第04章 三角函数高考培优训练-2026届高三数学一轮复习

4.1　任意角和弧度制与三角函数的概念 【1】(多选题)[2024·安徽淮北模拟] 角α=45°+k·180°(k∈Z)的终边可能落在 (　 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【2】已知角α以x轴正半轴为始边,终边经过点P,则3π+α是 (　 ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【3】已知某扇形的圆心角为α(α>0),半径为R,面积为S,周长为L. ①若S=4cm2,则扇形圆心角α为多少弧度时,L最小?并求出L的最小值. ②若L=10 cm,则扇形圆心角α为多少弧度时,S最大?并求出S的最大值. 【4】[2024·内蒙古呼和浩特期末] 如图,在平面直角坐标系中,,,,分别是单位圆上的四段弧(不含与坐标轴的交点),点P在其中一段上,角α以Ox为始边,OP为终边,若tan α<sin α<cos α,则点P所在的圆弧是(　 ) A. B. C. D. 【5】已知某圆锥的高为2，其侧面展开图为半圆，则该圆锥底面圆的半径为 . 【6】已知角α的终边经过点(4,m)(m≠0),且sin α=,则m= (　 ) A.3 B.±3 C.5 D.±5 【7】若角的顶点是坐标原点，始边与轴非负半轴重合，点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 4.2　同角三角函数的基本关系与诱导公式 【1】若tan α=-,cos α<0,则sin α= (　 ) A. B.- C. D.- 【2】[2024·湖北武汉模拟] 已知α∈,8sin α=3cos2α,则tan α=　　　　.  【3】(多选题)已知sin α-cos α=,0≤α≤π,则下列结论中正确的有 (　 ) A.sin α·cos α= B.sin α+cos α= C.tan α+= D.sin α= 【5】已知sin=-,则cos= (　 ) A. B. C.- D.- 【6】已知cos=,则2sin+cos= (　 ) A.-2 B.2 C.- D. 【7】[2024·黑龙江齐齐哈尔期末] 若α∈(0,π),且2sin α-cos α=1,则= (　 ) A. B. C.- D.- 【8】已知角α的终边过点(sin 5,cos 5),且α∈[0,2π),则角α的弧度数是　　　　.  【9】已知关于x的方程25x2-ax+12=0的两实根为sin θ和cos θ,其中θ∈. (1)求a的值; (2)求+的值; (3)求sin 3θ-cos 3θ的值. 【高考1】（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【高考2】（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【高考3】（2020·山东·高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【高考4】（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ． 【高考5】（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 【高考6】（2023·全国乙卷·高考真题）若，则 ． 4.3　两角和、差及倍角公式 【1】若=,则cos α+sin α= (　 ) A. B. C. D. 【2】(多选题)[2024·浙江宁波期末] 下列式子化简正确的是 (　 ) A.sin 8°sin 52°-sin 82°cos 52°= B.cos 15°-sin 15°= C.sin 15°sin 30°sin 75°= D.= 【3】已知α∈,若cos=,则sin α= (　 ) A. B. C. D. 【4】已知cos=,sin=-,α∈,β∈,则cos(α+β)= (　 ) A.- B. C.- D. 【5】若α,β均为锐角,且α+β=,则tan α+tan β的最小值为 　　　　.  【6】已知sin α+cos α=,0<α<π,则cos= (　 ) A. B. C. D. 【7】[2025·江苏南京期末] 已知0<α<,0<β<,且sin(2α+β)=4sin β, tan 2α=,则tan(α+β)的值为 (　 ) A. B. C. D. 4.4　简单的三角恒等变换 【1】已知cos=,则cos x+cos= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.- B.± C.-1 D.1 【2】已知α为钝角,sin α+sin2β=sin2+sin2,则α= (　 ) A. B. C. D. 【3】= (　 ) A. B. C.1 D. 【4】[2024·石家庄质检] 已知cos αsin=1,则tan(β-α)= (　 ) A. B. C.1 D. 【5】(多选题)下列等式成立的是 (　 ) A.cos 3x=4cos3x-3cos x B.sin 3x=3sin x-4sin3x C.sin 18°= D.cos 18°= 【6】若cos=,则sin=(　 ) A.- B.- C. D. 【7】[2024·重庆荣昌区期末] 计算:tan 10°+2sin 10°=(　 ) A. B. C.2 D.1 【8】[2024·江苏盐城期末] 已知tan α=-,tan β=2,且α,β∈(0,π),则α+β的值为 (　 ) A. B. C. D. 【9】[2024·湖南衡阳一模] 已知α,β∈,sin(α+β)=,tan α=4tan β,则α-β= (　 ) A. B. C. D. 【10】[2024·浙江绍兴期末] 已知cos=,<α<,则cos 2α= (　 ) A.- B. C.- D. 【11】已知cos α=-,sin β=-,α∈,β∈,则α-β= (　 ) A. B. C. D.或 【12】[2025·广东深圳模拟] 计算:cos 72°cos(-36°)=　　　　.  【变式】求值： ． 【13】[2024·江苏南京期末] 已知0<α<,0<β<,且sin(2α+β)=4sin β,10tan=,则α+β的值为 (　 ) A. B. C. D. 【14】已知函数的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数在处取得最小值，则 . 【变式2】设，若恒成立，则（   ） A． B． C． D． 【14】若 则（    ） A． B． C． D． 【变式】函数在区间的零点个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【15】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式】若，则（    ） A． B． C． D．1 【高考1】1．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 【高考2】（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【高考3】（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【高考4】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【高考5】（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【高考6】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 【高考7】（2025·全国一卷·高考真题）（多选）已知的面积为，若，则（   ） A． B． C． D． 【高考8】（2022·浙江·高考真题）若，则 ， ． 4.5三角函数的图象与性质 【1】函数f(x)=3tan,x∈的值域为 (　 ) A. B. C.[,3] D. 【2】函数f(x)=cos 2x-4sin x-1的值域是 (　 ) A.(-∞,2] B.[-2,2] C.[0,2] D.[-6,2] 【3】 函数f(x)=sin x-cos x+sin 2x在区间上的取值范围是　　　　.  【4】已知常数ω>0,函数f(x)=sin ωx在区间上单调,则ω不可能等于(　 ) A. B.2 C. D. 【5】(多选题)关于函数f(x)=sin,下列说法错误的有 (　 ) A.函数f(x)的最小正周期为π B.f(x)的解析式可写成f(x)=cos C.函数f(x)在上单调递增 D.f(x)的图象关于直线x=-对称 【6】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)在上单调,且f=f=-f,则ω的取值不可能为(　 ) A. B. C. D. 【7】为了得到函数y=cos的图象,只需将正弦函数y=sin x图象上各点(　 ) A.向右平移-个单位长度 B.向左平移-个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 【8】将函数f(x)=cos(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到偶函数g(x)的图象,则ω的最小值是　　　　. 【9】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,将函数f(x)图象上所有点向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的解析式为 (　 ) A.g(x)=sin 2x B.g(x)=sin C.g(x)=2sin 2x D.g(x)=2sin 【10】已知函数f(x)=cos2ωx+sin 2ωx-(ω>0)在区间[0,π)内有最大值,但无最小值,则ω的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 【11】若存在x0∈,使函数f(x)=sin(ω∈N*)的图象关于A(x0,0)对称,则ω的最小值为(　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 【12】函数f(x)=sin(ω>0)在上存在零点,且在上单调,则ω的取值范围为 (　 ) A. B. C. D. 【13】已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,直线x=为f(x)图象的对称轴,且f(x)在上有且仅有1个零点,则ω的最大值为 (　 ) A.11 B.9 C.7 D.5 【14】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),若f(0)=,f=-f,则ω的最小值为 (　 ) A.3 B.1 C. D. 【15】已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【16】已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【17】函数在上的零点从小到大依次为，则的值为 . 【高考1】（2023·全国甲卷·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【高考2】（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 【高考3】（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【高考4】（2025·全国一卷·高考真题）若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【高考5】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【高考6】（2023·上海·高考真题）已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【高考真题7】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    【高考8】（2023·北京·高考真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【高考真题9】（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 4.6 解三角形 【1】在中，、、分别三个内角、、的对边，，，若该三角形有两个解，则边的长的取值范围为 . 【2】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法中正确的是 (　 ) A.若A>B,则sin A>sin B B.若=,则△ABC为等腰直角三角形 C.A=,a=,b=4,则此三角形只有一个解 D.若tan A+tan B+tan C<0,则△ABC为钝角三角形 【3】在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积,a=2,且2S=a2-(b-c)2,则△ABC的周长的取值范围是 (　 ) A.(4,6] B.(4,2+2] C.(6,2+2] D.(4,+2] 【4】(多选题)在△ABC中,AB=2,AC=3,∠BAC=60°,则 (　 ) A.△ABC的周长是5+ B.BC边上的中线长为 C.∠BAC的角平分线长为 D.BC边上的高为 【高考真题1】（2023·北京·高考真题）在△ABC中，，则（    ） A． B． C． D． 【高考真题2】（2023·全国乙卷·高考真题）在△ABC中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【高考真题3】（2024·全国甲卷·高考真题）在△ABC中,内角所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【高考真题4】（2025·全国二卷·高考真题）在△ABC中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【高考真题5】（2023·全国甲卷·高考真题）记△ABC的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 【高考真题6】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求△ABC的周长． 【高考真题7】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【高考真题8】（2025·天津·高考真题）在△ABC中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 【高考真题9】（2023·全国乙卷·高考真题）在△ABC中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1　任意角和弧度制与三角函数的概念 【1】(多选题)[2024·安徽淮北模拟] 角α=45°+k·180°(k∈Z)的终边可能落在 (　 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：当k=2m+1(m∈Z)时,α=2m×180°+225°=m×360°+225°,故α为第三象限角;当k=2m(m∈Z)时,α=m×360°+45°,故α为第一象限角.综上可知,角α的终边落在第一或第三象限.故选AC. 【2】已知角α以x轴正半轴为始边,终边经过点P,则3π+α是 (　 ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析：sin=,cos=-,即P,故点P在第四象限,即角α的终边在第四象限,3π+α的终边与π+α的终边相同,那么3π+α的终边在第二象限,即3π+α是第二象限角.故选B. 【3】已知某扇形的圆心角为α(α>0),半径为R,面积为S,周长为L. ①若S=4cm2,则扇形圆心角α为多少弧度时,L最小?并求出L的最小值. ②若L=10 cm,则扇形圆心角α为多少弧度时,S最大?并求出S的最大值. 解析：:①∵S=αR2=4,∴α=,且R>0,则L=2R+αR=2R+·R=2R+. 由基本不等式可得2R+≥2=8,当且仅当2R=,即R=2时等号成立,此时α==2. ∴当α=2 rad时,L最小,最小值为8 cm. ②∵L=2R+αR=10,α>0,∴α=,且0<R<5,则S=αR2=··R2=-R2+5R=-+. 则当R= cm,即α=2 rad时,S最大,最大值为 cm2. 【4】[2024·内蒙古呼和浩特期末] 如图,在平面直角坐标系中,,,,分别是单位圆上的四段弧(不含与坐标轴的交点),点P在其中一段上,角α以Ox为始边,OP为终边,若tan α<sin α<cos α,则点P所在的圆弧是(　 ) A. B. C. D. 解析： 依题意,设点P的坐标为(x,y),所以由三角函数的定义可得sin α=y,cos α=x,tan α=,又 tan α<sin α<cos α,所以<y<x.对于A,在第一象限,且0<x<y,不满足题意,故A错误;对于B,C,,在第三象限,且y<0,x<0,则>0,不满足题意,故B,C错误;对于D,在第四象限,且y<0<x<1,则y-=>0,所以<y<0<x,满足题意,故D正确.故选D. 【5】已知某圆锥的高为2，其侧面展开图为半圆，则该圆锥底面圆的半径为 . 解析：设圆锥底面的半径为，则母线①. 根据题意，底面圆的周长等于侧面展开图半圆的弧长， 即，所以②. 联立①②方程可求得，解得.故答案为：. 【6】已知角α的终边经过点(4,m)(m≠0),且sin α=,则m= (　 ) A.3 B.±3 C.5 D.±5 解析：因为角α的终边经过点(4,m)(m≠0),且sin α=,所以sin α==,解得m=±3,故选B. 【7】若角的顶点是坐标原点，始边与轴非负半轴重合，点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 解析：设，，，则，所以，， 故．故选：B. 4.2　同角三角函数的基本关系与诱导公式 【1】若tan α=-,cos α<0,则sin α= (　 ) A. B.- C. D.- 解析：因为tan α==-,所以sin α=-cos α,又因为sin 2α+cos2α=1,所以cos2α+cos2α=cos2α=1,即cos2α=,因为cos α<0,所以cos α=-,所以sin α=-cos α=.故选C. 【2】[2024·湖北武汉模拟] 已知α∈,8sin α=3cos2α,则tan α=　　　　.  解析：由8sin α=3cos2α,得8sin α=3-3sin 2α,解得sin α=或sin α=-3(舍).又因为α∈, 所以cos α=-=-,所以tan α==-. 【3】(多选题)已知sin α-cos α=,0≤α≤π,则下列结论中正确的有 (　 ) A.sin α·cos α= B.sin α+cos α= C.tan α+= D.sin α= 解析：由sin α-cos α=,得(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=,所以sin αcos α=,故选项A正确;因为 sin αcos α=,α∈[0,π],所以sin α>0,cos α>0,又因为(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=,所以sin α+cos α=,故选项B正确;tan α+=+==,故选项C错误;由sin α-cos α=,sin α+cos α=,得sin α=,故选项D错误.故选AB. 【5】已知sin=-,则cos= (　 ) A. B. C.- D.- 解析：因为sin=-,所以cos=-cos=-cos=-sin=.故选A. 【6】已知cos=,则2sin+cos= (　 ) A.-2 B.2 C.- D. 解析： 令m=θ-,则θ=m+,cos m=,从而2sin+cos=2sin+ cos=2sin+cos(m+3π)=-3cos m=-2.故选A. 【7】[2024·黑龙江齐齐哈尔期末] 若α∈(0,π),且2sin α-cos α=1,则= (　 ) A. B. C.- D.- 解析：由2sin α-cos α=1,且sin2α+cos 2α=1,解得或又α∈(0,π),所以 所以tan α=,所以===.故选A. 【8】已知角α的终边过点(sin 5,cos 5),且α∈[0,2π),则角α的弧度数是　　　　.  解析：因为角α的终边过点(sin 5,cos 5),且<5<2π,所以sin 5<0,cos 5>0,所以角α为第二象限角,因为α∈[0,2π),所以α∈,所以cos α==sin 5=cos=cos,又<-5<π,所以α=-5. 【9】已知关于x的方程25x2-ax+12=0的两实根为sin θ和cos θ,其中θ∈. (1)求a的值; (2)求+的值; (3)求sin 3θ-cos 3θ的值. 解析：(1)由θ∈,得sin θ>0,且sin θ≠cos θ, ∵方程25x2-ax+12=0的两实根为sin θ和cos θ, ∴sin θ+cos θ=,sin θcos θ=>0,Δ=a2-4×25×12>0, 于是cos θ>0,>0,a2>1200,即a>20. 对sin θ+cos θ=左右两边同时平方,得1+=,可得a=35. (2)原式=+=+==sin θ+cos θ,∵sin θ+cos θ==,∴原式=. (3)方法一:由θ∈,得sin θ-cos θ>0. 由sin θcos θ=,可得sin θ-cos θ==. 因此sin 3θ-cos 3θ=(sin θ-cos θ)(sin 2θ+sin θcos θ+cos 2θ)=×=. 方法二:原方程即为25x2-35x+12=0,解得x1=,x2=, 由θ∈,得sin θ>cos θ,于是cos θ=,sin θ=,因此sin 3θ-cos 3θ=-=. 【高考1】（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【详解】当时，例如但， 即推不出； 当时，， 即能推出. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件.故选：B 【高考2】（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】因为可得：当时，，充分性成立； 当时，，必要性不成立； 所以当，是的充分不必要条件.故选：A. 【高考3】（2020·山东·高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【详解】结合图像易知，，，则角是第四象限角， 故选：D. 【高考4】（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ． 【详解】因为，， 所以的终边关于轴对称，且不与轴重合， 故且，即， 故取可满足题设要求； 故答案为：；（答案不唯一） 【高考5】（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 【详解】由题意，从而， 因为，所以的取值范围是，的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为. 故答案为：. 【高考6】（2023·全国乙卷·高考真题）若，则 ． 【详解】因为，则，又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以.故答案为：. 4.3　两角和、差及倍角公式 【1】若=,则cos α+sin α= (　 ) A. B. C. D. 解析：由题得====,所以sin α+cos α=.故选A. 【2】(多选题)[2024·浙江宁波期末] 下列式子化简正确的是 (　 ) A.sin 8°sin 52°-sin 82°cos 52°= B.cos 15°-sin 15°= C.sin 15°sin 30°sin 75°= D.= 解析：对于选项A,sin 8°sin 52°-sin 82°cos 52°=sin 8°sin 52°-cos 8°cos 52°=-cos(52°+8°)=-cos 60°=-,故选项A错误;对于选项B,cos 15°-sin 15°=2=2(sin 60°cos 15°-cos 60°sin 15°)=2sin(60°-15°)=2sin 45°=,故选项B正确;对于选项C,sin 15°sin 30°sin 75°=sin 15°sin 30°cos 15°=sin 230°=,故选项C正确;对于选项D,==tan 30°=,故选项D错误.故选BC. 【3】已知α∈,若cos=,则sin α= (　 ) A. B. C. D. 解析：因为α∈,所以α-∈,又因为cos=<cos=,所以α-∈,所以sin=-,则sin α=sin=sincos+cossin=-×+×=.故选B. 【4】已知cos=,sin=-,α∈,β∈,则cos(α+β)= (　 ) A.- B. C.- D. 解析：∵α∈,β∈,∴-<-α<0,<+β<,又cos=,sin=-,∴sin=-,cos=-,cos(α+β)=-cos(π+α+β)=-cos=-coscos-sinsin=-×-×=-.故选A. 【5】若α,β均为锐角,且α+β=,则tan α+tan β的最小值为 　　　　.  解析：∵α,β均为锐角,且α+β=,∴0<α<,0<β<,∴0<tan α<1,0<tan β<1,则tan(α+β)==1,∴1-tan αtan β=tan α+tan β,∴(1+tan α)(1+tan β)=1+tan αtan β+tan α+tan β=2.∵(1+tan α)(1+tan β)≤,即2≤,当且仅当1+tan α=1+tan β,即tan α=tan β时取等号,∴(2+tan α+tan β)2≥8,又2+tan α+tan β>0,∴2+tan α+tan β≥2,∴tan α+tan β≥2-2,即tan α+tan β的最小值为2-2. 【6】已知sin α+cos α=,0<α<π,则cos= (　 ) A. B. C. D. 解析：因为sin α+cos α=,所以(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+sin 2α=,所以sin 2α=-.因为α∈(0,π),sin 2α<0,所以2α∈(π,2π),α∈,所以cos α<sin α.因为sin22α+cos 22α=1,cos 2α=(cos α-sin α)(cos α+sin α)<0,所以cos 2α=-,所以cos=cos 2α×-sin 2α×=-×+×=.故选D. 【7】[2025·江苏南京期末] 已知0<α<,0<β<,且sin(2α+β)=4sin β, tan 2α=,则tan(α+β)的值为 (　 ) A. B. C. D. 解析：由(1+cos 2α)(1+sin β)=sin 2αcos β,得2cos 2α(1+sin β)=2sin αcos αcos β,又α∈,所以cos α≠0,所以cos α(1+sin β)=sin αcos β,所以cos α=sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β).因为α∈,β∈,所以tan α>0,cos α=sin(α-β)>0,则α-β+α=2α-β=,即β=2α-,所以2tan α-tan β=2tan α-tan=2tan α-=2tan α-=2tan α+=2tan α+==≥×2=,当且仅当tan α=,即α=,β=-时等号成立.故2tan α-tan β的最小值为. 4.4　简单的三角恒等变换 【1】已知cos=,则cos x+cos= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.- B.± C.-1 D.1 解析： cos x+cos=cos x+cos x+sin x=cos=×=1,故选D. 【2】已知α为钝角,sin α+sin2β=sin2+sin2,则α= (　 ) A. B. C. D. 解析：因为sinα+sin2β=sin2+sin2=+ =+=sin2β+cos2β=sin2β+,所以sin α=,又α为钝角,所以α=. 故选D. 【3】= (　 ) A. B. C.1 D. 解析：因为sin 50°=cos 40°,1+tan 10°===,1-cos 20°=2sin210°, 所以=== ==.故选D. 【4】[2024·石家庄质检] 已知cos αsin=1,则tan(β-α)= (　 ) A. B. C.1 D. 解析：因为==2sin=1,且cos αsin=1,所以cos αsin=1,又 -1≤cos α≤1,-1≤sin≤1,所以cos α=1,sin=1或cos α=-1,sin=-1.若cos α=1,sin=1,则α=2k1π,β=+2k2π,k1,k2∈Z,可得β-α=-2k1π=+2(k2-k1)π,k1,k2∈Z,所以 tan(β-α)=tan=tan =,k1,k2∈Z.若cos α=-1,sin=-1,则α=2k3π+π,β=+2k4π,k3,k4∈Z, 可得β-α=-(2k3π+π)=+2(k4-k3)π,k3,k4∈Z,所以tan(β-α)=tan=tan =,k3,k4∈Z.综上所述,tan(β-α)=.故选B. 【5】(多选题)下列等式成立的是 (　 ) A.cos 3x=4cos3x-3cos x B.sin 3x=3sin x-4sin3x C.sin 18°= D.cos 18°= 解析：由二倍角公式cos 2x=2cos2x-1,可知cos 2x可以表示为cos x的二次多项式,则cos 3x=cos(2x+x)= cos 2xcos x-sin 2xsin x=(2cos2x-1)cos x-2sin xcos xsin x=2cos3x-cos x-2(1-cos2x)cos x=4cos3x-3cos x,故A中等式成立;sin 3x=sin(2x+x)=sin 2xcos x+cos 2xsin x=2sin xcos2x+(1-2sin2x)sin x=2sin x(1-sin2x)+ sin x-2sin3x=3sin x-4sin3x,故B中等式成立;∵sin 36°=cos 54°,∴2sin 18°cos 18°=4cos318°-3cos 18°, ∴2sin 18°=4cos218°-3,则4sin218°+2sin 18°-1=0,解得sin 18°=或sin 18°=(舍去), ∴cos 18°===,故C中等式成立,D中等式不成立.故选ABC. 【6】若cos=,则sin=(　 ) A.- B.- C. D. 解析：令x=-α,由cos=,得cos x=.令y=2α-,则y=-2x,所以sin=sin y=sin =cos 2x=2cos2x-1=2×-1=-.故选B. 【7】[2024·重庆荣昌区期末] 计算:tan 10°+2sin 10°=(　 ) A. B. C.2 D.1 解析：tan 10°+2sin 10°=+2sin 10°=== ====.故选A. 【8】[2024·江苏盐城期末] 已知tan α=-,tan β=2,且α,β∈(0,π),则α+β的值为 (　 ) A. B. C. D. 解析：tan(α+β)===1,因为α,β∈(0,π),tan α<0,tan β>0,所以α∈,β∈,则α+β∈, 故α+β=.故选C. 【9】[2024·湖南衡阳一模] 已知α,β∈,sin(α+β)=,tan α=4tan β,则α-β= (　 ) A. B. C. D. 解析：由已知可得 解得∴sin(α-β)=sin α·cos β-cos α·sin β=,∵α,β∈, ∴α-β∈,则α-β=.故选C. 【10】[2024·浙江绍兴期末] 已知cos=,<α<,则cos 2α= (　 ) A.- B. C.- D. 解析：由已知得cos=cos α-sin α=,则cos α-sin α=,等号两边同时平方得(cos α-sin α)2=cos2α+sin2α-2sin αcos α=,即1-sin 2α=,解得sin 2α=-.因为<α<,所以<α+<2π,又cos>0,所以<α+<2π,即<α<,所以<2α<,由sin 2α<0,得3π<2α<,所以cos 2α<0,所以 cos 2α=-=-=-.故选C. 【11】已知cos α=-,sin β=-,α∈,β∈,则α-β= (　 ) A. B. C. D.或 解析： 因为α∈,所以sin α===,因为β∈,所以cos β===,故cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=-. 因为α∈,sin α<,所以α∈,因为β∈,cos β<,所以β∈,所以α-β∈, 所以α-β=.故选C. 【12】[2025·广东深圳模拟] 计算:cos 72°cos(-36°)=　　　　.  解析： 由题可得cos 72°cos(-36°)=cos 72°cos 36°======. 【变式】求值： ． 【详解】方法一：原式 ； 方法二：令原式乘以得， ， 则原式． 【13】[2024·江苏南京期末] 已知0<α<,0<β<,且sin(2α+β)=4sin β,10tan=,则α+β的值为 (　 ) A. B. C. D. 解析：因为sin(2α+β)=4sin β,所以sin[(α+β)+α]=4sin[(α+β)-α],所以sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=4sin(α+β)cos α-4cos(α+β)sin α,化简得5cos(α+β)sin α=3sin(α+β)cos α,所以tan(α+β)=tan α.由 10tan =,可得==,所以10sincos =cos α,即 5sin α=cos α,所以tan α=,所以tan(α+β)=tan α=,又0<α<,0<β<,所以0<α+β<π,所以α+β=.故选A. 【14】已知函数的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由题设 ，且， 所以，则，可得， 所以.故选：C 【变式1】已知函数在处取得最小值，则 . 【详解】因为， 其中 因为函数在处取得最小值，则 则 ，即 ， 所以 故答案为： 【变式2】设，若恒成立，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为， 所以，其中， 因为恒成立，所以，即， 则. 故选：B. 【14】若 则（    ） A． B． C． D． 【详解】法一： 因为，所以， 即， 即，即，即. 法二： . 故选：D. 【变式】函数在区间的零点个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】由，， 令，则，或， 故或，即或， 由，则或， 即或， 故或， 综上所述，存在个零点,即为. 故选：C. 【15】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【详解】由， 得， 则，而．故选：B 【变式】若，则（    ） A． B． C． D．1 【详解】因为， 可得，可得， 解得，因为，所以，所以，所以. 故选：C. 【高考1】1．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 【详解】对A，，周期，故A正确； 对B，，周期，故B错误； 对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误； 对于选项D，，周期，故D错误， 故选：A． 【高考2】（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 【高考3】（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】[方法一]：直接法 由已知得：, 即：， 即： 所以 故选：C [方法二]：特殊值排除法 解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B； 再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C. 故选：C. 【高考4】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 【高考5】（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 【高考6】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 【详解】由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 故答案为：. 【高考7】（2025·全国一卷·高考真题）（多选）已知的面积为，若，则（   ） A． B． C． D． 【详解】，由二倍角公式，， 整理可得，，A选项正确； 由诱导公式，， 展开可得， 即， 下证. 方法一：分类讨论 若，则可知等式成立； 若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理， 又，于是， 与条件不符，则不成立； 若，类似可推导出，则不成立. 综上讨论可知，，即. 方法二：边角转化 时，由，则， 于是， 由正弦定理，， 由余弦定理可知，，则， 若，则，注意到，则， 于是（两者同负会有两个钝角，不成立），于是， 结合，而都是锐角，则， 于是，这和相矛盾， 故不成立，则 故选：ABC 【高考8】（2022·浙江·高考真题）若，则 ， ． 【详解】利用辅助角公式处理 ∵，∴，即， 即，令，， 则，∴，即， ∴ ， 则.故答案为：；. 4.5三角函数的图象与性质 【1】函数f(x)=3tan,x∈的值域为 (　 ) A. B. C.[,3] D. 【详解】∵x∈,∴2x+∈,∴tan∈,∴3tan∈[,3].故选C. 【2】函数f(x)=cos 2x-4sin x-1的值域是 (　 ) A.(-∞,2] B.[-2,2] C.[0,2] D.[-6,2] 【详解】f(x)=cos 2x-4sin x-1=-2sin2 x-4sin x=-2(sin x+1)2+2,因为sin x∈[-1,1],所以当sin x=-1时,f(x)最大,f(x)max=2;当sin x=1时,f(x)最小,f(x)min=-6.所以函数f(x)的值域为[-6,2].故选D. 【3】 函数f(x)=sin x-cos x+sin 2x在区间上的取值范围是　　　　.  【详解】令t=sin x-cos x=sin,因为x∈,所以x-∈,所以t∈[-1,1],则f(x)=sin x-cos x+sin 2x=sin x-cos x-(sin x-cos x)2+1=t-t2+1.设g(t)=-t2+t+1,t∈[-1,1],显然一元二次函数g(t)=-t2+t+1在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以g(t)max=g=,g(t)min=g(-1)=-1,所以函数f(x)=sin x-cos x+sin 2x在区间上的取值范围为. 【4】已知常数ω>0,函数f(x)=sin ωx在区间上单调,则ω不可能等于(　 ) A. B.2 C. D. 【详解】当x∈时,ωx∈,又正弦函数的单调区间为(k∈Z),且函数f(x)=sin ωx在区间上单调,所以k∈Z,解得≤ω≤,k∈Z,当k=2时,≤ω≤,可取ω=;当k=3时,≤ω≤,可取ω=2;当k=4时,≤ω≤,可取ω=.排除A,B,D,故选C. 【5】(多选题)关于函数f(x)=sin,下列说法错误的有 (　 ) A.函数f(x)的最小正周期为π B.f(x)的解析式可写成f(x)=cos C.函数f(x)在上单调递增 D.f(x)的图象关于直线x=-对称 【详解】对于A,由f(x)=sin,可得其最小正周期T==π,故A中说法正确;对于B,cos=cos=-sin≠f(x),故B中说法错误;对于C,设z=2x+,当x∈时,z∈,因为y=sin z在上不单调,所以f(x)在上不单调,故C中说法错误;对于D,当x=-时,2x+=-,而sin=1,故D中说法正确.故选BC. 【6】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)在上单调,且f=f=-f,则ω的取值不可能为(　 ) A. B. C. D. 【详解】由f(x)在上单调,f=-f,得f(x)的最小正周期T满足≥-=,解得T≥π,而=-,则f=0,由f=f,得T≠π,所以T>π.不妨设f(x)在上单调递增,作出f(x)的大致图象,如图所示,设f(x)的图象与直线y=f的四个交点为C,A,D,E,其位置如图, 若点C的横坐标为,则-==,则ω=,满足T>π;若点A的横坐标为,则-=T=,则ω=,满足T>π;若点D的横坐标为,则由=,得-=T=,则ω=,满足T>π;若点E的横坐标为,则-=2T=,则ω=,不满足T>π.又易知f(x)的图象与直线y=f的交点中除C,A,D,E外的点的横坐标不可能为,所以ω的所有可能取值为,,.故选B. 【7】为了得到函数y=cos的图象,只需将正弦函数y=sin x图象上各点(　 ) A.向右平移-个单位长度 B.向左平移-个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 【详解】把y=sin x=cos图象上的所有点向左平移-个单位长度,得到函数y=cos的图象.故选B. 【8】将函数f(x)=cos(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到偶函数g(x)的图象,则ω的最小值是　　　　. 【详解】由题意得g(x)=cos=cos,因为g(x)为偶函数,所以ω+=kπ,k∈Z,解得ω=-+4k,k∈Z,又ω>0,所以当k=1时,ω取得最小值. 【9】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,将函数f(x)图象上所有点向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的解析式为 (　 ) A.g(x)=sin 2x B.g(x)=sin C.g(x)=2sin 2x D.g(x)=2sin 【详解】由函数f(x)的图象知,A=2,f(x)的最小正周期T满足T=-=,则T=π,所以ω==2,则f(x)=2sin(2x+φ),因为点在f(x)的图象上,所以sin=1,则+φ=2kπ+,k∈Z,即φ=2kπ+,k∈Z,因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin.将函数f(x)图象上所有点向右平移个单位长度,得到g(x)=2sin=2sin的图象,故选D. 【10】已知函数f(x)=cos2ωx+sin 2ωx-(ω>0)在区间[0,π)内有最大值,但无最小值,则ω的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 【详解】由题可得f(x)=·+sin 2ωx-=cos 2ωx+sin 2ωx=sin,因为ω>0,所以当x∈[0,π)时,2ωx+∈.因为函数f(x)在区间[0,π)内有最大值,无最小值,所以<2ωπ+≤,解得<ω≤,即ω的取值范围为.故选A. 【11】若存在x0∈,使函数f(x)=sin(ω∈N*)的图象关于A(x0,0)对称,则ω的最小值为(　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 【详解】因为函数f(x)=sin(ω∈N*)的图象关于A(x0,0)对称,所以sin=0,所以ωx0+=kπ,k∈Z,所以x0=,k∈Z.当k≤0时,不满足题意.当k=1时,x0=·≤,所以≤ω,又ω∈N*,所以此时ω的最小值为3.x0=≤,所以3≤ω,则当正整数k增大时,对应ω的最小值也越来越大,故ω的最小值为3.故选C. 【12】函数f(x)=sin(ω>0)在上存在零点,且在上单调,则ω的取值范围为 (　 ) A. B. C. D. 【详解】当x∈时,ωx+∈.因为函数f(x)在上存在零点,所以ω·+>π,解得ω>2.因为f(x)在上单调,所以×≥π-,则ω≤3.当x∈时,ωx+∈,由3≥ω>2,可知≥ω·+>,则ω·π+≤,解得ω≤.综上可得,2<ω≤.故选B. 【13】已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,直线x=为f(x)图象的对称轴,且f(x)在上有且仅有1个零点,则ω的最大值为 (　 ) A.11 B.9 C.7 D.5 【详解】∵x=-为f(x)的零点,直线x=为f(x)图象的对称轴,∴-=T=·,k∈N,则ω=2k-1,k∈N.∵-0<T=,∴ω<12.当ω=11时, f(x)=sin(11x+φ),∵直线x=为f(x)图象的对称轴,∴π+φ=+k1π,k1∈Z,∴φ=-π+k1π,k1∈Z,∵|φ|<,∴φ=-,∴f(x)=sin,当x∈时,11x-∈,可得f(x)在上有2个零点,不符合题意,舍去.当ω=9时,f(x)=sin(9x+φ),∵直线x=为f(x)图象的对称轴,∴π+φ=+k2π,k2∈Z,∴φ=-π+k2π,k2∈Z,∵|φ|<,∴φ=,∴f(x)=sin,当x∈时,9x+∈,可得f(x)在上有且仅有1个零点,符合题意.故选B. 【14】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),若f(0)=,f=-f,则ω的最小值为 (　 ) A.3 B.1 C. D. 【详解】因为f(0)=,所以sin φ=,则φ=+2k1π(k1∈Z)或φ=+2k2π(k2∈Z).因为f=-f,=,所以当点是函数f(x)的图象的一个对称中心时,f=0.若φ=+2k1π(k1∈Z),则f=sin=0,所以ω+=kπ(k∈Z),则ω=-+kπ(k∈Z),又ω>0,所以当k=1时,ωmin=3. 若φ=+2k2π(k2∈Z),则f=sin=0,所以ω+=kπ(k∈Z),则ω=-+kπ(k∈Z),又ω>0,所以当k=1时,ωmin=1.当点不是函数f(x)的图象的一个对称中心时,因为f=-f,所以sin=-sin,所以ω+φ-=π+2kπ(k∈Z),所以ω=π+2kπ(k∈Z),又ω>0,所以当k=0时ωmin=.综上所述,ωmin=.故选C. 【15】已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题可知的最小正周期为，因为在区间上单调， 所以，则，解得， 当时，， 且，， 所以，解得，结合，得的取值范围为． 【16】已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设函数的最小正周期为，因为在区间上单调递增， 所以，解得，所以． 令，则当时，． 则在区间上单调递增且存在零点等价于在上单调递增且存在零点， 所以，解得， 又，当时，得；时，得，其他值，均不合要求， 所以或，所以的取值范围是.故选：C. 【17】函数在上的零点从小到大依次为，则的值为 . 【详解】令，则， 当时，， 由题意，函数在上的零点从小到大依次为， 则转化为函数与在上的交点问题， 且交点的横坐标从小到大依次为， 画出函数与在上的大致图象，    由图象可知，函数与有4个交点，即， 又，，， 则，，， 则.故答案为：. 【高考真题1】（2023·全国甲卷·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，而显然过与两点， 作出与的部分大致图像如下，    考虑，即处与的大小关系， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 所以由图可知，与的交点个数为.故选：C. 【高考真题2】（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为在区间单调递增， 所以，且，则，， 当时，取得最小值，则，， 则，，不妨取，则，则， 故选：D. 【高考真题3】（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【详解】因为函数的最小正周期为，则，所以， 即，当时，， 所以当，即时，故选：D 【高考真题4】（2025·全国一卷·高考真题）若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是，即， 又，则时最小，最小值是，即.故选：B 【高考真题5】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【详解】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 【高考真题6】（2023·上海·高考真题）已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【详解】因为函数的最小正周期是，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即可， 当时，，，而，， 因此在上的最小值，在上的最小值，A可能； 当时，，， 因此在上的最小值，在上的最小值，B可能； 当时，，， 因此在上的最小值，在上的最小值，D可能； 对于C，若，则， 若，则区间的长度，并且且， 即且与矛盾，所以C不可能. 故选：C 【高考真题7】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    【答案】 【详解】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以，． 故答案为：． 【高考真题8】（2023·北京·高考真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【详解】（1）因为 所以，因为，所以. （2）因为， 所以，所以的最大值为，最小值为. 若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在； 若选条件②：因为在上单调递增，且， 所以,所以,,所以， 又因为，所以，所以， 所以，因为，所以.所以，； 若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，即.以下与条件②相同． 【高考真题9】（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 【详解】（1）由题意，所以； （2）由（1）可知，所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 4.6 解三角形 【1】在中，、、分别三个内角、、的对边，，，若该三角形有两个解，则边的长的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为在△ABC中，，，且该三角形有两个解，如下图所示： 则，即，即， 因此，边的长的取值范围为.故答案为：. 【2】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法中正确的是 (　 ) A.若A>B,则sin A>sin B B.若=,则△ABC为等腰直角三角形 C.A=,a=,b=4,则此三角形只有一个解 D.若tan A+tan B+tan C<0,则△ABC为钝角三角形 (2)对于A,A>B⇔a>b⇔2Rsin A>2Rsin B⇔sin A>sin B,故A正确.对于B,∵=,∴acos A=bcos B,∴sin Acos A=sin Bcos B,∴sin 2A=sin 2B,∴2A=2B或2A+2B=π,∴A=B或A+B=,则△ABC为等腰三角形或直角三角形,故B错误.对于C,∵A=,a=,b=4,∴bsin A=2<a=<b=4,∴此三角形有两个解,故C错误.对于D,∵tan A+tan B=tan(A+B)(1-tan Atan B),∴tan A+tan B=-tan C(1-tan Atan B),∴tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C,∵tan A+tan B+tan C<0,∴tan Atan Btan C<0,∴tan A,tan B,tan C中只有一个小于0,则△ABC是钝角三角形,故D正确.故选AD. 【3】在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积,a=2,且2S=a2-(b-c)2,则△ABC的周长的取值范围是 (　 ) A.(4,6] B.(4,2+2] C.(6,2+2] D.(4,+2] [解析] (1)∵2S=a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc=2bc-2bccos A,∴S=bc-bccos A=bcsin A,∴1-cos A=sin A,则2sin2=sincos.∵A为锐角,∴sin≠0,∴2sin=cos,则tan=,则tan A==,可得sin A=,cos A=.∵a=2,∴由正弦定理可得===,∴b+c=(sin B+sin C)=[sin B+sin(A+B)]==4sin B+2cos B=2sin(B+φ),其中tan φ=,取φ=.∵△ABC为锐角三角形,∴-A<B<,则-A+φ<B+φ<+φ,即-<B+φ<+,∴cos<sin(B+φ)≤1,又cos=,∴4<2sin(B+φ)≤2,即b+c∈(4,2],则△ABC的周长的取值范围是(6,2+2].故选C. 【4】(多选题)在△ABC中,AB=2,AC=3,∠BAC=60°,则 (　 ) A.△ABC的周长是5+ B.BC边上的中线长为 C.∠BAC的角平分线长为 D.BC边上的高为 【详解】因为在△ABC中,AB=2,AC=3,∠BAC=60°,所以由余弦定理得BC===,所以△ABC的周长是2+3+=5+,故A正确;设BC边上的中线为AD,则2=+,两边平方得4=++2·=22+32+2×2×3×,可得||=,即BC边上的中线长为,故B错误;设∠BAC的角平分线为AE,点E在BC上,则∠BAE=∠CAE=∠BAC=30°,因为S△ABC=S△BAE+S△CAE,所以×2×3×sin 60°=×2×AEsin 30°+×3×AEsin 30°,解得AE=,故C正确;设BC边上的高为AH,因为AB=2,AC=3,∠BAC=60°,BC=,所以S△ABC=×2×3×=××AH,解得AH=,故D正确.故选ACD. 【高考真题1】（2023·北京·高考真题）在△ABC中，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为， 所以由正弦定理得，即， 则，故，又，所以.故选：B. 【高考真题2】（2023·全国乙卷·高考真题）在△ABC中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意结合正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 据此可得，则.故选：C. 【高考真题3】（2024·全国甲卷·高考真题）在△ABC中,内角所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则.故选：C. 【高考真题4】（2025·全国二卷·高考真题）在△ABC中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意得，又，所以. 故选：A 【高考真题5】（2023·全国甲卷·高考真题）记△ABC的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 【详解】（1）因为，所以，解得：． （2）由正弦定理可得 ， 变形可得：，即， 而，所以，又，所以， 故的面积为． 【高考真题6】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求△ABC的周长． 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得，又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即，又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，，又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，，又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得，故△ABC的周长为 【高考真题7】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得，因为，所以， 从而，又因为，即， 注意到，所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有，从而， 由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得，所以. 【高考真题8】（2025·天津·高考真题）在△ABC中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 【详解】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； （2）由（1）知，且，， 由余弦定理，则， 解得（舍去），故； （3）由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故，且； 故. 【高考真题9】（2023·全国乙卷·高考真题）在△ABC中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 【详解】（1）由余弦定理可得：， 则，，. （2）由三角形面积公式可得， 则. 1 学科网（北京）股份有限公司 $