第9节专题：三角形四心的向量表示讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第九节 专题:三角形四心的向量表示 51 学科网（北京）股份有限公司 ▍知识点1:三角形的重心 三 角 形 重 心 定义 图形 性质 三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心 ①重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为1∶2 ②重心和3个顶点组成的3个三角形面积相等 ③重心到3个顶点距离的平方和最小 重心的向量式表示 设是的重心,为平面内任意一点 ①或 ② ③ ④若或,则一定经过三角形的重心 ⑤若或,则一定经过三角形的重心 重心向量式证明: 证明①:设. 是重心 证明②: 取中点,,故,根据三角形重心性质,可得是的重心. 证明③:在中三式相加 得,因为,即,故,所以是的重心. 证明④:,当时,由于表示边上的中线所在直线的向量,所以与边上的中线共线,所以动点的轨迹一定通过的重心.如图. 同理得,即,同理可证. 证明⑤ : 与共线, 根据正弦定理:,所以, 设 所以,所以与共线, 经过线段的中点,所以点的轨迹也过中点 点过三角形重心. 同理 可得,同理可得. ▍知识点2:三角形的垂心 三 角 形 垂心 定义 图形 性质 三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心 1.三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍 2.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍 垂心的向量式表示 设是的垂心,为平面内任意一点 ① ② ③若或,则动点的轨迹一定通过的垂心 垂心向量式证明: 证明①:由,得,即,所以.同理.所以是的垂心. 证明②:已知 故, 所以 , ,即,所以,所以点在边的高上,同理可证,所以为垂心 证明③:由题意知,由于,所以,即点在过点且垂直于的直线上,所以动点的轨迹一定通过的垂心. ▍知识点3:三角形的内心 三 角 形 内心 定义 图形 性质 三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心（内切圆圆心） ①三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径 ②直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一 内心的向量式表示 设是的内心,为平面内任意一点 ①若,则且 ②若,,则动点的轨迹一定通过的内心. ③若,且. ④若,且. 内心向量式证明: 证明①:因为, 则由题意知, 因为. 所以. 因为与分别为和方向上的单位向量,所以与的平分线共线,即平分. 同理平分平分. 从而是的内心. 证明②:设为上的单位向量,为上的单位向量,则的方向为的角平分线的方向,又,所以的方向与方向相同,而.所以点在上移动,点的轨迹一定通过的内心. 证明③: ,根据①的证明过程可得在的角平分线上,同理在的角平分线上,所以点为三角形的角平分线的交点,故点是三角形的内心. 证明④:因为 则, 即 移项可得 即 则, 根据①的证明过程得证. ▍知识点4:三角形的外心 三 角 形 外心 定义 图形 性质 三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心（外接圆圆心） ①三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等.都等于三角形的外接圆半径 ②锐角三角形的外心在三角形内;直角三角形的外心在斜边中点;钝角三角形的外心在三角形外 外心的向量式表示 设是的外心,为平面内任意一点 ① ② ③则动点的轨迹一定通过的外心. 外心向量式证明: 证明①: ,知,所以,则是的外心. 证明②: 由得:,即,则有由,同理得,故,所以是的外心. 证明③:设,中点为,则, 又, 所以, 因为,即,故动点的轨迹一定通过的外心. ▍练题型 判断三角形四心的位置 1 【练习▪1】（2024·高一课时练习）若是内一点, ,则是的（    ） A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 【练习▪2】（2024·江苏高一专题练习）已知O是平面上的一个定点,A､B､C是平面上不共线的三点,动点P满足,则点P的轨迹一定经过的（    ） A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 【练习▪3】（2023·全国高三专题练习）已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,,则的轨迹一定通过的（   ） A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 【练习▪4】（2024·广东高一统考）在中,若,则是的（    ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【练习▪5】（2024·安徽高一校考）点O在ABC所在的平面内,若,则O为ABC的（    ） A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心 【练习▪6】（2024·上海徐汇校考期中）O是所在平面上的一点,若（其中P为平面上任意一点）,则点O是的（    ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【练习▪7】已知点O,P在△ABC所在平面内,且,,则点O,P依次是△ABC的（    ） A.重心,垂心 B.重心,内心 C.外心,垂心 D.外心,内心 【练习▪8】（2023·全国高三专题）是所在平面上一点,若 ,则是的（    ） A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 【练习▪9】（2023·福建泉州高三统考）已知是平面上一定点,、、是平面上不共线的三个点,动点满足, ,则动点的轨迹一定通过的（    ） A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 【练习▪10】（2024·黑龙江大庆四中高一）已知O是平面上一点,,A、B、C是平面上不共线的三个点,点O满足,则O点一定是△ABC的（    ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【练习▪11】（2023·四川眉山高一校考练习）设O是所在平面内一定点,P是平面内一动点,若,则点O是的（    ） A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 【练习▪12】中,a､b､c分别是BC､AC､AB的长度,若,则O是的（    ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【练习▪13】（2023·广东佛山校考一模）在中,设,那么动点的轨迹必通过的（    ） A.垂心 B.内心 C.重心 D.外心 【练习▪14】已知为所在平面内一点,且满足,则点（    ） A.在边的高所在的直线上 B.在平分线所在的直线上 C.在边的中线所在直线上 D.是的外心 【练习▪15】已知O是三角形ABC所在平面内一定点,若,则O是的（    ） A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 【练习▪16】（2023·全国专题）设为的外心,若,则点是的（    ） A.重心 B.内心 C.垂心 D.外心 【练习▪17】已知O是所在平面内一定点,动点P满足.则P点的轨迹一定通过三角形ABC的（    ） A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 【练习▪18】若点在所在的平面内,满足,则动点的轨迹一定通过的（    ） A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心 【练习▪19】（2023·河北衡水中学校考）已知是平面上的一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足, ,则动点的轨迹通过的（    ） A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 【练习▪20】已知,是其内心,内角所对的边分别,则（    ） A. B. C. D. 【练习▪21】（2023·上海闵行校考期中）已知O是所在平面上的一点,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,若（P是所在平面内任意一点）,则O点是的（    ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【练习▪22】已知为所在平面内一点,且则点是的（    ） A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 【练习▪23】（多选）对于给定的,其外心为O,重心为G,垂心为H,内心为Q,则下列结论正确的是（    ） A. B. C. D.若A、P、Q三点共线,则存在实数使 【练习▪24】（多选）已知为所在的平面内一点,则下列命题正确的是（    ） A.若为的垂心,,则 B.若为锐角的外心,且,则 C.若,则点的轨迹经过的重心 D.若,则点的轨迹经过的内心 ▍练题型 根据三角形四心处理向量问题 2 【练习▪25】已知点是的外心,, ,则（    ） A. B. C. D. 【练习▪26】已知A、B、C是平面上不共线三点,O是△ABC重心,点P满足,则△ACO与△CBP面积比为（    ） A.5:6 B.3:4 C.2:3 D.1:2 【练习▪27】中,,G为的重心,H为的垂心.则（    ） A.4 B.5 C.-4 D.-5 【练习▪28】中,,,, 为的外心,若,则m的值为（   ） A. B. C. D. 【练习▪29】（2024·安徽临泉高三练习）已知点O是的外心,,,则（    ） A. B. C. D. 【练习▪30】如图所示,已知点G是的重心,过点G作直线分别与AB,AC两边交于M,N两点（点N与点C不重合）,设,则的值为（    ）    A.3 B.4 C.5 D.6 【练习▪31】（2023·天津滨海高三校考）已知是的重心,且,则（    ） A. B.1 C.2 D.3 【练习▪32】（2023·重庆江北高二校考）已知是的重心,是空间中的一点,满足 ,,则（   ） A. B. C. D. 【练习▪33】已知点是的重心,过点的直线与边分别交于两点,为边的中点.若,则（    ） A. B. C.2 D. 【练习▪34】设为内心,,, ,则（    ） A. B. C. D. 【练习▪35】在中,,M是边的中点,O为的外心,则（    ） A.8 B. C.16 D.17 【练习▪36】在中,,,I为的内心,若,则的值为（   ） A.1 B.2 C.3 D.4 【练习▪37】（2024·云南昆明高一校考练习）已知在中,,是的垂心,且满足,则的面积（    ） A. B.8 C. D.4 【练习▪38】（2024·泉州高一）已知为的外心,,,,则的面积为（    ） A. B. C. D. 【练习▪39】在中,O是三角形的外心,过点B作于点G,,则（    ） A.4 B.8 C.12 D.16 【练习▪40】在中,,,, 是的内心,若,其中,则动点的轨迹所覆盖图形的面积为（    ） A. B. C. D. 【练习▪41】（2024·四川遂宁高一校考）已知中,,,,为的外心,若,则的值为（ ） A.1 B.2 C. D. 【练习▪42】（2023·湖北鄂南高中校联考）已知为的重心,,,则的最小值为（    ） A. B. C. D. 【练习▪43】在中,AB＝5,AC＝6,D是BC的中点,H是的垂心,则 . 【练习▪44】（2022·湖南高二校联考）若点O是锐角的垂心,且,则的面积为 . 【练习▪45】（2023·浙江高二校联考开学考试）为的外心,且,则的内角的余弦值为 . 【练习▪46】（2023·四川成都高一校考练习）已知点O是△ABC的外心,,若,则 . 【练习▪47】已知点为的重心,分别为,边上一点,,,三点共线,为的中点,若,则的最小值为________. $第九节专题：三角形四心的向量表示 重点题型专练 【1】D 解析：取线段AB的中点D,连接OD,则CA+OB=2OD, 而OA+OB+OC=0, A 因此CO=2OD,即C,O,D三点共线，线段CD是△ABC的中线，且O是 靠近中点D的三等分点，所以O是△ABC的重心.故选：D 【2】C AB AC 解折：因为园为而方向上的单位向量， ”为AC方向上的单位向 AB AC 量，则AAC ·的方向与∠BAC的角平分线一致， AB AC 可得0乎-0=2 AB AC Ad 即AP=〉 AB AC 所以点P的轨迹为∠BAC的角平分线所在直 线，故点P的轨迹一定经过△ABC的内心.故选：C 【3】A 解析：由题意AP=(AB+AC),当2∈(0，+∞)时，由于(4B+AC)表示 BC边上的中线所在直线的向量， ∴.动点P的轨迹一定通过△ABC的重心，如图，故选A 【4】D 解析：：a.O=0丽.0c.08.(@A-0C)=0: .OB.C=0: ∴.OB⊥AC,同理由QA.OB=OC.OA,得到OA⊥BC ,点O是△ABC的三条高的交点.故选D. 【5】D 解析：分别取AB的中点为D,BC的中点为E,如图所示 OA+08=20D,0B+OC=208 由(OA+OB)AB=0得2OD.AB=0 所以OD⊥AB,所以OD垂直平分线段AB 由(OB+OC)-BC=0得2OE.BC=0, 所以OE⊥BC,所以OE垂直平分线段BC 所以点O为△ABC的外心.故选：D, 【6】C 解折：由题意0=反+西+可)，可符 PO-PA+PO-PB +PO-PC=0, 得AO+BO+CO=0,即得AO=OB+OC,取BC中点M,连接OM,如图 所示， 则有A0=O5+0c=2m,所以A、0、D三点共线，且Ad=2d, 所以点O是△ABC的重心. 故选：C 【7】c 解析：由于网=园=可，所以o是三角形48C的外心 由于.PB=PB.PC 所以(Pa-PCP西=0，可.P西=0→C41PB 同理可证得AB⊥PC,BC⊥PA,所以P是三角形ABC的垂心.故选：C 【8】B 解折：由(@A+O)A丽=0得：(@+0B)(O丽-A)=0,即O4-OB°=0， 则有1OAHO1,由(@A+0C)AC=0,同理可得1@4HOC1, 因此OAHOB曰OC,所以O是△ABC的外心.故选：B 【9】D AB AC 解析：因为AP 因cosB :.AP.BC=A AB.BC AC.BC 4B cosB ACcosc a国BGcos3,A.Bcosc =0 A因cosB ACcosc AP⊥BC,因此，点P的轨迹经过△ABC的垂心，故选：D. 【10】B AB 解析：Q4 AC =0,OA AB -OA AC d 即网 AB COS<OA,AB>-A AC cos<OA,AC> .cos<OA,AB>=cos<OA,AC>,O点为∠BAC的角平分线上的点， 同理可得O点为∠ABC的角平分线上的点， 所以O点为△ABC角平分线的交点，O点是一定是△ABC的内心 故选：B 【11】B 解析：设BC,AC的中点分别为D,E QB+0C=20D,QA+0C=20E, (PB -PC).(OB+OC)=CB.20D=0,:.CB LOD, 所以OD L BC,点O在线段BC的垂直平分线上， 同理点O在线段AC的垂直平分线上， 所以O为△4BC的外心.故选：B. 【12】B 解析：OB=OA+AB,OC=OA+AC aOA+boB +cOC=0 aQA+bOA+4B)+co4+AC)=0 (a+b+c)=-(b.A丽+cAC) .OA=- bAB+cAC bc AB AC a+b+c a+b+cAB AC .OA在∠BAC的角平分线上，同理OB在∠ABC的角平分线上， “.点O为三角形ABC的角平分线的交点，故点O是三角形的内心.故 选：B. 【13】D 解析：设线段BC的中点为D,则DB、DC互为相反向量， 所以，A+Ac=(AD+DB)+(AD+DC)24D+D8+DC24D, 因为AC-AB=2AM.AC-AB）,即 (AC+AB)AC-AB)=2AM.BC, 所以，(4C+AB(4C-AB)=24M.BC,即2AD.8C=2AM8C, 即BC(AM-AD)=BC.DM=0,即DM⊥BC, 所以，DM垂直且平分线段BC,因此动点M的轨迹是BC的垂直平分 线，必通过△ABC的外心.故选：D. 【14】A 解析：由BA.OA+1BC=A丽.O店+AC得 五AOA+BC-AB.OB-AC2=0,所以 B4.04+BC+AC)(BC -AC)+34.08=0 →BA.(@A+O8+BC+AC=0, 24.OC=0,所以BA⊥OC,所以O在AB边的高所在的直线上， 故选：A 【15】A 解析：设三角形ABC外接圆的半径为R,由正弦定理得 2Rsin AOA+2Rsin BOB +2Rsin COC=0 即aOA+bOB+cOC=0 ..aA+b(OA+AB)+c(A+AC)=0 ∴(a+b+c)A=-6A丽+cAC a=-bA西+cc bc AB AC a+b+c a+b+c 1431 lACI ∴.QA在∠BAC的角平分线上，同理OB在∠ABC的角平分线上 :点O为三角形ABC的角平分线的交点，故点O是三角形的内心 故选：A 【16】c 解析：取BC的中点D,如图所示， 连接OD,AM,BM,CM. 因为QA+QB+OC=OM 所以OB+OC=OM-OA=AM 又OB+OC=2OD,则AM=20D 所以AM∥OD 又由于O为△ABC的外心， 所以OD⊥BC, 因此有AM⊥BC.同理可得BM L CA,CM⊥AB, 所以点M是△ABC的垂心.故选：C 【17】c 解析：设三角形ABC外接圆的半径为R,由正弦定理得 园AC =2R sinC sin B 所以O=OA+ABAE+ACA -)=0A+2A.R.(AB+AC) sinC sinB AP=2A.R(AB+AC) 根据向量加法的几何意义可知：AB+AC表示以AB,AC为邻边的平行 四边形的对角线， 此对角线与三角形中线重合，所以P在三角形ABC的中线上，也即P 点的轨迹一定通过三角形ABC的重心.故选：C 【18】D 解析：令△ABC边BC上的高为九，则有IAB|sin BAC1simC=h,令边BC 的中点为D,则AB+AC=2AD, 因此=-风=要-石+网兰而，即 AM/AD,所以动点M的轨迹一定通过△ABC的重心.故选：D 【19】B 解析：设BC的中点为D 因为0丽=0丽+0C AB AC 所以OP=OD+2 AB AC A园cosB4 cosc 即DP= AB AC ,两端同时点乘BC 所以DP,BC= AB.BC AC.BC A cos3 ACcosc .3ccos(-B)c.Bccosc 4cosB ACcosc =3c+3G)=0, 所以DP⊥BC,所以点P在BC的垂直平分线上，即P经过△ABC的外 心故选：B. 【20】C 解析：延长AI,BI,CI,分别交BC,AC,AB于D,E,F.内心是三角形三个内 角的角平分线的交点. 在三角形ABD和三角形ACD中，由正弦定理得： BD c CD b ∠BAC m sin∠ADB L∠BAC sin∠ADC, 由于sin∠ADB=sin∠ADC,所以 BD CD BD c BD c BD c ebcpb BptcD-hte a-hte BD=de b+c c Al AI AI 同理可得BD'BD+cD1+AAD Ar=CAD BD+ =-ac +c b+c 所似而-店+丽=丽++。c=店+c-) +C 则石e而（丽+C a+b+c c—AC故选：C a+b+c 【21】B 解析：因为P0=a+bP西+cP元 a+b+c 则(a+b+c)PO=a网+bP丽+cPC,即 aPO+bPO+cPO=aPA+bPB+cPC 移项可得aPA-aPO+bPB-bPO+cPC-cPO=0 即a(-P可)+b(P-po)+c(c-Po)=0 则aOA+bOB+cOC=0 因为OB=OA+AB,OC=-OA+AC, 所以aA+b(回A+A)+c(@A+AC)=0 化简可得aOA+bOA+bAB+cOA+cAC=0,即 (a+b+c)oA=-bAB-cAC 设7为A正方向上的单位向量，了为AC方向上的单位向量 所以AB=cd,AC=b 则(a+b+c)OA=-bci-bc7 (a+b+c)oA=-bc(f+） a网+刃 则O在∠BAC的角平分线上 同理可知O在∠CBA的角平分线上 因而O为△4BC的内心，故选：B 【22】D 解折：网+=匝+同→网+丽+c) 函+（网+丽）， 得BF,HC=CF.HA→HC,BA=0,即HC⊥BA: +Bd=c+→☒d+旺+c)=c+a旺B 得B丽.HC=AF.丽→B旺.AC=0,即BF⊥AC: m+网=+→丽+网+丽-+丽+丽)， CA=A疗丽一a.C8=0,即丽⊥C西，所以H为aA8C的垂心 故选：D. 【23】BCD 解析：对于A:给定的△4BC,其外心为O,设D为AC中点，所以 AcA0=AC+D0)=AC+CD0-c',故A不正确： 对于B:因为日为给定的△ABC的垂心，故 AB.HC=0,AC.HB=0,BC.HA=0, (AH+HB).HC=0,(A+HC).HB=0,(B+HC).HA=0, 解得：HA.HC=HB,HC=A.HB,故B正确： 对于C:因为重心为G则有 而=西+)，而=回+c),西何+西)，所以 AG+G+C而=0，故C正确： 对于D:由于点P在∠A的平分线上 AB AC 和 为单位向量，所以 西+正与∠A的平分线对应向量共线，所以存在实数1使 A丽可AC 乐，语忍微D正确选cn 【24】ABC 解析：对于A选项，因为AC=AP+PC,AB.AC=2,又因为P为aABC 的垂心， 所以AB.PC=0, 所以AB.AC=AB.(AF+PC=AB.AP+AB,PC=AB.AP=2,故正确： 对于B选项，因为AP=xAB+yAC且x+2y=1, 所以AP=(（1-2y)AB+yAC,整理得：AP-AB=y4C-24B),即 BP=y(BC+BA), 设D为AC中点，则BP=2yBD,所以B,P,D三点共线， 又因为PD⊥AC,所以BD垂直平分AC,故AB=BC,正确： 对于c选项由正弦定理回_国得G血c-m8 sin B sinC 所以AP AB AC AB sinB 1(丽+Ac) 设BC中点为E,则AB+AC=2AE,所以4P= ABsinB 所以A,P,E三点共线，即点P在边BC的中线上，故点P的轨迹经过 △ABC的重心，正确： 对于D选项，因为 AP- 1 国co8 1 一AB 园。+@+)】. 1 设BC中点为E,则AB+AC=2AE 1AB+- 1—AC+AE 所以o4同eoC 所以A.8C= 1一A丽BC+ -AC.BC+AF.BC 国08 =-d+d+Ac=正.元 所以AP.BC-A正.8C=0,即(AP-AEBC=0 所以EP,BC=0,故P在BC中垂线上，故点P的轨迹经过△ABC的外 心，错误故选：ABC 【25】C 解析：如下图所示： 取弦AC的中点D,则 ODLAC,:.AO.AC=AD+DO )AC=AD.AC+DO.AC =兮记+0=C,同理可得而西= 0c=0C-0丽=0-丽=-=}故 选：C 【26】D 解析：由O是△ABC的重心，得OA+O8+OC=0,而 0丽-丽++， 则0B+0C=60P-4OA,故20P=O4, 所以点P为OA中点，即点P、点O为BC边中线的两个三等分点， 所以△ACO与△CBP面积比为1：2.故选：D 【27】D 解析：因为C为△ABC的重心，H为△ABC的垂心， 所拟号+，正0 G扇C=(-AO)C=-Add=-店+AC)-) 3 =店-=a9-64=-5故选D 【28】A 解析：过O作OD上AB,垂足分别为D,显然D为AB的中点， 所以OD⊥AB,即ODAB=0, 因为AO=mAE+上AC 6 所以有A6丽=mA丽+ACB (D+00)丽=咖+名×2×3x号 24 Γ9 故选：A 【29】D 解析：如图，设D为AC的中点，则AD=4C 所以Aoc=ados∠0AD=clc 同理可得46 所拟400=0(ac-)上40.4C-0丽=c-面 =x2-×=子故选D, 【30】A 解析：设MG=2M,则 AG=AM+MG=AM+AMN-AM+AAN-AM) =(1-2)AM+2AW=x(1-2)AB+y2AC, 又因为G是a4C的重心，故石-兮西+兮C 所以有 0-方+30-+3=3.故选A x y Γ3 【31】C 解析：由O是△ABC的重心， 则OA+OB+0C=0,OA=-OB-OG， 由QA+mOB+nBC=0, OA=-m0B-nBC=-m0B-noc-0B)=(n-m)03-noc; 已知A,B,C构成aABC,则向量OB,OC不共线， 由平面向量基本定理得 仁1据特仁则号：放选C -n=-1 【32】C 解析：由题意知G是△ABC的重心，则C+G五+G元=0，即 (O4-0G)+08-0G)+OC-0G)=0 所以o0-a+o西+a0, 又因为 (QA+08+OC)=OA+0B+0C+2(0A.0B+OA.OC+0B.OC)=18 所以1OG=√2.故选：C 【33】A 解折：刻图所示由三角形垂心的性质，可存品号所拟而-而 所以孤+，即亚+丽 31 因为M,ON三点共线，可符三x+名y=1,所以x+y= .故选：A 33 2 【34】B 解析：取BC的中点E,连AE, 因为AB=AC=5,BC=8,所以AE⊥BC,AE=√52-42=3， 所以△ABC的内心O在线段AE上，OE为内切圆的半径， 因为SAe=S.Am+Sx+Sac, 所以4B8C-0s-(ha+AC+ac), 所以宁380-65+8.得08 3 所以40=AE-OE=3-4- 33 又压+a网.所以0西+c, 又已知0=m+hC,所以m=a=各，所以m+n=号 故选：B B≤ 【35】B 解析：由题意，取AC的中点为V,连接OW,如下图所示： 易知ONLAC,AM=,a8+AC): 可得AM.Ad= (西+AC)A0=©0+Aco), 又co=⊙los∠ca0=c可，同理 50- 所拟孤而+和)号故选B 【36】c 解析：设aABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 根据内心的性质可知aA+b店+cC=0, 于是万8 西+ 丽+a+b+0 AC 9 +号， 于是32+6=3.故选：C. 【37】C 解析：因为sin2A+sim2C=sim2B+sinA,sinC, 所以由正弦定理得a2+c2=b2+ac, 所以由余弦定理得coB=。+c-2-a9.1 2ac 2ac=2 因为8e(0,小，所以8=于 因为H是△ABC的垂心，所以BC,AF=0, 因为BC,服=BC(A+A)=CaA+8CA=C,A=8, 所以BC.BAcosa8=8,所以BCd=16 所a阿a宁16点46，做选c 2 【38】D 解析：设AC的中点为D,由O为△ABC的外心可得，OD⊥AC, 40.AC=AD+DO.AC=AD.AC=3x 6=18, 又0C=(哈丽+号4C)4=丽C+着c-丽4C+16, 所以AB.AC=12, 又丽.AC=A国cos.∠BAC=4×6×cos∠BAC=12,可得 cos∠BAC= 故sin∠BAC= ,则aABC的面积为 2 khq血∠B4C=含×46x-6v百，故选D 2 2 【39】B 解析：如图 AO.AG=AO.(AB+BG)=A0.AB+AO.BG 因为BG⊥AO→AO.BG=0 所以A0AG=A0AB, 又因为O是三角形的外心， 所以1cos∠BA0=a, 所以A6AG=AO.AB=4346cos∠B4O= 1 ×16=8故选B 【40】D 解析：由OP=xOB+yOC,x,y∈[0,1 根据向量加法的平行四边形法则可知：动点P的轨迹是以C8,OC为 邻边的平行四边形OBDC及其内部，其面积为△BOC的面积的2倍. 在△ABC中，设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 余弦定理a=b+e2-2cc0sA=16+25-2x4x5x日=36，得a= 设aA8C的内切圆的半径为r,则cs血A=a+b+c)少， 所以4x5x 8 =15r,解得r= 2 所以8=2XaX 1 x6x53 2 22 故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S。x=3√万.故选：D, 【41】C 解析：由题意可知，O为△ABC的外心，设外接圆半径为r 在圆O中，过O作OD⊥AB,CE⊥AC,垂足分别为D,E, 则D,E分别为AB,AC的中点， 因为AG=A店+uAC,两边乘以A8,即A0A店=2A西+LAC.A店， AO,丽的夹角为∠0AD,而cs∠0AD=4D=2=3, 则r×6x2=362+ux4x6×子，得6+2=3①， 同理AO=24B+4C两边乘AC,即 A6AC=A五.Ac+4C,cos∠OAC=2 则rx4x2-2x6×4×+16u,得32+4w=2②， ①@联立解得2号A=名，所以+1写+若共放适：C 1 【42】D 解析：取BC的中点为D,连接AD,如下图所示： B >O 因为G为三角形ABC的重心所以G=号而=丽+C) 因为∠4c=号，丽AC=-2, 所以，丽c=国网co=2 所以A国aC=4, 又网炳+压+丽可 N画+d+2c=+c-4 分网网4号，当且仅当回-2时取等号故选：D, 【48】号 解析：因为H是△ABC的垂心，可得AH⊥BC,所以AF.BC=0」 又因为D是8C的中点，可得AD是中线所以D西+A⊙到 从而DiBC=(a-AD)C=A8C-AD.8C=-AD.8C 压+网(@)丽-0)5：“片 2 故答笑为：号 【44】2√5 解析：由题意可得：点O是△4BC的垂心.根据题意可知 BO.BC=(BA-OA).BC=BA.BC-OA.BC=BA.BC-0=4, 所以1函18=4,即ac=85ac=分sn8=26. 故答案为：2√3 【45】o 4 解析：因为O为△ABC的外心，又由2OA+3OB=-4OC, 平方可得：40+1204.08+908=160C, 不妨设1aH05H0C+1,则a.O丽=cos∠408=>0， 故∠AOB为锐角， 由于∠AOB=2C,或∠AOB=2(π-C), 又由：2OA+30B+40C=0, 可得点O在△ABC的内部，即△ABC为锐角三角形， 故∠408=2C,C为锐角，即cos2C=2cos2C-1=,故cosC=而 4 4 故答案为： 4 【46】7 解析：如图 486,80=8,8=智且丽=+， 0.A∠80=2☑=18， 0.c018c1es∠080=c=2,ac=6x8x(3=-24, BO.BA=xBA'+yBA.BC BO.BC=xBA.BC+yBC' [18=36x-24y 「6x-4y=3 32=24+64,整理得8y-3=4 ∴.(6x-4y)+8y-3x)=3x+4y=7.故答案为：7 【47】6 解折：因为点0为△ABC的重心所以A0=号4P,则正=石. 因为D,G,E三点共线，AG=2AF=mAD+1-m)E, 3 所以A=三m,u=-m 所以A+=2ue@: 鸟组仅当片经即1，A时等号成立，故云的最小值为0 故选：D