第5节向量的坐标表示讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第五节 向量的坐标表示 1 学科网（北京）股份有限公司 ▍知识点1:平面向量的正交分解及坐标表示 （1）平面向量的正交分解:把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解. （2）平面向量的坐标产生过程: ①建系选底:在平面直角坐标系中,设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为、,取作为基底. ②线性表示:对于平面内的任意一个向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数,,使得. ③定义坐标:有序数对叫做向量的坐标. ▍知识点2:点坐标与向量坐标的区别与联系 （1）表示形式不同 向量中间用等号连接,而点中间没有等号 （2）意义不同 点的坐标表示点在平面直角坐标系中的位置,的坐标既表示向量的大小,也表示向量的方向.另外,既可以表示点,也可以表示向量,叙述时应指明点或向量 （3）联系:当平面向量的起点在原点时,平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. ［对应练习:基础1］ ▍知识点3:平面上向量的运算与坐标的关系 （1）向量的运算 已知平面上的两个向量,满足, . ①且.即平面上两个向量相等的充要条件是它们的坐标对应相等. ②. ③. ④. 重要结论: 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减区起点的坐标;即已知向量的起点,终点,则. ［对应练习:基础2］ ▍知识点4:向量共线的坐标表示 设,其中.向量共线的充要条件是存在唯一的实数,使得.用坐标表示为,即消去,得.这就是说,向量共线的充要条件是. ［对应练习:题型1］ ▍知识点5:中点坐标公式 设,为平面直角坐标系中的两点. 中点坐标公式:设线段中点为,则,. 拓展:线段定比分点 （1）设点是线段上不同于的点,且满足,即叫做点分有向线段所成的比,点叫做有向线段的以为定比的定比分点. （2）定比分点的坐标表示:设, 则 即 当时,解得则点的坐标为. 特别地:（1）当时,点的坐标为,,这就是线段的中点坐标公式; （2）若,则点在的延长线上或其反向延长线上,由向量共线的坐标表示及共线向量定理同样可得点的坐标为, ［对应练习:题型2］ ▍知识点6:向量数量积的坐标表示 设两个非零向量,,则,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. ［对应练习:题型3］ ▍知识点7:向量的模 设,为平面直角坐标系中的两点. 则. 如果向量,则. ［对应练习:题型4］ ▍知识点8:投影与投影向量的坐标表示 设两个非零向量, 投影（数量）:向量在向量方向上的投影为 投影向量:向量在向量上的投影向量为. ［对应练习:题型5］ ▍知识点9:向量夹角的坐标表示 设,都是非零向量,,,是,的夹角,则 若,垂直,则,即. ［对应练习:题型6］ ▶练基础 向量的正交分解及坐标表示 1 【典例▪1】如图,设为一组标准正交基,用这组标准正交基分别表示向量,,,,并求出它们的坐标.    【典例▪2】（多选）已知向量,对坐标平面内的任一向量,下列说法错误的是（    ） A.存在唯一的一对实数,使得 B.若,则,且 C.若x,y∈R,,且,则的起点是原点O D.若x,y∈R,,且的终点坐标是,则 【练习▪3】平面直角坐标系中,的坐标（    ） A.与点的坐标相同 B.与点的坐标不相同 C.当与原点重合时,与点的坐标相同 D.当与原点重合时,与点的坐标相同 【练习▪4】在平面直角坐标系内,已知 、分别是x轴与y轴正方向上的单位向量,若,则的坐标为 . 【练习▪5】已知,且的坐标表示的点在第四象限,则x的取值范围是 . 【练习▪6】（2024·高一课时练习）若为正交基底,设（其中x∈R）,则向量对应的坐标位于（    ） A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三象限 D.第四象限 【练习▪7】在平面直角坐标系中,向量,的方向如图所示,且,,求与的坐标. ▶练基础 向量线性运算的坐标表示 2 ▷角度1:向量加减法的坐标表示 【典例▪8】已知,两点的坐标,求,的坐标. （1）,; （2）,; （3）,; （4）,. 【变式▪9】（2024·河南郑州高一）已知平面上三点,,,则的坐标是 . 【练习▪10】若,则向量 ,向量 . 【练习▪11】（2024·全国高一）在中,AC为一条对角线.若,,则的坐标是多少？ 【练习▪12】如图,已知平行四边形的三个顶点､､的坐标分别是､､, （1）求向量; （2）求顶点的坐标. ▷角度2:向量数乘运算的坐标表示 【典例▪13】（2024·云南大理高二统考期末）已知向量,则 . 【典例▪14】已知,,则 . 【变式▪15】已知,,试用表示. 【练习▪16】已知,,为坐标原点, .点在轴上,则的值为 . 【练习▪17】（2024·全国）设为一组标准正交基,已知,,.若,求在基下的坐标. 【练习▪18】已知,,,设,,. （1）求; （2）求满足的实数,. ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ ▍练题型 向量共线的坐标表示 1 【典例▪19】（2024·辽宁高一校联考）已知, ,若,则（    ） A. B. C. D. 【变式▪20】已知,,且三点共线,则（    ） A. B. C. D. 【变式▪21】（多选）在下列各组向量中,不能作为基底的是（    ） A., B., C., D., 【练习▪22】已知向量,,,若与共线,则 . 【练习▪23】已知向量,,点. （1）求线段BD的中点M的坐标;（中点坐标公式见知识点5） （2）若点满足点P,B,D三点共线,求y的值. 【练习▪24】已知平面内给定三个向量, ,. （1）设,求m,n的值; （2）若,求实数k的值. ▍练题型 向量的定比分点 2 【典例▪25】已知,,且,则的坐标为 . 【变式▪26】已知与,点在直线上,且,则点坐标为 . 【练习▪27】（2023·上海长宁高一）已知平面上、两点的坐标分别是、,是直线上一点,且,则点的坐标是 . 【练习▪28】（2024·全国高三专题）在中,已知点,, 与交于点,求点的坐标. 【练习▪29】（2024·全国高三专题）已知点, ,,O为坐标原点,求AC与OB的交点P的坐标. ▍练题型 向量数量积的坐标运算 3 【典例▪30】已知,,,求下列各式的值 （1）; （2）; （3）; （4）. 【练习▪31】已知长方形中,,, 是的中点,是的中点,则 . 【练习▪32】如图,在直角梯形中,, ,,,点在边上,且,则（    ） A.1 B.2 C. D. 【练习▪33】在边长为2的正三角形ABC中,, ,则 . 【练习▪34】在平行四边形中,, ,点为线段的中点,求的值. ▍练题型 向量的模的坐标运算 4 【典例▪35】已知平面向量,则 . 【变式▪36】（2024·山西高三）已知向量, ,若,则k= . 【练习▪37】已知向量,且,则 . 【练习▪38】已知向量,,若,方向相反,则 . 【练习▪39】（2024·四川雅安统考）正方形的边长为4,E为的中点,为边上一点,若,则（    ） A. B. C. D.5 【练习▪40】（2024·四川）已知点,,则与向量的方向相反的单位向量是 . 【练习▪41】（2024·高一课时）若向量,则与其平行的单位向量为_________. 【练习▪42】已知,,. （1）试用、表示; （2）若,求的值,说明此时与是同向还是反向,并求. ▍练题型 投影的坐标运算与表示 5 【典例▪43】已知向量,则向量在向量上的投影的数量为（    ） A. B. C. D.1 【变式▪44】向量在向量上的投影向量为（    ） A. B. C. D. 【练习▪45】设,,则在方向上的数量投影为 . 【练习▪46】已知向量,,则在上的投影向量为（    ） A. B. C. D. 【练习▪47】已知向量 ,则向量在上的投影向量为（    ） A. B. C. D. ▍练题型 向量的夹角与垂直问题 6 【典例▪48】已知向量,,,则（    ） A.6 B. C. D. 【变式▪49】（2024·内蒙古统考）已知向量, ,若,则（    ） A.2 B.4 C. D. 【变式▪50】（2024·四川绵阳）已知, ,则与的夹角为（    ） A. B. C. D. 【练习▪51】若向量,满足,,且,则与的夹角为（    ） A. B. C. D. 【练习▪52】（2023·北京顺义高一）如图,在中,,,,,边上的两条中线,相交于点,则（    ） A. B. C. D. 【练习▪53】在中,已知,, ,,边上的两条中线,相交于点,则的余弦值是（    ） A. B. C. D. 【练习▪54】已知向量. （1）设,求的最小值; （2）若向量与向量的夹角为钝角,求实数的取值范围. ▍练题型 利用坐标法求取值范围 7 【典例▪55】已知中,,,点为的中点,点为边上一动点,则的最小值为________. 【练习▪56】已知点是边长为2的正内一点,且,若,则的最小值为_________. 【练习▪57】（2023·全国）在平面直角坐标系中,若,,,则的最小值为 . 【练习▪58】△ABC中,AC = BC,∠BAC = ,D为BC中点,E为AB中点,M为线段CE上动点, = 4,则| AC | = ; 的最小值为 . 【练习▪59】平面直角坐标系中,,为坐标原点. （1）令,若向量,求实数的值; （2）若点,求的最小值. 【练习▪60】在直角中,角为直角,点是边的中点,点满足,点是边上的动点. （1）若点是边上靠近的三等分点,设,求的值; （2）若,求的取值范围. 【练习▪61】如图,梯形ABCD中,,, ,且,E是线段AB上一点,且,F为线段BC上一动点. （1）求的大小; （2）若F为线段BC的中点,直线AF与DE相交于点M,求; （3）求的取值范围. ▶▷ 综合巩固提升 ◁◀ 一、单选题 1.已知向量 ,.那么“”是“ ”的（　　） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.（2024·贵州）已知 ,若,则（    ） A. B. C. D. 3.已知向量,,若向量在向量上的投影向量,则（    ） A. B. C.3 D.7 4.已知向量,,若是直角三角形,则的取值是（    ） A.2 B. C.2或7 D.2或5 5.（2024·陕西安康高三统考）已知向量, ,,,则（     ） A. B. C. D. 6.已知平面向量、、满足,, ,,则的最小值为（    ） A. B. C. D. 二、多选题 7.（2024·山东济宁高三校考开学考试）已知为坐标原点,向量是线段的三等分点,则的坐标可能为（    ） A. B. C. D. 8.（2024·海南校联考）已知向量, ,则（    ） A.若,则 B.在方向上的投影向量为 C.存在,使得在方向上投影向量的模为1 D.的取值范围为 9.在边长为1的正六边形中,为边上的动点,为边上的一个动点,则的值可以为（    ） A. B.1 C. D.2 三、填空题 10.已知向量, ,若与所成的角为钝角,则实数的取值范围为 . 11.已知,,为,的夹角,且,则在上的投影向量的坐标为 . 12.已知向量, ,若非零向量与,的夹角均相等,则的坐标为 .（写出一个符合要求的答案即可） 四、解答题 13.（2023·天津滨海新高一校考期中）已知向量 （1）求; （2）若,求的值; （3）若与的夹角为锐角,求的取值范围. 14.（2022·全国高三专题练习）已知平面上三点,,且,. （1）若三点,,不能构成三角形,求的值; （2）若为直角三角形,求的取值集合. 15.（2024·洛阳）已知向量, . （1）求证:; （2）若存在不为0的实数和,使,满足,试求此时的最小值. 16.（2024·东莞高一校考）如图,在梯形ABCD中, ,,,且, E是线段AB上一点,且,F为线段BC上一动点. （1）求的大小; （2）若F为线段BC的中点,直线AF与DE相交于点M,求; （3）求的取值范围. $第五节向量的坐标表示 核心基础导学 【1】答案见解析 解析：由图可知： a=2i+3,对应坐标为(2,3)： 6=-2i+37,对应坐标为(-2,3)： c=-27-3,对应坐标为(-2，-3)： a=2-37,对应坐标为(2-3) 【2】BCD 解析：由平面向量基本定理，可知A正确 例如，a=L,0)≠0,3)，但1=1，故B错误： 因为向量可以平移，所以a=(:,y)与a的起点是不是原点无关，故C错 误 当a的终点坐标是(c,)时，a=(x,y)是以a的始点是原点为前提的，故 D错误.故选：BCD 【3】C 解析：A:仅当A点与原点重合时，向量与点B的坐标相同，错误： B:只有当A点不与原点重合时，向量与点B的坐标不相同，错误： C:如A中描述，正确； D:当B与原点O重合时，A正的坐标值与A的对应坐标值互为相反数， 错误.故选：C 【4】(2,-3) 解析：由题意可得a=2i-3),则a的坐标为(2，-3).故答案为：(2，-3) 【5】1,2) 解析：由题可得A正=(2-x,1-x),因为AE的坐标所表示的点在第四象 限所以仔8解特12.所烈花调是2 【6】D 解折：++1=低++0,2-x+1=-分+子>0， 因此a对应的坐标满足x2+x+1>0,-(x2-x+1)<0, 所以向量ā对应的坐标位于第四象限.故选：D 【a间〔 解析：设点A(,),(o), 日-2，且∠A0x=45, ,x=2c0s45°=√5，y=2sim45°=√万 :月=3，么0B=90+30°=120°， ,x。=3c0s120°= ,=3sim120°=3V5 3 故-丽-间.8-丽-9 故答案为5同(9 【8】(1)A丽=（1,4)，函=(14) (2)A=(9,-1),函=(9，) (3)AB=(0,2,a函=(0，-2) (4)A丽=(1,0)，函=1,0) 解析：(1)因为4(5,3，B(4,-1), 所以A=(4,-1)-(5,3)=(1,4),A=(5,3)-(4,-1)=,4) (2)因为A(-3,4),B(6,3), 所以A正=(6,3)-(-3,4)=(9，-1)，BA=(3,4)-(63)=(人9,1) (3)因为A(0,3),B(0,5), 所以A西=(0,5)-(0,3)=(0,2），A=(0,3)-(0,5)=(0,-2). (4)因为A(3,0),B(20), 所以AB=(2,0)-(3,0)=(（1,0),BA=(3,0)-(2,0)=(1,0). 【9】(-18,18) 解析：根据题意，A(2,-4),B(0,6),C(-8,10), AC=（-10,14),BC=(-84), AC+BC=(←8,4)+(-10,14=(-18,18)： 故答案为：(-18,18). 【10】(1-1):(-4,-3) 解析：由a+b=(-3,-4)①，a-b=(5,2)②. ①+②.得=[3+6,2明-0-： @②.得6=2×[3--62=4》. 故答案为：4，-1)，(4，-3) 【11】（←3，-5) 解析 AC=L,3),AB=(2,4), ..AD=BC=AC-AB=(-1,-1) .8D=AD-AB=(3,-5). 【12】(1)(4,1)(2)(-2,1) 解析：(1)：四边形ABCD是平行四边形 且顶点B、C的坐标分别是(-1,3)、(3,4)， Bc=(3,4)-(1,3)=(4,1): (2)设A(x,),又D(2,2), .AD=(2-x,2-y), 又AD=BC, (2-x,2-y)=(4,1), 即6保 y=1 顶点A的坐标为(-2,1) 【13】(4,5) 解析：a=11),=(2,3), 2à+b=(2,2)+(2,3)=(4,5).故答案为：(45) 【14】(1,8) 解析：因为a=(2,1),5=（-1,2),所以2a+36=2(2,1)+3(-1,2）=1,8).故答 案为：(18) 【15】c=-2a+2b 解析：设c=xa+b 则(10,4)=x(-2,3)+y(3,1)=(-2x+3y,3x+y), 解得x=-2,y=2, ∴.c=-2a+2b 【16】1 解析：设点P(a,0) O=(a,0),0A=(3,-1),0正=(3,2 则(a,0)=(6,-2)+(32,2) 题64特 【学引 解折：因为AD=A迈+0+C西=(3-2)+(4+）+(&-9j）=157-107, 又丽=4所以a-学司 因此云在基年了下的坐标为任到】 【18】(1)(6,42）:(2)m=-1,n=-1. 解析：a=(5,-5),b=(-6,-3),c=18), 则：(1)3a+3-36=(6,-42): (2)mb+nc=(-6m+2,-3m+8n)=(6,-5),解得m=-1,n=-1 重点题型专练 【19】B 解析：因为 b-a=(3k,-)-12)=(3k-1,-k-2),2ā+b=(2,4)+(3,-1)=(5,3) 且(5-a)2a+b),所以(3k-1)×3-5(←k-2)=0,即14k=-7, 解得=片故选B 【20】A 解析：由A(m,0),B(0,1),C(3,-1),得AB=(-,1),BC=(3,-2), 因为A,B,C三点共线，所以AB11BC,即(-m)×(-2)-1×3=0, 解得m=子所以m=子，故选A 【21】AC 解析：对A,,∥e,不能作为基底： 对B,-1x7-2×5≠0，与不平行，可以作为基底： 对C,e,=2e,6∥马，不能作为基底： 对D,2×2+3x3≠0，C与C,不平行，可以作为基底.故选：AC 【21月 解析：a=(-1,3),B=,2),c=(2,m) i-c=(-12-m),a-c=（3,3-m), :B-c与a-c共线， -16-m）-(←32-川0，得m=子故答案为：子 【a14号：2)月 解析：(1)设By),A=(4,3),A(-1-2, (年+1%+2)=(43) 51=4压=3 y+2=3“,=1 ·B(3,1),同理可得D(-4,-3 设BD的中点M(), 则号方号山 2 2 (2)P8=(3,1)-(2,)=1-),8D=（4,-3)-(3,1)=(←7,4). :P,B,D三点共线，.PB∥BD 4+7×-)=0,解得y= 【24】(1) :2k= 13 解析：(1)解：因为向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),且a=b+nc, 所以(3,2)=m(-1,2)+n(4,1). 所以=-m+4 m=3 9 2=2m+n ,解得 (2)因为向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1) 所以a+c=(3+4k,2+）,2b-a=(5,2), 因为(a+kc)∥2b-a, 所以2(3+4)=-50+)k=治 【25】(2,-2) 解析：设C,y),因为A(0,1),B(3,-2),所以 AC=6,y-1,C西=6-x-2-), 又因为4C=2,所以下=28-) y-1=2(-2-y) 解得2 =1所以c=y-)=2-2》.故答案为：(2，-2) 【o1(或ao 解析：由点P在直线AB上，且A=2P园，可得P=2P西或 AP=-2PB, 当A正=2PE时，设P(a,b),有(a+3,b-4)=2(-1-a,2-b),解得 5 点？坐标为（蜀 当F=-2PB时，设P(m,n),有(m+3,n-4)=-2(-1-m,2-m),解得 m=1,=0,点P坐标为0).故答案为：（号或0）。 【27】(3,2) 解析：设点P的坐标是（x,y),又A(2,3)、B(5,0),所以 AP=(x-2y-3),A丽=(3，-3）， x-2=1 因为亚=，所以-2-列-列--，所以-3- 解得x=3,y=2,所以点P的坐标是3,2).故答案为：(3,2). 解折：因为点0@以40机343)，0c-}o,0而=丽， 设M.则=y-.面而-司) 因为A,M,D三点共线，所以A应与AD共线， 所以-2-20-5列=0，即7x+4y=20. 因为C,M,B三点共线，所以CM与CB共线， 所子-〔-0，即-16=0 由7x+4=20 -12 7x-16=-20,得 7,所以点M的坐标为 2 y=2 【29】(3,3) 解析：法一：由O,卫，B三点共线，可设OP=OB=(41,4), 则AP=OP-QA=(41-4,42), 又AC=0C-OA=(-2,6), 由AP,AC共线，得(41-4)×6-41×(-2)=0， 解得2=}，所以o=8=6) 4 所以点P的坐标为(3,3)， 故答案为：3,3) 法二：设点P(x,y),则O丽=(x,y),因为O丽=(4,4)，且驴与O店共 线，所以4x-4y=0,即x=y. 又AP=(x-4,),AC=(-2,6),且AF,AC共线， 所以(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3, 所以点P的坐标为3,3)，故答案为：(3,3) 【30】a,五=8：(a+3孙(a-B)=-7:a-(6+c)=0:(a+=49 解析：因为a=(2,3,b=(-2,4), 所以a6=2×(2)+3×4=8,且a=2+3=13,6=(←2}+4=20， 所以(a+}(a-)=a-=13-20=-7, (a+=a+2a.6+3=13+2×8+20=49 因为c=(-1,-2,所以B+c=(-3,2) 则a.(6+c)=2×(-3)+3x2=0 【31】7 解析：如图以A为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则 A(0,0),D(0,2),C(4,2,(0,1,F(2,0),故元=(4,1)，F=(2,-1),故 EC.EF=4×2+1×(-1)=7 B 【32】C 解析：以B为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则C(2,0),D1,2), 设0，x),则C2=(-2,x),c西=(1,2)， 则西正=2+2x=3,解得x=分，即8驱片故选：C 【31月 解析：由题知，D为AB中点，E为BC中点，连接CD,以D为坐标原点 分别以AD,DC所在的直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐 标系， 则410，sa0,co5,2a0,69 【34】5 解析：BD⊥DC,以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，建立如图所示 的平面直角坐标系， AD=2AB=2,则BD=√AD2-AB=√4-1=V5, 有M0.A1同)，a-（,©-（5 网西=+3华故答案为：日 【35】25 解析：因为ā=(2,0)，5=1V5), 所以a-25=(2,0)-21V5=(0,-25) 所以-2=25.故答案为：25 【36】1 解析：因为向量a=(12),=(-2,1), 所以ka+5=(化-2,2t+1), 则ka+=V-2y2+(2+1妒=522+5=0 解得飞=1.故答案为：1 【37】√5 解析：3短-6=31,3+t)-（2,4)=,3t+5), 因为(3ā-)∥ā，所以1×3t+5)-5×3+t)=0,解得t=-5, 所以ā=，-2)同=+(2=5.故答案为：5 【38】22 解析：因为a=(2,t),b=(1-2t,3,且ā，B方向相反， 所以可设B=a(2<0), 则-2=22 t=2 3 3=-壮 所以a=(2,-2),同=V2+(2°=2万.故答案为：2E 【39】D 解析：如图，建立平面直角坐标系，设D=a∈[0,4， 8 则A(0,0),E(4,2),F(a,4),可得AF=(a,4),AE=(4,2), 因为AF.AEAE,即4a+8=20,解得a=3 即A丽=(3,4)，所以AA=3+4=5.故选D. 【o1(别 解折：店=34)，国=5， .与向量正的方向相反的单位向量为 周() 【信) 解析：由题意，向量店=(5，-12)，可得园=V5+(12乎=13 烈与卫知西6-19平行的年的为眉哈吕 【42】1)-3a+25:(2)k=号，反向，1i+6 3 解析：(1)设=xa+b,依题意，（-5，-4)=xL2)+y(1)=(-y,2x+), x-y=-5 x=-3 从而2x十y4解符=2 所以c=-3近+2b. (2)依题意，a+5=1-k,2+),而c=(-5,-4),由(a+b)11E, 得1-上=2+ -5-4 ,解得：子此时豆+5-写台与反向， 所越+5骨+令 3 【43】D 解折：由题意可得，3，a5=4-1=3, 故向量云在向量6上的授影的数量为可故选D 【44】c 解折：因为a=(25,2),B=15),则a6=25+25=4W5, 所以ā在五方向上的投影向量为 6网青晋-c 【45】- 2 解析：因为a=(2,1),b=(-1,1) 所以a5=-2+1=-1,月=5 所以ā向量在五方向的数量投影为 月ea,-852.- 可2 2 .故答案为：- 2 【46】D 解析：由已知ā+b=(4,3) 则a在a+6上的投影向量为 斜岗学学别 故选：D 【47】A 解析：a-b=(1V5,又G=（-15),c在向量a-6上的投影向量为 c.(a-B) -- .故选：A (a- 【48】D 解折：a15,a-5=0,即2x+3x1=0,解得x=,故选D, 【49】C 解析：由(m+月上m-n,得(m+(m-=m-=0, 而向量m=(4,a),n=(2,4),则(42+a2)-(2+4)=0,解得a=2, 所以a=±2.故选：C 【50】A 解折：由1a-5,得公-2a5+8-3,而1a451,则a-石=片 T我6-i6-周wm-兽雨 0s(aā-可05，所以i与i-5的夹角为@a-)=名故选A 【51】C 解析：ā=（1，)，则同=2， 由(2a+b)16,有(2a+b)5=2ā.6+62=0，得a.6=-2, 睛 号则后与5的夹角为警故选：℃ 【52】D 解析：因为AC=1,AB=2,∠BAC=60°， 由余弦定理得， BC2=AB2+AC2-2AB,ACcos∠BAC=4+1-2×2×1Xc0s60°=3 得到BC=V3,又BC2+AC2=AB2,所以△ABC为直角三角形， 建立如图所示的平面直角坐标系， VA 则有A1,0,B(0,V5),C(0,0),又D,E分别为BC,AB中点， 所以D0,E 2 所以cos∠DPE=cosAD,C亚= AD.CE 1+3 24 14 故选：D 【53】B 解析：由余弦定理得BC=√4+16-2×2×4×cos60°=2√5 所以AB2+BC2=AC2,所以三角形ABC是直角三角形，且∠ABC=90°， 以B为原点建立如图所示平面直角坐标系， A(0,2),MV3,0,C2√3,0，w(N3,1, a=（5,2,w店=（5，-1， ∠MPN=∠APB=MA,NB 所以cos∠hMPW=cosa,福=☑.陋 解桥：(1)由题意得ā-5=(10)-V5)=(-k,√5) 以---r+---是 腿当：=时非-同取得最小值为号 (2)由于 ta+b=t,0)+么5=(t+l5,ā+h=(10)+15=1+t,3r) 向量位+B与向量ā+5的夹角为钝角， 所以(a+)(位+5)<0，且向量位+6与向量ā+5不能反向， 所以+1)0+)+V5×t=P+5t+1<0且t+1)-V5(t+])≠0， 解符-5-区<t<5+五且t1, 2 2 故实数t的取值范围为 2 【55】16 9 解析：以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面 直角坐标系，如图所示， 由题意可知4)，cg0,©号 设4o),其中[3司，则而-合，--0)， 所烈当：-子助而而有最小值名 【s6】 解析：取BC的中点O,以点O为坐标原点，OC、OA所在直线分别为 x、y轴建立平面直角坐标系xO,则点A0,VB、(-1)、C,0), 设点M(),AM=（y-5),店=（1，-，Ac=(-), x=-+u “证=压+E且+片，则少-5=5a+四，可符 2+=片 x=1-22 2 由于点在正aC内则么0可将0a生则 2 持可将西1x冯正 丽C=-1+子=-子，所以当x=0时，c取最小值于 【57】2W5 解析：由题意得OA=(1,0),O8=(3,4),则0C=xOA+08=K+3y,4), 所以AC=0C-OA=6+3y,4y)-(1,0)=(x+3y-14),又x+y=6, 所以AC=(6+2y,4y), 于是AC=V6+2yy+4)炉=V20y2+20y+25= 由于yeR,故当y=时，G的最小值是25.故答案为：25 【s8】4出 解析：空1：由题可知△ABC为等边三角 形，D.丽=引d网os60=4, 解得网=4，因此B4=Bd=4c=4: 空2：如图，设A(-2,0),DV5,M(0,),其中0≤y≤2W5 AM=(2,),DM=（L,y-V5),aa.D=-2+y2-5y, 当y=5时，.M=-2+y广-=-生，即为成的最小值 植答案为：4：号 【59】(1)t=2或t=-1;(2)5 解析：(1)a=0A=4,1,5=O店=(0，-1) 所以a+6=t()+(0,-1)=士-1）， 由a+=5得P+-)-5, 解得：t=2或t=-1. (2)因为OC-OA=AC=(F-L,√F+2) 所以DC-OA=ACP=(WF-)2+(WF+2y2=2x+2WF+5, 因为x20,y=2x+5,y=2WF均为单调递增函数 所以当x=0时，(2x+2F+5)=5, 即c-a4的最小值为5. 【o1@[品] 解折：(1)因为亚=号店，所以亚=弧， 若点0是c边上靠近c的三等分点，则c项=西，即0-号C, 所以西=-丽-8c丽-ac-丽)+丽=4c-丽， =-1 又PO=AB+AC,AE、AC不共线，所以{ ,所以2+u=分 2 μ=3 (2)如图以A点为坐标原点建立平面直角坐标系，则 B(3,0),C(0,2),P(2,0),M(0,1 因为9在CB上，设C0=2CB=(32,-22)(1∈「0,1])， 所以M0=MC+C=(0,1)+(3元，-2)=(31，-21+1)， P0=P元+C=(-2,2)+32-2)=31-2,2-22), 所以 西而=30-+(24e-2=1-1+=-吕 因为[叫，所以当4合时，(@可吕 又怡所以当1时（匝可=3， 所以Mg.PQ [ -2 【aa)票a-a[器时 62 解析：(1)连接AC,BD, 由AB∥CD,AB=5,DC=2, 则西元，西远 所以D与正的夹角和历与DC的夹角相同，并设为日，0e(0,π)， 则c=(D+Dc)(-)-(D+c)(-c 网减而正时网网网o-网. 又花丽-0，即16-24x2m0-4=0,得m0号 又ae(o.,则0-于，即∠DAB=号 (2)如图，过点D作D0⊥AB于0， 则AO=ADco8∠DAB-2,DO=ADsin∠DAB=2W3, 故以O为原点，以AB,D0所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直 角坐标系， 则4(2,0），D0,2W5),(2,0),3.0),C(2,2W5) 又F为线段C的中点则5 所以-（35，正=(-2)， AF.DE 所以cos= }1-25x55 厨同园8+3x4+亚 62 V4 (3)结合(2)，得8C=(-12W5), 设8胶=C,1e[0,1],则3-22W5) 所以AF=(5-2,25,DF=(3-1,251-25) 所以A正F.DF=(5-)×(3-)+2W3×251-2W)=132-201+15 =a-曾 又，则当铝计压网治当0 时，(aD丽.=15， 所秋示示的取位范调为[吕5 综合巩固提升 1.【答案】A 解析：向量a=(4,x),b=(x,1),a1仍，则x2=4解之得x=2, 则“x=2”是“x=±2”的充分而不必要条件. 即向量ā=(4，)，石=(，).那么“x=2是“云1乃”的充分而不必要条 件.故选：A 2.【答案】D 解析：向量a=(3sin0+cos6,sin0-5cos8,B=(3sin6,cos8),由a⊥b, a.B=3sin(3sin0+cos0)+cos(sin -5cos0)=0, 变形得(9sin0-5cos8Xs血8+cos)=0,而6e(0,7,即m8>0,cos8>0 因此9s血0-5cos0=0,所以m0=号故选：D 3.【答案】B 解析：由已知可得，6在ā上的投影向量为 a.B a2sima(2.0)=(sin a.0) 1a可1可2×2 又在后上的投影向量：传0小，所以血a分 所以=马，.所以+5= 2 所以1a+月+(-万.放选：B 4.【答案】C 解析：店=（1，)，AC=(2,1),则BC=AC-AB=(3,1-), 当A是直角顶点时：AB·AC=(-1)(2,)=-2+k=0,k=2: 当B是直角顶点时：AB·BC=(-L,(3,1-)=-3+k-2=0,无解： 当C是直角顶点时：AC.8C=(3,1-)(2)=6+1-k=0,k=7: 综上所述：k=2或k=7.故选：C 5.【答案】C 解析：：G=a+b=(2t+6,8),a.c=4t+12,6.c=12t+100, a.c b.c 由a,）-5.）得：同可 4+12_1必+10，解得：=5。 2 10 故选：C 6.【答案】C 解析：不失一般性，在平面直角坐标系xOy中，设 a=(1,0),B=(x3),c=(x2y2）, 因为a-6=x=1,a.c=x,=-1,万.c=xx,+%y2=%y-1=0, 所以+-++=k+y+ 1 =2,当且仅当必=1时，等号成立.因此，5+ 的最小值为2.故选：C 7.【答案】AC 解析：因为0A=(2,3),O店=(6，-3)，可得A8=08-OA=(4,6), 又因为点P是线段8的三特分点则不-而-侣一小或 不-拓传小以丽=+亚-借或 丽丽+亚-借即P点的坐标为传或侣故选Ac 8.【答案】BCD 解折：对于A若石1石，则5如0-cos8=0,则m0=5,所以A错 3 误： 对于B,6在c方向上的投影向量为 (6.E)E_1x3+5x5 同同 V3+(N32+ 2,故B正确 对于C,c-b=(2,0),所以a在c-B方向上投影向量的模为： a6--620血0， 休-州非-司可 2 当日=于时，sim9=1,所以存在6，使得ā在-B方向上投影向量的模 为1，故C正确： 对于D,向量a=(sim0,cos0),b=1V5), F-em0-y+(eos0-5=5-2m0-25cos0 所以m0+引e[1,则-可，故D正确故选：BcD 9.【答案】ABC 解析：正六边形ABCDEF中，每个内角都是120°，∠FEA=∠FAE=30, 有EA⊥AB, 以A为原点，AB为x轴，AE为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示： 因为AB=AF=1,c0s120= 分1w9则有 微00,0.间.任 设Px,,0 A正=(0，)，P阳=(，-为， 由平面向量数量积的运算可得正.P=√5(，-)， 因为片片∈0 2 释元马有5， 所以正厄的取值范周是[号引故选AC 10【答米】长-u(1副 解析：a与b所成的角为钝角即a·b<0且a与b不平行， 3t+1+2t<0 即 (3t+1t≠2 3r2+t-2≠0 所以e(-u(1》 故答案为：((1) 1【答*】（品-） s如(a,） -5 解折：由tan<a,6=-√5，则cosa,b)】 ma5）+cos(a,）=1 解得cos<a,b-1 则lcos<a,b> 12.【答案】(1,1)，答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可 解析：设c=(x,y）,因为a=12),五=(4,2)， 型同莆 x+2y 同雨 b.c 4x+2y 因为c与a,6的夹角均相等，所以cos(a,-cos,） x+2y 4x+2y 所以5xP+F25x+y 化简得x=y,所以c=(,x), 因为c为非零向量，可取x-1,此时c=a,1). 故答案为：(1,1)，答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可. 13.【答米】)反(2)-上(3)（←-u(0) 解析：(1)由题意可得a+25=1,-) 所以+2=√巨： (2)由题意得a-b=(-2,5),a+h=(化-1,3-2) 因为(a-b)1川a+b),所以-2(3-2k)-5(k-1)=0,解得=-1： (3)因为a-6与a+5的夹角为锐角，所以(a-)(a+5)>0且 (a-5,a+b）≠0， 即--小450-0，解有号 由(2)可知当衣=-1时，a=b,此时（位-万，ā+5）=0， 所以：的取值范周为(。-小u(品) 14【答案】(1)k=:（2)2-1时 解析：(1)因为三点AB,C不能构成三角形，所以A,B,C在同一条直 线上， C到c,42-小32=0，解号 (2)由题意得，AB=AC-BC=(k,1) 当A是直角时，AB⊥AC,.AB·AC=0,·2k+4=0,解得=-2： 当B是直角时，西1C,A8.BC=0,k2-2k-3=0,解得=-1或 当C是直角时，AC⊥BC,.ACBC=0,16-2-0,解得：-8 综上所述，的取值集合为：{2，-13,8时· 15.【答案】(1)证明见解析：(2) 4 解折：a(o(-0m5-（o目-小m凭-刃 a=(cos0,-sine),b=(sine,cos0) a.B=cosesin 0-sin 0 cose=0 故a1b (2)显然同-月=os20+sm20=1, 15→5=[a+(+3)5](-a+历)=0， 故可得-试+(+3+[t-+3)a.五=0， 即-k+t+3)=0,→k=t世+3)， 所以当子时仁取得最小值号 4 16【答类10青2)受：g)[答1 解析：(1)连接AC,BD, 由AB∥CD,AB=5,DC=2, 则1Dc,丽- 所以AD与AB的夹角和AD与DC的夹角相同，并设为8,8e(0,π)， 则c助-（西+c列）（西-到-（西+）-】 网而元网网网风w网 又-0，即16-42m0-40,得m0月 又0e(0,),则g=于，即∠DAB=5 (2)如图，过点D作DO⊥AB于O, 则AO-AD cos∠DAB-2,DO=ADin∠DAB=2√3， 故以o为原点，以AB,D0所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直 角坐标系， 则4(2,0)，D0,25),(2,0),3,0,c(2,2) 又F为线段C的中点则合) 所以正(35，-2-2， AF.DE }2-2w5x6 所以c0s8 a园 +3×A+12 4 (3)结合(2)，得8C=(125), 设F=8G,e[0,1],则F3-252, 所以AF=(5-2,25,DF=(3-,252-2) 所以AF.DF=(5-)×3-)+2W5×(251-2W=13-201+15 器 又[，则当君时压网答：当0 时，(aF.DF）.=15, 所以示示的取值花围为[答小