第2节向量的线性运算讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学教学设计聚焦向量的数乘运算及其应用，从定义、几何意义到运算律与共线判定层层递进，通过“概念—方法—应用”三阶结构搭建学习支架，前后知识点环环相扣，自然过渡至向量线性表示与三点共线问题，有效衔接平面向量基本定理与后续向量坐标运算。 资料亮点突出，体现核心素养中的“抽象能力”“逻辑推理”和“数学建模”三大特质。例如典例24巧妙运用方程法求解未知向量，引导学生从直观感知走向代数表达，强化符号意识与推理能力；练习21借助图形信息建立向量等式，培养学生用数学语言描述空间关系的能力。整体设计注重思维进阶，既提升学生分析复杂几何情境的能力，又帮助教师精准把握重难点，实现高效课堂与深度学习的统一。

第二节向量的数乘运算 核心基础导学 【1】ABD 解析：对于选项A、D:由向量的数乘可知：a(2∈R)的结果为向量，则A、 D正确： 对于选项B:由向量的加法可知：a+b的结果为向量，则B正确： 对于选项C:由向量的模长可知：为数量，则3的结果为数量，则C 错误：故选：ABD 【2】B 解析：对于A,当2>0时，a与2a的方向相同，当2<0时，a与2a的方 向相反，故A不正确：对于B,显然2>0，即B正确： 对于C,上à-日，由于与1的大小不确定，故à与日的大小 关系不确定，故C不正确： 对于D,a是向量，而d表示长度，两者不能比较大小，故D不正确。 故选：B 【3】(1)AB与ā的方向相同，模为a的模的2倍：(2)F与a的方 向相反，模为a的模的号倍：(3)O下与a的方向相同，模为a的模的名 倍 解析：(1)由B=2a,得AB与a的方向相同，模为ā的模的2倍： (2)由丽=-二a,得丽与ā的方向相反，模为ā的模的号倍： 3 (3)由0示：子+5-吉名，得6示与的方向相同，模为云的俊 的。倍。 【4】(1)26-a;(2) 工a+25:(3)0 123 解折：(1)原式=a+46-(4a-25](3运+)=2巧-d (2)+25)+a-25)2-列 6》作 +5 a+可导-非+兼+ 6+{+ =名+5-名5=0 26 2 【5】x=5a+65,y=4a+55 解折：由已知符5-6-8@ -4x+5y=b② ①×4+②×5得y=4a+56, ①×5+②×6得x=5a+砧， 所以x=5a+6品，y=4a+56 【6】=3a+2b,y=4a+36 3x-2y=a,① 解析： -4x+3=6,② ①x4+②x3,得12-8)+（12x+9)4a+36 即=4a+6,代入①式得=0+2)长+8a+)3a+5 .x=3á+2b,y=4a+36. 【1+， 3- 3x+4y=a 46 解析： 2x-3莎=6 解之得 【8】x= 2 a+ 13 解析：由方程组 解特后+， [2x+39=a 重点题型专练 【9】A 解折：=丽+而=丽+0=丽+c-丽}丽+c 故选：A 【10】A 解析 由已知对角线AC与8D交于点O,A0=2AE 则在-c-晒++而， 所以丽=-丽=+0-丽=-+D,故选：A 【11】D 解折：由于正=兮丽，示=C,P在射线款上设亚=压，c之0。 31 P 则A亚=正+乎=A短+亚=A店+4F-) 3 =号洒+c---版+告而 =0-A丽+ 兰而4西+h师+华死 3 因为=A短+m3C,放0+) ,解符t=2m=,故选：D 【12】A 解折：知图而=宁，C=C-石=6- 所以D=C+0而=5-=3-，故选：A 【13】A 解析： D E B 因为AC=2DC,CB=2BE,C4=a,CB=b, 所拟西，而 【14】C 解析：因为DC=2A五，BE=2BC 所以Di=Dc+c西=Dc+8=c+-Dc到 =元+o+丽-列 =c+丽+西=号c++远-名+.故选：c 【15】c 解析：因为D=3DC 所以D=丽+丽=丽+0=西+c-丽丽+和 又而=远，所以正知任知+ 所以西=正西西+C丽=c吕.故选c 【16】B 解析：设E,F,D分别是AC,AB,BC的中点， B 由于O是三角形ABC的重心， 所以6-号丽子×压-而}子×侵c-丽-丽+c 3 故选：B. 【17】D 解折：因为W=2加，所以丽=号 又点D是8C的中点，点M是4C的中点，所以M=Ac,丽=0 故瓜=孤-亚D-0+c+到 =。-证，故选D 【18】A 解析：在平行四边形ABCD中ABCD,AE和BD相交于点F, 所以△ABF EDF,又E是CD的中点， 似二名片房示远拓和， 所以丽=西+丽-丽+丽-而列子丽-}D-子- 故选：A 【19】C 解析：因为西=网+A店+丽=+上D+丽 2 2 =C西+A+28c+c西)+丽=D+C+G历+丽 又DA+AB+BC+CD=0, 所以西西-而+而+西=西+ō丽- 即亚=}丽+}元，故选：c 【20】C 解折：正-元+-而+子宁面+丽+河+ =i+子（动+；(+（列=多m+母故遮：c 【21】A 解折：由亚=西，得而孤+西-+场，所以丽中正 由成=c,将西-网+=0u+远，所以而4中元 因为Dc=正，所以Nc=14丽 业+1 所以 画s+c可点+而-（品加4而， 111 111 所以中2中百，即中中方故选：A 【22】C 解析：如图所示 B C G YE D 由题意，得EC=2DE,FG=2BF, 所以西-元+-ccD-而，又而=a证 Ao=丽+丽+而=而+D+丽=丽+而+得D-子 。+而故达：C 【23】A 解析：由题设 A亚=4+亚=西+D=丽+c+D)-+子c+) 丽++回+)=丽+c++正 =西+c-画还+亚丽+0+品 27 3 所似号-丽+c,即F多而+c, 3 19 又不-丽+nC,故+=吕故话A 【24】元-+ 解析：AD,BE分别为△ABC的边BC,AC上的中线， 则而=而-c丽 丽-丽+征-丽+c-丽+而+c)低+C), 由于D=a,酝=6，所以a=c-6=+c 故解得C + 解折：设元，而：，则歌-配=支 由AB+BR=AK,AD+DZ=AL, 5+= 得 ,可得+，言 4 2 所+而+ 【26】D 解析： 由题知a=丽+上c①， 6=顾+-函+c-列+子0@ ①+3×@得i+36=0,故c=号+5.故选：D. 【27】A 解析：因为点D为BC边中点，2AE=EC 西=（西+aC到 所以 消去AC得2AD-3BE=4AB 正=A正-A西=AC-A丽 3 即丽D-丽京5，放选A 【28】A 解析：：点F为线段AE的中点， 丽+分*c丽+c-西)=+c 即8BF=-7AB+3AC① BE=3EC E=丽+c=丽+c-丽)=丽+Ac 即4A正=AB+3AC②， 由①②得，AC=2AE+丽=2A正-F西，故选：A 6 3 6 3 D 【29】AC=4A+2A 解析：E,F分别为DC,CB的中点，AB/DC,AB=2DC, cc-丽，示c+ 2 4 而AG=A正+C=A正+上A正 Ac-}丽=征0，C+a=2@, 联立①②得AC=4柜+AF 5 5 【30】A 解析：对A,AD=A丽+C+CD=五+6品， 所以AD=3AB,则A,B,D三点共线，A正确： 对B,AC=AB+BC=-4a+85, 则不存在任何2ER,使得AC=AB,所以A,B,C不共线，B错误： 对C,BD=BC+CD=2a+4, 则不存在任何uER,使得BD=uBC,所以B,C,D不共线，C错误： 对D,AC=AB+BC=-4a+85, 则不存在任何tER,使得CD=tAC,所以A,C,D不共线，D错误： 故选：A 【31】D 解析：A选项，设丽=C,即a-巧=(a+),故3北= 8k=-3 无解，A,B,C三点不共线，A错误： B选项设C=mcD,即-五+85=m4妇-1o5),故10m8无解 4m=-3 B,C,D三点不共线，B错误： C选项，BD=BC+CD=-3a+5+4G-106=a-2, 设而=丽，即-函=6-2可，故2g无解 A,B,D三点不共线，C错误： D选项，AC=AB+BC=a-35-3a+85=-2a+56, 由于CD=-2AC,故A,C,D三点共线，D正确.故选：D 【32】c 解析：因为AB=-2a+5,BC=3-36,CD=a+56 所以 AD=AB+BC+CD=2+10b,AC=AB+BC=+ BD=BC+C⑦=4+2b, 若B,C,D三点共线，则BC=BD,即 3=22无解，故A错误： 3=42 若A,B,C三点共线，则AB=AC,即 -2=业，无解，故B错误： 8=5μ 若A,CD三点共线，则AC=mAD,即{50， 解有m日，故C正确 A,AD点共线，则丽=而，即侣0，无解，故D铝 故选：C. 【33】k=4 解析：由d,6不共线可知ka+26为非零向量，而8a+k与ka+26共线， 所以存在唯一实数2，使得8a+k石=2ka+2=kd+22品，即 8-&=0→k=4 (8-让)日=(1-)5.因为，3不共线，所拟22-t=0 【34】m=7 解析：BD=BC+c而=(a+md)+3a-=4a+(m-3)b 若A,B,D三点共线，则存在实数1，使BD=2AB, 即4a+(m-3)3=26+) 腿仁子去根将=7。 故当m=7时，A,B,D三点共线。 【35】C 解析：若向量ā+乃与(2-1)a+2b共线，则存在实数k,使得 (2-1)a+2b=k(a+5)=ka+k5 「2-1=k 又因为向量a,b不共线，所以 2=k2 ”,解得2=2或2=-1.故选：C 【36】B 解析：若A,B,D三点共线，则存在实数2，使BD=24B, BD=CD-C8=(2k-1月，-(3+kP2， .(2k-1)%-(3+k),=26+22) ,1与e:是两个不共线向量， 2让-1=，且-6+2，解得=写，故选B 综合巩固提升 1.【答案】C 解折：因为而=+丽=+0=西+c-兮+C 3 3 所议场+c,则丽-正西是而+而。 126 因为丽=丽+派，所以=吕台则+y是甘子 故选：C R 2.【答案】A 解折：曲而丽，则而=D+丽-白+而，则而-（加 西a+0-a+{西a+(）e-@ 3 3.【答案】ACD 解析：对于选项A,由已知条件可知AD=2BC,则A正确： 对于选项B,DB=AB-AD,则B错误： 对于选项C,连接AC,因为E是线段CD的中点 所以+而西+8到+丽+而+而 =上丽+2AD,则C正确： 2 对于选项D,设AF=A正，点B,F,D三点共线，则存在m 使得BD=mBF, 亚丽+亚=西+片玩+而-)币+而 乐人-吉子法网1以的得上所以乐烫 4 则D正确：故选：ACD 4.【答案】1：1：2 解析：设D为AC的中点，如图所示，连接OD,则OA+OC=2OD B 又O+OC=-2OB,所以OD=-OB,即O为BD的中点， 则SAoe=2SAob=2SaAa,S6oi=。pe,即SO:Saoe=l:l:2 故答案为：1：1：2 5.【答案】证明见解析 解析：，AB=a,AD=b ∴.BD=AD-AB=b-a ,V是BD上靠近点B的三等分点， 丽06-a动 :在平行四边形中，BC=AD=b, 丽=丽-0=6-0-5-5.0 :M为AB的中 点丽=o丽-c=-0a+0)=-合+6--6.② 由①②可得C=c.由向量共线定理知c.又：c与c示 有公共点C,∴.M,N,C三点共线 6.【答案】(1)丽=G-cC=G+c:(2)1 解析：(1)因为BG=2GC,则 丽=8C,AG=丽+G=丽+c-)=}丽+子c， 即AB+24C=3AG,又AC-AB=BC 所以A8=4AG-子8c,4c=AG+8C 2 因为丽=而，c=,则而中7中。 西而派西， 丽--而-0+师， 2 又点D,F,E共线，即DE11DF,即有DE=tDF,t∈R,显然t≠0 于是中c中丽而+兮而，面向量正c不共 线， 点点位品短有0 [1-t 因此 1+a2 1 所以2+24为定值，此定值为1. 第二节 向量的数乘运算 8 学科网（北京）股份有限公司 ▍知识点1:数乘向量的定义 一般地,给定一个实数λ与任意一个向量,规定它们的乘积是一个向量,记作,其中: （1）当且时,的模为,而且的方向如下: ①当时,与的方向相同; ②当时,与的方向相反. （2）当或时,. 上述实数与向量相乘的运算简称为数乘向量. ▍知识点2:数乘向量的几何意义 数乘向量的几何意义是,把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小. ▍知识点3:数乘向量的运算律 设,为实数,那么 （1） （2） （3） 推广形式:对于任意向量,以及任意实数,, ,恒有 ▍知识点4:向量平行于三点共线 （1）如果存在实数,使得,则,即 （2）一般地,如果存在实数,使得,则与平行且有公共点,从而,,三点一定共线. ▍知识点5:向量的线性运算 向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算,统称为向量的线性运算. 拓展:单位向量:给定一个非零向量,与同方向且长度等于1的向量记作,则且. ［对应练习:基础1、基础2］ ▶练基础 数乘向量的概念 1 是实数,是向量,它们的积仍然是向量,的符号与的方向有关,的大小与的模有关. 【典例▪1】（多选）下列各式中,表示向量的是（    ） A. B. C. D. 【典例▪2】设是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是（    ） A.与的方向相反 B.与的方向相同 C. D. 【典例▪3】已知向量,说出下列向量与的关系. （1）; （2）; （3）. ▶练基础 数乘向量的运算 2 向量的线性运算形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算法则,实数运算中去括号、移项、合并同类项等变形方法在向量的线性运算中均可使用. 【典例▪4】计算: （1）; （2）; （3）; ▶练基础 方程法求解向量 3 向量也可以通过列方程来解把所求向量当作未知数,利用代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算. 【典例▪5】把满足,的向量,用,表示出来. 【练习▪6】把满足,的向量,用,表示出来. 【练习▪7】把满足,的向量,用,表示出来. 【练习▪8】把满足,的向量,用,表示出来. ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ ▍练题型 用已知向量表示其他向量 1 ▷方法1:直接法 第一步:结合图形的特征,把待求向量放在三角形或者平行四边形中; 第二步:结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量的共线定理用已知量表示未知向量. 【典例▪9】在中,,则（    ） A. B. C. D. 【变式▪10】在平行四边形中,对角线与交于点,,则（    ） A. B. C. D. 【变式▪11】在中,在射线上,且满足,则实数的值为（    ） A. B. C. D. 【练习▪12】在梯形ABCD中,且,已知,,则（    ） A. B. C. D. 【练习▪13】在中,,, ,,则（    ） A. B. C. D. 【练习▪14】如图,在四边形ABCD中,, ,设,,则等于（    ） A. B. C. D. 【练习▪15】在中,,且,则（    ） A. B. C. D. 【练习▪16】已知的重心为,则向量（    ） A. B. C. D. 【练习▪17】在中,点是的中点,点是的中点,点在线段上并且,则（    ） A. B. C. D. 【练习▪18】如图,平行四边形中,是的中点,和相交于点.记,,则（  ）    A. B. C. D. 【练习▪19】在平面四边形中,E,F分别为和的中点,那么（   ） A. B. C. D. 【练习▪20】在中,点满足为重心,设,则可表示为（    ） A. B. C. D. 【练习▪21】如图,平行四边形中,, ,,若,则下列关系正确的是（    ）    A. B. C. D. 【练习▪22】已知平行四边形中,, ,,则=（    ） A. B. C. D. 【练习▪23】是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形,若,,且,则（    ） A. B. C. D. ▷方法2:方程法 当用直接法表示比较困难时,可以先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程. 【典例▪24】已知分别为的边上的中线,设,,试用与表示.    【变式▪25】如图,已知平行四边形ABCD的边BC, CD的中点分别是E,F,且,,试用,表示. 【练习▪26】在中,为的中点,为边上靠近点的三等分点,记,用表示为（    ） A. B. C. D. 【练习▪27】在中,点为边中点,点在线段上,且,若,,则为（    ） A. B. C. D. 【练习▪28】平行四边形ABCD中,,点F为线段AE的中点,则=（    ） A. B. C. D. 【练习▪29】如图所示,在梯形ABCD中,, ,,分别为,的中点,试用与表示.    ▍练题型 向量共线定理 2 ▷角度1:证明或判断三点共线 解决三点共线问题的思路: 先将三点共线问题转化为两个向量共线,再利用结论:“如果存在实数,使得,则”求解,最后再由两个向量共线且有公共点,得出三点共线. 【典例▪30】已知不共线的向量,且, ,,则一定共线的三点是（ ） A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 【练习▪31】已知空间向量,,且, ,,则一定共线的三点是（    ） A. B. C. D. 【练习▪32】（2024·青岛）已知,是不共线的向量,且,,,则（    ） A.B,C,D三点共线 B.A,B,C三点共线 C.A,C,D三点共线 D.A,B,D三点共线 ▷角度2:根据向量共线求参数 【典例▪33】设是不共线的两个非零向量.若与共线,求实数的值. 【变式▪34】设两向量与不共线,若, ,,则为何值时, 三点共线？ 【练习▪35】已知向量不共线,且向量与共线,则实数的值为（    ） A.或 B.或1 C.或2 D.1或2 【练习▪36】（2024·江苏）设与是两个不共线向量,,,,若,,三点共线,则（    ） A. B. C. D.3 ▶▷ 综合巩固提升 ◁◀ 一、单选题 1.在中,在上,且在上,且.若,则（    ） A. B. C. D. 2.在中,若,则（    ） A. B. C. D. 二、多选题 3.如图,直角梯形中,,, ,是线段的中点,线段与线段交于,则（    ） A. B. C. D. 三、填空题 4.设是内部一点,且,则 . 四、解答题 5.（2024·全国高一专题练习）如图,在平行四边形中,为中点,为上靠近点的三等分点,求证:三点共线. 6.如图所示,在中,,.过点的直线与边,分别交于点,.设,,其中,. （1）试用与表示,; （2）证明为定值,并求此定值. $