， ①如果集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P？并说明理由； ②如果集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值. 【答案】(1)集合不具有性质，集合具有性质，理由见解析； (2)①集合具有性质，理由见解析；②，证明见解析. 【分析】（1）当时，，由题中所给新定义直接判断即可. （2）若时，则，①根据，任取，其中，可得，利用性质的定义加以验证即可证明；②设集合有个元素，由①知： 任给，，则和中必有一个不超过，所以集合和集合中必有一个集合中至少存在一半的元素不超过，然后利用性质的定义进行分析可得，即解不等式即可求解. 【详解】（1）当时，， 不具有性质， 因为对于集合中任意不大于的正整数，都可以找到该集合中两个元素，使得成立， 具有性质. 取，对于该集合中任意一对元素，，都有， 所以集合不具有性质，集合具有性质. （2）若时，则， ①如果集合S具有性质P，那么集合一定具有性质， 因为，任取，其中， 因为，则，从而，即，所以， 由集合S具有性质，知存在不大于的正整数，使得对于中的任意一对元素都有， 在集合中任取一对元素，， 其中，则由， 所以集合一定具有性质. ②设集合有个元素，由①知：若集合S具有性质P，那么集合一定具有性质， 任给，，则和中必有一个不超过， 因此集合和集合中必有一个集合中至少存在一半的元素不超过， 不妨设中有个元素不超过，由集合S具有性质P， 知存在正整数，使得对于中的任意一对元素都有， 于是一定有，又， 即，则集合中至少有个元素不在集合中， 因此，所以，解得：， 当时，取， 对于集合中任意两个元素都有，即集合S具有性质P，而此时集合中有个元素， 因此集合S中元素个数的最大值是. 21. (24 - 25 高一上·广东佛山石门中学·月考)对于函数，若，则称实数为的“不动点”，若，则称实数为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为和，即，. (1)对于函数，分别求出集合和； (2)对于所有的函数，证明：； (3)设，若，求集合. 【答案】(1)， (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）由，解出的值即集合的元素，由，解出的值即集合的元素； （2）分别讨论与的情况，当时，设，则，即，进而得证； （3）由，可得，则，进而求解即可. 【详解】（1）由，得，解得； 由，得，解得， 集合，． （2）若，则显然成立； 若，设为中任意一个元素， 由，可得. （3）， ，即，解得， ， ， ， ， ， 或或， . 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好基础，以不变应万变才是制胜法宝. 22. （浙江省强基联盟2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题）设数集满足：①；②，且，有，则称数集具有性质. (1)判断集合，是否具有性质，并说明理由； (2)证明：集合具有性质； (3)求满足性质的所有三元素集. 【答案】(1)不具有，具有，理由见解析 (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）由新定义直接判断即可； （2）由新定义直接判断即可； （3）设， ，结合定义确定，只能取0，，1中的两个不同数，进而通过，，逐个判断即可. 【详解】（1）若，，则，故集合不具有性质； 集合中元素均为整数，满足①，且，，，满足②，故集合具有性质. （2）证明：①，； ②且，，则集合具有性质. （3），. 证明：对于三元素集，不妨设， 若，则，与三元素集矛盾，所以. 若，则，与三元素集矛盾，所以. 所以，只能取0，，1中的两个不同数. 不妨设，，： 对于，集合中元素均为整数，满足①， ，，，满足②， 故集合满足性质. 对于，若，则； 则，由集合元素的互异性可得； 对于，若，则； 则，由集合元素的互异性可得； 综上，满足性质的所有三元素集，. 23. (24 - 25 高一上·福建厦门双十中学·期中)已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． (1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； (3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 【答案】(1)，集合A是的恰当子集； (2)，或，. (3)10 【分析】（1）由定义求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，则有，列方程求a，b的值并检验； （3）证明时，存在A是的恰当子集；当时，不存在A是的恰当子集， 【详解】（1）若，有，由，则， 满足，集合A是的恰当子集； （2）是的恰当子集，则， ，由则或， 时，，此时，，满足题意； 时，，此时，，满足题意； ，或，. （3）若存在A是的恰当子集，并且， 当时，，有，满足， 所以是的恰当子集， 当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或， 时，设，经检验没有这样的满足； 当时，设，经检验没有这样的满足；， 因此不存在A是的恰当子集，并且， 所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10. 24. (24 - 25 江苏省苏州实验中学·10 月月考)已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； (3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”. 【答案】(1)不具有，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）分取到的三个元素都是奇数和有偶数2，两种情况比较三个条件，即可判断； （2）首先根据性质，确定集合，再根据“期待子集”的定义，确定集合是集合的“期待子集”； （3）首先证明充分性，存在三个互不相同的，使得均属于 证明满足性质的三个条件；再证明必要性，首先设满足条件的，再证明均属于，即可证明. 【详解】（1）集合不具有性质，理由如下： （i）从集合中任取三个元素均为奇数时，为奇数，不满足条件③ （ii）从集合中任取三个元素有一个为，另外两个为奇数时，不妨设，， 则有，即，不满足条件②， 综上所述，可得集合不具有性质. （2）证明：由是偶数，得实数是奇数， 当时，由，得，即，不合题意， 当时，由，得，即，或（舍）， 因为是偶数，所以集合， 令，解得， 显然， 所以集合是集合的“期待子集”得证. （3）证明： 先证充分性： 当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的，使得均属于， 不妨设，令，，，则，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质. 再证必要性： 当集合具有性质，则存在，同时满足①；②；③为偶数， 令，，，则由条件①得， 由条件②得， 由条件③得均为整数， 因为， 所以，且均为整数， 所以， 因为， 所以均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”. 综上所述，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用“性质”和“期待子集”的定义. 25. (24-25高一上·广州市铁一中·月考)已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，称其为“团结集合”. (1)分别判断与是否是“团结集合”，并说明理由； (2)若集合是“团结集合”，且，求集合； (3)设函数，求． 【答案】(1)集合不是“团结集合”， 集合是“团结集合” (2) (3) 【分析】（1）由“团结集合”定义判断即可； （2）由定义知，，可得，再由，，可分析出，即可得解； （3）由得， 再由，可得，，即可得到，，，，，用累加法即可得到的值，进而代入求解即可得答案. 【详解】（1）集合中，因为，，所以集合不是“团结集合”. 集合中，因为，，，，，，，所以集合是“团结集合”； （2）因为，且是“团结集合”，由于， 所以，则，所以， 又因为，所以，则， 由集合的互异性可知，，而，所以， 故集合. （3）因为是“团结集合”， 所以，则，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，则， 所以，，，，， 所以， 即， 所以， 故. 【点睛】集合新定义问题的处理方法： 找：要抓住新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一都不是“新定义”哦，然后找出要素分别是什么； 看：看所求是什么？ 代：将已知条件代入新定义的要素； 解：结合数学知识进行解答. 26. (24-25高一上·重庆南开中学·月考)设集合），若是的子集，把中所有元素的和称为的"容量"（规定空集的容量为0），若的容量为奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集. (1)写出的所有奇子集; (2)求证：的奇子集与偶子集个数相等； (3)求证：当时，的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和. 【答案】(1)、、,、,、,、,、,2,、,3,； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，分析的子集，对应奇子集的定义，即可得的所有奇子集； （2）设为的奇子集，根据奇子集和偶子集的定义，按1是否属于进行分类，则得到奇子集和偶子集之间的关系，分析即可证得结论； （3）根据（2）中的结论，计算奇子集容量之和时，元素的贡献是，即可求得奇子集的容量之和，从而得到偶子集的容量之和，即可得到结论． 【详解】（1）由题意可知，当时，，2，3，， 的容量为奇数，则为的奇子集， 所有的奇子集应为、、,、,、,、,、,2,、,3,； （2）设奇数，对于的每个奇子集， 当时，取且． 当时，取，则为的偶子集． 反之，亦然． 所以，的奇子集与偶子集是一一对应的． 所以，的奇子集与偶子集个数相等． （3）对任一，含的子集共有个，用上面的对应方法可知， 其中必有一半是奇子集，一半是偶子集， 从而对于每个数，在奇子集的和与偶子集的和中，所占的个数是一样的． 于是在计算奇子集容量之和时，元素的贡献是， 奇子集容量之和是， 根据上面所说，这也是偶子集的容量之和，两者相等， 故当时，的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和． 【点睛】方法点睛：对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 27. (24-25高一·四川成都外国语学校·月考)对，定义集合，称其为集合的“间距集”．用表示有限集合X的元素个数． (1)已知，，求满足要求的整数的值并说明理由. (2)若，写出的所有可能值，并写出每个值对应的一个集合.不需要证明. (3)若为大于等于2的正整数，求的最大值和最小值（用含的表达式给出），每个最值给出至少一个取等时的集合． 【答案】(1)，或， (2)答案见解析 (3)最大，最小 【分析】（1）根据的元素的特征结合可得，再分类讨论后可得； （2）根据可得，结合（1）的实例可得每一个对应的一个集合； （3）根据可得，最值对应的可根据指数形式或一次形式构造. 【详解】（1）由的定义可得中的元素均为正数， 而，由于、为正整数，的元素均为正整数， 最大的元素为，而，则， 由则或， 时，，此时，，满足题意； 时，，此时，，满足题意； ，或，； （2）因为，故可设，其中， 因为，故， 而中任意两个元素差的绝对值有6个，故， 若，可取； 若，可取； 若，可取；若，可取. （3）当中的差两两不同时，有最大值为， 取，下证 . 证明：取中的两个差为，其中，不妨设， 若，则有即， 若，则即，与矛盾 若，则为偶数，而均为奇数，矛盾； 综上可得当时，， 即中的任意两个差都是相异的，故. 设，则成立， 且其两两不同，于是，故的最小值为， 取，，此时. 【点睛】思路点睛：对于与集合有关的组合最值问题，首先探究一般范围，再根据集合的特征构造相应的集合从而求得最值. 28. (24-25·成都市树德中学·10月阶段测)已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合： ，． 其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和． 若对于任意的，总有，则称集合具有性质． （Ⅰ）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和． （Ⅱ）对任何具有性质的集合，证明． （Ⅲ）判断和的大小关系，并证明你的结论． 【答案】（Ⅰ）集合不具有性质，集合具有性质，相应集合，，集合，（Ⅱ）见解析（Ⅲ） 【详解】解：集合不具有性质． 集合具有性质，其相应的集合和是， ． （II）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个． 因为，所以； 又因为当时，时，，所以当时，． 从而，集合中元素的个数最多为， 即． （III）解：，证明如下： （1）对于，根据定义，，，且，从而． 如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立． 故与也是的不同元素． 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即， （2）对于，根据定义，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立， 故与也是的不同元素． 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即， 由（1）（2）可知，． 29. (24-25高一上·浙江精诚联盟·月考)对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合，定义集合.记集合的元素个数为. (1)若，求，； (2)若，且，求的最小值； (3)若，，，证明：“”的充要条件是“”. 【答案】(1)， (2)7 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题干中对集合和的定义求解即可； （2）结合题设可得，进而得到，从而求解； （3）分别从充分性和必要性两个方面证明即可. 【详解】（1）若集合，则根据定义可得： ，. （2）若，， 因为， 所以，此时只需要让其他元素相乘与之相等即可， 所以的最小值为7. （3）证明：充分性：设是公差为的等差数列， 则， 且，所以共有个不同的值，即. 必要性：由， 因为， 所以中有个不同的元素：， 任意的值都与上述某一项相等. 又，且，， 所以，即是等差数列，且公差不为0. 所以“”的充要条件是“”. 【点睛】方法点睛：集合新定义问题，主要在于理解题目中定义要求，进而根据定义求解，使用定义时需要注意使用的条件是否符合要求. 30. (24-25高一上·浙江省四校·10月)已知集合为非空数集，定义：，（实数a，b可以相同） (1)若集合，直接写出集合S、T； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)1348 【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合S，T即可; （2）根据集合相等的概念，证明即可； （3）通过假设集合，求出对应的集合S，T，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可. 【详解】（1）因为集合，，， 所以由，可得， ，可得． （2）由于集合，， 则T集合的元素在0，，，，，，中， 且，， 而，故中最大元素必在中，而为7个元素中的最大者， 故即，故， 故中的4个元素为0，，，， 且，，与，，重复， 而，故即， 而，故，故或， 若，则，，与题设矛盾； 故即. （3）设满足题意，其中， 则， ∴，，∴， ∵，由容斥原理， 中最小的元素为0，最大的元素为，， ∴，即，∴． 实际上当时满足题意， 证明如下：设，， 则，， 依题意有，即， 故m的最小值为674，于是当时，A中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1348． 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 31. (24-25高一上·江苏常州高级中学·月考)已知有限集，若中的元素满足，则称为“完美集”.例如，集合的元素满足，故为“完美集”. (1)已知是“完美集”，求的值; (2)若是“完美集”，且，求证：中至少有一个大于2； (3)试求出所有的每一个元素都为正整数的“完美集”. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用“完美集”的定义，到方程求解即可； （2）利用反证法，结合不等式的性质来进行证明即可； （3）利用分类讨论思想，把方程问题放缩转化为不等式问题进行变形讨论研究即可得解. 【详解】（1）由是“完美集”可得：，解得：； （2）由是“完美集”可得：， 等式可变形为：， 又因为，假设都不大于2，则， 根据假设有，即， 而当且仅当或 又由中元素的互异性，可知， 故，这与已知的相矛盾， 所以假设不成立，即中至少有一个大于2； （3）不妨设中的元素满足的正整数， 结合得，， 即，再由于， 所以当时，有，由于是正整数，则， 再由“完美集”定义得：，显然无解，即当时，不存在“完美集”； 当时，结合上面结论可得：，又由于是不相等正整数，则只有， 再由“完美集”定义得：，解得，即当时，仅存在一个“完美集”为； 当时，由且这些元素都是正整数又可得： ，即有， 因为，由于， 所以，即， 这与相矛盾，所以当时，不存在“完美集”； 综合上述可得：每一个元素都为正整数的“完美集”仅有一个. 【点睛】思路点睛：第二问结合反证法来进行推理证明；第三问利用分类讨论思想和正整数的特征来求解，其中会用到等式到不等式的放缩分析推理验证. 32. （24-25高一上·江苏南京一中·月考）对了给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A具有孪生性质. (1)判断集合是否具有孪生性质，请说明理由； (2)设集合且，若C具有孪生性质，求n的最小值； (3)设集合，若，求证：. 【答案】(1)不具有孪生性质，具有孪生性质； (2)675 (3)证明见解析． 【分析】（1）根据新定义直接验证； （2）求出和，由它们的交集为空集可得； （3）求出中的可能元素，根据分析元素的性质可得． 【详解】（1）由题意，，，， ,, 所以不具有孪生性质，具有孪生性质； （2）由题意，， ，则，， 又，所以的最小值是675； （3）， 则都属于集合， 又，则， 又，所以，所以， 【点睛】方法点睛：本题考查学生的创新能力，理解新定义并运用是解题关键，本题实质就是根据新定义求出两个集合和，然后由它们的交集是否为空集确定结论． 33. （24-25高一上·江苏海安高级中学·月考）已知集合A为非空数集，定义：， (1)若集合，直接写出集合S，T； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合A中元素的个数，求的最大值． 【答案】(1)，. (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题目定义，直接计算集合； （2）根据两集合相等即可找到的关系； （3）通过假设集合，其中，求出相应的，通过建立不等关系，进而求出相应的值． 【详解】（1）由题设中的定义可得：，. （2）取，则，而， 且，故，又， 而均为中元素且非零，故即， 故. （3）设，其中， 不妨设， 则， 所以， 因为， 又因为，所以， 中最小的元素为0，最大的元素为，， 所以， 实际上当时满足题意， 证明如下： 设， 则，， 依题意有，解得， 故的最小值为，于是当时，中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合中元素的个数的最大值为. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 34. （24-25·福州第一中学·10月)对于非负整数集合（非空），若对任意，或者，或者，则称为一个好集合．以下记为的元素个数． （1）给出所有的元素均小于的好集合．（给出结论即可） （2）求出所有满足的好集合．（同时说明理由） （3）若好集合满足，求证：中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍． 【答案】（1），，，．（2）；证明见解析．（3）证明见解析． 【解析】（1）根据好集合的定义列举即可得到结果； （2）设，其中，由知；由可知或，分别讨论两种情况可的结果； （3）记，则，设，由归纳推理可求得，从而得到，从而得到，可知存在元素满足题意. 【详解】（1），，，． （2）设，其中， 则由题意：，故，即， 考虑，可知：，或， 若，则考虑， ，，则， ，但此时，，不满足题意； 若，此时，满足题意， ，其中为相异正整数． （3）记，则， 首先，，设，其中， 分别考虑和其他任一元素，由题意可得：也在中， 而，， ， 对于，考虑，，其和大于，故其差， 特别的，，， 由，且，， 以此类推：， ，此时， 故中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍． 【点睛】本题考查集合中的新定义问题的求解，关键是明确已知中所给的新定义的具体要求，根据集合元素的要求进行推理说明，对于学生分析和解决问题能力、逻辑推理能力有较高的要求，属于较难题. 35. (24-25高一上·长沙市长郡中学·月考)已知集合A为非空数集.定义： (1)若集合，直接写出集合S，T； (2)若集合且．求证：； (3)若集合记为集合A中元素的个数，求的最大值. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)1350. 【分析】（1）根据新定义直接求出； （2）首先根据定义得出，然后由，得出结论，再验证也是中元素即得； （3）设满足题意，其中利用最大的和最小的构造也中至少含有的元素，以及中至多含有的元素，得，然后由利用，得，再由中最小的元素0与最大的元素得到，然后构造一个集合，由得出的范围，求得中元素个数可以为1350，从而得出结论． 【详解】（1）由已知，则，； （2）由于集合且， 所以T中也只包含四个元素，因为 即且，即， 又， 所以，从而， 此时满足题意，所以； （3）设满足题意，其中， 2， ， ∵，∴， 又中最小的元素为0，最大的元素为， 则 设，， 则， 因为，可得，即， 故m的最小值为675，于是当时，A中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350. 【点睛】方法点睛：本题考查集合的新定义，解题关键是对新定义的理解，第（3）小题较难，解题方法首先是对集合中元素进行排序，即设满足题意，其中，利用集合中的最大元素和最小元素确定的最小值，的最小值，确定的范围，然后构造出一个集合，使得能取得范围内的最大值． 36. (24-25高一上·长沙市雅礼中学·月考)已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由） (2)如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数.那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 【答案】(1)是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集” (2)证明见解析 【分析】（1）根据所给定义判断即可. （2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质的定义证明即可； 【详解】（1）因为， 对于集合，令，解得，显然，， 所以是集合的“期待子集”； 对于集合，令，则， 因为，即，故矛盾，所以不是集合的“期待子集” （2）先证明必要性： 当集合是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的，使得， 不妨设，令，，，则，即条件中的①成立； 又，所以，即条件中的②成立； 因为， 所以为偶数，即条件中的③成立； 所以集合满足条件. 再证明充分性： 当集合满足条件时，有存在，满足①，②，③为偶数， 记，，， 由③得，由①得，由②得， 所以， 因为，，，所以，，均属于， 即集合是集合的“期待子集” 【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 37. (24-25高一上·长沙市明德中学·月考)已知集合为非空数集，定义：. (1)若集合，直接写出集合， (2)若集合，且，求证：； (3)若集合，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据题目定义，直接计算集合； （2）根据两集合相等即可找到的关系； （3）通过假设集合，其中，求出相应的，通过建立不等关系，进而求出相应的值． 【详解】（1）由，根据定义：， 所以. （2）由于集合，且， 所以也只有四个元素，即， 因为，， 所以，， 所以，即. （3）设，其中， 不妨设， 则， 所以， 因为， 又因为，所以， 中最小的元素为0，最大的元素为，， 所以， 实际上当时满足题意， 证明如下： 设， 则，， 依题意有，解得， 故的最小值为，于是当时，中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合中元素的个数的最大值为. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 38. (24-25高一上·重庆巴蜀中学·月考)已知非空实数集满足：若，则；若，则. (1)若，直接写出中一定包含的元素. (2)若由三个元素组成，且所有元素之和为，求. (3)若由2027个元素组成，求的元素个数的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)674. 【分析】（1）由数集的属性求出中一定包含的元素. （2）令，求出中的3个元素，进出求出值，得数集. （3）求出数集中元素组成形式，结合元素循环的最小正周期，再分类讨论求出的元素个数的最大值. 【详解】（1）若，则，于是，，， ，， 所以数集中一定包含的元素为. （2）若，则，于是令，，， ，显然都无实数解， 因此是数集中的三个元素，由， 整理得，即，解得或或， 所以. （3）当时，，，，， 而无实数解，均无实数解， 因此数集是以形式，4个数为一组出现，组与组之间无公共元素，且， 数集是以形式，3个数为一组出现，组与组之间无公共元素，且， 于是数集的元素个数分别是以4和3为最小正周期循环，且当时，， 而4和3互素，因此数集中各组最多只能有1个公共元素， 设集合中共有个元素，满足是4的整数倍，其中有个元素在中，满足， 由同一周期内元素不相等，得这个元素在集合中归属于不同组内， 则集合中有个元素，同时在内还有个元素，并满足是3的整数倍，， 于是，显然，解得， 当时，不存在符合条件的整数，当时，，符合题意，的最大值为674； 设集合中共有个元素，满足是3的整数倍，其中有个元素在中，满足， 同理，集合中有个元素，同时在中还有个元素，满足是4的整数倍，， 于是，显然，解得， 当时，不存在符合条件的整数，当时，，符合题意，的最大值为504， 所以的元素个数的最大值为674. 【点睛】关键点点睛：解析第3问的关键是确定集合中元素的构成以及元素的个数表达式. 39. (24-24高一上·苏州中学·月考)已知集合，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性． (1)判断集合和集合是否具有“包容”性； (2)若集合具有“包容”性，求的值； (3)若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，，试确定集合C． 【答案】(1)集合不具有“包容”性，集合具有“包容”性 (2)1 (3)，，，或． 【分析】（1）根据“包容”性的定义，逐一判断即可； （2）根据“包容”性的定义，能得到，分类讨论，得出a和b的值，即可得出结果； （3）由集合C的子集有64个，推出集合C中共有6个元素，且，再由条件，推出集合中有正数也有负数，将这几个元素设出来，再通过对正数负数个数的讨论，即可求出结果. 【详解】（1）（Ⅰ）集合中的，， 所以集合不具有“包容”性． 集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合，所以集合具有“包容”性． （2）（Ⅱ）已知集合具有“包容”性，记，则， 易得，从而必有， 不妨令，则，且， 则， 且， ①当时，若，得，此时具有包容性； 若，得，舍去；若，无解； ②当时，则，由且，可知b无解， 故． 综上，． （3）（Ⅲ）因为集合C的子集有64个，所以集合C中共有6个元素，且，又，且C中既有正数也有负数， 不妨设， 其中，，， 根据题意， 且， 从而或． ①当时，， 并且由，得，由，得， 由上可得，并且， 综上可知； ②当时，同理可得． 综上，C中有6个元素，且时，符合条件的集合C有5个， 分别是，，， 或． 【点睛】关键点点睛：本题是新定义题型，对于此类问题，要先弄清楚新定义的性质，按照其要求，严格“照章办事”，逐条分析验证。此题中，确定出后，分类讨论满足定义的几种情况，就能顺利地完成. 40. （24-25高一上·湖南长沙一中·月考)非空集合，是集合的真子集，且，如果，，，使得，其中，，则称，是集合的一组有序基底集，记为．已知由正整数构成的集合，其有序基底集的个数记为． (1)时，写出所有符合条件的； (2)时，是集合的一组有序基底集，求集合中含有元素4的概率； (3)证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）用列举法即可得结论； （2）先列举出时，基底集的所有情况，再利用古典概型求概率公式即可求解； （3）类比和时，基底集的所有情况，结合题意分析即可得结论. 【详解】（1）时，有：，；，；，； ，；，；，； ，；，． （2）时，集合的有序基底集有22个，分别是： ，；，；，； ，；，；，； ，；，；，； ，；，；，； ，；，；，； ，；，；，； ，；，；，； ，． 其中符合条件的有9个，故所求概率为. （3）当，其部分有序基底集在时， 仍可作为有序基底集； 当，其有序基底集中的集合中添加元素， 可以作为时的有序基底集； 当，其有序基底集中的集合中添加元素， 可以作为时的有序基底集； 时，有序基底集还有，；，． 从而证明： 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于通过分析和时，基底集的所有情况，类比分析时，基底集的情况，得不等式结论. 41. (株洲市二中月考)已知整数，集合，对于中的任意两个元素，，定义A与B之间的距离为．若且，则称是是中的一个等距序列． (1)若，判断是否是中的一个等距序列？ (2)设A，B，C是中的等距序列，求证：为偶数； (3)设是中的等距序列，且，，．求m的最小值． 【答案】(1)不是中的一个等距序列 (2)见解析 (3)7 【分析】（1）算出与验证不相等； （2）结果为来讨论； （3）分析从变成经过变换次数的规律，根据知道每次需要变换几个对应坐标. 【详解】（1） 所以不是中的一个等距序列 （2）设 把分别称作的第一个，第二个，第三个坐标，若则中有个对应坐标不相同， 例如当时，说明中有个对应坐标不相同，其中 就是符合的一种情况. ①    当得，所以是偶数 ②    当， 则中有个对应坐标不相同，并且中有个对应坐标不相同， 所以中有或个对应坐标不相同，当有个对应坐标不相同时，即则，当有个对应坐标不相同时，，都满足为偶数. ③    当 则中有个对应坐标不相同，并且中有个对应坐标不相同， 所以中有或个对应坐标不相同，当有个对应坐标不相同时，即则，当有个对应坐标不相同时，，都满足为偶数. ④    当 则中有个对应坐标不相同，并且中有个对应坐标不相同， 所以中有个对应坐标不相同，即则，满足为偶数. 综上：A，B，C是中的等距序列，则为偶数 （3）根据第二问可得，则说明中有个对应坐标不相同 由变换到需改变5个坐标，保留1个不变，又因为从变成经过奇数次变化， 所以从变到至少经过次变换，每个坐标变换5次，故的最小值为. 42. (24-25高一下·武汉市二中·月考)给定整数，由元实数集合定义其相伴数集，如果，则称集合S为一个元规范数集，并定义S的范数为其中所有元素绝对值之和. (1)判断、哪个是规范数集，并说明理由； (2)任取一个元规范数集S，记、分别为其中最小数与最大数，求证：； (3)当遍历所有2023元规范数集时，求范数的最小值. 注：、分别表示数集中的最小数与最大数. 【答案】(1)集合A不是规范数集；集合B是规范数集； (2)证明见详解； (3). 【分析】（1）根据元规范数集的定义，只需判断集合中的元素两两相减的差的绝对值，是否都大于等于1即可； （2）利用元规范数集的定义，得到，从而分类讨论、与三种情况，结合去绝对值的方法即可证明； （3）法一：当时，证得，从而得到；当时，证得，从而得到；当时，分类讨论与两种情况，推得，由此得解； 法二：利用规范数集的性质与（2）中结论即可得解. 【详解】（1）对于集合A：因为，所以集合A不是规范数集； 对于集合B：因为， 又，，，，，， 所以B相伴数集，即，故集合B是规范数集. （2）不妨设集合S中的元素为，即， 因为S为规范数集，则，则，且，使得， 当时， 则， 当且仅当且时，等号成立； 当时， 则， 当且仅当且时，等号成立； 当时， 则， 当且仅当时，等号成立； 综上所述：. （3）法一： 不妨设， 因为S为规范数集，则，则，且，使得， 当时， 则当时，可得， 当且仅当时，等号成立， 则范数， 当且仅当时，等号成立， 又， 当且仅当时，等号成立， 故，即范数的最小值； 当时， 则当时，可得， 当且仅当时，等号成立，则， 则范数， 当且仅当时，等号成立， 又， 当且仅当时，等号成立， 故，即范数的最小值； 当，使得，且， 当，即，即时， 则当时，可得， 当且仅当时，等号成立， 则当时，可得， 当且仅当时，等号成立， 则范数 ； 对于，其开口向上，对称轴为， 所以， 所以范数的最小值为； 当，即，即时， 则当时，可得， 当且仅当时，等号成立， 则当时，可得， 当且仅当时，等号成立， 则范数 ； 对于，其开口向上，对称轴为， 所以， 所以范数； 综上所述：范数的最小值. 法二： 不妨设， 因为S为规范数集，则，则，且，使得， 所以对于，同样有，则， 由（2）的证明过程与结论可得，，当且仅当时，等号成立， 即，，……， 所以范数 ， 当且仅当时，等号成立， 所以范数的最小值. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解元规范数集的定义，得到，再将集合中的元素进行从小到大排列，利用分类与整合的思想进行讨论分析，从而得解. 43. (24-25高一上·华中师范大学第一附属中学·月考)已知集合，其中，由中元素可构成两个点集和：，，其中中有个元素，中有个元素.新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质 (1)已知集合}与集合和集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由; (2)集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ (3)试判断：集合具有性质是的什么条件并证明. 【答案】(1)集合不具有性质；集合具有性质，对应集合，； (2)2047276； (3)充分不必要条件. 【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合，. （2）利用定义，探讨出与的关系式，代入求值. （3）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合与集合个数的大小关系，推理得证. 【详解】（1）①集合，不符合定义故不具有性质； ②集合具有性质，对应集合，； ③集合不是整数集所以不具有性质. （2）由题意可知集合的元素构成有序数对，共有个， ∵，∴ 又∵时，，∴时候，， ∴集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为个， 故中元素的个数最多. 故答案为：2047276 （3）1）当集合具有性质时， ①对于，根据定义可知：，又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立，于是，中至少有一个不成立，故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即， ②对于，根据定义可知：，又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立，于是，中至少有一个不成立，故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即， 由①②可知 2）集合，则， ，满足，而集合不具有性质， 所以集合具有性质是的充分不必要条件. 44. （24-25高一上·华南师范大学附属中学·月考）已知集合A为非空数集，定义：， (1)若集合，直接写出集合无需写计算过程 (2)若集合，且，求证： (3)若集合，记为集合A中元素的个数，求的最大值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)1350 【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合S，T即可; （2）根据题意结合集合相等的概念可得，结合集合元素的互异性证明； （3）先说明，通过假设集合，求出对应的集合S，T，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可. 【详解】（1）因为，则， 所以，. （2）由于集合，，且， 可知中也只包含四个元素，即， 因为，则，可得， 即， 又因为，则， 可得， 注意到，所以. （3）设满足题意，其中， 则， 可得， 因为，则， 又因为，， 可知中最小的元素为0，最大的元素为，则， 可得，， 实际上当时满足题意， 证明如下： 设，， 则， 依题意有，即， 故的最小值为675，于是当时，A中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合中元素的个数的最大值是1350． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一上·人教A版必修第一册·【重难点突破】 培优专题1集合与常用逻辑用语压轴题型专练 模块一集合与常用逻辑用语选填压群轴 (2024-2025南京一中9月月考)设m∈N∴，m≥3，n∈N,n≥3，则满足{a1,a2,…,am}≤AU {a1,a2,…,am,b,b2,…,bn}的集合A的个数为（) A.2m B.2m-1 C.2” D.2"-1 2.(2024-2025重庆南开中学9月月考)若A、B、C为三个集合，AUB=BnC,则一定有() A.ACC B.C∈A C.A≠C D.A=0 3.(2024-2025宝安中学10月月考)（多选）已知集合M={xx=m2-n2,m,n∈Z,则() A.22∈M B.24∈M C.x=2k-l,k∈Z,x∈M D.Vx,yeM ,xyeM 4.(2024-2025南京一中9月月考)（多选）如果我们把集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的 幂集，记为P(A.用(A)表示有限集A的元素个数.则下列命题中正确的是() A.若A={1,2,3,则{1∈P(A B.存在集合A,使得nP(A=15 C.若A∩B=☑，则P(A)∩P(B)={0} D.若n(A)-n(B)=3,则n[P(A]=8×n[P(B)] 5.(2024-2025厦门第一中9月月考)对于非空正数集A={a,a2,a3,,an}n∈N,n≥2)，其所有 元素的几何平均数记为G(A),即G(A=Wa42…a,，若非空正数集B满足下列两个条件：(1) B≤A;(2)G(B)=G(A).则称B为A的一个“稳定子集”.根据以上信息，集合{1,2,4,8,16 的“稳定子集”有( ) A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 6.(24-25苏州中学月考)（多选）给定实数集A,定义集合M={m∈Ra∈A,都有m≥a,若M 是非空集合，则称集合M中最小的元素为集合A的上确界，记作suPA.以下说法正确的是() A.若数集A中有2024个元素，则数集A一定有上确界 B.若数集A中没有最大值，则数集A中一定没有上确界 1/33 2025-2026学年高一上·人教A版必修第一册·【重难点突破】 C.若数集A,B有上确界，则数集{a+ba∈A,b∈B一定也有上确界，为supA+supB D.若数集A,B有上确界，则数集{aba∈A,b∈B一定也有上确界，为sup Asup B 7.(2024-2025重庆南开中学9月月考)设集合M={1,2,3,4,5,6},S,S2,S都是M的含两个 元素的子集，且满足：对任意的S,={a,b,},S,={ab}(计j,ijel,2,3,…，k}),都有 ming,，≠min号 ai bi (mi{x,y}表示两个数x,y中的较小者)，则k的最大值是() bi a; A.10 B.11 C.12 D.13 8.(2024-2025重庆南开中学9月月考)（多选）集合S={xmx≤}，且若a∈S,则a2∈S,那 么下列说法正确的有() A.若m=1,则 B.1则-2≤m≤0 2 C.|m1,|1K1 D.若，则-1≤m≤0 9.(2024-2025重庆南开中学9月月考)已知集合A={《x,y)x2+y2≤1，x,y∈Z, B={《x,y)≤，y≤1，x,y∈Z,定义集合A⊕B={《x+x,+y2),y)eA,(x2,y2)eB}，则 A⊕B中元素的个数为 10. (2024-2025厦门第一中9月月考)已知集合A={xx2+2024x+2025=0, B={xx2+ax(x2+4ax+4)=0，记非空集合S中元素的个数为S,已知-B到=1，记实数 a的所有可能取值构成集合是T,则T= 模块二集合与常用逻辑用语确解答题次轴 11.(2425重庆南开中学月考)已知A={(x,y)y02x+k}，B={(x,y)y0x2}, C={(x,y)y02x2+(4-2k)x-k (I)若A∩B=0,求实数k的取值范围： (2)若(A∩B)c(A∩C),求实数k的取值范围 2/33 2025-2026学年高一上·人教A版必修第一册·【重难点突破】 12.(24-25深圳育才中学月考)已知集合A={xx2-4x+3≤0}，集合 B={xx2-3x+2m2+m-1≤0 (I)存在x∈R,使x-2x+2m-1=0m∈N)成立，求集合B; (②)若x∈B是x∈A的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (3)命题p:x∈A,有x2+2ax+1≥0，命题q:3x∈R,使得x2-2x-2a+1≤a2成立.若命题p为假 命题，一g为真命题，求实数a的取值范围. 13.(24-25高一上江苏南京一中月考)已知集合A={xx-1≤2， a7xe.c-yy-a-c (1)当a=-4时，求AnB; (2)若“x∈BA”是“x∈C”的必要条件，求实数a的取值范围； (3)若y∈B,y2∈C,使y,≥y2,求实数a的取值他围 参考公式：若关于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)有两根与x,x2x<x2),则关于x的不等式 ax2+bx+c≤0的解集为，x],ax2+bx+c≥0的解集为-0，x,]U[x2,+0). 3/33 2025-2026学年高一上·人教A版必修第一册·【重难点突破】 模块三集合与常用逻辑用语解答题压轴 14.(2024-2025深圳宝安中学高一上期中)已知n元有限集A={a1,a2,a3,…,an}n≥2，n∈Z),若 a,+a2+a3+…+an=a,×a2×a3×…×an,则称集合A为“n元和谐集”. (1)写出一个“二元和谐集”（无需写计算过程）： (②)若正数集A={a1,a2}是二元和谐集”，试证明：元素a,,a2中至少有一个大于2： (3)是否存在集合中元素均为正整数的三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 4/33 2025-2026学年高一上·人教A版必修第一册·【重难点突破】 15.(2024-2025广东执信中学期中)非空有限集合S由若干个正实数组成，集合S的元素个数不少于2 个.对于任意a,b∈S,a≠b,若和b8中至少有一个属于S,则称集合S是“好集”；否则， 称集合S是“坏集” 蓝4=L39和8=石是安灯集还是妖架并简单说明用： (②)题设的有限集合S中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合S是“坏集”； (3)非空有限集合S由若干个正实数组成，集合S的元素个数不少于2个.对于任意a,b∈S,a≠b, 若和b都属于S,则称集合S为“超级好集”，求出所有的“超级好集” 5/33 2025-2026学年高一上·人教A版必修第一册·【重难点突破】 16.（2024-2025福建厦门一中高一上月考)已知A是非空数集，如果对任意x,y∈A,都有 x+y∈A,y∈A,则称A是封闭集. (1)判断集合S={-1,0,1},T={xx=2k,k∈Z,是否为封闭集，并说明理由； (②)判断命题“若非空集合A,A是封闭集，则AUA,也是封闭集”的真假，并说明理由； (3)若非空集合A是封闭集合，且AR,求证：RA不是封闭集. 6/33 2025-2026学年高一上·人教A版必修第一册·【重难点突破】 17.(24-25学军中学期中)对于正整数n,如果k(k∈N个整数a1,a2,…a满足1≤a1≤a2≤…≤a≤n, 且a1+a2+…+ak=n,则称数组a1,a2,…a)为n的一个“正整数分拆”.记a1,a2,…a:均为偶数的 “正整数分拆”个数为fn,a1,02,…a均为奇数的“正整数分拆”个数为gn (1)写出整数4的所有“正整数分拆”； (②)对于给定的整数nn≥4)，设(a1,a2,…a:)是n的一个“正整数分拆”，且a1=2,求k的最大值； (3)对所有的正整数n,证明：fn≤g.;并求出使得等号成立的n的值 18.(24-25长郡中学期中)我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这 个数列的项如果一个数列的项是有限个，那么称这样的数列为有穷数列 已知有穷数列A:a1,a2,…,ann≥2).若数列A中各项都是集合{x-1日x<1}的元素，则称该数列为T 数列对于打数列A,定义如下操作过程7：从A中任取两项口，Q,将士。的值添在A的最后，然一 后删除a,a,这样得到一个n-1项的新数列A(约定：一个数也视作数列).若A还是「数列，可继 续实施操作过程T,得到的新数列记作A,·,如此经过k次操作后得到的新数列记作A, 0设r数列40好，诗写出4的所有可德的给果。 (②)求证：对于一个n项的T数列A实施操作过程T,总共可以实施n-1次； 3设r数列4：-7-1-1-1711111 137651234567,求4的可能结果，并说明理由 7/33 2025-2026学年高一上·人教A版必修第一册·【重难点突破】 19.(24-25高一上·重庆外国语附属外国语学校·月考)由有限个元素组成的集合A={a1,02,,a}, n∈N,记集合A中的元素个数为card(A),即card(A)=n.定义A+A={x+yx∈A,y∈A,集 合A+A中的元素个数记为card(A+A),当cad(A+A)=n+山时，则称集合A满足性质M 2 (1)已知A={1,2,3}，B={2,3,5,6,判断集合A,B是否满足性质M,并说明理由； (②)设集合A={a,42,a4,2023，a,<a2<a,<2023且a,eN”（i=1,2,3),若集合A满足性质M,求 a+a2+a的最大值 8/33 2025-2026学年高一上·人教A版必修第一册·【重难点突破】 20.(24-25高一上·广东潮阳实验学校·月考)已已知集合A={1,2,3,…,2n}n∈N,对于A的子 集S若存在不大于n的正整数m,使得对于S中的任意一对元素a,a2,都有a,-a2≠m,则称 S具有性质P (I)当n=10时，判断集合B={x∈Ax>9}和C={x∈Ax=3k-1,k∈N}是否具有性质P?并说明理 由； (2)若n=1000时， ①如果集合S具有性质P,那么集合D={(2001-x)川x∈S}是否一定具有性质P？并说明理由； ②如果集合S具有性质P,求集合中元素个数的最大值 9/33 2025-2026学年高一上·人教A版必修第一册·【重难点突破】 21.(24-25高一上·广东佛山石门中学月考)对于函数f(x),若fx)=x,则称实数x为f(x)的不 动点”，若f(fx)=x,则称实数x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”组成 的集合分别记为A和B,即A={xf(x)=x,B={f(f(x)=x (1)对于函数∫x=2x-1,分别求出集合A和B; (2)对于所有的函数f(x),证明：AcB; (3)设f(x)=x2+ax+b,若A={-1,3),求集合B 10/33