第10节专题：奔驰定理与面积问题讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第十节 专题:奔驰定理与三角形的面积问题 60 学科网（北京）股份有限公司 ▍知识点1:奔驰定理 若点是内一点,则. 【证明】 得:. 推论:已知为所在平面一点,且满足, 则. ▍知识点2:奔驰定理与三角形四心关系 （1）是的重心 （2）是的内心 （3）是的外心 （4）是的垂心 关于（4）的证明如下. 【证明】如图,为三角形的垂心, 因为, 所以. 同理得 所以 ▍练题型 直接应用定理求面积关系 1 【典例▪1】（2024·高三专题） 已知点在的内部,且满足,,, 的面积为,,.若 ,则 ________;若, ,则 ________. 【典例▪2】（2024·全国高三专题）已知点在的内部,且有,则的面积与的面积的比为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【练习▪3】设为所在平面内一点,满足,则的面积与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【练习▪4】（2024·重庆）设点O在的内部,且有,则的面积与的面积之比为_____. 【练习▪5】（2024·安徽淮南）已知为所在平面内一点,且,若,则 . 【练习▪6】（2023·全国高三专题）已知点是内一点,若,,,且向量,则 . ▍练题型 通过变形求面积关系 2 ▷角度1:点在三角形内部 方法概要: 当点在三角形内部,但所给向量关系不是奔驰定理标准形式时,可以先将向量关系通过向量线性运算化简成奔驰定理标准形式再根据奔驰定理得出各三角形面积之间的比例关系. 【典例▪7】（2024·四川绵阳高一校考）P为所在平面内一点,且,则与的面积之比等于________. 【练习▪8】若点是所在平面内一点,且满足,则___. 【练习▪9】（2024·东北育才）点P是所在平面上一点,若,则与的面积之比是_______. 【练习▪10】（2024·全国高一）设点O在的内部,且,则的面积与的面积之比是 . 【练习▪11】（2022·全国高三专题）已知点A,B,C,P在同一平面内,,,,则_________. ▷角度2:点在三角形外部 【典例▪12】（2024·浙江）点在所在平面上,且满足,则________. 【练习▪13】已知点是所在平面内一点,若,则与的面积比为_______. 【练习▪14】已知是所在平面上一点,满足.则与的面积之比为 . 【练习▪15】（2024·沈阳校考）设为所在平面上一点,且,若的面积为2,则面积为 ． ▍练题型 定理与三角形四心的关系 3 【典例▪16】（2022·河南安阳高一统考期末）已知是内的一点,若的面积分别记为,则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的相似,故形象地称为“奔驰定理”.如图,是的垂心,且,则 （    ） A． B． C． D． 【练习▪17】（2023·河北）（多选）奔驰定理:已知是内一点,,,的面积分别为,,,则．设是内一点,的三个内角分别为,, ,,,的面积分别为,, ,若,则以下正确的有（    ）    A． B．有可能是的重心 C．若为外心,则 D．若为内心,则为直角三角形 【练习▪18】（2024·全国高三专题）在中,若,则点是的______心. 【练习▪19】在面上有及内一点满足关系式: 即称为经典的“奔驰定理”,若的三边为,,,现有,则为的______心. 【练习▪20】根据“奔驰定理”,解决以下问题: （1）点O为内一点,若 ,设,求实数和的值; （2）若O为的外心, 证明: $第十节专题：奔驰定理与三角形的面积 重点题型专练 【1】1:1:14:2:3 解析：如图所示，作OD=xOA,O正=yOB,OF=-OC,所以OD+OE +OF=0,所以O为△DEF重心，SaE=ScsR=SobF·所以SAc xy 所以S4oa:Sr:Soe==:x:y,故填1：1：1,4：2：3. 【2】C 解析：由奔驰定理可得△A8C的面积与△A0C的面积的比+2+3=3 2 故选C 【3】D 解析：方法一：根据奔驰定理，易得面积之比为5. 方法二：延长OB到D,使OB=BD,延长OC到E,使OC=CE,连接 AD,DE,AE,因为QA+2DB+20C=0,所以A+OD+OE=0, 所以O为△ADE的重心， 所以设8o=8a=8a=8,则a=8e=片，ce=子， 4 所以业==5，故选D 4 【41 解析：方法一：根据根据奔驰定理，易得面积之比为 方法二：如图，延长OB至B,使BB,=OB,延长OC至C,使CC=2OC, 连接AB,AC,B,C,则OB=2OB,OC1=3OC, 由条件，得OA+08+0C=0, ,点O为△AB,C的重心 从而8ag=84a=8a=行，其中S表示△AaG的面积 连接4C,8方，Sa合。 1 23 于是8ce+8+8 故A4OB的面积与△ABC的面积的比为，故选：C 【5】8 解析：方法一：根据根据奔驰定理，易得面积之比为S。4=8 方法二：如图所示，延长OB到点D,使得BD=OB,延长OC到点E,使 得CE=3OC 连接AD,DE,CE :0为aABC所在平面内一点，且满足OA+2OB+4OC=0, .OA+OD+08=0, 所以O为△ADE的重心， 又SA0E=Sob=S。ob 所我8说c说e421,又8=14，所以 8w4中子84=8被答米为：8 4 1 E 【6】 18 解析：方法一：因为S6a=7,SB=5,Sae=6, 所以OS=7:5:6, '.由奔驰定理可得：5GA+6GB+7GC=0, 即5GA+6GA+AB)+7(GA+AC)=0， 整理可得：18GA+64B+7AC=0 即石丽+和兮+和 1 7 1+7-13 所以x亏=g则+y=写+818 13 故答案为： 方法二在CA上取一点E,使得G函=aa 在G8上取一点B,使得G亚-西，连接G8,R,FC, 30 30 所以G为aEFC的重心，所以GE+GF+GC=0, 也即a+9西+6c-6,所以5a+丽+0元=6， 5GA+6(GA+AB)+7(GA+AC)=0 整理可得：18GA+6AB+7AC=0， 即4=6A+ 18 所似宁则+y宁品做答奖为 7 18 【1号 解折：方法一：由亚=西+C,可符亚历-列+心列， 51 整理得2PA+PB+2PC=0,根据奔驰定理可得△4BP的面积与△4BC面 积之比为号 3 方法二： D 连接CP并延长交AB于D, ,P、C.D三点共线，∴.AP=2AD+AC,且月+L=1 设丽=西，结合乎丽+c,得丽专而+c, 由平面向量基本定理，解之符=子，女=3且以=号 “丽=而+c, 可得历玩， :△4BP与△4BC有相同的底边AB,高的比等于P可与可之比， ·△MBP的面积与AM8C面积之比为号 【8】1:2:3 解析：方法一：由6AM=34B+AC,可得6AM=3ME-M4+(MC-MA 整理得3+MC+24=0,根据奔驰定理 S2MC+Sa+SaMu MB=0,可得Sue:SMe:Se=1:2:3 方法二：在平面内取点D,使得6iM=4AD→M=二AD,则由 44D=343+AC3 AD-4B+iD-Ac-0 →3BD+CD=0→DC=3BD如图所示： A C 设S。w=S,所以Se=3S,S.B=4S,由 --引4户-2面，则w=288a=起， 再由8D=3Dd可得Sc=9S,所以8ue=9S-38=6S.于是 S:S:SM=28:48:68=1:2:3. 【91月 解析：方法一：由亚西+c,可得亚=历-列+元-网， 整理得2PC+3P+PA=0,根据奔驰定理 8F元+84西+8，A=6,可得-号 方法二：如图，延长AP交BC于点D, 设初=，则-子丽+子c, 因为B,C,D共线 所以子+子=1，解得2= 6 所以而名而，而洒+都， 由AD=3A丽+2AC 5 5 得0--ac-而)，即D=o 所以贮，所以=名 83,所以S4e=6b 2 【10】5 解析：由AB=4OB+50C变形可得：A0+OB=4OB+50C,整理可 得：OA+30B+5OC=0, 根据奔驰定理可得：88a8135,则一5 故答案为：5. 【11】19:4 解析：由Q吸=8可得：及-0=西-P0,整理可 得：顾=西+0=丽+号， 由恋可得和而-顾列，整理可得：顾元，所以 -_上P元=丽+2，整理得：4P+6丽+9P元-0，由奔驰定理可 2 3 9 得：SA:SPc=(4+6+9):4=19:4. 【21号 解析：方法一：因为PA+PB+PC=2AB=2(PB-PA),整理得 3PA-PB+PC=0,根据奔驰定理的推论3PA-PB+PC=0,则 Se:Sea:S=朴h.因为点P在三角形外部，根据图形可得 =8+8-8=3.所以-号 方法二：因为PA+PB+PC=2AB=2(PB-PA),所以3PA=PB-PC=CB, 所似风西共线且网阿，所以号 方法二：因为PA+PB+PC=2AB=2(PB-PA),整理得3PA-PB+PC=0, 根据奔驰定理的推论 3网-P丽+P元=0，则Sc:Sa:S。=ll.因为点P在三角形 外部，根据图形可得8c=8s+8。一8e=3,所以- 【1号 解析：方法一：因为A乎=38C-二， 4 3 所以示=（元-网列-何网-网），整理得4风-西+9元=0 根据奔驰定理的推论4PA-PB+9PC=0, 则SeS。aS始=中9.因为点P在三角形外部，根据图形可得 Se=Sa+Se-Sae=12,所以△PBC与△ABC的面积比为 41 123 方法二：假设△ABC是等腰直角三角形，且A是直角，AB=AC=2, 建立如图所示平面直角坐标系，设P(x,y) 则8(0,2)，C(2,0),8C=(2,-2),A=(0,-2)， 依题意P=8c-号A, 即(-小-2小号 x2×2=2 =2 S。Pc=SPAc+S。Ar-SA 2 所以aPBC与△ABC的面积比为3_1· 23 A 【14】1:2 解析：方法一：因为PA+PB+2PC=3AB,所以 A+PB+2PC=34P+3PB,:4PA-2PB+2PC=0,根据奔驰定理的推论 42A-2P丽+2PC=-0,则Se:Se:S=422斗.因为点P在三角 形外部，根据图形可得SA=Sa+S.-Sae=4,所以△4BP与 0的重积2比-甘 方法二：因为PA+PB+2P℃=3AB, 所以A+PB+2PC=3AP+3PB,∴4P4-2PB+2PC=0, 2PA-PB+P℃=0，.2PA=PB-PC=CB, 所以2AC8,A=,西 所以A4BP与A4BC的面积之比== A8APsmaP 1.AB.BC.sin(T-∠aAP）2 2 故答案为1：2 【15】3 解析：方法一：因为A+2PC=m4西，所以PA+2P元=mP丽-风，整理 得(m+1)PA-mPB+2PC=0, 根据奔驰定理的推论(m+1)PA-mPE+2PC=0,则 Se:Sea:S=m+m.又因为△ABP的面积为2，所以 S.ABc =S.mB+S./8e-S.mc=(m+1)+2-m=3 方法二：因为PA+2PC=mAB(m>0) 所以+元=号西m>0), 令而丽+元则时历-丽元西 3 3 所以西=D元，所以D为AC上靠近C的三等分点， 因为P而=？丽，所以PD∥A西 所以8=8。=子8c=2,所以=3，故答案为：3 【16】A 解析：方法一：根据奔驰定理与三角形四心的关系，可得到结论. 方法二：O是△ABC的垂心，延长CO,BO,AO分别交边AB,AC,BC于点 P,M,N,如图， 则CP⊥AB,BM⊥AC,AN⊥BC,∠BOP=∠BAC,∠AOP=∠ABC 因此，=P-OPm∠BOP tam∠BAC 3 POPton∠AOP tam∠ABd,同理冬- 于是得tamn∠BAC:tan∠ABC:tan∠ACB=S,:S2:S,, 又0+25+30c=0,即00=-1aa-20丽，由奔驰定理"有 SO+S,0丽+3,06=0， 则元：意丽受丽，而可与西不共线有受行意号甲 S S S:S:S=1:2:3,所以tamn∠BAC:tam∠ABC:tan∠ACB=1:2:3.故选：A 【17】AD 解析：对于A,由奔驰定理可 得，3OA+4OB+5OC=S4:OA+S。·OB+S。.OC=0, 因为OA,OB,OC不共线，所以S4:Sa:S2=3:4:5,故A正确： 对于B,若O是△ABC的重心，OA+OB+OC=0, 因为3A+4OB+5OC=0,所以OB=2C石，即O,B,C共线，故B错误. 对于C,当0为△4BC的外心时，网=园=d 所以S4:Sa:S。=sim∠BOC:sim∠AOC:simn∠AOB=3:4:5 即sim2A:in2B:sm2C=3:4:5,故C错误 对于D,当O为△ABC的内心 时，SA:S2:S= 1 ar28 cr=ab:c=3:4:5(r为内切圆半径)， br。 所以。2+8=，所以c=号放D正确放选AD 【18】内 解析：方法一：根据正弦定理可得，sim∠BAC:sim∠ABC:sin∠ACB=a:b:c 所以a,PA+b,PB+c,PC=0,根据奔驰定理与三角形四心的关系，可以 得到P是△ABC的内心. 方法二：过点P分别作BC,CA,AB的垂线PD,PE,PF,其垂足依 次为D,E,F,如图所示 由于sim∠BAC.PA+sim∠ABC,PB+sin∠ACB,PC=0, 根据奔驰定理就有： S△Be:ScPA:S△Ps=sm∠BAC:sin∠ABC:sin∠ACB=BC:AC:AB, 因此PD=PE=PF,故点P是△ABC的内心，B选项正确.故选：B 【19】内 解析：方法一：根据奔驰定理与三角形四心的关系，可以得到O是△A8℃ 的内心. 方法二：：OB=OA+AB,OC=OA+AC ..a.0A+b.03+cOC=a.OA+b(OA+AB)+c(OA+AC) =(a+b+c)QA+b.AB+c.AC=0, 0=c一题+4C, a+b+cc b :西，亚分别是丽，C方向上的单位向量， '6 :向量正+C平分∠MC,即40平分∠B4C,同理0平分 h ∠ABC, 0为△ABC的内心，故答案为：内 【20】()=号，u=号2)证明见解析 解析：(1)根据“奔驰定理”，得30A+2OB+4OC=0,即 30A+2@++4何+4C)=0,整理可得40=号+4c, 因为AB与AC不共线， 所以由平面向量蒸本定理得A=号，以=号 (2)证明：若O为aABC的外心 则可设△ABC的外接圆半径为R,∠BOC=2A,∠AOC=2B ∠A08=2C,故8ae=2R2sn2A, 同理及e行Rm28,8ae=行血2C 根据“奔驰定理”，S2A+S。kcO丽+SAOC=0 即，血24o+号血2B-O丽+宁sn206元=6. 所以sim2AO+sim2B.O丽+sim2C.0C=0