2.4有理数的加减法　讲义　2025－2026学年苏科版(2024)数学七年级上册

本讲义聚焦有理数的加法与减法，以数轴直观演示为起点，层层递进地构建从具体情境到抽象法则的认知路径，通过正负数运算规律、符号确定步骤及运算律应用形成完整学习支架。 资料融合数学眼光、思维与语言三大核心素养，突出“数形结合”与“转化思想”，如用数轴理解加法本质，借《九章算术》古文激发文化认同，强化符号意识与逻辑推理能力。课中辅助教师精准讲解，课后助力学生查漏补缺，尤其在例题解析与拓展训练中体现分层设计，满足不同学情需求，提升课堂效率与自主学习品质。

有理数的加法与减法 “正负数曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之．其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之．” ——《九章算术》 同号两位相减时，括号前为被减数的符号，括号内被减数的绝对值减去减数的绝对值，括号内为被减数的绝对值加上减数的绝对值。 【知识点一】有理数的加法 一、有理数的加法法则 例1、把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左移动5个单位长度，再向右移动3个单位长度，这时笔尖停在“－2”的位置上，请用数轴和算式分别表示以上过程及结果． （-5）+（+3）=-2 结论：一个数加上正数，和比这个数大 例2、把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向右移动3个单位长度再向左移动2个单位长度，这时笔尖停在“1”的位置上. 请用数轴和算式分别表示以上过程及结果． （+3）+（-2）=1 结论：一个数加上负数，和比这个数小 例3、把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左移动3个单位长度，再向左移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数，请用数轴和算式分别表示以上过程及结果 ． （-2）+（-3）=-5 结论：一个负数加上一个负数，和还是一个负数 总结： 异号相加：当两个加数绝对值不等时，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同，和的绝对值等于加数中较大的绝对值减去较小的绝对值． 当两个加数绝对值相等时，两个加数互为相反数，和为零 （-5）+（+3）=-2 （+3）+（-2）=+1 （+4）+（-4）=0 同号相加： 取相同的符号，并把绝对值相加； （-3）+（-2）=-5 （+3）+（+3）=+6 与0相加：一个数同零相加，仍得这个数． （-5）+0=-5 法则： （1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和； （2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 符号 数值 正数+正数 正 绝对值相加 负数+负数 负 绝对值相加 正数+负数 取绝大 绝大减绝小 注意： 1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；对绝对值进行加减计算，从而确定和的绝对值。 2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则. 有理数加法法则 加 法 法 则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数（即绝对值相等的两个数）相加得 0。 （3）一个数与0相加，仍得这个数。 重 要 提 示 （1）根据有理数的加法法则，两数相加的一般步骤如下： ①观察两个加数的符号；②确定和的符号；③绝对值的加减计算。 可概括为一观察、二定符号、三求和。 （2）有理数加法算式的书写格式：当加数是负数时，要把这个加数括起来。 知 识 拓 展 判断相反数可依据“互为相反数的两个数相加得0”。用字母可表示为“若、互为相反数，则；反之,若，则、互为相反数”。 练习： 1、计算 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 2、计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 二、有理数的加法运算律 有理数的加法运算律 交换律 两数相加，交换加数的位置，和不变。 结合律 三个数相加，先把前面两个数相加，或者先把后面两个数相加，和不变。 常用技巧 (1)有理数的加法运算律不但适用于两个数或三个数相加，而且适用于多个有理数相加。 (2)在运用加法交换律交换加数的位置时，各加数连同其符号一起交换。 在运算时，一定要根据需要灵活运用以下规律，以达到简化运算的目的： ①互为相反数的两个数可先相加——相反数结合法。 ②同分母的分数可先相加——同分母结合法。 ③几个数相加得整数时，可先相加——凑整法。 ④符号相同的数可先相加——同号结合法。 ⑤带分数可拆成整数和真分数两部分再相加——同形结合法。 例4、给下面的计算过程标明理由 加法交换律 加法结合律 有理数加法法则 有理数加法法则 例5、（1） （2） 解原式=-（13+27）+58 解原式=-（1.8+2.5）+[（-5.6）+5.6] =-40+58 =-4.3 =18 例6、相反数结合法：思路解析：如果加数中有两个数互为相反数（或几个数的和为0），可以先结合这两个（或几个）数，再进行运算。 解原式=6+（-6）+ + +（ ）+（ ） = 练习： 3、计算：（-15.53）+（-4.15）+（+15.2）+（+4.15） 例7、同号结合法： 在有理数加法运算中，可以先将所有的正数结合在一起，所有的负数结合在一起，再计算。 例8、同分母结合法：在式子中，若同分母的分数相加后能化为整数，可以先将同分母的分数相结合，再运算。 例9、凑整法:计算带有小数或分数的加法时，可以先将和为整数的加数相结合，再进行计算。 例10、拆项结合法：带分数相加时，可以拆成整数和真分数，再运算。 总结：用运算律进行简便运算的技巧： （1）同号结合法：同号的几个数先相加； （2）同分母结合法：同分母的分数先相加； （3）凑整法：能凑成整数的数先相加； （4）相反数结合法：互为相反数的数先相加； （5）拆项结合法：带分数可拆成整数和真分数来相加； （6）同形结合法：既有整数又有分数时，可相同形式的数相加。 练习： 4、同号两数相加，取（ ）的符号，并把（ ）相加。 5、异号两数相加，绝对值相等时，和为（ ）；绝对值不等时，取（ ）的符号，并用较大的绝对值（ ）较小的绝对值。 6、一个数与（ ）相加，仍得这个数。 7、 －的绝对值的相反数与3的相反数的和为（ ）。 8、已知两个数是16和-20，这两个数的和的绝对值是（ ），绝对值的和是（ ）。 9、计算 （1） （+5）+（+7）=（ ）； （-3）+（-8）=（ ）； （+5）+（-2）=（ ）； （-）+（+6）=（ ）； 0+（-16）=（ ）； （+）+（-）=（ ）。 （+12）+（+3） =（ ）； （+7.5）+（+ ）（ ）； （-11）+（-9）= （ ）； 15+（-6）=（ ）； （-4）+（-3）= （ ）； （+53）+（-18）=（ ）； -5+3= （ ）； + （-）=（ ）； （2） 简便计算： （+4.56）+（-3.45）+（4.44）+（+2.45） 【知识点二】有理数的减法 一、有理数的减法法则 例11、如果某天最高气温是5度,最低气温是零下3度（记为-3度)，那么这天的日温差是多少？ 由上向下看，从5 度到-3度，温度下降了 5+3=8（度） 由下向上看，因为（-3）+8 = 5 ， 减法是加法的逆运算，所以5- （-3）=8 (度) 5-（-3）=8 5+（+3）=8 减号变成加号 -3变成它的相反数3 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 5 - (-3) = ? 结论： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 注意:减法在运算时有 2 个要素需发生变化。 减 —— 加 数——相反数 计算： 解：原式 1：减号变加号，减数变相反 2：按照加法的运算步骤计算 1）有理数减法是有理数加法的逆运算，做减法运算时常用转化的思想，把减法转化成加法再计算。 2）式子a-b=a+（-b）中，a，b表示任意有理数。 3）0减去任何数得这个数的相反数， 如0-2=0+（-2）=-2； 0-（-2）=0+（+2）=2。 有理数加减法混合运算技巧 （1）把算式中的减法转化为加法； （2）去括号时注意符号，能省掉的“”号要省掉； （3）多观察，巧妙利用运算律简便计算． 有理数的减法 法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即。 减号变加号 减号变加号 6-（-2）=6+（+2）=8， （-2）-3=（-2）+（-3）=15 减数变为相反数 减数变为相反数 重要提示 有理数的减法在转化为加法之前，被减数与减数的位置不能改变，因为对减法来说，没有交换律。 知 识 拓 展 (1)若＞，则-＞0，即较大的数-较小的数=正数； (2)若＜，则-＜0，即较小的数-较大的数=负数； (3)若=，则-=0，即相等的两个数的差为0。 练习： 10、直接写出结果 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） [来源:学#科#网 二、省略加号的和的形式 省略加号的和的形式 省略加号 在把有理数加减混合运算统一为加法运算的算式中，有理数前面的加号可以省略不写。 例如：可以写成 例12、写成省略加号的和的形式. 解原式= + 练习： 11、写成省略加号的和的形式 （1） （2） ． （3） （4） （5） 三、有理数的加减混合运算：从左到右依次运算，有括号的先算括号。 有理数的加减混合运算的步骤 方法 根据有理数的减法法则,将减法转化成加法,加减混合运算也就转化成了加法运算。 知 识 点 睛 （1） 运用有理数的减法法则将有理数加减混合运算中的减法转化成加法，进而运用有理数加法法则进行计算； （2） 可运用有理数的加法运算律简化运算； （3） 利用有理数的运算律简化运算时，应注意交换加数的位置要连同相应加数前的符号一起交换。 知 识 拓 展 （1）在运算中注意运算顺序：一般按从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里的，多重括号，应先算小括号，再算中括号，最后算大括号； （2）将有理数减法运算转化为有理数加法运算时，要注意运算符号与数的符号同时改变，忽略其一就会在解题时出现错误。 例13、计算： 解原式= + （ + ） =-1+9 =8 练习： 12、（1） （2） （3） （4） 四、有理数加减法的拓展题型 1、有理数加减法的概念判断 例14、概念判断： （1）两个有理数的和一定大于其中的一个加数. （ × ） （2）绝对值相等的两个数的和为. （ × ） （3）两个有理数的和的符号， 是较大加数的符号. （ × ） （4）若两个有理数的和为负数，则这两个数中至少有一个是负数. （ √ ） （5）如果某数比大，则这个数的绝对值是. （ √ ） 例15、下面两个结论： 甲：两数之和为负，至少有一个加数为负；乙：两数之和至少大于其中一个加数．其中说法正确的是（　A　） ．甲、乙均正确 ．甲正确，乙错误 ．甲错误，乙正确 ．甲、乙均错误 练习： 13、下面说法中正确的有（　　 ） （1）一个数与它的绝对值的和一定不是负数． （2）一个数减去它的相反数，它们的差是原数的倍． （3）零减去一个数一定是负数． （4）正数减负数一定是负数． （5）数轴上原点两侧的数互为相反数． ．个 ．个 ．个 ．个 2、有理数加减法的规律运算 例16、观察下面一组等式： ，； ， ； ， ； … 解决下列问题： （1）化简； （2）化简的结果是 　 　； （3）求的值． 解：（1）原式=3 （2）π-3.14 （3）原式= 例17、阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 上面这种方法叫拆项法，类比上面的方法计算： 14、 解原式 15、 解原式 三、有理数加减法的实际应用 例18、如表为本周内某农产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况（上周末该农产品的批发价格为元/斤）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与前一天的价格涨跌情况（元） 注：正号表示价格比前一天上涨，负号表示价格比前一天下跌． （1）本周哪天该农产品的批发价格最高，批发价格是多少元/斤？本周哪天该农产品的批发价格最低，批发价格是多少元/斤？ （2）与上周末相比，本周末该农产品的批发价格是上升了还是下降了？变化了多少？ 解：（1）星期一的价格：2.7+0.2=2.9元 星期二的价格：2.9-0.3=2.6元 星期三的价格：2.6+0.5=3.1元 星期四的价格：3.1+0.2=3.3元 星期五的价格：3.3-0.3=3元 星期六的价格：3+0.4=3.4元 星期日的价格：3.4-0.1=3.3元 故本周星期六，该农产品的批发价格最高，批发价格是3.4元；本周星期二，该农产品的批发价格最低，批发价格是2.6元． （2）由（1）可知，星期日的价格为3.3元，3.3＞2.7，3.3-2.7=0.6（元)， 答：与上周末相比，本周末该农产品的批发价格是上升了，上升了0.6元． 练习： 16、一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过个停靠站，最后到达终点站．下表记录了这辆公共汽车全程载客变化情况，其中正数表示上车人数． 停靠 站 起点站 中间 第1站 中间 第2站 中间 第3站 中间 第4站 中间 第5站 中间 第6站 终点 站 上下车 人数 （1）中间第4站上车人数是　 　人，下车人数是　 　人； （2）中间的6个站中，第　 　站没有人上车，第　 　站没有人下车； （3）中间第2站开车时车上人数是　 　人，第5站停车时车上人数是　 　人； （4）从表中你还能知道什么信息？ 【拓展】 1．如图，步骤①的运算依据是 　　． 2．把统一为加法运算，正确的是　　 A． B． C． D． 3．把写成省略括号的和的形式是　　 A． B． C． D． 4．小明在计算时，不小心把一个运算符号写错了 “”错写成“”或“”错写成“” ，结果算成了，则原式从左往右数，第 　　 个运算符号写错了． 5．计算的结果是　　． 6．计算：的结果是（ ） A．0 B． C． D．51 7．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，灰色为负），图1表示的是的计算过程，则图2表示的计算过程是　　 A． B． C． D． 8．在探究“有理数加法法则”的过程中，我们只要通过对几类算式的运算进行归纳总结，就可以得出该法则． （1）下列给出的算式中：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧．你认为可以帮助探究有理数加法法则的算式组合是　　． ．①②③④⑤⑧ ．②③⑤⑥⑦⑧ ．①③④⑤⑥⑧ ．①②④⑤⑦⑧ （2）当时，若有，请说明、需要满足的条件． 9．若，，且，则的值是　　 A． B． C．1或 D．或 10． 尝试 （1）比较大小：（用“”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ”填空） ①　　；②　　；③　　；④　　． 归纳 （2）观察上面的数量关系，可以得到：　　．（用“”、“ ”、“ ”、“ ”“ 填空） 应用 （3）利用上面得到的结论解决下面问题： 若，，则　　． 拓展 （4）当、、满足什么条件时，（直接写出结果，不需过程）． 11．请你将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数填入下面的幻方中，每个小方格中填一个数，并且使所有横、竖、斜对角的所有3个数的和都相同． 12. 规定：把四个有理数分成两组，每组两个，假设分为一组，分为另一组，则．在数轴上原点右侧从左到右取两个有理数，再取这两个数的相反数，对于这样的四个数，其所有的和为（　 　） A． B. C． D． 13. 设表示不超过的最大整数，例如： . （1）填空：　 　； 　 　． （2）令，求（说明：此式第一，三项表示所定义的运算）． 学科网（北京）股份有限公司 $