利用导数研究函数的图像与性质、恒成立问题、能成立问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

函数与导数：利用导数研究函数的图像与性质、恒成立问题、能成立问题专项训练 函数与导数：利用导数研究函数的图像与性质、恒成立问题、能成立问题专项训练 考点目录 利用导数研究函数的图像与性质 利用导数研究函数的恒成立问题 利用导数研究函数的能成立问题 考点一 利用导数研究函数的图像与性质 1．（25-26高三上·广西南宁·开学考试·多选）设函数，则（   ） A．是的极小值点 B．图象的对称中心是 C．当时， D．当时， 【答案】AD 【详解】由，所以. 由或；由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以是的极小值点，故A正确； 因为时，，且函数在上单调递增，所以，故C错误； 当时，，设，则在上单调递增，在上单调递减， 又，，，所以. 即当时，，故D正确； 因为，，所以函数的图象不关于原点对称，故B错误. 故选：AD 2．（25-26高三上·辽宁·开学考试·多选）已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．存在最小值 C．直线是曲线的一条切线 D．有4个单调区间 【答案】BCD 【详解】因为函数的定义域为，故， 故且，所以为非奇非偶函数；故A错误； 因为 ， 令，可得或. 当时，,单调递减; 当时，, 单调递增; 当时，,单调递减; 当时，, 单调递增; 故有4个单调区间，且存在最小值，故选项正确； 当时，,且， 故函数在处的切线方程为； 即直线是曲线的一条切线，故； 故选：. 3．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习·多选）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（    ） A．当时， B．在区间上单调递减 C．当且仅当 D．轴是曲线的一条切线 【答案】AD 【详解】    A选项：由已知函数为上的奇函数，且当时，， 所以当时，，则， 所以，A选项正确； B选项：易知函数， 当时，，则， 设，则， 可知当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 则当时，，单调递减，当时，，单调递增， 结合奇函数性质可知，函数在和上单调递减，在和上单调递增，B选项错误； C选项：由函数单调性与奇偶性可知，当时，，当时，， 所以当时，，C选项错误； D选项：由函数单调性与奇偶性可知函数图像如图所示， 可知当时，函数取得极值，此时切线方程为，即为轴，D选项正确； 故选：AD. 4．（25-26高三上·广西·开学考试·多选）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（    ） A． B．在和上单调递增 C．当时， D．有2个极小值点 【答案】BD 【详解】是定义在上的偶函数，所以， 又当时，， 所以当时，， 当时，， 所以，C错误， 因为当，， 所以当，，故，A错误， 因为当时，， 令可得，或（舍去） 当时，，函数在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 又是定义在上的偶函数， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在和上单调递增，B正确， 因为函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以当时，是的极小值点，因为是偶函数，所以也是的极小值点，故有2个极小值点，D正确. 故选：BD. 5．（24-25高三下·云南昭通·期中·多选）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（　　） A．函数的极大值点为2 B．函数有2个零点 C．函数在点处的切线方程为 D．函数的值域为 【答案】AD 【详解】对于，当时，，令，得．当时，在单调递增；当时，在单调递 减，所以的极大值点为2，故对； 对于时，令，解得，由是定义在上的奇函数，所以时，．又，故函数有3个零点，故不对； 对于，对，求导得，所以，故所求切线为，即，所以不对； 对于，当时，，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，且当时，时，，所以．由是定义在上的奇函数，故当时，，故的值域为，所以对， 故选; 6．（2025·辽宁大连·一模·多选）记的导函数，下列说法正确的是（   ） A．在上一定有3个极值点 B．在上一定有4个零点 C．过上一点作切线，若存在三个点的切线斜率相同，则k的取值范围为 D．记，则一定是偶函数 【答案】ACD 【详解】由题意，，设，. 对于A，由 ， 令，得或， 令，得或 所以函数在和上单调递减， 在和上单调递增， 则在上有3个极值点，故A正确； 对于B，当时，， 由A知，函数在和上单调递减， 在和上单调递增， 又，，，， 结合单调性及零点存在性定理，可知在上有2个零点，故B错误； 对于C，由题意，有三个不同实根， 设，，则， 令，得或，令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则，解得， 即k的取值范围为，故C正确； 对于D，由， 可设，， 则， 则为偶函数，故D正确. 故选：ACD. 7．（25-26高三上·海南海口·开学考试·多选）已知函数，为的导数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，恒成立 B．当时，在区间单调递减 C．当时，在区间上存在唯一极小值点 D．当时，有2个零点 【答案】BC 【详解】当时，若，则有，此时∴A错误． 当时，，令， 当时，，，在上递减．∴B正确． 当时，，令， 则，令，则， 当时，，递增，又，所以在上存在唯一的零点， 则当递减，当递增， 是在区间上的唯一极小值点，∴C正确． 当时，，定义域为，，恒成立 在定义域内为增函数， 不可能有2个零点. 故选： 8．（25-26高三上·黑龙江·开学考试·多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的单调递增区间为 B．有3个零点 C．若关于的方程有四个不同实根，则 D．若，恒成立，则 【答案】ACD 【详解】当时，，此时在上单调递增， 当时，，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以的单调递增区间为，故A正确； 当时令，得， 当时，令，得，所以函数有2个零点，故B错误； 因为，即， 所以或， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数有最大值， 当时，，所以的图象如图所示，    由图可知有一个根， 若满足关于的方程有四个不同实根， 则有三个不同实根，所以，故C正确； 若，恒成立，则， 令，，所以， 由，得（舍）或， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时，有最大值为，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 9．（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试·多选）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（    ） A．当时， B．在区间上单调递减 C．当且仅当时， D．在区间上单调递减 【答案】ABC 【详解】已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ； 设 ，则 ，可得， 所以，故选项A正确； 当 时， ； 令 ，即 ，解得 或 （舍去）； 当 时， ，所以 在 上单调递减； 当 时， ， 令 ，即 ，解得 或 （舍去）； 当 时， ，所以 在 上单调递增； 当 时， ，所以 在 上单调递减； 又因为 是定义在 上的奇函数， ， 所以 在区间 上单调递减，故选项 B正确. 当 时，令 ，即 。 将 变形为 ， 因为 恒成立， 所以 等价于 ，解得 ， 当 时，由选项B可知 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， ， 所以 在 时无解； 因此，当且仅当 时， ，故选项 C正确. 令 ，由选项B可知 在区间 上单调递减， ，，即 . 又因为 在 上也单调递减， 根据复合函数＂同增异减＂的原则，可知 在区间 上单调递增，故选项D错误. 故选:ABC. 10．（25-26高三上·河南·开学考试·多选）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B． C．当时，单调递增 D．轴是曲线的一条切线 【答案】AD 【详解】由题意知函数是定义域为的奇函数，当时，， 故当时，，则，A正确； 由于函数是定义域为的奇函数，故； 而，故，B错误； 当时，，则， 令，则， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故， 故当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，C错误； 由C的分析可知，在时取得极小值， 结合函数为奇函数可知在时取得极大值， 作出图象如图， 由此可知轴是曲线的一条切线，D正确， 故选：AD 考点二 利用导数研究函数的恒成立问题 1．（25-26高三上·广东惠州·阶段练习）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的定义域为R，且， 故，所以为R上的奇函数， 又， 当且仅当，即时，等号成立，恰好此时， 故，故在R上单调递增， ， 故，即， 由于，故， 则的取值范围是. 故选：A 2．（25-26高三上·重庆南岸·阶段练习）已知，有，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，有， 所以，有， 令，所以，有， 令，求导得， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，即a的取值范围是. 故选：D. 3．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知当时，恒成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则对任意恒成立， 设，则，且， 设，则， 所以在上是减函数，在上是增函数， 所以， 所以的最小值为，即的最小值为， 所以. 故选：D． 4．（25-26高三上·吉林延边·开学考试）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 令，则， 易得， 设，则，分离参数可得 令， ， 易得函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 5．（25-26高三上·重庆九龙坡·开学考试）已知函数，，若恒成立，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为函数的定义域为，因， 所以考虑，，三个因式的正负号的问题，下面分三种情况： ①当时，因，所以，，而时，，所以不满足； ②当时，因，当时，，，，所以也不满足； ③当时，因，所以，要使，必须. 而函数及在上都是单调递增的， 要使在上恒成立，必须两个函数值的正负号在完全相同， 所以两个函数的零点也相同，即且. 综上①②③得，当，且时，恒成立. 所以，.令，，则，得， 当时，当时，所以是函数极小值点也是最小值点， 所以，得. 故的最小值为. 故答案为：. 6．（2025·黑龙江大庆·一模）对于任意的，不等式恒成立，则实数 . 【答案】 【详解】设，显然在上单调递增， 注意到， 于是； 设， 要使得对于任意的恒成立， 需满足，且； 由，即，即， 整理得， 设，， 则，单调递增，，单调递减， 故，即，于是无解， 只可能，解得； 下面检验，且； 由于，即检验，且； ，， ， 设，， 则，单调递增，，单调递减， 故，此时， 结合即得证. 故答案为： 7．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知，函数，若恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，所以不等式可化为， 当时，，所以， 由已知在上恒成立， 所以，其中， 设，， 则， 若，则，函数在上单调递增， 所以，满足条件， 若，令，可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，，与条件矛盾， 所以， 当时，，所以， 由已知在上恒成立， 所以，其中， 设，， 则， 若，则，函数在上单调递减， 又当，且时，， 所以当时，在上恒成立， 当时， ，， 与条件在上恒成立矛盾， 所以， 所以， 所以的取值范围是， 故答案为： 8．（25-26高三上·天津南开·开学考试）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意得，当 ，不等式在上恒成立， 当，不等式在上恒成立， 所以不等式在上恒成立， 令，则不等式在上恒成立， 因为，所以在上递增， 所以在上恒成立，显然，不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 当时，；当时，， 当时，，所以，则， 所以 故答案为： 9．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数（）. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）当时，，则且， 由，得或；，得； 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. （2）由题知，令，则， 因当时，恒成立，且， 则必有，即， 另一方面，时，， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则，满足题设， 综上，a的取值范围为. 10．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）因为，所以， 所以函数在点处的切线方程为，即， 因为在点处的切线与曲线也相切， 设切线与曲线的切点为， 所以，① 因为，所以，②， 联立①②解得； （2）因为，所以恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，由题意可知，故， 故的最小值为1. 11．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数． (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若，证明：当时，在区间上恒成立． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故，即， 所以的最小值为． （2）的定义域为， 设为图象上任意一点，故， 而， 所以，所以的图象为中心对称图形，且对称中心为． （3）若，，原命题等价于证明在区间上恒成立， 设，则需满足在区间上恒成立， 设，则， 因为，所以，，若，则， 故恒成立，故在区间上为增函数， 故，即在区间上恒成立． 12．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知． (1)讨论的单调性； (2)若在有两个零点，求的取值范围； (3)若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【详解】（1）∵，∴， 当时，恒成立，在上递减， 当时，令得，，∴在上递减， 令得，，∴在上递增． （2）由（1）可知时，不合题意； 时，在上递减，在上递增， 若在有两个零点，则定有，解得， 此时，所以在上一定有一个零点， 当时，在上一定有一个零点， 综上：． （3）由，得， 故在上恒成立， 设， 则， 设，则， 当时，单调递增； ∴在上单调递增. 所以在上，，且， 当，即时，在上单调递减， 则，不符合题意，舍去， 当，即时， （i）若，即， ，使得，当时，，在内单调递减， ，不符合题意，舍去， （ii）若，即恒成立， 在上单调递增，则，符合题意， 综上，实数的取值范围为． 13．（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试）已知函数，为的导函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1)在单调递减； (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由题，， 令， 则对，， 所以在单调递减，即在单调递减. （2）令， 则对，， 所以在单调递减， 所以，即， 因为，所以， 即得证. （3）令，则， 若，则. 因为，由（1）在单调递减， 可知在单调递减，所以， 若，因为，时，， 所以，. 所以当时，，单调递增， 所以，矛盾； 若，则由在单调递减，可得， 所以在单调递减，，满足条件. 综上，的取值范围是. 14．（25-26高三上·河南商丘·开学考试）已知定义域为的函数的导函数，且曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)当时，讨论的单调性； (3)若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递增 (3) 【详解】（1）由题意知， 且曲线在点处的切线方程为， 所以，即，解得． （2）由（1）知，，则当时，． 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，且， 所以时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减． 所以，所以在上单调递增． （3）由曲线在点处的切线方程为，得， 又，所以． 当时，，则恒成立，所以． 当时，由，得． 令，则． 令，则， 再令，则， 令，则． ①当时，，故在上单调递减， 又，所以，故在上单调递减， 因为，， 所以存在，使得， 于是在上单调递增，在上单调递减． 由于，，于是时，，此时， 所以在上单调递增，在上的最大值为． ②当时，令， 则， 所以在上单调递增，此时， 故当时，， 由①②知在上的最大值为， 所以，即a的取值范围是． 15．（25-26高三上·浙江·阶段练习）已知函数. (1)若函数的最大值为0，求的取值范围； (2)证明：当时，有； (3)若对任意，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）， 注意到，而函数的最大值为0，因此，所以， 另一方面，当时，，故在上单调递减， 则，满足题意， 综上所述，的取值范围为. （2）由（1）得当时函数在单调递减， 又，因此，即成立. （3）因， 则， 当时，，则， 令，则， 因在上恒成立，且，则，即， 下面证明时成立： 由（2）得，下面证明， 即证明， 令，则，因此单调递增， 则即成立； 综上所述，实数的取值范围为. 16．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知函数 (1)讨论的单调性，并求相应极值. (2)若，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) 答案见解析 (2) 【详解】（1）函数的定义域为， 对求导得 当时，，即在上恒成立， 所以在上单调递增； 当时，令，即， 解得（舍去，因为） 当时，即，所以在上单调递减， 当时，即，所以在上单调递增， 所以在处取得极小值， 极小值为，无极大值， 综上，当时，在上单调递增，无极值， 当时，在上单调递减，在上单调递增，极小值为，无极大值. （2）由（1）可知，当时，在处取得极小值，也是最小值， 即， 因为关于的不等式恒成立， 所以，即， 化简得，即， 令， 对求导得， 令，即，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 易知，所以，当时，， 即当时，. 又因为，所以原不等式即为，根据单调性解得，， 因此，实数的取值范围为. 考点三 利用导数研究函数的能成立问题 1．（24-25高二下·江西九江·期末）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数t的最小值是（    ） A． B．2π C．-1 D．1 【答案】A 【详解】由，得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 故当时，， 而存在实数，使得成立，故， 即实数t的最小值是， 故选：A 2．（25-26高三上·山东·开学考试）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，当时，，且， 令，则的图象是一条过定点的直线， 当时，不符合题意； 则，如图，当的图象经过时， 直线的斜率分别为， 不等式只有1个整数解，    由图可知. 故选：. 3．（24-25高二下·河北·期末）已知函数，若不等式的整数解有且仅有两个，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得：，令，则， 令，则在R上恒成立， 所以在R上单调递增，由，， 所以，使得， 当时，，即，所以单调递减， 当时，，即，所以单调递增， 所以，如图所示，因为不等式的整数解有且仅有两个，    即的整数解有且仅有两个，，，， 所以有：，解得．故B正确. 故选：B． 4．（25-26高三上·四川成都·开学考试）设函数，若存在唯一整数使，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令 因为存在唯一整数使，即，则必为正整数， 所以的图象在的图象下方的部分有且只有一个横坐标为整数的点， 当与相切时，设切点， 由于，故切线斜率， 切线方程为：， 代入得，解得，此时，切点为， 当继续增大时，则，解得, 故选：C. 5．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知函数，，若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为对任意的，总存在，使得， 所以，， 令，得或（舍去）. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故； ，则，因为， 所以在上恒成立， 则在上单调递减，， 所以，故. 故答案为： 6．（2025高三下·甘肃白银·学业考试）已知函数，若存在，使得成立，则m的取值范围为 . 【答案】 【详解】由可得，下对的范围分情况讨论： （1）当，，即，不成立； （2）当，由可得， 设，则， 则在上单调递增，显然， 即时，， 于是，由于在时有解， 则，即； （3）当，由可得， 设，则， ，， 则在上递减，在上递增， 又， 而时单调递减，但注意到， 于是在上的值域为， 于是，由于在时有解， 则，即. 综上所述，. 故答案为： 7．（25-26高三上·河北保定·开学考试）已知是定义域为的奇函数，的导函数为，且当时，恒成立.若关于的方程有解，则正实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意知，当时，恒成立，即与同号， 当时，可得，所以在上单调递增； 当时，可得，所以在上单调递减， 因为是定义域为的奇函数， 根据奇函数的性质，可得函数在关于原点对称的区间上单调性相同， 即在和的单调性相同，即要么递增，要么递减； 又因为， 由，可得，而， 要使方程有解，则， 令，则， 所以正实数的取值范围为. 故答案为：. 8．（24-25高二下·江西·期末）若关于的方程在区间上有解，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由，可得， 设，则，令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，所以在区间上单调递增， 又由可化为，所以， 设，则， 当时，单调递增；当时，单调递减， 又因为时，，所以， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 9．（24-25高二下·四川广元·期末）已知函数． (1)求函数的图象在处的切线方程； (2)若在上有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），，， 所以函数的图象在处的切线方程为. （2）由（1）知， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 又在上有解，所以. 10．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数，且在处取得极值． (1)求m的值及的单调区间； (2)若存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【详解】（1）由题设，且，即， 所以，当时，当时， 所以的递减区间为，递增区间为，即处取得极小值，满足， 综上，，的递减区间为，递增区间为； （2）由题设，即在上能成立， 令，则， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 由时，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，则. 11．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若，使成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)详见解析 (3)或. 【详解】（1）当时，，对求导得. 则， 又，所以切点为，     所以切线方程为，即. （2）对求导得. 当时，，所以在上单调递减. 当时，令，即，，，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）在有解，即当时，， 当时，由（2）知函数在上的最大值在端点处取得. 此时，， 所以或，得或 ， 又，所以舍去，所以. 当时，函数在上单调递减，那么最大值在处取得. 此时， 所以，得. 综合两种情况，可得的取值范围为或. 12．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知函数，其中． (1)求在处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)极大值，极小值0 (3) 【详解】（1）， ， ，且， 在处的切线方程为：. （2）令，得或， 当和时，，则函数单调递增； 当时，，则函数单调递减， 为函数的极大值点，极大值为； 为函数的极小值点，极小值为. （3）根据题意关于的不等式在上有解， 即在上有解， 设，，，， 由于，在上单调递增，， 在上单调递减，， 则，解得， 实数的取值范围为. 13．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知函数，其中． (1)若函数有处取得极大值0，求的值； (2)函数． （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合； （ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ii） 【详解】（1），得， 由题设知，解得， 此时 当时，为增函数； 当时，为减函数； 所以函数在处取得极大值，满足题意， 故． （2）（i）函数． 由，得， 设点和点，不妨设， 则曲线在点处的切线方程为， 即； 同理曲线在点处的切线方程为； 假设与重合，则， 化简得， 两式消去，得，则， 令，， 由，所以在上单调递增， 所以，即无解，所以与不重合， 即对于曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合． （ⅱ）当时，先解决对于恒成立， 令，则在上恒成立， 由，解得． 下面证明当时，在上恒成立． 则当时，， 令，则， 则当时，由， 则，则在上单调递增，所以； 当时，令， 则，则在上单调递增， 所以，所以在上单调递减， 所以成立， 所以对于，不等式恒成立， 实数的取值范围为． 所以，使得成立，的取值范围为． 14．（24-25高三上·福建三明·阶段练习）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)判断是否存在，使得的最小值为，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）由 得，. 设，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，即， 若，则，，在上单调递增， 若，则当时，单调递减， 当时，单调递增. 综上，当时在上单调递增；当时在（0，a）上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，当时在上单调递减，在上单调递增， 所以. 假设存在满足条件的，则，即 又，所以，所以， 设，则， 因为， 所以在上单调递减，所以， 设，则，所以在上单调递增， 所以，故，与矛盾， 所以不存在，使得的最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数与导数：利用导数研究函数的图像与性质、恒成立问题、能成立问题专项训练 函数与导数：利用导数研究函数的图像与性质、恒成立问题、能成立问题专项训练 考点目录 利用导数研究函数的图像与性质 利用导数研究函数的恒成立问题 利用导数研究函数的能成立问题 考点一 利用导数研究函数的图像与性质 1．（25-26高三上·广西南宁·开学考试·多选）设函数，则（   ） A．是的极小值点 B．图象的对称中心是 C．当时， D．当时， 2．（25-26高三上·辽宁·开学考试·多选）已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．存在最小值 C．直线是曲线的一条切线 D．有4个单调区间 3．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习·多选）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（    ） A．当时， B．在区间上单调递减 C．当且仅当 D．轴是曲线的一条切线 4．（25-26高三上·广西·开学考试·多选）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（    ） A． B．在和上单调递增 C．当时， D．有2个极小值点 5．（24-25高三下·云南昭通·期中·多选）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（　　） A．函数的极大值点为2 B．函数有2个零点 C．函数在点处的切线方程为 D．函数的值域为 6．（2025·辽宁大连·一模·多选）记的导函数，下列说法正确的是（   ） A．在上一定有3个极值点 B．在上一定有4个零点 C．过上一点作切线，若存在三个点的切线斜率相同，则k的取值范围为 D．记，则一定是偶函数 7．（25-26高三上·海南海口·开学考试·多选）已知函数，为的导数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，恒成立 B．当时，在区间单调递减 C．当时，在区间上存在唯一极小值点 D．当时，有2个零点 8．（25-26高三上·黑龙江·开学考试·多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的单调递增区间为 B．有3个零点 C．若关于的方程有四个不同实根，则 D．若，恒成立，则 9．（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试·多选）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（    ） A．当时， B．在区间上单调递减 C．当且仅当时， D．在区间上单调递减 10．（25-26高三上·河南·开学考试·多选）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B． C．当时，单调递增 D．轴是曲线的一条切线 考点二 利用导数研究函数的恒成立问题 1．（25-26高三上·广东惠州·阶段练习）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·重庆南岸·阶段练习）已知，有，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知当时，恒成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·吉林延边·开学考试）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·重庆九龙坡·开学考试）已知函数，，若恒成立，则的最小值为 ． 6．（2025·黑龙江大庆·一模）对于任意的，不等式恒成立，则实数 . 7．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知，函数，若恒成立，则的取值范围是 . 8．（25-26高三上·天津南开·开学考试）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 9．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数（）. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求a的取值范围. 10．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值； (2)若，求的最小值. 11．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数． (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若，证明：当时，在区间上恒成立． 12．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知． (1)讨论的单调性； (2)若在有两个零点，求的取值范围； (3)若在上恒成立，求的取值范围． 13．（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试）已知函数，为的导函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：； (3)若，求的取值范围. 14．（25-26高三上·河南商丘·开学考试）已知定义域为的函数的导函数，且曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)当时，讨论的单调性； (3)若在上恒成立，求的取值范围． 15．（25-26高三上·浙江·阶段练习）已知函数. (1)若函数的最大值为0，求的取值范围； (2)证明：当时，有； (3)若对任意，都有成立，求实数的取值范围. 16．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知函数 (1)讨论的单调性，并求相应极值. (2)若，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围. 考点三 利用导数研究函数的能成立问题 1．（24-25高二下·江西九江·期末）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数t的最小值是（    ） A． B．2π C．-1 D．1 2．（25-26高三上·山东·开学考试）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河北·期末）已知函数，若不等式的整数解有且仅有两个，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·四川成都·开学考试）设函数，若存在唯一整数使，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知函数，，若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是 . 6．（2025高三下·甘肃白银·学业考试）已知函数，若存在，使得成立，则m的取值范围为 . 7．（25-26高三上·河北保定·开学考试）已知是定义域为的奇函数，的导函数为，且当时，恒成立.若关于的方程有解，则正实数的取值范围为 . 8．（24-25高二下·江西·期末）若关于的方程在区间上有解，则的取值范围是 ． 9．（24-25高二下·四川广元·期末）已知函数． (1)求函数的图象在处的切线方程； (2)若在上有解，求的取值范围． 10．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数，且在处取得极值． (1)求m的值及的单调区间； (2)若存在，使得，求实数a的取值范围． 11．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若，使成立，求的取值范围． 12．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知函数，其中． (1)求在处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 13．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知函数，其中． (1)若函数有处取得极大值0，求的值； (2)函数． （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合； （ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围． 14．（24-25高三上·福建三明·阶段练习）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)判断是否存在，使得的最小值为，并说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $