2.4 用因式分解法求解一元二次方程（2题型+针对训练）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第二章 一元二次方程 2.4 用因式分解求解一元二次方程 命题1：因式分解解一元二次方程……………………………………1 命题2：换元法解一元二次方程………………………………………5 针 对 训 练……………………………………………………………10命题1： 因式分解解一元二次方程 1．方程的根是（  ） A．，1 B． C．0， D．0，1 【答案】C 【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程， 利用两因式的积为零，则这两个因式至少有一个为零可得． 【详解】解：∵ ∴或 解得：或 故选C． 2．解这个方程最简单的方法是（　　） A．公式法 B．因式分解法 C．配方法 D．直接开平方法 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有4种，即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 方程的前后两项都含有因式，故可用因式分解法分解因式． 【详解】解：解这个方程最简单的方法是因式分解法． A、正确，但不符合题意； B、正确，也符合题意； C、正确，但不符合题意； D、正确，但不符合题意． 故选：B． 3．方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据因式分解法解方程，当两个因式的乘积为0时，至少有一个因式为0，分别解出对应的根即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得，， 故选：A． 4．关于的方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．有一个实数根 C．有两个相同的实数根 D．有两个不相同的实数根 【答案】D 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程．根据题意先移项再提公因式解出即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：，， ∴方程有两个不相同的实数根， 故选：D． 5．方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， 因式分解得， 或， 解得，． 故答案为：，． 6．一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程．移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 移项，得， 因式分解得， ∴或， 解得，． 故答案为：，． 7．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“邻2根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻2根方程”．通过计算，判断方程 （选填“是”或“不是”）“邻2根方程”． 【答案】不是 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元二次方程的求解． 求解方程，根据定义即可进行判断． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵， 故该方程不是“邻2根方程”． 故答案为：不是 8．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程左边用十字相乘法因式分解，然后解方程即可. （2）先把二次项系数化为，再用十字相乘法因式分解，解方程即可. 【详解】【1】 解：. 等号左边因式分解得：， 或， 解得． 【2】 解： 整理得：． 等号左边因式分解得：， 或， 解得． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的因式分解法，关键是熟练掌握十字相乘法. 9．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用因式分解法求解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法求解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：（1）整理，得， ， 即， 解得． （2）根据平方差公式，得， 整理，得， 或， 解得． 10．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将方程的左边提取公因式，再求解即可； （2）先移项，然后等号左边提取公因式，再求解即可． 【详解】【1】 解： 等号左边因式分解得：， ∴或， 解得． 【2】 解： 整理得：， 把方程左边因式分解得， ∴或， 解得． 【点睛】此题考查了解一元二次方程的因式分解法，关键在于弄清题中的公因式． 命题2：换元法解一元二次方程 11．若，则代数式的值为（    ） A．或 B．1或 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程；令，再解一元二次方程即可； 【详解】解：设，可知， 原方程可化为：， 解得：或， ∵， ∴ ∴， 故选： D． 12．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+4（x2﹣2x+1）﹣5＝0，那么x2﹣2x+1的值为（    ） A．﹣5或1 B．﹣1或5 C．1 D．5 【答案】C 【分析】设y＝x2﹣2x+1，将已知方程转化为关于y的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：设y＝x2﹣2x+1，则y2+4y﹣5＝0， 整理，得（y+5）（y﹣1）＝0， 解得y＝﹣5（舍去）或y＝1， 即x2﹣2x+1的值为1， 故选C． 【点睛】本题考查了用换元法解和因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握换元法解和因式分解法． 13．已知（x2+y2）（x2+y2﹣4）＝5，则x2+y2的值为（　　） A．1 B．﹣1或5 C．5 D．1或﹣5 【答案】C 【分析】设x2+y2＝m，则由题意得关于m的一元二次方程，用因式分解法求解即可． 【详解】解：设x2+y2＝m，则由题意得： m（m﹣4）＝5 ∴m2﹣4m﹣5＝0 ∴（m﹣5）（m+1）＝0 ∴m＝5或m＝﹣1（舍） ∴x2+y2＝5 故选C． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的解法，解题的关键根据题意令x2+y2＝m. 14．若关于x的一元二次方程的两根分别为，则关于x的一元二次方程的两根分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则变为，得到一元二次方程的两根分别为，或者，即可求得答案． 【详解】解：设，则变为： ， ∵一元二次方程的两根分别为， ∴一元二次方程的两根分别为， ∴或者， 解得． 故选：B 15．若关于x的一元二次方程有一根为2025，则一元二次方程必有一根为 ． 【答案】2024 【分析】利用换元法，进行计算即可 【详解】由，得． 设，则． 关于x的一元二次方程有一根为2025，即有一个根为2025， ，解得， 一元二次方程必有一根为2024． 16．若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】考虑运用“换元法”将原式变形，通过解一元二次方程可求得. 【详解】设 ∴原式= （舍去）， ∵ 所以， 【点睛】本题旨在考查利用“换元法”的方程的求解，熟练掌握换元法及一元二次方程的解法是关键. 17．解方程：． 【答案】x1=x2=2 【分析】利用换元法解方程的方法可以解答本题． 【详解】解：， ， 设 于是原方程可变形为， 解得：； ∴， ∴． 【点睛】本题考查换元法解一元二次方程，解题的关键是明确题意，会用换元法解方程． 18．阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解方程，公式法解方程．依题意，设，则原式为，然后运用因式分解法，公式法分别进行解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，， 设， 则原式为， ∴， 解得， 则或， 当时，即：， ， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， 综上：的解是． 19．阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为， 解得，， ∴或， ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用． （1）设，把原方程化为，然后求解； （2）设，把原方程化为，然后求解． 【详解】（1）设，则原方程可化为， 解得，， ∴或， ∴，； （2）设，则原方程可化为， 解得，（舍）， ∴， ∴，． 20． 阅读下面的材料，解答后面的问题 材料：“解方程x4-3x2+2=0”” 解：设x2=y，原方程变为y2-3y+2=0，（y-1）（y-2）=0，得y=1或y=2 当y=1时，即x2=1，解得x=±1； 当y=2时，即x2=2，解得x=± 综上所述，原方程的解为x1=1，x2=-1，x3=．x4=- 问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是______ A．加减消元法 B．代入消元法 C．换元法 D．待定系数法 （2）采用类似的方法解方程：（x2-2x）2-x2+2x-6=0． 【答案】（1）C；（2）x1=-1，x2=3． 【分析】（1）利用换元法解方程； （2）设x2-2x=y，原方程化为y2-y-6=0，求出y，把y的值代入x2-2x=y，求出x即可． 【详解】解：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是换元法． 故答案是：C； （2）设x2-2x=y，原方程化为y2-y-6=0， 整理，得 （y-3）（y+2）=0， 解得y=3或y=-2 当y=3时，即x2-2x=3，解得x=-1或x=3； 当y=-2时，得x2-2x=-2，即（x-1）2=-1，方程无解， 综上所述，原方程的解为x1=-1，x2=3． 【点睛】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．此题难度较大，不容易掌握． 针对训练： 1．方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 移项，得， 因式分解，得， 即， 得或， 解得：， 故选：D． 2．一元二次方程的解为（    ） A．， B．， C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】解：， ， 则， 或， 解得，， 故选：B． 3．方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴或， 解得， 故选：D． 4．菱形的一条对角线长为6，边的长是方程的一个根，则菱形的面积为（　　） A．48 B．24 C．15 D．12 【答案】B 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握方程的解法是解本题的关键． 求出已知方程的解，确定出的长，再利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：方程， 分解因式得：， 可得或， 解得：或， 当时，，不能构成三角形，舍去； 当时，设菱形对角线相交 于O，如图， ∵菱形， ∴，， 由勾股定理，得， ∴ ∴菱形面积为； 故选：B． 5．关于x的方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．无实数解 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的结构相同，则解相同是解题的关键．通过换元法，将新方程转化为原方程的形式，从而利用已知解推导出新解． 【详解】解：∵原方程 的解为 ，， ∴令新方程 中的 ，则方程变为 ，与原方程形式相同， ∴新方程的 解与原方程的 解相同，即 或 ， ∴ 或， ∴此时新方程解得 或 ； 故选：B ． 6．已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，；则或，据此求解即可． 【详解】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是， ∴方程的解是，， ∴或， 解得，，， ∴方程的解是，，． 故选：B． 7．已知方程，代数式的值（ ） A．0 B．或2 C．0或4 D．4 【答案】C 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，由题意得或，即可求解． 【详解】解： ， 或， 当时，解得， 此时， 代数式的值为0或4， 故选C． 8．已知方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查换元法解方程，根据题意，得到方程的解为或，进行求解即可． 【详解】解：∵方程的解是， ∴方程的解为或， 解得：； 故选：B． 9．方程的解为： ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，再利用因式分解求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得：或． 故答案为：或． 10．定义新运算：，若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是正确理解题意． 根据题意，可得，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 11．若关于的方程（其中、均为常数）的解是，，则关于的方程的解是 ． 【答案】， 【分析】此题考查换元法解一元二次方程，利用换元法转化方程是解题的关键； 把看成一个整体，根据方程的解，解方程即可． 【详解】令，则方程可化为， 关于的方程的解是，， 或， 解得，． 故答案为：，． 12．阅读：因为，所以，这说明多项式有一个因式为，也说明当时，多项式的值为0．解答问题：方程的解是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键， 先因式分解，，再求方程的解即可． 【详解】解： ， ， 或或， 或或， 方程的解为：或或． 故答案为：或或． 13．用因式分解法解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元二次方程--因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：， ， 或， 所以，． 14．用适当的方法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法； （1）先移项得到，然后利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程． 【详解】（1）解：， ， ， 或， 所以； （2）解： ， 或， 所以． 15．按要求解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， 则或， 所以． （2）解：， ∴， ∴， ∴， 则或， 所以． 16．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键： （1）移项后，利用因式分解法进行求解即可； （2）因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴或， ∴； （2）， ， ∴或， ∴． 17．请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程方程的基本方法，是利用整体换元法解方程的关键． （1）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． （2）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可化为，解得． 当时，； 当时，，此方程无解． 综上所述，原方程的解为． （2）解：设，则原方程可化为， 解得． 当时，； 当时，． 综上所述，原方程的解为． 18．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：．请借助整体思想完成： (1)___________； (2)，求___________； (3)已知，求 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，解高次方程和一元二次方程的方法，学会整体代入思想是解题的关键． （1）把看成一个整体，利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）把看成一个整体，利用平方差公式计算解方程即可； （3）把看成一个整体，利用完全平方公式计算解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：令， 原方程变形为：， ， ， ， ， ． 19．计算 习题课上老师给了一道方程：． 嘉嘉的解法 原方程可化为：……第一步 ……第二步 ，……第三步 琪琪的解法 原方程可化为：……第一步 两边都除以…．．第二步 　……第三步 (1)她们的解法都是错误的，嘉嘉从第 步开始错误，琪琪从第 步开始错误； (2)写出方程正确的解答过程． 【答案】(1)二；二 (2)，，过程见解析 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法和等式的基本性质求解即可； （2）利用十字相乘法将左边因式分解，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：她们的解法都是错误的，嘉嘉从第二步开始错误，因为方程左边因式分解出现了错误；琪琪从第二步开始错误，因为他方程两边同时除以时，没分值为0和不为0讨论． 故答案为：二，二； （2）解：按嘉嘉的解法：原方程可化为：， ， ，． 按琪琪的解法：原方程可化为： 当时，， 当时，两边都除以，得， ，． 20．阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为，解得，当时， ，当时，．∴原方程有四个根是： ， ，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． (1)解方程：． (2)已知实数a，b满足，试求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，代数式求值，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）设，则，整理，得，解关于y的一元二次方程，然后解关于x的一元二次方程即可求解； （2）设，则，整理得，解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：设，则， 整理得：， 解得：， 当，即时， 解得； 当，即时， 解得． 综上，原方程的解为，． （2）设，则， 整理得：， 解得： (舍去)， ∴． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次方程 2.4 用因式分解求解一元二次方程 命题1：因式分解解一元二次方程……………………………………1 命题2：换元法解一元二次方程………………………………………2 针 对 训 练……………………………………………………………5命题1： 因式分解解一元二次方程 1．方程的根是（  ） A．，1 B． C．0， D．0，1 2．解这个方程最简单的方法是（　　） A．公式法 B．因式分解法 C．配方法 D．直接开平方法 3．方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．关于的方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．有一个实数根 C．有两个相同的实数根 D．有两个不相同的实数根 5．方程的解是 ． 6．一元二次方程的解是 ． 7．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“邻2根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻2根方程”．通过计算，判断方程 （选填“是”或“不是”）“邻2根方程”． 8．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 9．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 10．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 命题2：换元法解一元二次方程 11．若，则代数式的值为（    ） A．或 B．1或 C． D．3 12．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+4（x2﹣2x+1）﹣5＝0，那么x2﹣2x+1的值为（    ） A．﹣5或1 B．﹣1或5 C．1 D．5 13．已知（x2+y2）（x2+y2﹣4）＝5，则x2+y2的值为（　　） A．1 B．﹣1或5 C．5 D．1或﹣5 14．若关于x的一元二次方程的两根分别为，则关于x的一元二次方程的两根分别为（    ） A． B． C． D． 15．若关于x的一元二次方程有一根为2025，则一元二次方程必有一根为 ． 16．若，则的值为 ． 17．解方程：． 18．阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： ． 19．阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为， 解得，， ∴或， ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)； (2)． 20． 阅读下面的材料，解答后面的问题 材料：“解方程x4-3x2+2=0”” 解：设x2=y，原方程变为y2-3y+2=0，（y-1）（y-2）=0，得y=1或y=2 当y=1时，即x2=1，解得x=±1； 当y=2时，即x2=2，解得x=± 综上所述，原方程的解为x1=1，x2=-1，x3=．x4=- 问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是______ A．加减消元法 B．代入消元法 C．换元法 D．待定系数法 （2）采用类似的方法解方程：（x2-2x）2-x2+2x-6=0． 针对训练： 1．方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的解为（    ） A．， B．， C． D． 3．方程的解是（　　） A． B． C． D． 4．菱形的一条对角线长为6，边的长是方程的一个根，则菱形的面积为（　　） A．48 B．24 C．15 D．12 5．关于x的方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．无实数解 6．已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 7．已知方程，代数式的值（ ） A．0 B．或2 C．0或4 D．4 8．已知方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 9．方程的解为： ． 10．定义新运算：，若，则的值为 ． 11．若关于的方程（其中、均为常数）的解是，，则关于的方程的解是 ． 12．阅读：因为，所以，这说明多项式有一个因式为，也说明当时，多项式的值为0．解答问题：方程的解是 ． 13．解方程：． 14．解下列方程． (1)； (2)． 15．解下列方程： (1)； (2)． 16．解方程： (1)； (2)． 17．请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 18．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：．请借助整体思想完成： (1)___________； (2)，求___________； (3)已知，求 19．计算 习题课上老师给了一道方程：． 嘉嘉的解法 原方程可化为：……第一步 ……第二步 ，……第三步 琪琪的解法 原方程可化为：……第一步 两边都除以…．．第二步 　……第三步 (1)她们的解法都是错误的，嘉嘉从第 步开始错误，琪琪从第 步开始错误； (2)写出方程正确的解答过程． 20．阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为，解得，当时， ，当时，．∴原方程有四个根是： ， ，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． (1)解方程：． (2)已知实数a，b满足，试求的值． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $