2.2.1直线的点斜式方程学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学导学案 第二章 直线和圆的方程 2.2.1直线的点斜式方程 一、学习目标： 1.理解直线点斜式方程的推导过程，掌握直线点斜式方程的形式与适用条件 2.能根据已知条件（直线上一点和斜率），熟练写出直线的点斜式方程 3.了解直线的斜截式方程与点斜式方程的关系，会用斜截式方程表示直线 二、问题导学： （一）自学导引 问题1：如何确定一条直线？ 问题2：给定一点和一条斜率，如何表示直线上任意一点之间的关系？ （2） 新知导航： 知识点一 直线的点斜式方程 1.直线的点斜式方程：方程称为过点，斜率为k的直线l的方程，由直线上一个定点__________及该直线的__________确定，叫做直线的点斜式方程，简称__________. 2.直线的斜截式方程：直线l与y轴的交点的__________叫做直线l在y轴上的截距. 方程由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，则方程__________叫做直线的斜截式方程，简称__________.其中，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距. （三）应用举例 例1：直线经过点，且倾斜角，求直线的点斜式方程，并画出直线． 【答案】；作图见解析 【知识点】直线斜率的定义、直线的点斜式方程及辨析 【分析】直接写出直线的点斜式方程，并画图. 【详解】直线经过点，斜率， 代入点斜式方程得． 画图时，只需再找出直线上的另一点， 例如，取，则，得点的坐标为， 过，两点的直线即为所求，如图所示．    跟踪训练1：写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点且与轴垂直． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）直接将点的坐标和斜率代入点斜式方程即可得出结果； （2）利用倾斜角计算出直线斜率，再代入点斜式方程即可； （3）由直线与轴垂直，斜率不存在，不能使用点斜式方程. 【详解】（1）直线的点斜式方程为：. （2）由倾斜角是，则直线的斜率为， 所以直线的点斜式方程为：. （3）由于直线与轴垂直，斜率不存在， 所以该直线的方程为． 例2：已知直线，，试讨论： (1)的条件是什么？ (2)的条件是什么？ 【答案】(1)且 (2) 【知识点】由斜率判断两条直线平行、由斜率判断两条直线垂直 【分析】（1）根据直线平行关系与斜率、截距的关系可直接得到结论； （2）根据直线垂直与斜率的关系可直接得到结论. 【详解】（1）若，则，此时与轴的交点不同，即； 的条件为：且. （2）若，则；反之，若，则； 的条件为：. 跟踪训练2：已知平面内两点． (1)求过点且与直线平行的直线的点斜式方程； (2)求过点且与直线垂直的直线的点斜式方程． 【答案】(1) (2)． 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）求出直线的斜率，由平行关系得到，由点斜式求出直线方程； （2）在（1）的基础上，由垂直关系得到，由点斜式求出直线方程. 【详解】（1）因为，所以． 因为直线与直线平行，所以． 又直线过点， 所以直线的点斜式方程为． （2）由（1）知． 因为直线与直线垂直，所以， 又直线过点， 所以直线的点斜式方程为． 例3：已知的三个顶点． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知两点求斜率、已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）求出的中点坐标，求出中线所在直线的斜率，代点斜式即可求解； （2）求出直线的斜率，即可得到边上的高线的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解. 【详解】（1）由题意得，边的中点， 则中线所在直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线的方程为，即． （2）由题意得，，则边上的高所在直线的斜率， 所以边上的高所在直线的方程为，即． 跟踪训练3：已知直线的斜率为，在轴上的截距为，则直线的方程为 ． 【答案】 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据点斜式方程求解即可. 【详解】因为直线在轴上的截距为，所以点在直线上， 又直线的斜率为，根据点斜式方程得直线的方程为，即. 故答案为：. （3） 随堂检测 1.（多选）下列说法正确的有（    ） A．点斜式方程可表示过点的所有直线 B．若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限 C．过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为 D．斜率为，且在轴上的截距为3的直线方程为 【答案】BC 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析 【分析】对于选项A、C、D: 由直线点斜式和斜截式方程定义可判断正误；对于选项B：由直线经过象限可确定，的正负，进而得到点所在象限. 【详解】对于选项A：点斜式方程的局限性是不含斜率不存在的直线,故选项A错误； 对于选项B：由直线经过第一、二、四象限可得：，，所以点在第二象限，故选项B正确； 对于选项C：直线倾斜角为，则斜率，由点斜式方程的定义易得；，故选项C正确； 对于选项D：因为直线在轴上的截距为3，斜率为，所以斜截式方程为，故选项D错误． 故选：BC. 2.直线可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线图象的辨析 【分析】根据直线斜率的正负值与定点即可判断结果． 【详解】因为，所以A C错； 当时，，故B对； 故选：B 3.直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系、直线的斜截式方程及辨析 【分析】根据直线方程得斜率，再根据斜率和倾斜角的关系，即可求得倾斜角. 【详解】直线的斜率是， 设倾斜角为，则， ∴. 故选：C. 4.过点，斜率为的直线点斜式方程为 . 【答案】 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】由直线的点斜式方程求解． 【详解】由直线的点斜式方程得，． 故答案为： 5.已知直线过点，倾斜角为，则直线的纵截距为 ． 【答案】1 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】求得直线的斜率，进而可求得直线的方程，令，可求得纵截距. 【详解】由题意知，斜率为，则直线方程为， 令即，，所以直线的纵截距为1． 故答案为：1． 3、 素养提升 在路边安装路灯，路宽23m，灯杆长2.5m，且与灯柱成角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直，当灯柱高h约为多少米时，灯罩轴线正好与道路路面的中心线相交？（精确到0.01m） 【答案】14.92m 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】建立直角坐标系，根据垂直关系可得斜率关系，即可由点斜式得直线方程，代入点的坐标即可求解. 【详解】记灯柱顶端为点B，灯罩处为点A，灯杆为AB，灯罩轴线与道路路面的中心线交于点C. 以灯柱底端O点为坐标原点，灯柱OB所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    则点B的坐标为，点C的坐标为， 因为，所以直线BA的倾斜角为， 则点A的坐标为，即. 因为，所以. 由直线的点斜式，得直线CA的方程是. 因为灯罩轴线CA过点，所以，解得. 故灯柱高约为14.92m. 四、小结与反思 本节课你学会了哪些知识？可以解决哪些问题？还有哪些收获呢？ [作者姓名] 2 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学导学案 第二章 直线和圆的方程 2.2.1直线的点斜式方程 一、学习目标： 1.理解直线点斜式方程的推导过程，掌握直线点斜式方程的形式与适用条件 2.能根据已知条件（直线上一点和斜率），熟练写出直线的点斜式方程 3.了解直线的斜截式方程与点斜式方程的关系，会用斜截式方程表示直线 二、问题导学： （一）自学导引 问题1：如何确定一条直线？ 问题2：给定一点和一条斜率，如何表示直线上任意一点之间的关系？ （2） 新知导航： 知识点一 直线的点斜式方程 1.直线的点斜式方程：方程称为过点，斜率为k的直线l的方程，由直线上一个定点__________及该直线的__________确定，叫做直线的点斜式方程，简称__________. 2.直线的斜截式方程：直线l与y轴的交点的__________叫做直线l在y轴上的截距. 方程由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，则方程__________叫做直线的斜截式方程，简称__________.其中，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距. （三）应用举例 例1：直线经过点，且倾斜角，求直线的点斜式方程，并画出直线．    跟踪训练1：写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点且与轴垂直． 例2：已知直线，，试讨论： (1)的条件是什么？ (2)的条件是什么？ 跟踪训练2：已知平面内两点． (1)求过点且与直线平行的直线的点斜式方程； (2)求过点且与直线垂直的直线的点斜式方程． 例3：已知的三个顶点． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程． 跟踪训练3：已知直线的斜率为，在轴上的截距为，则直线的方程为 ． （3） 随堂检测 1.（多选）下列说法正确的有（    ） A．点斜式方程可表示过点的所有直线 B．若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限 C．过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为 D．斜率为，且在轴上的截距为3的直线方程为 2.直线可能是（    ） A． B． C． D． 3.直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4.过点，斜率为的直线点斜式方程为 . 5.已知直线过点，倾斜角为，则直线的纵截距为 ． 3、 素养提升 在路边安装路灯，路宽23m，灯杆长2.5m，且与灯柱成角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直，当灯柱高h约为多少米时，灯罩轴线正好与道路路面的中心线相交？（精确到0.01m） 四、小结与反思 本节课你学会了哪些知识？可以解决哪些问题？还有哪些收获呢？ [作者姓名] 2 学科网（北京）股份有限公司 $