第3节向量的数量积讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学教学设计聚焦向量的数量积核心知识点，从向量夹角的定义出发，逐步构建数量积的概念、几何意义、运算律及应用，通过“概念—性质—投影—运算—综合”五阶递进式结构搭建学习支架，实现从直观感知到抽象推理的自然过渡。 资料亮点突出，体现数学眼光中的几何直观与空间观念，如用投影向量解释数量积的几何意义，帮助学生理解“数形结合”的本质；展现数学思维中的逻辑推理能力，例如在夹角取值范围问题中引导学生建立不等式模型，培养严谨推导习惯；彰显数学语言的表达力，在练习题中规范使用符号语言描述向量关系，提升建模意识。整体设计层次清晰，例题典型，习题梯度合理，既利于教师精准施教，又助学生深化理解、迁移应用，有效发展核心素养。

第三节向量的数量积 核心基础导学 【1】C 详解：如下图所示 对于A选项，AB与BC的夹角为T-∠ABC,为钝角，A错； 对于B选项，AC与☑的夹角为π-∠BAC,为钝角，B错： 对于CD选项，AC与BC的夹角等于∠4CB,为锐角，C对D错： 故选：C 【2】C 详解：对于任意得两个非零向量ā，6，a.-coa,） 其中(a,[0,可 若两个非零向量同向共线，则（位，）=0，co位，）-1，ā6-0，故 A正确： 若两个非零向量反向共线则（白，）=，cos位8）=-1，a8=-k0 故B正确： 若这两个非零向量的数量积是负的，则co,)<0,位，）任，故 C错误： 若两个非零向量的数量积是0，则co(位，}-0，（位，）-三，a5互相垂 直，故D正确.故选：C 【3】B 详解：由数量积的定义知a.ba1cos6 对于①，若a∥B,则abab1或ab=-a川，ab=0不一定成立，① 错误 对于②，a,五=Ba成立，②正确 对于③，a(6)与a共线，（位.列c与c共线，两向量不一定相等，③错 对于④，a,五a1cos8≤同，④正确故选：B 【4】c 详解：因为a、b是单位向量 所以-月=1，ā5=os(a,b)co(6,b),因为向量a与向量五的 夹角未知，故A、B均错误， 若a1乃，则向量a=b或a=-3,故D错误： 根据平面向量的运算律可知ā，B=a,故C正确：故选：C 【5】D 详解：对A0c=0,故A错误： 对B,由于向量的数量积为数，所以向量不满足乘法的结合律，故B错 误： 对C,a.0=0,故C错误， 对D,向量的数量积为数，故0b=0正确.故选：D 【6】(1)20:(2)0;(3)10W5;(4)-10W5 详解：(1)当a∥b时，若a与B同向，则8=0°， a.5=5cos0°=4×5=20. 若a与6反向，则6=180°，a.B=cos180°=4×5×(1)=-20 (2)a16时，6=90°，a,5=cos90°=0。 （3当a与6的夹角为30时，a.6=os30°=4x5x5=105 (4)当a与6的夹角为135°时， a.6=os135=4x5x-5 -10√2 2 【7】-2 详解：4=8C2,向量A店与8C的夹角为120°， 丽c回ol2o=2x2×(2 【8】-2√2 详解：由数量积的定义可知：a远=同付co(位，=4×1× 故答案为：-2万 【9】3 详解：因为△ABC,△BDE都是边长为1的等边三角形， 所以∠DBE=∠BDE=60,∠ABE=120°， 在△ABE中，AB=BE=1,所以∠DAE=30°，∠AED=90°， 所以园-5，所以AD正=aco8∠DAE=2×5x53. 故答案为：3 【10】-2 详解：因为同=4，=2,8和5的夹角为120°， 所以a在B方向上的投影数量为acosa,.b=4×cos120°=-2， 【11】-35 详解：因为月=2，(}g 所以a在B上的投影向量为 6 56=-36 【12】-√2e 详解：依愿意，a8a1cos-万，所以向量a在向量8上的投影向 4 量为(a,e=-V2e 【13】钝角三角形 详解：因为A正在BC方向上的数量投影为正，即正与C的夹角为锐 角，所以∠ABC为钝角，所以三角形为钝角三角形： A 故答案为：钝角三角形 【4】方 详解：根据愿意：8，万为两单位向量，且a-万=子，所以a在5上的数 1 量投影为lo0语三片故答笑为：片 1 【15】(1)12:(2)0. 详解：(1)因为=4，=2，ā与5的夹角为120。 =-4 所以(a+6)(a-25)=a2-a.6-252=16-(←4)-2×4=12 (2)因为=4，月-2，a与6的夹角为120° 所以a-6oi2o42x分4， 所以(2a-)(6+36)=2a2+5a-6-362=2×42+5x(4)3x×22=0. 【6)号 详解：因为+25)（位-）=-25+a-6=1-2+a-6=号，所以 a6=号 【17】2 详解：由已知a(6-a)=a.6-a产=-10， 得a.b=6,故向量在向量B上的投影为 一()-月雨语-g-2,故答案为： 丽可 【18】-7b 详解：因为(2a-)1(a+),所以(2a-6)(a+6)=22+ā5-62=0， 又同=2，月=1，所以ā.6=-7， 则ā在6上的投影向量为 a.b -76 【191月 详解：依题意2云+35=4忙，两边同时平方得16c=4a+12a6+95, 所以16=13+12a6,可得-6=号 重点题型专练 【201a)-8+8丽=8+5：2)￥ 详解：1)亚=而+风=而+证而+名若+3， =西+丽=丽+c=丽++D+可) 号而+而-号+5 (2)由题意可得|DC=1,过D作AB的垂线DE,则由 ∠naB=4s→lD-h-0al-Dc=1, 月=V2,a.i=3x2xcos45°=3 丽丽-信+治++号 【21】4 详解：F8D=(丽-c(CD-C -CF.CD-CE.CD-CF.CB+CE CB =+付西-4+4=4 3 3 【22】1 详解：正C=历+4C到小（丽+可列 面+西+0)（匝+可列 =2D+(西+列 引丽+而+沥 2+2+32m- 【23】0 详解：：AC=BGC-函 ..AB.AC-ABBC-BA)=AB.BC-AB.BA=-BA.BC+AB', 又ABC=36,AB=6即A8=4=36, ABAC=-36+36=0.故答案为：0. 【241--5:2)号 详解：(1)因为驴=8C,所以C丽=c8, 由题得而=0丽-网=号丽-网-子8-6： (2)由已知得 西-+a0-+子丽=+@-可-丽+-子+5 本-任-+片习料言-判 4-430-护号 【2s】k=+号 详解：当向量a+kb与a-b垂直时， 有(a+⑤)：(a-⑤)=0， 即a2-k6a-k2B卡0 又同-3，-4， 所以9-16k2=0, 解得女=士号，所以当=士号时，ā+5与-6垂直 【26】B 详解：由题意， 向量ā，五的夹角为60°，且同-211 a-5=cos(a〉-2cos6o=月 A项，a6+a)=a5+a”=5列≠0，故A不正确： B项，因为6-a)=B-a=6-6=0, .1(6-a),故B正确： c项，6+a)=B+a6=2≠0，故C不正确： D项佰-a)=汤-日=-3≠0，故D不正确故选：B. 【27】专 详解：因为1a=5,b=4,a与b的夹角为120° 所以a.6=ol20=5×4× 由(a-25)μ(a+, 所以(a-25)(a+b)=a2-252+k-2)7-6 =25k-2×16-10(k-2=15k-12=0, 解得=，故答案为：号 【28】月 详解：由愿意知同=4,1， 又因为(2a-35)5=2a6-52=2sa,）-=3, 解2得：o.)子 【29】号 详解：因为a,3为单位向量，(a+2)1(3ā-列 所以(6+2)(a-6列小=金+-6-8=1+-6=0，则a6=-号 【301g 详解：因为a⊥3a+b), 所以a:(3a+5)=3引a+a-6=0, 设a与6的夹角为6， 所以cos6= a.6 。3a5所以0-g 1alb11al×2W31al2 【31】- 2 详解：因为==1,5且ā+6+c=0, 所以6=-a-,所以B2=(a-}=2+2a6+82， 即1=1+2ac+N,所以a.6= 2 、3 时而言号 a.c 【32】0 7a2+16a.b-1562=0 详解：由题意可得： ,化简得 7a2-33ā，b+2052=0 -a6 因先a() =l,所以a与B的夹角为0 【11)-6-,5-,a哑-5：2 68 详解：(1)因为AB=a,4C=五，且ABCD是平行四边形， 所以BC=AC-AB=b-a, 所以4-号c-6-d) 所以成=应-丽6-小 所以a丽=丽-玩--手-6-)青-8 2)由①知孤6-证等会， yAC=B,AC.BM=10,AB=AM=2 所以5传-)-6-州2， 即6-4a.6=30,6+a2-2a6=36 解得a.=1=34 同前受 【a1传* 详解：由题意知a-6-lae60=1x2x分1， :c与a的夹角为锐角，.&a>0且c,a不共线， 假设c,a共线，则存在实数k,使得2ā+b=ka+2kb 由题知，5不关线任-古 若，豆不共线则号 a>0,即(aa+列(a+2)>0,+(22+1a.+2>0 即1+(22+1)+8>0，得2>-3. 综上，>-3且1 2 A的取位范闾为(3对引合+】 【s133 详解：向量a+6与向量ā-3站所成角为钝角 则(aa+)-(a-3)<0且2a+万与a-3汤不共线 (2a+b)(a-3=2a+1-3a.b-33=42-21-32)-12<0 故1的取值范网是（®宁U多 【36】(1-5,-1+5 详解：因为向量ā+5与2ā-2b的夹角为钝角， 所以(a+)(2a-2b)<0,且ā+5与25-ā不共线， 因为ab=1, 所以2a2+(2-2)a6-252<0,即2+21-2<0， 解得-1-√5<2<-1+√5①： 当ā+5与2a-25平行时，则存在实数k,使得a+历=a-2) 即(k2-1)a=(2+2kb, 因为a、6不平行， 所任即求2则如8运 ①②得，实数1的取值范围是（1-V5,-1+V) 【31)g:2)（G+ 详解：（1)因为月月1，（位+25）-)=-子 所拟8+i-2=子即1+a6-2=子则85-月 )前用s的接n时 (2)因为a+b与a+3b的夹角为锐角， 所以(ka+)(a+35)>0且ka+6与a+36不共线， 当ka+6与a+36共线时，有ka+5=a+3药)，即ka+6=a+325, 由a知与不类线所代解邦片 所以当a+5与ā+5不共线时，上号 由(a+}(a+35)小0，得ka+(3+a.6+32>0, 即+化+9>0，解得>号 所以>号且号，即实数上的取值范围为》行】 【38】C 详解：由向量ā、5的夹角为，月-=5，月1， 得出a-6=5x1×s血子=1 则13a+5非3a)+6a.6+()=8+6+1=5.故选：C 【39】A 详解：因为5-2=3，所以(6-2a=2-4a.6+42=9①. 又因为(a+)1(a-2), 所以(a+6)(a-25)=-252-ā，6+a2=0②， 由①-②×4，得=1，所以=1.故选：A 【40】C 详解：因为1，=2，a.6=1, 所以2ā-=42-4a.6+i2=4-4+4=4,所以2a-2.故选：C 【41】A 详解：由-=5可得，（位-=a+万-2a6=3， a.B 烈6行烈前行 又因为0°≤(as180,所以(a）=120,故选：A 【42】B 详解：由巨+巨-，平方得a2+2a6+62=a2-2a6+62, 即ai=0,则a16.故选：B. 【43】D 详解：由题意得在△ABC中，BC=AC-AB 故由园=4，a©=3，B+A可B©， 得丽+d=c-减， AB'+2AB.AC+AC=AB'-2AB.AC+AC' 即16+9+24B.AC=16+9-2AC.AB 即AAC=0,故AC,BC=AC(AC-A)AC-ACAB=9.故选：D. 【44】A 详解：结合题意：5-=日+-2a:五=10，…+=14， 问-=+-削=4，=5， 同前片结大 【45】B 详解：因为向量ā在向量6上的投影向量为5，所以 a6-5-6=8 因为版-+，所以a-6a6+8=+2a5+5,即a=a6, 这a) 丽轩 2 因为0≤在，)x,所以）=年故选：B 【46】2 详解：由a-3)-=0,得a=,即非os30=,得 , 又--2，所以-=2，即a-2os30+8=4, 所以=2.故答案为：2 【47】2W5 详解：因为5-d2,所以-2a.5+日=4， 所以4-2a.6+4=4,所以ā6=2 所以a--2a-j乎=-4a5+f=6-8+4=25 故答案为：2√5 【4】1)万：(2)回 14 详解：④）i6-月)-a誓5 2 25a+=122+4Wa.5+B=12-6+1=7,25a+=万 (2)a(25a+6）=25a+a-5=25-535 22 a-(2w5a+) 3W3 :eoa5+）同p5a司 3V21 方4 【49】B 详解：巨+=V位+b分=匠2+2āt+8 =V4+2t+P-√+12+3≥25 当t=-1时取等号，所以本题答案为B. 【50】C 解析：设BP=2BD,则0≤1≤1， AP-A丽+BP-A店+BD=A丽+4D-AB=1-A)A店+AD, BD=AD-AB 所以P.D=[-)丽+A](A西-A丽， 又Ad屈-10=0， 所以AP.BD=-1-)+1=21-1,又0≤月≤1， 所以AP.BDe「-ll].故选：C. 【51】[15 解折：归+-@+-尽++2运万=2+2cos0 因为0[后引所以oe[骨所以+2oe可， 117 所以+1]，故答案为：[L] a1g可 解析：由(a-2)(2a+)≥4 得(a-2b)(2a+6)=2a2+a6-4a.6-25=2×9-3×3×4cos0-2×16≥4， 即c0s0≤-分，又0≤0≤x, :告3减答笑为[任 【后 解折：因为-2∈(2,2W5], 所以(a-2e(4,12]， 即a+452-4a.5=4+4-8cos0e4,12] 以a枚后引 「11) 故答案为：了 π2r 【54】3:25 解析：设向量a,5的夹角为0,0e[0,可]，因为2， 所以巨-=a-=VP+2-2x1x2cos日=√5-4cos0e[1,3], 故-的最大值是3： 同理+=V5+4cos日，所以 y=b-+a+=5-4cos6+5+4cos6, 则y2=10+225-16cos26,因为6∈[0，π]，所以cos28∈[0,1，故 y2e16,20]. 因为>0，所以ye[4,2W5],故-++最大值是25. 故答案为：3：2√5 【55】「4,12 解析：设a与的夹角为0(8∈0，刊)， 因为=4,8。 所以非+V+5=店+2-五+B=6+64cos0 因为6∈[0，四，所以-1≤cos6≤1， 所以-64≤64co30≤64， 所以16≤80+64cos0≤144， 所以4≤V80+64cos0≤12， 所以4≤+s12, 即巨+的取值范围为[4,12]，故答案为：[4,12] 【56】9 解析：根据平面向量数量积的几何意义得：当点E在点B时，DE.DC值 的最大，此时D正在Dc方向上的投影为3，又DC-3 所以D正.DC的最大值为9.故答案为：9. 【s[6 解析：设PC=mAC,0≤m≤1，则P阳=A+A店=(m-1)AC+A正， 故P丽.P元=[(m-1)Ac+AB mAC=m(m-l)Ac+mA.AC =4m(m-1)+mAB.AC cos _BAC=4m-4m+3m 因为0m1,所以-言m言号 17 【58】（-21,-9 解析：依题意， 因为在菱形8cD中，丽c,正=历， 所以丽=c而，下西=子丽 所以店F(西+丽面+网-（西+知]传而丽 =号丽+压而+D-24+9+6c压) =6cos(4B,4D)-15, 因为cos(压，4D)e(-1山)，所以6cos(aB,4D)-15E(21,-9). 故答案为：（-21，-9) 【s1所：2(L 解折：（1)解：巨+利-a+矿=++2los60=57 (2)解：ka-≥压，则ka-≥13，即 2a-2lcos60+8-13≥0， 整理可得3心-4k+1≥0，解得k≤或k≥1， 3 因此实数：的取值范国是(Lo), 【60】(1)证明见解析：(2)k>1或k<0. 解析：：向量a,6,6均为单位向量，它们相互之间的夹角为120°， 同l=1,a.5=eo120=-,a=eos120= 6--co1120=-分 1证月：-=i-6=号(}-0,6-1E: (2):Ika+b以b+c1 (ka+>6+a即2a+B+2a.6>B+2+2b., 2+1-k>1+1-1即k2-k>0,解得k>1或k<0 实数k的取值范围为k>1或飞<0. 【1西-瓶+而：②)丽乐引 解折：(1)由题知，西=函+D+页=西+D+c =丽+AD+丽-=名丽+AD, (2):丽=厨+而+西=丽+而+丽-(2-西+而 又丽=厨+示=}+分西 传丽+知+任司丽而 又[则则+ 而 【aa:@ 解析：(1)因为D为BC中点 所以而=丽+号c 2 因为E为AC中点， 所拟丽+c西+ec西， 腿而丽仔西+]侣- c丽丽c是 (2)因为等边三角形△ABC,边长为2，D为BC中点 所以AD为√， 因为E关于D的对称点为F, 所以DE=-DF, 故AEAF=(AD+D(D+D）=(D+DE)D-D正AD'-DE1 =--3-. 因为动点E在AC上， 所以当DE1AC时，D园取最小值，即5 2 当E与A重合时，D园取最大值，即V5, 所以s3, 所一的取做范闲为[® 【a1行a[ 解折：(1)因为0=号Dc,所以-A=c-A0) 得而-+0 3 因为而：丽+亚，所以片所以y号 (2)因为在三角形ABC中，AB=24C=L∠ACD=号 所以∠C48=号ac=5, 所以丽.丽=（回+AF网=网丽+AF.丽， A国=x,由题意得xe[0可 所以C丽.风=网网+AF.丽=回网cos∠CAB-, 因为e1,所以-（-+3 所烈云冠的取值范阔为[司 综合巩固提升 1.【答案】B 解析：结合题意可得：因为1非1，b2,ā.6=1， 5-26-2=厅原-4a6+好=4-4+4-2 故选：B. 2.【答案】D 解折：由1a-1,可得8-2a5+6-1,所以i-6=号 则a在6上的投影向量为 56=5.故选D 62 2 3.【答案】C 解析：以向量a,5为邻边的平行四边形的对角线为a+万与a-6 则i+=Va2+2a,b+6 2+2x25x2x5+4=s=2万， 2 点--尽-26+6=2-2x25x2x5+4=2 2 所以以向量ā，五为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为2√万或2. 故选：C. b 4.【答案】A 解折：因为点：是4如的中点，正-号而，而：号元 所以乐-派正而号丽=+ 3 2 丽丽+丽=+C-+5: 因为EF⊥EG, 所以厨丽(+仔+归+ =时+=0，则洞，放A正确故选A 5.【答案】C 解析：设B正=BC(0<1<1),可得DF=1DC, AE=AB+ABC=AB+AAD,AF=AD+ADC=AD+AAB 故A正AF=(AB+AD(A店+AD) =+(2:+1)因.D+=41+2(2+1)+41=22+81+2, 又由丽恋-号有2+81+2-号解特片=号（合） 故E,F为边CB,CD的中点，所以△CEF为等边三角形，故EF=1: 故选：C. 6.【答案】AD 解析：将巨-=日两边平方并整理，得-2a6=0,即6-(6-2a）=0 因为a,6不共线，所以B⊥(-2a),A正确 将2a-两边平方并整理，得a2-4ac+82=0,即 (a-c6a-c)=0 所以a-c与3a-c的夹角为直角，B错误. 由月-5-月海明-所 <2,C错误， 因为a,b不共线，所以a+5与b不共线， 则ā+乃与的夹角为钝角的充要条件是 a+6=a6+迟=+8-日+2<0，即4<分D正确 故选：AD. 7.【答案】ACD 解析：对于A,因为5(6-6)=a:方-3=1-1=0，所以51（仓-b),故A正 确 对于B因为5+2-+2-+4a6+2可=反=25， 所以B错误： 对于C因为可，5都是单位向显由平行四边形法侧和菱形性质知 对应有向线段平分ā，B的夹角，由题设知 )号前问m受9所似c正确 c.a 2 对于D,巨--恒成立，则(a-≥6-列， 即a-21a6+52≥a-2a6+62,整理得(2-)2≥0，此式恒成立， 所以vAeR,巨--司恒成立，所以D正确，故选ACD 8【答笑】品 解折：由三，马是单位向量，可得可1， 因为2g-3=4,可得2g-3=46-12gg+9%=14 -后收司前古我苦关为言 9【答案】子 解析：由条件可得而=西+©)， 则而丽++2丽0)-0+。-的 时时2子告名 则0：子当且仅当：子时取答号，即4D的最小台子 故答案为：子 10.【答案】2或5 解析：由题意，平面向量ā，五，c两两的夹角相等，包括两种情况， 可得两两夹角为0°或两两夹角为120°， 当两两夹角为0°时，可得a3=1,a.c=3,万.c=3 则6+3+=V日+3+c+2a.5+2ac+2b.8=5: 当辆两夹角为120时可得5=合.=含5=号 则+b+d=Va+3+c+2a.6+2a.c+25.c=2 故答案为：2或5， 11.【答案】(1)AM=V3,N=Vi:(2)CosLMGN=4 91 解析：(1)解：因为MBC的中点，则 丽-西+丽=西+c=丽+c-丽)丽+c。 所以，2AM=AB+AC 所以，4AM°=（店+AC=A丽+4C+2ABAC =AE+4c+2园Aeos60 =+10+2x4x10x156, 所以，AM=V39 因为N为4C的中点，所以，丽=N-丽=C-丽， 则丽-}0-西=丽+证-丽0 =+c-国lo60 =4+宁×10-4×10x分21，故aw= (2)解：因为 丽丽=压+)c-2)c-丽c-2） a-网网o60-1o2-4×10x号2×片12 所以mMar-a∠AG3=w(,凤 AM.BN 12 =59×i 4v91 91 2【答案11丽-：2》4行：(3)g 21 解折：0)正-正-6而-丽-5-， (2)CM=C8+BM=C8+BA=C丽+2何A-C西) =网+1-刘西=22D+20-2 3 (3)因为，4D三点共线所以22+2，》=1，解得4=号 3 （8)而-6-a,由①可知正-5-吉丽1压。 所以而正=0，得5+=2a6 2 则a-6=+,所以cos∠Aca= a.b 肝+莊迈 lal-1b1 所以∠4C阳的最大值为君 1【答1号：(2)9 解析：(1)因为名与，均为单位向量，名g,=0, 所以(-5g)g,=ge-5g=-5 又-5-5=-2wg,+-+3=2, 收对新吾号 又0有-5a)s,所以(-5可） (2)因为=x码+网，日与石的夹角为行，日与石均为单位向量， 所以月写+g=F+20e0+=VF+罗+了=3， 即x2+y+y2=9,因为x2+y2≥2y, 所以9=x2+xy+y2≥3xy,即y≤3，当且仅当x=y=V5时，等号成立， 即y的最大值为3. 14【答案11)f-+>0):(2)写：3)2+5或2-5 解析：(1)解：由题意知a+=5- 可得xa+2xa.B+B=3a-6xa6+3x28, 因为月=1，所以8a6=2x+2,所以aB=k>0, 4x 所以f)=a-6=x+>0: (2)设向量ā与五的夹角为8，则 coso=a. 丽 装+， 4x4 因为0，写将2：，当组收当球1时考9 1 成立，所以c0s0的最小值为2 又因为9e®，可，所以0的最大值为行 (3)解：由向量ā与5平行，且方向相同，且1，所以ā=5， 所以a6=los6=x+)=1,可得x2-4+1=0, 解得x=2+5或x=2-V5 第三节 向量的数量积 1 学科网（北京）股份有限公司 ▍知识点1:向量的夹角 是平面上的任意一点,作,,则叫做向量与的夹角;范围是. 与的夹角为时,向量与垂直,记作. ▍知识点2:向量的数量积 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积（或内积）,记作,即. 规定:零向量与任一向量的数量积为0 . ▍知识点3:夹角与数量积的关系 已知非零向量为,的夹角. 的范围 正数 0 负数 ▍知识点4:向量数量积的性质 （1）当是单位向量时,因为,所以. （2）. （3）当与同向时,;当与反向时,; （4）或. （5）,当同向时,等号成立. ［对应练习:基础1、基础2］ ▍知识点5:投影 向量在向量方向上的投影为; 向量在向量方向上的投影为. 可以简记为:在向量上的投影,就用数量积除以向量的模长,在向量上的投影,就用数量积除以向量的模长. ▍知识点6:投影向量 对于向量和,向量在向量上的投影向量为,为向量方向上的单位向量. 对于向量和,向量在向量上的投影向量为,为向量方向上的单位向量. ▍知识点7:数量积的几何意义 两个非零向量和的数量积,等于在向量上的投影的数量与的模的乘积,这就是两个向量数量积的几何意义. ［对应练习:基础3］ ▍知识点8:向量数量积的运算律 （1）; （2）; （3）. ▍知识点9:向量数量积运算的常用公式 （1）. （2）. （3）. （4）（题目出现向量和与差的模要平方） ［对应练习:基础4］ ▶练基础 向量数量积的概念 1 【典例▪1】在锐角中,关于向量夹角的说法,正确的是（    ） A.与的夹角是锐角 B.与的夹角是锐角 C.与的夹角是锐角 D.与的夹角是钝角 【典例▪2】以下关于两个非零向量的数量积的叙述中,错误的是（    ） A.两个向量同向共线,则他们的数量积是正的 B.两个向量反向共线,则他们的数量积是负的 C.两个向量的数量积是负的,则他们夹角为钝角 D.两个向量的数量积是0,则他们互相垂直 【变式▪3】给出以下结论,其中正确结论的个数是（    ） ①     ②     ③     ④ A.1 B.2 C.3 D.4 【练习▪4】已知、是单位向量,以下命题正确的是（    ） A. B. C. D.若,则 【练习▪5】下列等式正确的是（    ） A. B. C. D. ▶练基础 求向量的数量积 2 【典例▪6】已知,,与的夹角为,分别求与的数量积. （1）; （2）; （3）; （4）. 【变式▪7】（2024·河南）在边长为2的等边中, . 【练习▪8】已知,为单位向量,,则 . 【练习▪9】如图,,都是边长为1的等边三角形,,,三点共线,则 . ▶练基础 投影与投影向量 3 【典例▪10】若,,和的夹角为,则在方向上的投影为 . 【典例▪11】已知,且满足,则在上的投影向量为 . 【变式▪12】已知,为单位向量,向量与向量的夹角为,则向量在向量上的投影向量为 . 【练习▪13】在中,若在方向上的数量投影为正,则的形状是 . 【练习▪14】已知平面上两单位向量,,,则在上的数量投影为 . ▶练基础 数量积的运算律 4 【典例▪15】（2024·高一课时）已知向量与的夹角为,且,求: （1）; （2）. 【练习▪16】（2024·河北高三）已知单位向量满足,则 . 【练习▪17】已知,,且,则向量在向量上的投影为 . 【练习▪18】（2024·全国）向量满足, ,则在上的投影向量为 . 【练习▪19】（2024·全国模拟）已知单位向量满足,则 . ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ ▍练题型 利用线性运算分解求数量积 1 【典例▪20】如图,在底角为的等腰梯形中,,,分别为, 的中点.设 （1）用,表示,; （2）若,求. 【练习▪21】正方形边长为2,且, ,则 . 【练习▪22】（2024·徐州高三）在平行四边形中,是线段的中点,则 . 【练习▪23】在中,,若,则 . 【练习▪24】在中,已知,在线段上,且,设, . （1）用向量表示; （2）若,求. ▍练题型 数量积与向量的垂直 2 【典例▪25】设为实数,已知向量与不共线, ,,当为何值时,向量与垂直？ 【练习▪26】（2024·全国高三专题）若平面向量,的夹角为60°,且,则（    ） A. B. C. D. 【练习▪27】（2023·陕西高三）已知向量满足,,若,则 . ▍练题型 向量的夹角 3 【典例▪28】（2024·陕西西安校联考）向量,满足,,,则向量,夹角的余弦值为 . 【变式▪29】（2023·河北高三联考）已知为单位向量,若,则 . 【练习▪30】已知非零向量满足,且,则与的夹角为 . 【练习▪31】向量,且,则 . 【练习▪32】（2024·陕西高二）若,且,求与的夹角. 【练习▪33】（2023·陕西高三校联考）如图,在平行四边形中,,令,. （1）用表示,,; （2）若,,求. ▍练题型 已知夹角求参数取值范围 4 【典例▪34】已知,,与的夹角为,若与的夹角为锐角,求实数的取值范围. 【变式▪35】已知且向量与向量的夹角为,若向量与所成角为钝角,求的取值范围. 【练习▪36】已知空间向量、满足,, ,若向量与的夹角为钝角,求实数的取值范围. 【练习▪37】（2024·宁波高一校考期末）单位向量,满足. （1）求与夹角的余弦值: （2）若与的夹角为锐角,求实数的取值范围. ▍练题型 向量的模 5 【典例▪38】已知向量、的夹角为,, ,则（    ） A.4 B. C.5 D. 【变式▪39】（2024·全国模拟预测）已知向量,满足,,则（    ） A.1 B.2 C.3 D.4 【练习▪40】已知平面向量,满足,, ,则的值为（    ） A.1 B. C.2 D.4 【练习▪41】已知,且,则向量的夹角为（    ） A. B. C. D. 【练习▪42】设非零向量,满足,则（    ） A. B. C. D. 【练习▪43】（2024·广西高一）在中,, ,,则（    ） A. B.16 C. D.9 【练习▪44】已知向量,满足, ,则（    ） A. B. C. D. 【练习▪35】已知向量在向量上的投影向量为,且,则（    ） A. B. C. D. 【练习▪46】（2024·安徽高三）已知非零向量,夹角为,,,则 . 【练习▪47】（2024·河北邯郸高三校考）已知向量满足,则 . 【练习▪48】（2023·河北邢台高一统考期中）已知是两个单位向量,且与的夹角为. （1）求; （2）求与的夹角的余弦值. ▍练题型 数量积有关的取值范围问题 6 【典例▪49】（2024·北京）设向量,满足, ,,则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【变式▪50】已知正方形的边长为1,点P是对角线上任意一点,则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【变式▪51】已知单位向量的夹角为,若,则的取值范围是 . 【练习▪52】（2024·高一测试）已知,,且,则与的夹角的取值范围是 . 【练习▪53】（2019·成都外国语学校校考）向量,满足,,且,则,的夹角的取值范围是 . 【练习▪54】已知向量满足,则的最大值是 ,最大值是 . 【练习▪55】已知,,则的取值范围为 . 【练习▪56】已知正方形边长为3,点是边上的动点,则的最大值为 . 【练习▪57】中,,,, 为线段上任意一点,则的取值范围是 . 【练习▪58】菱形ABCD中,,,若菱形的边长为6,则的取值范围为 . 【练习▪59】已知向量和的夹角为,且, . （1）求; （2）若,求实数的取值范围. 【练习▪60】已知平面上的三个单位向量,,,它们相互之间的夹角为. （1）求证:; （2）若,求实数的取值范围. 【练习▪61】如图,在平行四边形中,, ,,点,,分别在边, ,上,且,, . （1）若,用,表示; （2）求的取值范围. 【练习▪62】等边三角形,边长为2,为的中点,动点在边上,关于的对称点为. （1）若为的中点,求. （2）求的取值范围. 【练习▪63】（2024·浙江高一校考）在三角形中, ,D是线段上一点,且,F为线段上一点. （1）若,求的值; （2）求的取值范围; ▶▷ 综合巩固提升 ◁◀ 一、单选题 1.已知为平面向量,其中,则（    ） A.1 B.2 C. D.4 2.己知均为单位向量.若,则在上的投影向量为（    ） A. B. C. D. 3.已知,向量的夹角为,则以向量为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为（    ） A.10 B. C.2 D.22 4.在平行四边形中,点是的中点,点分别满足,设, ,若,则（    ） A. B. C. D. 5.在边长为2的菱形中,,点E,F分别在边,上,且,若,则（    ）   A. B. C.1 D. 二、多选题 6.（2024·全国模拟预测）已知不共线的平面向量,满足,则（    ） A. B.与的夹角为锐角 C. D.与的夹角为钝角的充要条件是 7.已知平面向量,满足,,, ,则下列说法正确的是（    ） A. B. C. D.,恒成立 三、填空题 8.已知,是单位向量,若,则,夹角的余弦值为 . 9.在中,,,,若,则边中线的最小值为 . 10.（2024·广西）若平面向量,,两两的夹角相等,且,,则 . 四、解答题 11.在中,,,, 、边上的两条中线、相交于点. （1）求、的长; （2）求的余弦值. 12.如图,中,是的中点,与交于点. （1）用表示; （2）设,求的值; （3）若,求的最大值. 13.设与均为单位向量. （1）若,求向量与的夹角; （2）若与的夹角为,设（其中）,若,求的最大值; 14.已知向量满足 . （1）求关于的解析式; （2）求向量与夹角的最大值; （3）若与平行,且方向相同,试求的值. $