第01讲 有理数的加法和减法（知识解读+题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版2024）

第01讲 有理数加法和减法 知识点1：有理数加法法则 知识点2：有理数加法运算定律 知识点3：有理数减法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 【题型1 有理数加法运算】 【典例1】计算：． 【变式1】计算：． 【变式2】计算： 【变式3】计算： (1) (2)． 【题型2 省略加法和括号的形式】 【典例2】将写成省略括号的形式是 ． 【变式1】将式子写成省略括号及加号的和的形式， . 【变式2】把式子写成省略加号的和的形式是 ． 【变式3】把写成省略加号的和的形式是 ． 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 【题型3 有理数的减法运算】 【典例3】计算： (1)； (2)． 【变式1【计算： (1)； (2)． 【变式2】计算： (1) ； (2)； (3)； (4)； 【变式3】计算： (1)． (2)． 【题型4 有理数的加减混合运算】 【典例4】计算： (1)； (2)． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】加减混合计算： (1)； (2)． 【变式3】计算： (1)； (2)． 【题型5 有理数加减中的简便运算】 【典例5】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】计算 (1)； (2)． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型6有理数加减混合运算的应用】 【典例6】小虫从点出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：．（单位：） (1)小虫最后是否回到出发地O？为什么？ (2)小虫离开O点最远时是多少？ (3)在爬行过程中，如果每爬行奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？ 【变式1】“六一”儿童节节就要到了，某玩具厂要赶制一批毛绒玩具．于是规定每人每天要做50个毛绒玩具，为了方便统计，某人一天如果生产了52个毛绒玩具，记作：+2个；如果生产45个毛绒玩具，记作：-5个． 下面是小李一周5天生产毛绒玩具的个数情况： 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 计数/个 +3 +1 (1)从上面的记录中你能看出小李在星期几生产的毛绒玩具个数最多？是多少个？ (2)小李这周一共生产了多少个毛绒玩具． 【变式2】有筐白菜，以每筐千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的纪录如下： 回答下列问题： (1)这筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重______千克； (2)这筐白菜中，最重的与最轻的相差______千克； (3)这筐白菜一共重多少千克？ 【变式3】为纪念红军长征胜利88周年，特技飞行队在名胜风景旅游区特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表： 高度变化 记作 上升 下降 上升 下降 (1)此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ (3)如果飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下：上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 一、单选题 1．计算的结果为（　　） A． B． C．1 D．5 2．若向东走5米记作米，向西走 3 米记作米，那么先向东走2米，再向西走6米，最终位置可记作（    ） A． 米 B．米 C． 米 D．米 3．根据机器零件的设计图纸（如图，单位），以下所给的尺寸中不合格的是（   ） A． B． C． D． 4．若 ，，且 ，则的值为（    ） A．或 B．7 或 1 C． 或 1 D．7 或 5．我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，在古代数学名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算的过程按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（   ） A． B． C． D． 6．把写成省略括号的形式是（   ） A． B． C． D． 7．计算的结果为（   ） A．2025 B．-2025 C．-1013 D．1013 二、填空题 8．某个地区，一天最低的温度是，最高温度是，则这天的温差是 ℃． 9．若，则x的值为 ． 10．某股民上周五买进某公司的股票，每股18元，下表为本周内该股票的涨跌情况，则本周五收盘时，该股票每股价格是 元 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（与前一天相比） 11．若x的相反数是2，，且，则的值是 ． 三、解答题 12．计算： (1)； (2)． 13．计算： (1)； (2)． 14．（1）已知，，，求的值； （2）已知，，，求的值； （3）已知，，，求的值． 15．某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护，某天早晨他们从A地出发，向北或向南行驶了八段行程，傍晚最终到达B地，当天汽车的行驶记录（单位：km）如下（约定向北为正方向）： ，，，，，，，． (1)B地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？ (2)如果汽车行驶1km平均耗油a升，那么这天汽车共耗油多少升？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 有理数加法和减法 知识点1：有理数加法法则 知识点2：有理数加法运算定律 知识点3：有理数减法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 【题型1 有理数加法运算】 【典例1】计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的加法，原式可利用加法运算律和加法法则计算即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式1】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的运算以及有理数的加法运算，熟练掌握绝对值的性质（正数和的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）和有理数的加法法则是解题的关键．先计算绝对值内的值，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后按照有理数的加法法则进行计算． 【详解】解： 【变式2】计算： 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的加法运算以及加法运算律，解题的关键是判断哪些数能凑整进行简便运算．优先负数和负数相加，正数和正数相加，能凑整先凑整的原则进行简便运算即可． 【详解】解： ． 【变式3】计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法运算法则是解题的关键． （1）首先由加法交换律得，再根据有理数的加法运算法则进行计算即可； （2）首先由加法交换律得，再根据有理数的加法运算法则进行计算即可． 【详解】（1） ． （2） ． 【题型2 省略加法和括号的形式】 【典例2】将写成省略括号的形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数加减混合运算中括号的省略方法，解题的关键是掌握“减去一个数等于加上这个数的相反数”及省略括号的规则． 根据有理数减法法则，将式子中的减法转化为加法，再省略加号和括号，得到省略括号的形式． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1】将式子写成省略括号及加号的和的形式， . 【答案】 【分析】先把加减法统一成加法，再省略括号和加号． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加减法，把同号得正，异号得负运用到省略括号和加号的形式中，可使计算更简单不易出错． 【变式2】把式子写成省略加号的和的形式是 ． 【答案】 【分析】根据有理数加减法运算法则去括号即可得到答案． 【详解】解：把式子写成省略加号的和的形式是， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的加减运算中的符号问题，熟知有理数加减中的符号规则是解决问题的关键． 【变式3】把写成省略加号的和的形式是 ． 【答案】 【分析】先把原式统一为加法运算，再省略括号与括号前面的加号，从而可得答案. 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查的是把加减运算统一为加法运算，再写成省略“”的和的形式，掌握“减去一个数，等于加上这个数的相反数”是解题的关键． 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 【题型3 有理数的减法运算】 【典例3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法法则计算即可； （2）根据有理数的减法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式1【计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的减法运算，根据减法法则，逐一进行计算即可．熟练掌握有理数的减法法则，是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数减法以及绝对值： （1）先确定符号，再将绝对值相加即可； （2）先去括号再计算； （3）将带分数化成小数再计算； （4）去绝对值后再计算． 【详解】解：（1） （2） （3） （4） 【变式3】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算： （1）根据有理数的减法法则进行计算即可； （2）先去括号，再根据有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型4 有理数的加减混合运算】 【典例4】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)4 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加减混合运算法则，是解题的关键． （1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查有理数加减法计算，熟练掌握运算法则是解题的关键： （1）先去括号，再计算同分母分数，最后计算加法即可； （2）先去括号，再计算同分母分数，最后计算加减法． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式2】加减混合计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算的知识，掌握求解的方法是解题的关键； （1）先去括号，然后再进行加减运算即可； （2）先去括号，再利用加法的交换律和结合律进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 【变式3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2)107.5 【分析】本题考查了有理数的加法混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是关键． （1）根据去括号法则，可变为，计算可得； （2）可变为，然后利用加法的结合律将两个加数相加． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型5 有理数加减中的简便运算】 【典例5】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则及运算律是解题的关键． （1）利用有理数的加减运算法则及运算律进行计算即可； （2）利用有理数的加减运算法则及运算律进行计算即可； （3）利用有理数的加减运算法则及运算律进行计算即可； （4）利用有理数的加减运算法则及运算律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加减混合运算解答即可． （2）根据有理数加减混合运算解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2)16 (3)17 (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则和运算律是解答本题的关键． （1）（2）（3）（4）先把减法转化为加法，再利用加法交换律和结合律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型6有理数加减混合运算的应用】 【典例6】小虫从点出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：．（单位：） (1)小虫最后是否回到出发地O？为什么？ (2)小虫离开O点最远时是多少？ (3)在爬行过程中，如果每爬行奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？ 【答案】(1)小虫最后回到出发点，理由见解析 (2)小虫在第三次距点最远，为 (3)小虫一共可以得到粒芝麻 【分析】此题主要考查了正数与负数，有理数的加减运算，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． （1）直接将所有数据相加得出答案； （2）分别计算每次距O地的距离，进行比较即可； （3）所有记录数的绝对值的和，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ∴小虫最后回到出发点； （2）解：由题意得， 第一次距点， 第二次距点， 第三次距点， 第四次距点， 第五次距点， 第六次距点， 第七次距点， ∴在第三次小虫距点最远，为； （3）解：由题意可得：， （粒） ∴小虫一共可以得到粒芝麻． 【变式1】“六一”儿童节节就要到了，某玩具厂要赶制一批毛绒玩具．于是规定每人每天要做50个毛绒玩具，为了方便统计，某人一天如果生产了52个毛绒玩具，记作：+2个；如果生产45个毛绒玩具，记作：-5个． 下面是小李一周5天生产毛绒玩具的个数情况： 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 计数/个 +3 +1 (1)从上面的记录中你能看出小李在星期几生产的毛绒玩具个数最多？是多少个？ (2)小李这周一共生产了多少个毛绒玩具． 【答案】(1)星期五，个； (2)小李这周一共生产了个毛绒玩具． 【分析】此题考查了正负数的应用、有理数四则混合运算应用等知识，读懂题意是关键． （1）利用有理数比较大小即可得到小李在星期五生产的毛绒玩具个数最多，利用加法即可求出个数； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴小李在星期五生产的毛绒玩具个数最多， （个）， 即最多是个； （2）（个） 答：小李这周一共生产了个毛绒玩具． 【变式2】有筐白菜，以每筐千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的纪录如下： 回答下列问题： (1)这筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重______千克； (2)这筐白菜中，最重的与最轻的相差______千克； (3)这筐白菜一共重多少千克？ 【答案】(1) (2)5 (3)千克 【分析】本题考查了有理数的运算在实际中的应用，体现了正负数的意义，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，确定具有相反意义的量． （1）与标准重量比较，绝对值越小的越接近标准重量； （2）最重的与最轻的相减即可求解； （3）用25乘以8的积，加上图中八个数的和即可求解． 【详解】（1）解：该组数据中，的绝对值最小，最接近千克的标准， 这筐白菜重千克． 故答案为； （2）（千克） 故答案为； （3） （千克） 答：这筐白菜一共重千克． 【变式3】为纪念红军长征胜利88周年，特技飞行队在名胜风景旅游区特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表： 高度变化 记作 上升 下降 上升 下降 (1)此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ (3)如果飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下：上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 【答案】(1) (2)升 (3)下降 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算的实际应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）求得三个数的和，根据结果的符号和绝对值即可判断位置； （2）求得三个数的绝对值的和，乘以2即可求解； （3）计算，根据计算结果即可确定上升或下降，以及上升与下降的距离． 【详解】（1）解：； 答：此时这架飞机比起飞点高了1km； （2）解： （升） 答：一共消耗了升燃油； （3）解： ∵要使飞机最终比起飞点高出1千米， ∴第四个动作是下降，下降的距离为 一、单选题 1．计算的结果为（　　） A． B． C．1 D．5 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加法运算．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，由此可解． 【详解】解：， 故选：C． 2．若向东走5米记作米，向西走 3 米记作米，那么先向东走2米，再向西走6米，最终位置可记作（    ） A． 米 B．米 C． 米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查正负号的应用，有理数加减运算的应用，根据题意可得向东走2米，记作米，向西走6米，记作米，列式计算即可． 【详解】解：最终位置可记作（米）， 故选：D． 3．根据机器零件的设计图纸（如图，单位），以下所给的尺寸中不合格的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题的关键是正确理解的意义．根据的意义分析得出答案． 【详解】解：如图所示：该零件长度（L）合格尺寸为到之间， 只有不在合格区间， 故选：B． 4．若 ，，且 ，则的值为（    ） A．或 B．7 或 1 C． 或 1 D．7 或 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的加减法，绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据题意，利用绝对值的代数意义和有理数加法法则，求出与的值，即可确定出的值． 【详解】解：，， ∴，， ∵， ，或，； 或． 故选：A． 5．我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，在古代数学名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算的过程按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法计算是解题的关键．根据有理数加法的计算得出结论即可． 【详解】解：由题意知，白色列数表示正数，黑色列数表示负数， 图2表示的过程应是在计算， 故选：C． 6．把写成省略括号的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减运算，先根据减法法则，把减法化为加法，然后省略加号和括号即可． 【详解】解：， 故选：A． 7．计算的结果为（   ） A．2025 B．-2025 C．-1013 D．1013 【答案】D 【分析】本题考查了有理数四则混合运算，数字的规律探索． 解题时先观察数列规律，发现每两个相邻的数为一组，每组和为，总共有组，因此总和为. 【详解】解： 故选：D ． 二、填空题 8．某个地区，一天最低的温度是，最高温度是，则这天的温差是 ℃． 【答案】 【分析】本题考查了有理数减法的实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据温差的意义，列出算式计算． 【详解】解：∵该地区，一天最低的温度是，最高温度是， ∴这天的温差是()， 故答案为：． 9．若，则x的值为 ． 【答案】8或 【分析】本题考查了绝对值，有理数的加减法，掌握绝对值的几何意义是解题的关键；根据绝对值的几何意义和有理数的加减法运算法则求解即可． 【详解】解：， ， 或， 故答案为：8或． 10．某股民上周五买进某公司的股票，每股18元，下表为本周内该股票的涨跌情况，则本周五收盘时，该股票每股价格是 元 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（与前一天相比） 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数的实际意义及有理数加法运算的应用，解题的关键是理解正数和负数所代表的实际意义．根据正负数的意义，列式计算即可． 【详解】解：， 元， 故答案为：． 11．若x的相反数是2，，且，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查的是有理数的加减法，绝对值以及相反数，解这一类问题的关键主要在于去绝对值符号以及正负号的判断． 根据相反数的定义和绝对值的性质，求值计算即可． 【详解】因为x的相反数是2， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 故答案为：3． 三、解答题 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先统一成加法，再根据加法的交换律和结合律计算； （2）利用加法的交换律和结合律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数加减中的简便运算，掌握有理数的加减运算法则是解题关键． （1）利用有理数加法的交换律计算即可得； （2）先去括号、将分数化成小数，再利用有理数加法的交换律与结合律计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．（1）已知，，，求的值； （2）已知，，，求的值； （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）的值为或；（3）的值为或 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，熟练掌握绝对值的意义是解此题的关键． （1）由绝对值的意义可得或，结合，计算即可得解； （2）由绝对值的意义可得或，结合，计算即可得解； （3）由绝对值的意义可得或，或，结合，计算即可得解． 【详解】解：（1）∵， ∴或， ∵，， ∴，， ∴； （2）∵， ∴或， ∵，， ∴当，时，， 当，时，， 综上所述，的值为或； （3）∵，， ∴或，或， ∵， ∴，或，， ∴当，时，， 当，时，； 综上所述，的值为或． 15．某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护，某天早晨他们从A地出发，向北或向南行驶了八段行程，傍晚最终到达B地，当天汽车的行驶记录（单位：km）如下（约定向北为正方向）： ，，，，，，，． (1)B地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？ (2)如果汽车行驶1km平均耗油a升，那么这天汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)南，5千米 (2)升 【分析】本题主要考查了正负数的意义，有理数的运算，绝对值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）首先根据正、负数运算的方法，把当天的行驶记录相加；然后根据正、负数的意义，判断出地在地的哪个方向，它们相距多少千米即可． （2）首先求出当天行驶记录的绝对值的和，然后根据乘法的意义，用汽车汽车行驶的路程乘以行驶每千米耗油量，求出该天共耗油多少升即可． 【详解】（1）解： ， ， 地在地正南方向，它们相距； （2） ， 汽车行驶平均耗油升， 汽车行驶平均耗油升， 即这天汽车共耗油升． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $