3. 1.1 函数的概念导学案（第一课时）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3. 1.1 函数的概念导学案（第一课时） 一、学习目标 1． 理解函数的概念，了解构成函数的三要素。 2． 能正确使用区间表示数集。 3．会求一些简单函数的定义域、函数值。 二、学习重难点 重点：正确使用区间表示数集及构成函数的三要数。 难点：同一个函数的判定。 3、 知识点自主预习填空 1.函数的有关概念 函数的定义 设A，B是非空的 ，如果对于集合A中 ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 的数y和它对应，那么就称f： 为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 ，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的 叫做函数的定义域 值域 函数值的集合 叫做函数的值域 2．一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的 相同，并且 完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同． 3， 区间 （1）．区间概念(a，b为实数，且a<b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 {x|a<x<b} 开区间 {x|a≤x<b} 半开半闭区间 {x|a<x≤b} 半开半闭区间 （2）.其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 区间 四、典例详解 考点01：函数关系的判断 例1（1）．下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【分析】根据函数的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，但是没有意义，故A错误； 对于B，因为对于任意一个实数，都有唯一确定的实数与其对应，符合函数的定义，故B正确； 对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不满足唯一性，故C错误； 对于D，因为集合是自然数集，，但是，所以不是的函数，故D错误． 故选：B. （2）．（多选）设集合，则下列曲线能表示从集合到集合的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的概念一一判断即可得正确答案. 【详解】对于选项和选项，集合中有的数(如：）在集合中对应两个值，不唯一， 所以不符合函数定义，所以选项和选项错误； 对于选项和选项，集合和集合均为数集，且集合中的每一个数在集合中都有唯一的数与它对应，符合函数的定义， 所以选项和选项正确. 故选：BD. 考点02：求函数值 例2（1）．若点，都在反比例函数的图象上，则 （填“”或“”）. 【答案】> 【分析】先将的表达式求出来，然后进行比较大小即可. 【详解】因为点都在反比例函数上， 所以. 由于，所以. 所以. 故答案为：>. （2）．已知，则 ． 【答案】15 【分析】令，即，即可得． 【详解】令，即，得． 故答案为：15． 考点03：已知函数值求自变量 例3.（1）．已知函数，当时， ． 【答案】/ 【分析】根据求解即可. 【详解】由题得，解得． 故答案为：. （2．已知函数. (1)点在的图象上吗？ (2)当时，求的值； (3)当时，求的值； 【答案】(1)不在； (2)； (3)． 【分析】（1）计算后可得； （2）代入计算； （3）方程即得． 【详解】（1），所以点不在的图象上； （2）； （3），解得． 考点04：区间的定义和表示 例4（1．若为一确定区间，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】因为为确定区间，所以右端点大于左端点，列出不等式求解a的取值范围. 【详解】根据区间表示数集的方法原则可知，，解得， 所以a的取值范围是, 故答案为：. （2．将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1)； (2)或； (3)且； (4). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据集合、区间以及数轴的知识确定正确答案. 【详解】（1）用区间表示为，用数轴表示如图：    （2）或用区间表示为，用数轴表示如图：    （3）且用区间表示为，用数轴表示如图:    （4）用区间表示为，用数轴表示如图：    考点05：简单的定义域 例5（1）．函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式函数和分式函数的定义域求法求解. 【详解】由解得且， 所以的定义域为. 故选：D （2）．求下列函数的定义域： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】(1)要使函数有意义，只需令，其解集即为函数的定义域. (2)要使函数有意义，需满足,其解集即为的定义域. 【详解】（1）要使函数有意义，只需令，解得：, 所以函数的定义域为：. （2）要使函数有意义，需满足,所以, 所以的定义域为: 考点06：简单的值域 例6（1）．函数的值域为 . 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，然后根据根式的性质和不等式的性质求解即可. 【详解】由，得，则函数的定义域为， 当时，，则， 所以，即， 所以的值域为. 故答案为：. （2．求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可； （2）利用二次根式的意义求出值域； （3）利用二次函数的性质求出值域； （4）根据不等式性质运算求解即可． 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为． （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为． （3）函数图象的对称轴为， 当时，， 所以函数的值域为． （4）因为，则，可得， 所以在的值域为． 考点07：判断函数是否是同一个函数 例7（1）．下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于A，与的定义域分别为，故A错误； 对于B，与的定义域分别为，故B错误； 对于C，与的定义域都是，且，故C正确； 对于D，与的定义域分别为，故D错误. 故选：C. （2）（多选）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【分析】逐项判断两函数的定义域与对应关系是否相同即可． 【详解】对于A，函数的定义域为，由，可得， 所以定义域为，但， 两函数定义域相同，对应关系不相同，不是同一函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，由，可得， 所以定义域为，但， 两函数定义域相同，对应关系相同，是同一函数，故B正确； 对于C，两个函数的定义域都为，且，， 两函数定义域，对应关系相同，是同一函数，故C正确； 对于D，两个函数的定义域都为，且，， 两函数定义域，对应关系相同，是同一函数，故D正确. 故选：BCD. 5、 练习提升 1．函数中自变量x的值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据根号下大于等于0得到的范围即可得答案. 【详解】由题意得，解得， 则自变量x的值可以是3. 故选：A. 2．如图所示各图中反映了变量是的函数是（   ） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【分析】根据函数的概念，对于任意的都有唯一的与之对应，逐一验证即可. 【详解】根据函数的概念，对于任意的都有唯一的与之对应，故D正确. 故选：D. 3．下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于A，由函数可得，解得， 则其定义域为； 由函数可得，解得，则其定义域为． 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故A错误． 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于C，函数的定义域为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于D，函数的定义域为， 函数的定义域为， 定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故D正确． 故选：D. 4．集合（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】, 故选：B 5．（多选）下列从集合到集合的对应关系中是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据函数的定义逐一判断即可. 【详解】结合函数定义可知集合中任意一个元素在集合中都有唯一确定的元素与之对应， 故A，B正确； 集合中7在集合中没有元素与之对应，故C错误； 集合中3在集合中有两个元素与之对应，4没有元素与之对应，故D错误. 故选：AB. 6．（多选）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据的解析式，进行相关的运算判断各个选项即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，由，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，由选项C知，且， ，故D正确. 故选：BCD. 7．函数的定义域为 ． 【答案】或 【分析】根据偶次根式的被开方数为非负数，列不等式求解． 【详解】由，即，解得或， 所以的定义域为或． 故答案为：或． 8．设区间，则使成立的的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先得到，再结合区间表示的集合列不等式组即可求得. 【详解】由可知，， 因， 故可得，，得. 故答案为： 9．已知函数． (1)求与与； (2)由（1）中求得结果，你能发现与有什么关系？并证明你的发现； (3)求． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据解析式代入运算得解； （2），利用解析式代入运算证明； （3）利用，运算得解. 【详解】（1）因为， 所以， ． （2）由（1）发现． 证明如下：． （3）． 由（2）知，， 所以原式. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3. 1.1 函数的概念导学案（第一课时） 一、学习目标 1． 理解函数的概念，了解构成函数的三要素。 2． 能正确使用区间表示数集。 3．会求一些简单函数的定义域、函数值。 二、学习重难点 重点：正确使用区间表示数集及构成函数的三要数。 难点：同一个函数的判定。 3、 知识点自主预习填空 1.函数的有关概念 函数的定义 设A，B是非空的 ，如果对于集合A中 ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 的数y和它对应，那么就称f： 为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 ，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的 叫做函数的定义域 值域 函数值的集合 叫做函数的值域 2．一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的 相同，并且 完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同． 3， 区间 （1）．区间概念(a，b为实数，且a<b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 {x|a<x<b} 开区间 {x|a≤x<b} 半开半闭区间 {x|a<x≤b} 半开半闭区间 （2）.其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 区间 四、典例详解 考点01：函数关系的判断 例1（1）．下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 （2）．（多选）设集合，则下列曲线能表示从集合到集合的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 考点02：求函数值 例2（1）．若点，都在反比例函数的图象上，则 （填“”或“”）. （2）．已知，则 ． 考点03：已知函数值求自变量 例3.（1）．已知函数，当时， ． （2．已知函数. (1)点在的图象上吗？ (2)当时，求的值； (3)当时，求的值； 考点04：区间的定义和表示 例4.（1．若为一确定区间，则a的取值范围是 ． （2．将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1)； (2)或； (3)且； (4). 考点05：简单的定义域 例5（1）．函数的定义域为（      ） A． B． C． D． （2）．求下列函数的定义域： (1)； (2). 考点06：简单的值域 例6（1）．函数的值域为 . （2．求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 考点07：判断函数是否是同一个函数 例7（1）．下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 （2）（多选）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5、 练习提升 1．函数中自变量x的值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图所示各图中反映了变量是的函数是（   ） A．  B．  C．  D．   3．下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．集合（   ） A．2 B． C． D． 5．（多选）下列从集合到集合的对应关系中是函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 7．函数的定义域为 ． 8．设区间，则使成立的的取值范围为 ． 9．已知函数． (1)求与与； (2)由（1）中求得结果，你能发现与有什么关系？并证明你的发现； (3)求． . 学科网（北京）股份有限公司 $