第03讲 有理数的乘方（知识解读+题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版2024）

第03讲 有理数乘方 知识点1：有理数乘方运算法则 知识点2：有理数的混合运算 知识点3：科学记数法 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【题型1 有理数幂的概念理解】 【典例1】表示的意义是（    ） A．乘以6的积 B．6个相乘的积 C．5个相乘的积 D．6个相加的和 【答案】B 【分析】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即计作，这种求几个相同因数的积的运算叫做乘方，根据乘方的意义解答即可． 【详解】解：表示6个相乘的积． 故选B． 【变式1】下列关于的说法中，错误的是（   ） A．结果为 B．底数是 C．表示2个相乘 D．指数是2 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．乘方的定义为：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方运算的结果叫做幂．在中，它表示n个a相乘，其中a叫做底数，n叫做指数．根据乘方的定义解答即可． 【详解】解：A．，原计算错误，符合题意； B．的底数是，正确，不符合题意； C．表示2个相乘，正确；不符合题意； D．的指数是2，正确；不符合题意； 故选A． 【变式2】计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘方和有理数的乘法与加法的意义，解题的关键在于能够正确理解题意．根据乘方和乘法的意义进行解答即可． 【详解】解：， 故选：A． 【变式3】计算可以表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂的意义得，解答即可． 本题考查了有理数幂的意义，正确理解幂的意义是解题的关键． 【详解】解：根据幂的意义得， 故选：C． 【题型2 有理数的乘方运算】 【典例2】计算： ． 【答案】9 【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据有理数的乘方法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：9． 【变式1】计算： ， ， ． 【答案】 4 【分析】该题考查了绝对值和乘方运算，根据绝对值和乘方运算法则计算即可． 【详解】解：，． 故答案为：4，． 【变式2】计算： ， ， ． 【答案】 4 / 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据表示个相乘的积计算即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：4；；． 【题型3含乘方的有理数混合运算】 【典例3】计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握算理是解决问题的关键．先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减． 【详解】解：原式， ， ． 【变式1】计算： 【答案】 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可. 【详解】解： ． 【变式2】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，原式分别计算乘方，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用乘法分配律，进行计算即可解答； （2）先算乘方，再算乘除，后算加减法，有括号先算括号里，即可解答； （3）先算乘方，再算乘除，后算加减法，有括号先算括号里，即可解答； （4）先算乘方，再算乘除，后算加减法，即可解答． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 【题型4 程序流程图与有理数计算】 【典例4】下图是一个计算程序，若输入的值为，则输出的结果应为（    ） A．7 B．11 C．13 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了程序图与代数式求值，掌握知识点是解题的关键．根据图表列出代数式，再按照有理数混合运算的顺序，先乘方后乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的，即可解答． 【详解】解：依题意，当时，所求代数式为 ． 故选A． 【变式1】如图，小李同学设计了一个计算程序．如果输入的数是1，那么最后输出的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除法，根据运算程序列出算式是解题的关键． 根据程序框图，把代入依次按照步骤计算即可． 【详解】解：输入，则，不能输出； 输入，则，可以输出； 所以最后输出结果为． 故答案为： 【变式2】根据流程图中的程序，若输入的值为2，则输出的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查程序图与有理数的混合运算．掌握用数值代替代数式里的字母进行计算，读懂题意是解题关键．把代入流程图中的程序，直到结果大于即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： ， ∴输出的值为． 故答案为：． 【变式3】如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2024次输出的结果为 ． 【答案】3 【分析】根据流程图进行计算，再发现规律从第三次开始，第奇数次输出的结果是6，第偶数次输出的结果是3，即可求出答案．本题考查有理数与程序运算问题，从程序中找到规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 从第三次开始，第奇数次输出的结果是6，第偶数次输出的结果是3， 是偶数， 第2024次输出的结果为3． 故答案为：3． 【题型5 算“24”点】 【典例5】在玩“24点”游戏时，小明抽到的数字是4，，3，10，运用所学过的有理数混合运算，使得运算结果为24，你的算法是 （写出一种即可，每个数字都要用到并且只能用一次）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意结合有理数的混合运算法则写出式子即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】以用加、减、乘、除等运算，请写出一个成功的算式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，根据题意列出符合题意的算式即可，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】算“24”是一种常见的数学游戏．一座有三道环路的数字迷宫，每一个入口处都设置一个数，要求每一个进入者都把自己当作数“1”，进入时必须形状一种运算（加、减、乘、除或乘方），与入口处的数进行计算，并将结果带到下一个入口，依次累计下去．在通过最后一个入口时，如果计算结果是24才能到达迷宫中心．请选择一条可以到达迷宫中心的道路，列出其对应的算式为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，从外向内的三层中的每一层各取一个数字进行计算，若结果为24，则能进入迷宫中心；根据进入迷宫的方式进行判断，看是否能进入迷宫． 【详解】解：如等. 故答案为：（答案不唯一） 【变式3】有一种叫做“24点”的游戏，其游戏规则是这样的：将4个绝对值为1至13之间的数进行加、减、乘、除四则运算（每个数只能用一次，可以加括号），使其结果为24．例如，1，2，3，4可做运算．现有4个有理数3，4，，10，运用上述规则，写出一个的算式 ，使其结果为24． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意写出符合题意的算式，本题答案不唯一； 【详解】解：； ； ； ； 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的法则和运算顺序． 科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 3. 有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。 注意： （1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。 （2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。 例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。 【题型6科学记数法】 【典例6】年“五一”期间，海南省旅文厅在全岛推出场体育赛事活动，拉动相关消费约万元．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，解题关键是掌握科学记数法的一般形式． 根据科学记数法的一般形式求解，科学记数法的一般形式为，为正整数，． 【详解】解：， 故选：B． 【变式1】2024年春节旅游，大理州共接待594万人，将这个数写成科学记数法是（   ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】B 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将594万人写成科学记数法是人； 故选B 【变式2】2024年10月，我国某项科技成果的应用使能源消耗降低了约12300000千瓦时，12300000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形式为，其中，n为整数是关键，科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：12300000用科学记数法表示为， 故选：． 【变式3】赫兹是频率的单位，常用的频率单位还有“千赫、兆赫、吉赫”．某国产芯片的频率为，其中一兆赫等于一百万赫兹．则该芯片的频率用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法，有理数的乘法的实际应用，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：． 答：该芯片的频率用科学记数法可表示为． 故选：C． 【题型7近似数】 【典例7】用四舍五入法把1.7375精确到0.01，所得的近似数是（     ） A．1.73 B．1.738 C．1.74 D．1.737 【答案】C 【分析】本题考查近似数，利用四舍五入法进行求解即可． 【详解】解：； 故选C． 【变式1】由四舍五入法得到的数中，有效数字有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字． 【详解】解：数的有效数字有，，，，，共个， 故选：B． 【变式2】圆周率，用四舍五入法将精确到百分位，得到的近似值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查近似数和有效数字，根据四舍五入法可以将题目中的数据精确到百分位． 【详解】解：用四舍五入法将精确到百分位，得到的近似值为： ． 故选：C． 【变式3】用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到） B．（精确到千分位） C．（精确到百分位） D．（精确到） 【答案】B 【分析】本题考查了近似数，根据四舍五入法对各选项进行判断即可求解，掌握四舍五入法是解题的关键． 【详解】解：、精确到是，该选项正确，不符合题意； 、精确到千分位是，该选项错误，符合题意； 、精确到百分位是，该选项正确，不符合题意； 、精确到是，该选项正确，不符合题意； 故选：． 一、单选题 1．神木市位于陕西北部、秦晋蒙三省接壤地带，黄河揽怀南下、长城横腰西飞．是陕西省面积最大的县市，辖15镇326个行政村，总人口约为人，将数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故选：A． 2．已知一个数的平方等于它本身，这个数是（   ） A．1 B．0 C．1或0 D．−1 【答案】C 【分析】本题考查乘方，1或0的平方等于它本身，由此可直接得出答案． 【详解】解：1或0的平方等于它本身， 故选C． 3．下列各组数中，相等的是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查绝对值和乘方运算，根据绝对值和乘方运算的法则计算后即可比较得到答案． 【详解】A、∵ ∴故A选项不符合题意； B、∵ ∴ 故B选项不符合题意； C、∵， ∴故C选项符合题意； D、∵ ∴故D选项不符合题意． 故选：C． 4．已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，且，则的值为（    ） A．3 B．5 C．3或5 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了相反数、倒数、绝对值和有理数的乘方，掌握整体代入思想是解题的关键． 根据相反数、倒数、绝对值的定义可得，，，代入求值即可． 【详解】解：∵a与b互为相反数， ∴； ∵c与d互为倒数， ∴； ∵， ∴， ∴； 代入代数式得：． 故选：B． 5．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握知识是解题的关键． 根据有理数的乘方，乘除，加减运算，逐项分析判断，即可解答． 【详解】解：A．，该选项正确，符合题意； B． ，该选项错误，不符合题意； C． ，该选项错误，不符合题意； D． ，该选项错误，不符合题意． 故选：A． 6．定义新运算 “”：，则的值为(    ) A．6 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算的理解及有理数的混合运算，解题的关键是遵循运算顺序，先计算括号内的新运算，再进行外层运算，准确代入新运算公式． 根据新运算“”的定义，先计算括号内的，得到结果后，再用该结果计算与它的新运算，最后将结果与选项匹配． 【详解】解：由新运算，先算； 再算．该结果与选项A一致， 故选：A． 7．按如图的程序计算，若输入的值为，则输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，程序算法第一次为：与比较大小，返回重新计算，小于时输出结果即可． 【详解】解：由题意可知，算法第一次为与比较， 当时，， 当时，， 故选：D． 二、填空题 8．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了乘方的运算，表示的意义是的相反数，所以，根据有理数的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 9．的底数是 ，指数是 ，结果是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了乘方的相关概念：底数、指数、乘方的结果等，乘方的运算；根据乘方的相关概念及运算法则即可解答． 【详解】解：的底数是，指数是4，结果是； 故答案为：，4，． 三、解答题 10．计算： (1) (2) 【答案】(1)4 (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律和含乘方的有理数混合运算是关键． （1）利用乘法分配律展开进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算的顺序进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 11．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”， 写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ；= ； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式：，． （3）算一算：． 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，掌握除方的运算法则是解题的关键． （1）直接根据除方的运算法则求解即可； （2）根据除方的运算法则和有理数除法运算法则化简相关式子即可； （3）利用（2）所得的运用法则将原式化成含乘方的有理数混合运算求解即可． 【详解】解：（1）， ； 故答案为：，． （2） ； ． （3） ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 有理数乘方 知识点1：有理数乘方运算法则 知识点2：有理数的混合运算 知识点3：科学记数法 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【题型1 有理数幂的概念理解】 【典例1】表示的意义是（    ） A．乘以6的积 B．6个相乘的积 C．5个相乘的积 D．6个相加的和 【变式1】下列关于的说法中，错误的是（   ） A．结果为 B．底数是 C．表示2个相乘 D．指数是2 【变式2】计算：（   ） A． B． C． D． 【变式3】计算可以表示为（  ） A． B． C． D． 【题型2 有理数的乘方运算】 【典例2】计算： ． 【变式1】计算： ， ， ． 【变式2】计算： ， ， ． 【题型3含乘方的有理数混合运算】 【典例3】计算： 【变式1】计算： 【变式2】计算： 【变式3】计算： (1) ； (2)； (3) (4) 【题型4 程序流程图与有理数计算】 【典例4】下图是一个计算程序，若输入的值为，则输出的结果应为（    ） A．7 B．11 C．13 D．9 【变式1】如图，小李同学设计了一个计算程序．如果输入的数是1，那么最后输出的结果是 ． 【变式2】根据流程图中的程序，若输入的值为2，则输出的值为 ． 【变式3】如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2024次输出的结果为 ． 【题型5 算“24”点】 【典例5】在玩“24点”游戏时，小明抽到的数字是4，，3，10，运用所学过的有理数混合运算，使得运算结果为24，你的算法是 （写出一种即可，每个数字都要用到并且只能用一次）． 【变式1】以用加、减、乘、除等运算，请写出一个成功的算式： ． 【变式2】算“24”是一种常见的数学游戏．一座有三道环路的数字迷宫，每一个入口处都设置一个数，要求每一个进入者都把自己当作数“1”，进入时必须形状一种运算（加、减、乘、除或乘方），与入口处的数进行计算，并将结果带到下一个入口，依次累计下去．在通过最后一个入口时，如果计算结果是24才能到达迷宫中心．请选择一条可以到达迷宫中心的道路，列出其对应的算式为 ． 【变式3】有一种叫做“24点”的游戏，其游戏规则是这样的：将4个绝对值为1至13之间的数进行加、减、乘、除四则运算（每个数只能用一次，可以加括号），使其结果为24．例如，1，2，3，4可做运算．现有4个有理数3，4，，10，运用上述规则，写出一个的算式 ，使其结果为24． 科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 3. 有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。 注意： （1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。 （2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。 例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。 【题型6科学记数法】 【典例6】年“五一”期间，海南省旅文厅在全岛推出场体育赛事活动，拉动相关消费约万元．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1】2024年春节旅游，大理州共接待594万人，将这个数写成科学记数法是（   ） A．人 B．人 C．人 D．人 【变式2】2024年10月，我国某项科技成果的应用使能源消耗降低了约12300000千瓦时，12300000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式3】赫兹是频率的单位，常用的频率单位还有“千赫、兆赫、吉赫”．某国产芯片的频率为，其中一兆赫等于一百万赫兹．则该芯片的频率用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【题型7近似数】 【典例7】用四舍五入法把1.7375精确到0.01，所得的近似数是（     ） A．1.73 B．1.738 C．1.74 D．1.737 【变式1】由四舍五入法得到的数中，有效数字有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式2】圆周率，用四舍五入法将精确到百分位，得到的近似值为（　　） A． B． C． D． 【变式3】用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到） B．（精确到千分位） C．（精确到百分位） D．（精确到） 一、单选题 1．神木市位于陕西北部、秦晋蒙三省接壤地带，黄河揽怀南下、长城横腰西飞．是陕西省面积最大的县市，辖15镇326个行政村，总人口约为人，将数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．已知一个数的平方等于它本身，这个数是（   ） A．1 B．0 C．1或0 D．−1 3．下列各组数中，相等的是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 4．已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，且，则的值为（    ） A．3 B．5 C．3或5 D．无法确定 5．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．定义新运算 “”：，则的值为(    ) A．6 B．10 C．12 D．14 7．按如图的程序计算，若输入的值为，则输出的结果是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．计算的结果是 ． 9．的底数是 ，指数是 ，结果是 ． 三、解答题 10．计算： (1) (2) 11．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”， 写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ；= ； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式：，． （3）算一算：． 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