湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高二上学期数学周练一

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高中数学人教版新课标襄阳四中 2024级高二上学期周练一

第I卷（选择题）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设，为两事件，则表示(    )

A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 与恰有一个发生 D. 与不同时发生

2.海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则、两点的距离为(    )
 

A.  B.  C.  D.

3.九章算术将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球与内切球的表面积之比为(    )
 

A.  B.  C.  D.

4.一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为，则上下两个几何体的体积之比为(    )

A.  B.  C.  D.

5.已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.设，，表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列结论正确的是(    )

A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，，则

7.若，与夹角为，且，则

A.  B.  C.  D.

8.若复数为纯虚数，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 且

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.如图，已知棱长为的正方体，点是棱的中点，过点作正方体的截面，关于下列判断正确的是(    )
 

A. 截面的形状可能是正三角形 B. 截面的形状可能是直角梯形
C. 此截面可以将正方体体积分成 D. 若截面的形状是六边形，则其周长为定值

10.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，给出下列关于的结论中正确的是(    )

A. 它的图象关于直线对称； B. 它的最小正周期为；
C. 它的图象关于点对称； D. 它在上单调递增．

11.已知复数为虚数单位，，则下列结论中正确的是(    )

A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第四象限
C.  D. 若，则的最大值为

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知锐角的角，，所对边分别为，，，，，是三角形的外心，若，则实数的最大值为__________．

13.如图，若圆台的上、下底面半径分别为，，则此圆台的内切球与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球的表面积为__________．
 

14.在张彩票中有张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为__________．

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.本小题分

是直线外一点，点在直线上点与点，任一点均不重合，我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记若点在线段外，记在中，角，，的对边分别是，，，点在射线上

若为等边三角形，点在延长线上，满足，则点对施以视角运算，求

若，，由点对施以视角运算，，求的最小值

若，，由点对施以视角运算，，求的最大值．

16.本小题分

已知，，，，

求的值域
在中，，，分别是角，，所对的边，若，，，，求内切圆半径的值．

17.本小题分

为普及消防安全知识，某校开展了“消防知识竞赛”活动，共有名学生参加此次竞赛活动，现从参加该竞赛学生中随机抽取了名，统计他们的成绩，其中成绩不低于分的学生被评为“消防达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．

估计参加这次竞赛的学生成绩的平均数和中位数结果保留小数点后一位

若在抽取的名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于分的学生中随机抽取人，再从人中选择人作为学生代表，求被选中的人均为消防达人的概率

已知组的方差为，组的方差为，试估计参加此次竞赛的学生不低于分的成绩方差每个分组区间内平均数取区间中点，结果保留小数点后一位

18.本小题分

已知函数的部分图象如图所示．

求函数的解析式；
当时，试由实数的取值讨论函数的零点个数．

19.本小题分

如图四棱锥，底面，，，，，是的中点．

求证：平面；

求证：平面平面

答案和解析

 

1.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查事件的包含关系和运算，对立事件的定义，属于基础题．
分析事件和的意义，即可得出结果．

【解答】
解：表示事件，至少有个发生，表示事件，至少有一个不发生，
表示与恰有一个发生．
故本题选C．

2.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
则，即，
由正弦定理得，
即，解得，
在中，，，
，
则，则，
在中，由余弦定理得
，
即，
故A、两点的距离为
故选：．

3.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查了四棱锥外接球与内切球的表面积求法，先求得四棱锥外接球与内切球的半径即可求得答案，属于中档题．

【解答】
解：外接球半径为，则外接球的表面积为．
设内切球球心为，半径为，
由，
即，解得，
则内切球的表面积为．
因此外接球表面积：内切球表面积为．

4.【答案】 

【解析】解：根据题意一个圆锥被平行于底面的平面所截，
可知上、下两个几何体分别为小圆锥和圆台，
设小圆锥的高为，底面半径为，
所以母线长为，
设原圆锥的高为，底面半径为，
所以母线长为，
由小圆锥的侧面积为：，
大圆锥的侧面积为：，
上下两个几何体的侧面积之比为：，
所以，
又由相似易得：，
所以得，即，
所以小圆锥和原圆锥的体积比，
所以小圆锥和圆台的体积之比为．
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：，
等式两边平方，可得，