2.1等式性质与不等式性质（第一课时）课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.1等式性质与不等式性质 （第1课时） 实际生活中 长短 大小 轻重 高矮 不等关系是普遍存在的 姚明身高＞奥尼尔身高 2.26 2.16 在数学中 A B A B C 现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系．这种不等关系都可用不等式来表示． 3 不等式 用不等号（＜、＞、≤、≥、≠）表示不等关系的式子叫不等式。 “不等号”是英国数学家哈里奥特（T.Harriot）于1631年开始使用的，但当时并没有被数学界所接受，直到100多年后，才逐渐成为标准的应用符号。 一、用不等式（组）来表示不等关系 文字语言与数学符号的转化 问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗? (1)某路段限速40 km/h; (2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%; (3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边; (4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短. 某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,杂志的单价每提高0.1元,销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元? 问题2 设提价后每本杂志的定价为x元,则销售总收入为 万元.于是,不等关系"销售总收人不低于20万元"可以用不等式表示为 如何解这个不等式呢？ 你还能举出一些现实生活中用到的不等式吗? 思考 抽象 研究 解决 由于数轴上的点与实数一一对应,所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系. 温故知新 x A B a b a<b B A b a x b<a 有三种可能： 1）A和B重合；2）A在B的右侧；3）A在B的左侧 在数轴上，表示实数a和b的两个点分别为A和B，则点A和点B在数轴上的位置关系如何？ b=a 从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小. a>b⟺ a-b>0; a=b⟺ a-b=0; a<b⟺ a-b<0 二、不等式基本原理 练习 比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小. 三，例题讲解 解： 作差—变形—判断符号—定结论 北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗? 重要不等式 a b 因为∀a,b∈R,(a-b)2≥0,当且仅当a=b时,等号成立,所以a2+b2-2ab≥0. 因此,由两个实数大小关系的基本事实,得 当且仅当a=b时,等号成立. a2+b2≥2ab 正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和 1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系: (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位:m)从地面算起不能超过4 m; (2)a与b的和是非负实数; (3)如图,在一个面积小于350 m2的矩形地基的中心位置上建造一个仓库,仓库的四周建成绿地,仓库的长L(单位:m)大于宽W(单位:m)的4倍. 2.比较(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小. 3.已知a>b,证明a>>b. 当堂检测 课堂小结 1．不等关系是普遍存在的 2．用不等式（组）来表示不等关系 3．不等式基本原理 a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b 4．作差比较法 步骤：作差，变形，定号 文字语言 数学符号 文字语言 数学符号 大于 > 至多 ≤ 小于 ＜ 至少 ≥ 大于等于 ≥ 不少于 ≥ 小于等于 ≤ 不多于 ≤ 作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小. $