精品解析：陕西省西安市西北工业大学附属中学2025-2026学年高三上学期一模数学试题

陕西省西安市西北工业大学附属中学 2025—2026高三上学期一模数学试题 一、单项选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分） 1. 若复数满足，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简z，再根据复数模长公式求复数的模. 【详解】因为. 所以. 故选：B 2. 已知，，若，则实数（ ） A. B. 3 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量减法的坐标表示求出，再利用平面向量平行的坐标表示建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，解得，故A正确. 故选：A 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解二次不等式和分式不等式，明确集合，再根据交集的概念进行计算. 【详解】由，即，解得，所以. 由，移项得，即，等价于，解得，所以. 则. 故选：A 4. 设是等差数列的前n项和，若，，则的公差（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】当为奇数时，，由此公式可得，，进而可得. 【详解】，，解得． 故选: 5. 设抛物线的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何图形，结合抛物线的定义的性质，即可判断. 【详解】依题意，，，， 又，，则为等边三角形，有， 故选：B 6. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，由三角形面积公式即可求解内切球半径，进而由球的体积公式求出答案. 【详解】由题意得，扇形的弧长， 所以该圆锥的底面圆的半径， 所以该圆锥的高． 设该圆锥内的球的最大半径为R，圆锥的轴截面如图所示： 则依题意得， 所以， 所以该球的体积V的最大值是． 故选：D 7. 已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 关于点对称 C. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于原点对称 D. 在区间上单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据辅助角公式，化简函数的解析式，根据周期求，利用代入法判断选项. 【详解】因为. 因为函数的最小正周期为，且，所以，故A错误； 因为，所以， 所以是函数的一条对称轴，不是函数的对称中心.故B错误； 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数，不是奇函数，故C错误； 当时，，因为在递增，由复合函数单调性法则知在区间上单调递增，故D正确. 故选：D 8. 已知函数，.若不等式的解集为，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据，对讨论正负，即可结合函数图象，结合不等式的求解. 【详解】， 根据选项可知：只需要考虑， 要使不等式的解集为， 当时， 故，解得， 当时，无法满足的解集为，故舍去， 故选：A 二、多项选择题（本大题包括3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量服从正态分布，且，则 B. 一组数据的第百分位数为 C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强 D. 对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据条件，利用正态分布的对称性，即可求解；对于B，根据条件直接求出第百分位数，即可求解；对于C，利用相关系的定义，即可求解；对于D，利用线性回归方程经过样本中心，即可求解. 【详解】对于A，因为，又，则，正确， 对于B，因为，所以数据的第百分位数为，错误， 对于C，因为线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强，正确， 对于D，由题知，解得，正确. 故选：ACD. 10. 已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则（ ） A. 双曲线C的渐近线方程为y＝±x B. 以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C. 点P的横坐标为±1 D. △PF1F2的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项结合渐近线的公式即可求出结果；B选项确定圆心半径即可求出结果；C选项设出点P(x0，y0)，解方程组即可求出结果；D结合三角形的面积公式即可求出结果. 【详解】等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确； 由双曲线的方程可知F1F2＝， 所以以F1F2为直径的圆,圆心为，半径为，则圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误； 点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上， 不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上， 所以由解得|x0|＝1， 则点P的横坐标为±1，故C正确； 由上述分析可得△PF1F2的面积为，故D正确． 故选：ACD. 11. 已知函数满足：对任意，且当时，.下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 当时， D. 在上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】由关系取，可求，取，可求，再求，判断A，取，可得，的关系，再将替换为，求，由此判断函数的奇偶性，判断B，将中的用替换可得，结合条件证明当时，，再结合函数的奇偶性判断C，结合单调性定义证明函数在上单调递减，再利用导数证明函数在上单调递减，判断D. 【详解】因为， 令，，可得， 所以， 令，，可得， 所以， 所以，A正确； 由， 令可得，， 再将中的替换为，可得， 所以， 所以，所以函数为奇函数，B错误； 当时，将中的用替换， 可得，即， 当时，，由已知可得， 所以，， 又函数为奇函数，所以当时，，， 所以当时，，C正确； 因为， 所以若，则， 任取，且， 则， 因为，所以，，, 所以，所以， 所以函数在上单调递减， 设， 当时，， 因为，所以， 因为函数在上单调递减，所以， 所以， 所以在上单调递减. 故选：ACD. 三、填空题（本大题包括3小题，共15分） 12. 的展开式中的常数项为______. 【答案】240 【解析】 【分析】 利用二项展开式的通项公式可得 【详解】利用二项展开式的通项公式可得， 当， 展开式中的常数项为， 故答案为：. 【点睛】本题考查二项式定理求展开式的常数项，考查运算求解能力. 13. 电视台有6个不同的节目准备当天播出，每半天播出3个节目，其中某电视剧和某专题报道必须在上午播出，则不同播出方案的种数为（用数字作答）_____ 【答案】144 【解析】 【分析】先把某电视剧和某专题报道排在上午，再结合全排列计算即可. 【详解】因为上午要播出某电视剧和某专题报道，所以有种排法， 其他4个节目有种排法 根据分步乘法计数原理， 不同播出方案的种数为. 故答案为：144 14. 设函数，若恒成立，则的最小值为_____. 【答案】2 【解析】 【分析】分，，，可得，从而有，令，利用导数求解即可. 【详解】要使恒成立，需分情况讨论： 当，即时，， 即对恒成立，所以. 当，即，时，，恒成立； 当，即，时，， 即对恒成立， 所以， 综上，，则. 令， 对求导，. 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在时取得最小值，， 即的最小值为2. 故答案为：2. 四、解答题（本大题包括5小题，共77分） 15. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若，点到直线的距离为，求的周长. 【答案】（1） （2）14. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解. （2）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理及三角形面积公式列式求解. 【小问1详解】 在中，，， 则，而，， 解得，则，所以. 【小问2详解】 由正弦定理得，不妨设，则， 由余弦定理得，解得， 由，得，解得， 所以，即的周长为14. 16. 如图，在三棱锥中，，为的中点，平面平面． （1）证明：； （2）若，，，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为为的中点，，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 因为为的中点，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质，可证平面，再由线面垂直的性质，可证，根据三线合一可知为等腰三角形，即可证明； （2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用向量法即可求出平面与平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点垂直平面为轴，建立空间直角坐标系， 则，，， 取的中点，连接．因为，所以． 由（1）平面，平面，所以平面平面． 因为平面平面，平面，， 所以平面，所以， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 所以，即，可取． 同理，可得平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为，则 ， 所以平面与平面的夹角为. 17. 已知椭圆，F为E的右焦点，P为E上的动点，当直线PF与x轴垂直时，，R是直线上一动点，的最小值为1． （1）求E的方程： （2）过R作E的两条切线分别交x轴于M，N两点，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题干所给信息及，可求椭圆方程. （2）设出直线RM，RN的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理、弦长公式及三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 设点， 当直线PF与x轴垂直时，点，则 因为的最小值为，所以， 又由， 可解得， 故E的方程为． 【小问2详解】 如图， 设点，注意到RM，RN斜率不为0， 设， 联立，得， 因为RM与E相切，所以， 于是， 化简得， 又RN与E相切，同理有， 故m，n是一元二次方程的两根， 则， 所以， 又，所以， 所以面积的取值范围为． 18. 已知函数，为的导函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的两个极值点分别为和，且. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i） （ii）由（i）可知，且 时，， 又，所以， 令， 单调递增， 且，所以时，时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以， 即 ， 又因为，所以， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义结合题意求解即可； （2）（i）由题意得是方程的两个正根，进一步转化为与有两个不同的交点，然后利用导数求出的单调区间和极值分析求解即可；（ii）由（i）可知，由 得，则可得，令，利用导数求出其单调区间和最值，从而可证得结论. 【小问1详解】 当时，， 则，， 求导得，则， 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 （i），且定义域. 因为若 有两个极值点，所以是方程的两个正根， 即 令，则， 所以，当时，；当时，， 因此，当时，单调递减；当时，单调递增， 所以当时，有最小值， 当时，， 又因为当时，，当时，， 所以当时， ，当时，， 所以当时，的图象与直线有两个不同的交点， 所以实数的取值范围为. （ii）略 19. 甲参加了一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题（难度系数较低的类问题以及难度系数较高的类问题）供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题．甲遇到每类问题的概率均为，甲遇到类问题时回答正确的概率为，回答正确记1分，否则记0分；甲遇到类问题时回答正确的概率为，回答正确记2分，否则记0分，总得分记为X分，甲回答每个问题相互独立． （1）当进行完2轮游戏时，求甲的总分X的分布列与数学期望． （2）设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为n分的概率为． （ⅰ）证明：为等比数列． （ⅱ）求的最大值以及对应n的值． 【答案】（1）分布列： X 0 1 2 3 4 P 数学期望为1 （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）当时，取到最大值为 【解析】 【分析】（1）由已知可得X的可能取值，分别求解概率即可得分布列和期望； （2）（ⅰ）根据等比数列的定义证明即可；由（ⅰ）可证为等比数列，可得，结合不等式的性质和函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 X可以取0，1，2，3，4， 每次回答A类问题且回答正确的概率为， 回答A类问题且回答不正确的概率为， 每次回答B类问题且回答正确的概率为， 回答B类问题且回答不正确的概率为， ， ， ， ；， X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P ； 【小问2详解】 （ⅰ），， 由题意得甲累计得分为n分的前一轮得分只能为分或分， 故当时，， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （ⅱ）根据（ⅰ）可知，①， 易得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以②， 令②－①可得， 所以， 经检验，时均满足上式，故， 所以， 而显然随着n的增大而减小， 故， 又因为，所以当时，取到最大值为. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是深入理解游戏得分的规则，找出累计得分分与分，分之间的概率递推关系，从而得到与，的关系式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省西安市西北工业大学附属中学 2025—2026高三上学期一模数学试题 一、单项选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分） 1. 若复数满足，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 已知，，若，则实数（ ） A. B. 3 C. 6 D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设是等差数列的前n项和，若，，则的公差（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 设抛物线的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 6. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（ ）． A. B. C. D. 7. 已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 关于点对称 C. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于原点对称 D. 在区间上单调递增 8. 已知函数，.若不等式的解集为，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、多项选择题（本大题包括3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量服从正态分布，且，则 B. 一组数据的第百分位数为 C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强 D. 对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 10. 已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则（ ） A. 双曲线C的渐近线方程为y＝±x B. 以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C. 点P的横坐标为±1 D. △PF1F2的面积为 11. 已知函数满足：对任意，且当时，.下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 当时， D. 在上单调递减 三、填空题（本大题包括3小题，共15分） 12. 的展开式中的常数项为______. 13. 电视台有6个不同的节目准备当天播出，每半天播出3个节目，其中某电视剧和某专题报道必须在上午播出，则不同播出方案的种数为（用数字作答）_____ 14. 设函数，若恒成立，则的最小值为_____. 四、解答题（本大题包括5小题，共77分） 15. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若，点到直线的距离为，求的周长. 16. 如图，在三棱锥中，，为的中点，平面平面． （1）证明：； （2）若，，，求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 已知椭圆，F为E的右焦点，P为E上的动点，当直线PF与x轴垂直时，，R是直线上一动点，的最小值为1． （1）求E的方程： （2）过R作E的两条切线分别交x轴于M，N两点，求面积的取值范围． 18. 已知函数，为的导函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的两个极值点分别为和，且. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 19. 甲参加了一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题（难度系数较低的类问题以及难度系数较高的类问题）供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题．甲遇到每类问题的概率均为，甲遇到类问题时回答正确的概率为，回答正确记1分，否则记0分；甲遇到类问题时回答正确的概率为，回答正确记2分，否则记0分，总得分记为X分，甲回答每个问题相互独立． （1）当进行完2轮游戏时，求甲的总分X的分布列与数学期望． （2）设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为n分的概率为． （ⅰ）证明：为等比数列． （ⅱ）求的最大值以及对应n的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $