湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高二上学期数学周练三
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高中数学人教版新课标襄阳四中 2024级高二上学期周练三
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在锐角
中，角
，
，
所对的边为
，
，
，若
，且
，则
的取值范围是( )
A. 
B. 
C. 
D. 
A. 
B. 
C. 
D. 
A. 
B. 
C. 
D. 
A. 
B. 
C. 
D. 
A. 
B. 
C. 
D. 
A. 
B. 
C. 
D. 
A. 甲与乙相互独立 B. 乙与丙相互独立 C. 甲与丙相互独立 D. 乙与丁相互独立
8.已知复数
，
，在复平面内，复数和
所对应的两点之间的距离是( )
A. 
B. 
C. 
D. 
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在长方体
中，
，动点
在长方体的表面上运动
含边界
，且
，点的轨迹形成的封闭图形为
，则( ) 
A. 点的轨迹长度为
B. 
与所在平面所成角的正弦值为
C. 所在的平面将长方体分成的大小两部分体积比为
D. 若
与所在的平面交于点
，则
10.已知，，是一个随机试验中的三个事件，则下列结论一定正确的是( )
A. 若事件，，两两互斥，则
B. 若事件，相互独立，则
与
也相互独立
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C. 若
，
，则事件，相互独立与互斥能同时成立
D. 若，，两两独立，则
11.下列说法正确的是( )
A. 用简单随机抽样的方法从含有
个个体的总体中抽取一个容量为的样本，则个体
被抽到的概率是
；
B. 已知一组数据
，，，
，
的平均数为
，则这组数据的方差是；
C. 数据
，
，
，
，
，
，
，
的第
百分位数是；
D. 若样本数据
，
，
，
的标准差为
，则数据
，
，，
的标准差为
．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数
，若
的图象的一条对称轴是
，且在区间
上单调递增，则
的取值范围是
13.在四棱锥
中，底面是等腰梯形，
，
，
，
平面，
，点是四棱锥的外接球表面上的一点，则三棱锥
的体积的最大值为 ．
14.
不与，，，
共面，并且四点在一个平面上，
，则
的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
著名的费马问题是法国数学家皮埃尔
德费马
于
年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当
的三个内角均小于
时，则使
的点
即为费马点．已知，，分别为三内角，，的对边，
，
，点是的“费马点”．
求角；
若
，求的周长；
在的条件下，设
，若当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，
，平面
平面
，且
，
．
若平面与平面
相交于直线
，求证：
；
求与
所成的角；
求二面角
的余弦值．
17.本小题分
为弘扬中华传统文化，举行了诗词大赛，经过初赛，最终甲乙两人进行决赛，争夺冠亚军，决赛规则如下：
比赛共设有五道题；
双方轮流答题，每次回答一道，两人答题的先后顺序通过抽签决定；
若答对，自己得分；若答错，则对方得分；
先得分者获胜
已知甲、乙各参加了三场初赛，答题情况统计如下表：
| 第一场 | 第二场 | 第三场 |
甲 |
|
|
|
乙 |
|
|
|
以甲、乙初赛三场答题的平均正确率作为他们决赛答题正确的概率，且他们每次答题的结果相互独立，
若甲先答题，求甲
获得冠军的概率；
若甲先答题，求甲获得冠军的概率．
18.本小题分
从某学校
名男生中随机抽取名测量身高，被测学生身高全部介于
和
之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组
，第二组
，，第八组
，图是频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人．
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求第七组的频率，并求出样本中位数；
已知该校有
名女生，男生身高总体数据的平均数和方差分别为
和
，女生身高样本数据的平均数和方差分别为
和，估计学生身高的平均数和方差；
若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，
，事件
，求
19.本小题分
如图，在平行六面体
中，
，且，
，
的两两夹角都是
．
若
，求线段
的长度；
求直线与所成角的余弦值．
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