3.1.1 椭圆及其标准方程教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.1 椭圆及其标准方程教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

一、教材定位与单元地位 

本节隶属“圆锥曲线”单元第一课时，是解析几何由“直线—圆”走向“二次曲线”的枢纽。椭圆既承接坐标法的一般套路，又为后续抛物线、双曲线提供“定义—建系—列式—化简—识图”的完整范式，其标准方程更是高考选填与解答题的高频支点。

二、学情诊断 

1.已具备：

①平面几何中“距离和”直觉； 

②圆的标准方程推导经验； 

③去根号、配方、移项等代数操作技能。 

2.易障碍：

①“2a>2c”的几何约束与代数不等式之间的双向翻译； 

②双根号方程化简时“移项—平方—再平方”的符号细节； 

③焦点在y轴上的方程与x轴形式的对称记忆混淆。 

3.差异：

实验班约30%学生可独立完成化简，平行班仅10%，需分层铺垫。

三、核心素养目标 

1.数学抽象： 从“绳长固定”现象中抽象出“距离和为常数”的椭圆定义，并用符号语言刻画。 

2.逻辑推理：经历“建系—设点—列式—化简”完整链条，自主得出与，并说明的必然性。 

3.数学运算：掌握“和差术”“移项平方”两种去根号策略，能在分钟内完成标准方程化简。 

4.直观想象： 通过手绘、脑补、口头描述三种方式，建立“长轴—短轴—焦点”三者位置关系的心理图式。 

5.数学建模： 能将“行星轨道近似椭圆”的生活情境转化为“已知长轴与焦距求方程”的数学问题，并解释“近似”含义。

四、教学重难点 

重点： 椭圆定义中“2a>2c”的等价转化；两种标准方程的结构识别。 

难点： 双根号方程化简过程中“平方消根”与“符号保持”的同步控制。

五、教法与学法 

教师： 问题链驱动—板演示范—错误诊断—变式回扣。 

学生： 动手实验—小组争辩—板演互评—口述重构。 

时间分配： 情境3′→定义10′→方程推导18′→即时巩固6′→小结3′，合计40′。

六、教学过程

（一）情境唤醒（3′） 

教师口述：凌晨两点，国家天文台发布“紫金山—阿特拉斯”彗星进入近地点，其轨道被测得距地最近 km，最远 km，问轨道可近似为何种曲线？ 

学生齐答： 椭圆。 

教师追问： 若将地球置于焦点，如何写出这条轨道的方程？——悬念留至课尾解决。

（二）定义建构（10′） 

1.动手绘制（4′） 

教师口述步骤：两定点间距 cm，绳长 cm，笔尖套绳移动。 

四人一组完成绘制，教师巡视捕捉“绳松弛”“笔脱绳”等操作错误，即时口头纠正。 

2.特征抽取（3′） 

教师提问： 笔尖运动过程中哪个量不变？ 

学生答：到两定点距离之和恒为 cm。 

教师板书：。 

3.严谨化（3′） 

教师追问：若轨迹是什么？若能否画出？ 

学生口答： 前者线段，后者无解。 

教师板书定义：平面内到两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫作椭圆。 

同步给出焦距、半焦距、半长轴术语，为方程铺垫。

（三）标准方程推导（18′） 

1.建系策略（2′） 

教师口述：为使方程简洁，把焦点放在轴，原点取中点，得。 

学生口答： 对称美，去一次项。