精品解析：上海市杨浦高级中学2025-2026学年高一上学期开学考试数学试卷

杨高2025-2026学年第一学期高一年级数学开学考 2025.9 一､填空题（本大题共有10题，满分30分） 1. 已知全集，则__________. 2. 已知的两边长，则第三边的长的取值范围用区间表示为___________. 3. 命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是 4. 已知等式恒成立，则常数________ 5. 已知命题，命题，若是成立的充分不必要条件，则实数的取值范围是__________. 6. 已知集合，，其中为实数，当，则满足的条件是_________. 7. 已知集合，若中至多有一个元素，则实数的取值范围是__________. 8. 方程至少有一个负实根的充要条件是________． 9. 设4个有理数，使得，则________. 10. 已知集合，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是____________ 二､选择题（本大题共有4题，满分16分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得4分，否则一律得零分. 11. 设，则“”是“”（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要 12. 已知全集，集合或，那么阴影部分表示集合为（ ） A. B. C. 或 D. 13. 已知集合，，，则集合的关系为（ ） A. B. C D. 14. 以某些整数为元素的集合P具有以下性质： （1）P中元素有正数，也有负数；（2）P中元素有奇数，也有偶数； （3）；（4）若，则． 则下列选项哪个是正确的（ ） A. 集合P中一定有0但没有2 B. 集合P中一定有0可能有2 C. 集合P中可能有0可能有2 D. 集合P中既没有0又没有2 三､解答题（满分54分，共有5题）解答下列各题必须写出必要的步骤. 15. （1）已知集合，求； （2）已知集合，是否存在实数，使得?若存在，试求出实数的值，若不存在，请说明理由. 16. （1）设，求关于方程的解集. （2）用反证法证明：若，且，则中至少有一个不小于0. 17. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，且，求p的值． 18. 如图，已知二次函数的图像与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，连接、． （1）求线段的长； （2）若平分，求的值； （3）该函数图象的对称轴上是否存在点，使得为等边三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 已知正整数，若正整数集的子集同时满足 条件①：对任意，存在唯一，使得； 条件②：对任意整数，及任意，均存在，使得，则称为 “可表集合组”． （1）若，则是否为“7可表集合组”？说明理由， （2）若为 “可表集合组”，求的最小值； （3）若为“15可表集合组”，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杨高2025-2026学年第一学期高一年级数学开学考 2025.9 一､填空题（本大题共有10题，满分30分） 1. 已知全集，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出全集，再根据补集的运算求解即可. 【详解】， 因为， 所以， 故答案为： 2. 已知的两边长，则第三边的长的取值范围用区间表示为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形任一边大于另两边之差，小于另两边之和求解即可. 【详解】因为的两边长， 所以，即. 故答案为： 3. 命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是 【答案】对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0． 【解析】 【详解】因为命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题， 可得命题的否定为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0． 故答案为对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0． 4. 已知等式恒成立，则常数________ 【答案】4 【解析】 【分析】由对应项系数相等列方程组求解． 【详解】恒成立， 所以，解得， 所以． 故答案为：4． 5. 已知命题，命题，若是成立的充分不必要条件，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，根据题意是的真子集，可得关于的不等式即可求解. 【详解】因为命题，设， 由命题，设， 因为是成立的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以，解得：， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 6. 已知集合，，其中为实数，当，则满足的条件是_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得方程组 有解，即有解即可求解. 【详解】因为， 所以方程组 有解， 消去可得：，即 所以：，即， 故答案为：. 7. 已知集合，若中至多有一个元素，则实数的取值范围是__________. 【答案】或 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，根据一元二次方程解的个数求得实数的取值范围. 【详解】当时，，只有一个元素，符合题意； 当时，若中至多有一个元素，则关于的一元二次方程有两个相等的实数根或无实数根， 则，解得， 所以实数的取值范围是或， 故答案为：或. 8. 方程至少有一个负实根的充要条件是________． 【答案】a≤1 【解析】 【分析】先对二次项系数a是否为0讨论，再利用根与系数的关系对方程有一个或两个负根进行讨论解出a的范围. 【详解】当时，原方程可化为：，解得：符合题意； 当时，方程显然没有根等于0， 若方程有异号根，则由根与系数的关系可得：； 若方程有两个负根，则由根与系数的关系可得：， 解得：； 综上所述：方程至少有一个负实根的充要条件是a≤1. 故答案为：a≤1 【点睛】根的分布一般指由一元二次方程实根的分布情况求参数的范围问题，一般解决的方法有两种： （1）利用根与系数的关系列不等式组，可解； （2）根据零点存在定理，借助于函数的图像列不等式组，可解. 9. 设4个有理数，使得，则________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题目所给条件列方程，整理求得. 【详解】依题意，集合， 即， 则. 所以. 故答案为： 10. 已知集合，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是____________ 【答案】1或 【解析】 【分析】根据所处的不同范围，得到和时，所处的范围；再利用集合的上下限，得到与的等量关系，从而构造出方程，求得的值. 【详解】，则只需考虑下列三种情况： ①当时， 又 且 可得： ②当即时，与①构造方程相同，即，不合题意，舍去 ③当即时 可得：且 综上所述：或 【点睛】本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的不同取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程；难点在于能够准确地对的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有较高的要求，属于难题. 二､选择题（本大题共有4题，满分16分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得4分，否则一律得零分. 11. 设，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要 【答案】B 【解析】 【分析】解出不等式的解，利用必要不充分的判定直接判断即可. 【详解】由，得且， 则“”是“”的必要非充分条件. 故选：B 12. 已知全集，集合或，那么阴影部分表示的集合为（ ） A B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集、补集运算得到答案. 【详解】阴影部分表示的集合为， 因为或，所以， 因为，所以， 故选：B. 13. 已知集合，，，则集合的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用列举法表示各个集合，结合子集、真子集的定义进行判断即可. 【详解】因为， ， ， 所以， 故选：B 14. 以某些整数为元素的集合P具有以下性质： （1）P中元素有正数，也有负数；（2）P中元素有奇数，也有偶数； （3）；（4）若，则． 则下列选项哪个是正确的（ ） A. 集合P中一定有0但没有2 B. 集合P中一定有0可能有2 C. 集合P中可能有0可能有2 D. 集合P中既没有0又没有2 【答案】A 【解析】 【分析】由（4）得，则（k是正整数），由（1）可设，且，，可得.利用反证法可得若，则P中没有负奇数，若P中负数为偶数，得出矛盾即可求解. 【详解】解：由（4）得，则（k是正整数）． 由（1）可设，且，，则、，而． 假设，则．由上面及（4）得0，2，4，6，8，…均在P中， 故（k是正整数）， 不妨令P中负数为奇数（k为正整数）， 由（4）得，矛盾． 故若，则P中没有负奇数． 若P中负数为偶数，设为（k为正整数），则由（4）及， 得均在P中，即（m为非负整数）， 则P中正奇数为，由（4）得，矛盾． 综上，，. 故选:A． 三､解答题（满分54分，共有5题）解答下列各题必须写出必要的步骤. 15. （1）已知集合，求； （2）已知集合，是否存在实数，使得?若存在，试求出实数的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意结合交集运算求解； （2）由题意可得：，根据子集关系分析运算，注意集合的互异性. 详解】（1）由题意可得，解得， 所以； （2）存在，，理由如下： 因为，则， （i）若，则，此时，不合题意； （ⅱ）若，则或， ①当时，则，符合题意； ②当时，此时，不合题意； 综上所述：. 16. （1）设，求关于的方程的解集. （2）用反证法证明：若，且，则中至少有一个不小于0. 【答案】（1）答案见详解；（2）证明见详解. 【解析】 【分析】（1）由题意可得：，分和讨论即可． （2）直接利用反证法设出结论的对立面，证出与题设矛盾的结论即可. 【详解】（1）由可得：，即：． 当时，等式恒成立，方程的解集为； 当时，方程的解为，所以解集为． 终上所述：当时，方程的解集为；当时，方程的解集为． （2）假设都小于0，即，则有． 由已知有 ， 与由假设推得的结论矛盾， 所以假设不成立， 所以中至少有一个不小于0. 17. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，且，求p的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据交集的定义可知1是方程的根即可求解，(2)利用韦达定理求解. 【小问1详解】 因为，所以,即1是方程的根， 所以，解得， 所以由方程解得或， 所以, 又由解得或， 所以,所以. 【小问2详解】 由题可知是方程的两个根， 因为，所以，解得或 由韦达定理得， 因为， 即解得或， 又因为或，所以. 18. 如图，已知二次函数的图像与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，连接、． （1）求线段的长； （2）若平分，求的值； （3）该函数图象的对称轴上是否存在点，使得为等边三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）2；（2）；（3）存在，. 【解析】 【分析】（1）令，建立方程，求出点坐标，即可得出结论； （2）先表示出，进而表示出，利用勾股定理建立方程求解即可得出结论； （3）先判断出点是的外接圆的圆心，进而得出，最后用三角函数建立方程求解即可． 【详解】（1）∵ 二次函数的图象与轴相交于点、， ∴令，则， 或， ，， ， 故答案为2； （2）如图， 由（1）知，，， ，， 令，， ， ， 过点作， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， （舍）或（舍）或； （3）存在， 理由：假设存在，如图， 二次函数， 抛物线对称轴， 点是的垂直平分线上， 是等边三角形， ，， 点是的垂直平分线上， 点是的外接圆的圆心， ， ， ，， ，， ， 函数图象的对称轴上存在点，使得为等边三角形． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的坐标特征，角平分线的定义，等腰三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 19. 已知正整数，若正整数集的子集同时满足 条件①：对任意，存在唯一，使得； 条件②：对任意整数，及任意，均存在，使得，则称为 “可表集合组”． （1）若，则是否为“7可表集合组”？说明理由， （2）若为 “可表集合组”，求最小值； （3）若为“15可表集合组”，求的最大值． 【答案】（1）不是“7可表集合组”，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“7可表集合组”的定义可得，即可判断结果； （2）先给出的例子，再根据“可表集合组”的定义结合反证法证明不符合题意即可； （3）先给出的例子，再根据“可表集合组”的定义结合反证法证明不符合题意即可. 【小问1详解】 不是“7可表集合组”. 因为，其元素中仅有一个奇数， 则，若为偶数，则必为中两个偶数元素之和，至少为， 可得，所以不是“7可表集合组”． 【小问2详解】 的最小值为7．首先给出的例子： 令， 可知则为“7可表集合组”． 下面假设某个满足题设要求，则对任意，存在，使得． 注意到6表示为两个不同正整数的和只能是， 不妨设， 因为对任意，存在，使得， 注意到7表示为两个不同正整数的和只能是， 所以， 注意到8表示为两个不同正整数的和只能是， 所以对任意，均有， 与是“可表集合组”矛盾． 所以假设不成立，综上所述：的最小值为7． 【小问3详解】 的最大值为3． 首先给出的例子： 令，， ， 则为“15可表集合组”． 下面假设某个满足题设要求， 显然也满足题设要求，故可不妨设， 令， 显然对任一下标这10个数中任一数均可写成的两个元素之和， 从而中元素至少有五个， 注意的元素个数之和为23，从而必存在某个，使得的元素个数不大于5， 设， 可知中两个不同元素之和所表示的这10个数恰可被中两个不同元素之和所表示， 则这些数的和为， 与均为正整数矛盾，所以假设不成立． 综上所述：的最大值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $