第1节向量概念及加减法运算-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学教学设计聚焦向量的概念、加减法运算及其几何意义，以“从现实情境抽象出向量本质”为起点，通过有向线段的直观表示构建概念框架，再由零向量、单位向量等特殊情形深化理解，最后借助三角形法则与平行四边形法则实现运算可视化，形成由具体到抽象、由表及里的学习路径。 资料亮点突出，体现核心素养中的“几何直观”“逻辑推理”和“数学建模”能力。例如在典例23中，利用矩形边长求向量和的模，引导学生从图形结构中发现数量关系，强化数形结合意识；练习20通过重心性质化简向量表达式，训练符号运算与逻辑推导能力；综合题型如变式24用向量等式判断四边形形状，培养学生用数学语言描述现实问题的能力。此设计既帮助学生建立清晰的知识脉络，又提升教师课堂组织效率与思维深度，是落实新课标理念的优质教学资源。

第六章平面向量及其应用 第一节向量概念及加减法运算 核心基础导学 【1】B 解析：①正确，AB和BA是方向相反、模相等的两个向量：②错误，方向 不同包括反向共线：③错误，0是一个向量，而0为数量，同=0：④错误， 向量不能比较大小，故选B 【2】B 解析：(1)向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误： (2)根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误： (3)根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确： (4)根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0， 故正确.故选：B 【3】A 解析：对于①，由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向 量，故①错误： 对于②，长度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正确： 对于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等， 故③错误：对于④，若ā≠b,可能只是方向不相同，但模长相等，故④错 误.故选：A 【4】AD 解析：根据单位向量的概念可知，单位向量的模都相等且为1，故A正确： 根据共线向量的概念可知，长度不等且方向相反的两个向量是共线向量 故B错误： 向量不能够比较大小，故C错误： 根据相等的向量的概念可知，两个有共同起点而且相等的向量，其终点 必相同，故D正确.故选：AD 【5】(1)F6,0C,ED (2)BA,OF,C0,D正 (3)F而，0C,D,B☑，O,C6,Di,元，C (4)BE,CF,DA,EB,FC 解析：(1)两向量相等是指两向量方向相同，长度相等，由图可得与A五 相等的向量为：FO,OC,ED: (2)AB向量的负向量是指与A正方向相反，长度相等的向量，由图可得 AB的负向量为：B函，OF,CO,D正： (3)两向量平行，是指两向量方向相同或相反，由图可得A正平行的向 量为：FO,OC,E五，BA,OF,CO,DE,FC,CF (4)由图，因图形为正六边形，则AD=BE=FC,故与AD长度相等的向 量为：BE,CF,DA,EB,FC 【6】c 解析：对于A项：零向量的方向是任意的并不是没有方向，故A项错误 对于B项：因为向量的模相等，但向量不一定相等，故B项错误： 对于C项：因为a=b,b=c,所以可得：a=,故C项正确： 对于D项：若b=0,则不共线的a,c也有a∥0,0∥c,故D项错误 故选：C. 【7】ABD 解析：单位向量的方向不确定，所以起点相同的，终点不一定相同，A选 项错误： 四边形ABCD中，AB∥CD,则ABIICD且但AB不一定与CD相等，所以 四边形ABCD不一定为平行四边形，B选项错误： 因为A,B,C,D是不共线的四点，AB=DC,所以AB/ICD,AB=CD,故 四边形ABCD为平行四边形， 若四边形ABCD为平行四边形，则AB=DC,所以“AB=DC”是“四边形 ABCD为平行四边形的充要条件，C对， 当同-且a,6方向相反时，a≠6，所以ā=6是-且ā1B的充 分不必要条件，D错，故选：ABD 【8】答案见解析 解析：(1)解：作A=a,AB=五，a+b=OA+AB=OB,则O丽即为所求 作的向量. B 0 (2)解：作OA=a,AB=b,a+b=OA+AB=OB,则OB即为所求作的 向量。 【9】答案见解析 解析：(1)作OA=a,OB=b,以OA、OB为邻边作 OACB,a+b=0A+0B=OC 则OC即为所求作的向量 0 (2)解：作OA=a,O=b,以OA、OB为邻边作 QACB,a+b=QA+OB=OC 则OC即为所求作的向量 C B 【10】详见解析 解析：解法一：（三角形法则)，如下图所示，作AB=a,BC=b 则AC=a+B,再作CD=c,则AD=AC+CD=(a+b)+c,即 AD=a+b+c 解法二：（平行四边形法则）因为向量ā，b,c不共线， 如下图所示，在平面内任取一点O,作QA=a,OB=b 以OA,OB为邻边作平行四边形OADB,则对角线OD=ā+B, 再作OC=c,以OC,OD为邻边作平行四边形OCED,则 OE=a+b+c. 【11】B 解析：相反向量是指大小相等，方向相反的向量，故A正确，B错误： 零向量的相反向量是零向量，故C正确： 共线向量是指方向相同或相反的向量，互为相反向量的两个向量方向相 反，故D正确，故选：B. 【12】C 解析：由平行向量的定义可知A项正确： 因为a和b的方向相反，所以ā≠b,故B项正确： 由相反向量的定义可知ā=-b,故选D项正确： 由相反向量的定义知1aHb1,故C项错误：故选：C 【13】ABC 解析：由向量的加法交换律及相反向量知：a+b=乃+a、-(a)=a,即A、 B正确， 由AB+BC+C=AC+C☑=0，C正确， 向量的线性运算（加减、数乘运算），结果应为向量，D错误.故选：ABC 【14】BCD 解析：对于A,向量AB与向量BA的长度都为线段AB长度，所以其长度 相等，A正确： 对于B,当a=0时，不成立，故B错误： 对于C,当a与B之一为零向量时，不成立，故C错误： 对于D,a+b=0时，a+五方向是任意的，与a,b的方向都不相同： 故选：BCD 【15】BD 解析：对于选项A:若，即向量ā与5的模相等，但方向不确定，故 A错误： 对于选项B:相反向量是指大小相等方向相反的两个向量，故B正确： 对于选项C:向量A正与A互为相反向量，故A店=-函，故C错误： 对于选项D:若=n,n=p,则，p方向相同大小相等，故m=p,若 ,n,P中有零向量结论也正确，所以D正确.故选：BD 【16】答案见解析 解析：(1)作OA=a,OB=b,则a-b=OA-OB=BA,即A即为所求 作的向量。 0 海A (2)解：作QA=a,OB=B,则a-五=OA-OB=BA,即BA即为所求作 的向量。 A (3)解：作OA=a,OB=b,则a-b=QA-OB=4,即8A即为所求作 的向量。 A (4)解：作OA=a,OB=b,则a-b=QA-OB=B4,即BA即为所求作 的向量。 A← →B 【17】答案见详解 解析：(1)由向量加法的三角形法则，ā+6+。如图 a+B+C a+b (2)如图，作QA=a,OB=b,则A即为a-b,再作BC=c,则向量CA 即为a-b-c a-b-c 0 B b 【18】(1)B:(2)0:(3)0:(4)B4:(5)B:(6)0:(7) DA;(8)0:(9)0: 【详解】(1) AB+M店+BO+OM=(AB+BO)+(OM+MB)=AO+OB=AB： (2)0A-OD+AD=0A+AD-OD=OD-OD=0: (3)原式=(AB-AC)+BD-C⑦=(C+BD)-CD=CD-CD=0 (4)原式=OA+OC-OB-OC=BA. (5)原式=AB-(AD+DC)=AB-AC=CB (6)原式=++OP+PM=0 (7)(⑧M-8C-(D-)=A+西-(D+c)=-西=d+D=a (8)(AB-CD)-(AC-BD)=AB-CD-AC+BD =AB+BD+DC-AC -AC-AC=0 (9)(Ac+B6+OA）-(Dc-D6-O丽=(Ac+BA-(Dc+OD+B可 =BC-(DC+BD)=BC-BC=0 【19】C 解析：因为在梯形ABCD中，AD∥BC,AC与BD交于点O, 故BA-BC-OA+OD+DA =CA+AO+OD+DA=CO+OD+DA=CD+DA-CA 即BA-BC-QA+OD+DA=CA 【20】(1)BC+CE+EA=BA:(2)OE+AB+EA=OB:(3) AB+FE+DC=AC 解析：(1)BC+C匠+函=BE+A=8A (2)OE+AB+EA=(OE+EA)+AB=OA+AB=0B (3)易知FE为三角形ABC的一条中位线， ∴FE118C,F8=8C 又，点D是BC的中点， BD-1BC .FE-BD ..AB+FE+DC=AB+BD+DC=AD+DC=AC 【21】(1)a+e+a:(2)-b-c;(3)e+a+b:(4)a+b+c+e 解析：(1)DB=DE+EA+AB=a+e+a (2)DB=DC+CB=-CD-BC=-B-c. (3)EC=EA+AB+BC=a+a+ (4)ED=EA+AB+BC+CD=@+b++ 【22】(1)a-6;(2)万-a+7-c;(3)c-e 解析：(1)AD-A丽=(D-OA)-(O-OA)=a-a-i+a=d-6 (2)4B+CF=(0B-0A)+OF-OC)=B-a+- (3)F-c丽=(O-O)-(O-0C)=7-e-7+c=c-e 重点题型专练 【23】A 解析：在矩形ABCD中，由AB=2,BC=1可得AC=√5， 又因为AB+D=AC,故AB+AD+AC=24C,故A丽+AD+AC=25 故选：A 【24】C 解折：因为A-O园-6c-o,即d-Dd,又因为4BMcD,故四边 形ABCD一定为平行四边形.故选：C. 【25】g 解析：设O=ā，OB=b,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,如图所 示， 则有=a-3,Oc=a+5, 由-，则四边形oAc8为菱形，∠80A=于， 则有i与a+5的夹角为∠c04-君 【26】4W5 解析：AB-C8+AD-CD=(西+8C)+(AD+DC)=4C+AC=24C -西+西-c=2ad. ,正方形ABCD的边长为2， .AC=2√2 24Ad=42故答案为：42 【27】C 解析：因为M是线段BC的中点，所以AB+AC=2AM 又丽-Ac=西，BC=4, 所以2d压+AG--AC=园=4， 所以Ad=2.故选：C 【28】A 解析：因为AC=AB+AD,所以四边形ABCD为平行四边形， 又！AB+AD日AB-AD,所以AC上DB,即对角线相等，所以四边形 ABCD为矩形.故选：A 【29】(1)4:(2)√ 解析：(1)设O4=a,OB=b,则1BAa-1,以QA与OB边邻边作平 行四边形OACB,如图(1) 则1OCHa+1 由于(7+1)2+(7-1)2=42 即IOA+|OBI-BA 所以△OAB是以∠AOB为直角的直角三角形，从而QA⊥QB,所以平行 四边形QACB是矩形. 根据矩形的对角线相等，有|OC曰BA=4,即180 1) 2 (2)设O4=a,OB=五，以OA与OB为邻边作平行四边形QACB 如图(2)因为1ab1,所以平行四边形CACB为菱形.又 18AHa--反，1aH1,则OA⊥O丽，所以菱形Q4CB是正方形，所 以|a+BHOCHBA,所以1a+b上√2. 【30】B 解析：向量a,6满足a=35卡5，则a+sal+1=8,当且仅当a,6同 向时取等号：反+21-a非2，当且仅当a,6反向时取等号，所以 +的取值范围是[2,8].故选：B 【31】[3,7] 解析：由向量模长的三角不等式可得-≥同-=3，当且仅当ā、万 的方向相同时，等号成立；巨-s同+=7，当且仅当ā、的方向相 反时，等号成立.因此，巨-的取值范围是[3,7].故答案为：[37] 【32】A 解析：由向量模长的三角不等式可得+s+,当且仅当ā、五的 方向相同时，等号成立，因为卡+同+月，所以云与5方向相同 故选：A 【33】C 解析：对A当a,5≠0，且a,5同方向时，5+>巨-，故A错误， 对B,当a,5≠0，且a,3反方向时，反->+，故B错误， 对C,根据向量加法的平行四边形法则，得+≤+月，故C正确， 对D,根据向量减法的三角形法则，得-≥日-，故D错误， 故选：C, 【34】0或2 解析：~向量云与6共线，且同- ,∴.ā与6相等或互为相反向量 当a与6相等时，丘+-2d-2 当ā与6互为相反向量时，丘+=何-0.故答案为：0或2 【35】1:5 解析：当a,b反向时，1a+1有最小值3-2=1：当，b反向时，1a-1有 最大值3+2=5.故答案为：1,5 综合巩固提升 1.【答案】C 解析：对于A,AB+BC=AC,故A错误： 对于B,因为AB+BC=AC,所以A店+AC=2A8+BC,故B错误： 对于C,AC+BA=BA+AC=BC=AD,故C正确； 对于D,因为AD+DC=AC,所以AC+AD=2AD+DC,故D错误 故选：C D 2.【答案】A 解析：平面向量a,6,6均为单位向量，则1a+5-cga+b1+3, 当且仅当ā，，-c同向共线时取等号， 则当+b-d=3时，ā与6共线，反之，ā与6共线并且方向相反 时，反+方-=1，所以“+书-3是“ā与6共线的充分不必要条 件，A正确.故选：A 3.【答案】A 解析 B a+B园-A,显然当E为斜边8C中点时，AE1BC,此时AE最小 为℃=5，即匝+丽的最小值为5.故选：A 22 2 4【答案】片 解析：，向量OA,OG,OB,OD满足等式+OG=OB+OD, ∴.OA-OB=OD-OG 即函=CD,则四边形ABCD为平行四边形. E为AC的中点， ,E为对角线AC与BD的交点， SARAB =SARCS=SAADE =SADCE 则二片指奖为日 5.【答案】1：5 解析：易知E+dAd1, 以AB,AC为邻边作菱形ABDC 又等边三角形ABC的边长为1， 则丽+4C1=网=2国血60°=2×1x5=5.故答案为：上5， 2 6.【答案】7 解折：因为a-日+=7，当且仅当a,3反向时，等号成立， 所以a-1的最大值为7.故答案为：7. 7.【答案】证明见解析 解析：由题意知AD=AC+CD,BE=BC+CE,CF=CB+BF, 由题意可知EF=CD,BF=FA, :AD+B驱+C丽=(4C+c可)+(BC+c)+(C+BF) =(AC+C西+C巫+BF）+(BC+C四 =(AE+C+C而+C丽+BF+0 =AE+CD+BF =AE+EF+FA=0. 第一节 向量的概念及加减法运算 2 学科网（北京）股份有限公司 一.向量的概念与表示 ▍知识点1:向量的定义与概念 既有大小又有方向的量叫做向量.用有向线段表示向量,其箭头表示向量的方向,长度表示向量的大小,也是向量的长度（或模）. ▍知识点2:向量的表示 （1）几何表示 用有向线段表示向量,有向线段的起点为向量的起点,有向线段的终点为向是的终点,有向线段的长度表示向量的大小,即向量的模. （2）字母表示 用带箭头的小写英文字母表示为;用带箭头的两个大写英文字母表示,如为向量的起点,为向量的终点.在印刷时,通常用加粗的斜体小写字母如,,等来表示向量. 注意:向量在平面中表示为有向线段,是可以自由平移的. ▍知识点3:向量的有关概念 （1）向量的模 向量的大小叫向量的模,或的模记作或. （2）零向量 若即长度为0的向量为零向量,则称,其方向是任意的. （3）单位向量 长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量. （4）相等向量 长度相等且方向相同的向量.即且与同向. （5）共线（平行）向量 定义:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,平行向量又叫共线向量,任一组平行向量都可以移到同一条直线上,向量与平行,记作. 规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. ▍知识点4:有关概念的辨析 （1）向量与数量的区别 ①向量被赋予了几何意义,即向量是具有方向的,而数量没有方向; ②数量可以比较大小,而向量无法比较大小,即使也不能说. ③0与不同,0表示数量,但表示零向量,其中. （2）共线向量与相等向量 ①共线向量的定义指的是非零向量的共线问题. ②共线向量中的向量所在的直线可以平行,也可以重合,与平面几何中的“共线”“平行”不同. ③相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等向量.共线向量仅仅指向量的方向相同或相反;相等向量指大小和方向均相同. ［对应练习:基础1、基础2］ ▶练基础 向量及相关概念 1 向量的判定及相关概念的区别: （1）向量的判定 判定一个量是不是向量,关键看它是否具有向量的两要素:大小和方向.同时具备这两个要素的量是向量,否则就不是向量.　　 （2）向量与有向线段的关系 如果有向线段表示一个向量,通常我们就说向量,但有向线段只是向量的表示,并不是说向量就是有向线段. （3）向量与数量的区别 ①向量被赋予了几何意义,即向量是具有方向的,而数量没有方向; ②数量可以比较大小,而向量无法比较大小,即使也不能说. 【典例▪1】给出下列命题: ①和的模相等; ②方向不同的两个向量一定不平行; ③; ④. 其中正确命题的个数是（    ） A.0 B.1 C.2 D.3 【典例▪2】下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段; （2）零向量是没有方向的向量; （3）零向量的方向是任意的; （4）零向量的长度为0. A.1 B.2 C.3 D.4 【变式▪3】下列命题: ①方向不同的两个向量不可能是共线向量; ②长度相等、方向相同的向量是相等向量; ③平行且模相等的两个向量是相等向量; ④若,则. 其中正确命题的个数是（    ） A.1 B.2 C.3 D.4 【变式▪4】（多选）下列命题中正确的是（    ） A.单位向量的模都相等 B.长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C.方向相同的两个向量,向量的模越大,则向量越大 D.两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同 ▶练基础 相等向量与共线向量 2 （1）共线的向量不一定相等,但相等的向量一定共线. （2）非零向量共线是指方向相同或相反的向量,可分为如下四种情况:①方向相同、模相等;②方向相同、模不等;③方向相反、模相等;④方向相反、模不等. （3）零向量与任何向量共线（平行）;平行（共线）向量无传递性. （4）两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念. 【典例▪5】如图,多边形ABCDEF为正六边形,在以此六边形各顶点和中心为起点、终点的向量中: （1）写出与相等的向量; （2）写出相反的向量; （3）写出与平行的向量; （4）写出与的模相等的向量. 【练习▪6】下列命题正确的是（    ） A.零向量没有方向 B.若,则 C.若,,则 D.若,,则 【练习▪7】（多选）下列命题中错误的有（    ） A.起点相同的单位向量,终点必相同; B.已知向量,则四边形ABCD为平行四边形; C.若A,B,C,D是不共线的四点,则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件; D.的充要条件是且. 二.向量的加法运算 ▍知识点1:向量加法的三角形法则 如图,已知非零向量,在平面内任取一点,作,则向量叫做与的和,记作,即, 这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则. 简记为:首尾顺次连接,指向终点. 当与共线时,求它们的和可用如图表示. 注意:零向量与任一向量的和都有. ▍知识点2:向量加法的平行四边形法则 如图,以同一点为起点的两个已知向量,以,为邻边 作,则以为起点的向量是的对角线） 就是向量与的和, 这种作两个向量和的方法叫做向量加法 的平行四边形法则. 注意:向量“共起点”作平行四边形 ▍知识点3:多向量相加 为了得到有限个向量的和,只需将这些向量通过平移后依次首尾相接,那么以第一个向量的起点为起点,最后一个向量的终点为终点的向量,就是这些向量的和.即: ▍知识点4:向量加法的运算律 交换律:. 结合律:. ［对应练习:基础3］ ▶练基础 向量加法的几何表示 3 运用三角形法则作两个向量和的关键是“作平移,首尾连”;当两向量不共线时,向量的加法也可采用平行四边形法则. 【典例▪8】如图,已知向量、,用向量加法的三角形法则作出向量. （1）   （2）  【典例▪9】如图,已知向量、,用向量加法的平行四边形法则作出向量. （1）  （2） 【练习▪10】如图,已知向量,,不共线,求作向量. 三.向量的减法运算 ▍知识点1:相反向量 与长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,记作. ▍知识点2:相反向量的性质 （1）; （2）; （3）; （4）若与互为相反向量,则,, . 注意:相反向量与相等向量一样,从“长度”和“方向”两方面进行定义,相反向量必为平行向量. ▍知识点3:向量的减法 （1）定义:,即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. （2）减法的三角形法则:如图,已知非零向量,在平面内任取一点,作,连接,则.即把两个向量的起点放在一起,则两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量,这是向量减法的三角形法则,即向量减法的几何意义. ［对应练习:基础4—基础6］ ▶练基础 相反向量的概念 4 【典例▪11】下列说法中,错误的是（    ） A.等长且方向相反的两个向量是相反向量 B.方向相反的向量是相反向量 C.零向量的相反向量是零向量 D.互为相反向量的两个向量是共线向量 【典例▪12】若非零向量和互为相反向量,则下列说法中错误的是（    ） A. B. C. D. 【练习▪13】（多选）下列四个等式中,正确的是（    ） A. B. C. D. 【练习▪14】（多选）给出下列命题,其中叙述错误的命题为（    ） A.向量的长度与向量的长度相等 B.向量与平行,则与的方向相同或相反 C.与方向相反 D.若非零向量与非零向量的方向相同或相反,则与,之一的方向相同 【练习▪15】（多选）给出下列命题,其中正确的命题是（    ） A.若,则或 B.若向量是向量的相反向量,则 C.向量与相等 D.若向量,,满足,,则 ▶练基础 向量减法的几何表示 5 作两个向量差的关键是“作平移,共始点;两尾连,指被减”. 【典例▪16】如图,已知向量、,求作. （1）   （2） （3）   （4）   【练习▪17】如图,已知向量,,不共线. （1）作向量++; （2）作向量. ▶练基础 向量加减法的综合运算 6 1.注意满足下列两种形式可以化简 （1）首尾相连且为和. （2）始点相同且为差. 做题时要注意观察是否有这两种形式,同时要注意逆向应用. 2.利用向量加减法基本运算化简向量的一般思路: 将若干个求和（差）的向量最终转化为首尾相接的向量,如果遇到差向量可利用相反向量转化为和向量. 【典例▪18】化简下列各式: （1）; （2）; （3）; （4）; （5）; （6）; （7）; （8）; （9）; 【典例▪19】如图,在梯形ABCD中,,AC与BD交于点O,化简. 【练习▪20】如图,在中,为重心,点分别是,,的中点,化简下列各式: （1）; （2）; （3）. 【练习▪21】如图,已知向量 （1）用表示; （2）用表示; （3）用表示; （4）用表示 【练习▪22】如图所示,已知,,, ,,,试用表示下列各式: （1）; （2）; （3）. ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 7 学科网（北京）股份有限公司 ▍练题型 加减法几何意义的应用 1 【典例▪23】在矩形中,,,则等于（    ） A. B. C.3 D.4 【变式▪24】已知是四边形所在平面上任一点,且.则四边形一定为（    ） A.菱形 B.梯形 C.平行四边形 D.矩形 【变式▪25】已知向量满足,则与的夹角为_______. 【练习▪26】（2024·高一课时练习）设正方形的边长为2,则 . 【练习▪27】设点M是线段BC中点,点A在直线BC外,,则（  ） A.8 B.4 C.2 D.1 【练习▪28】四边形中,若,且,则（    ） A.在四边形是矩形 B.在四边形是菱形 C.在四边形是正方形 D.在四边形是平行四边形 【练习▪29】已知非零向量. （1）若,,且,求的值; （2）若,且,求的值. ▍练题型 向量的三角不等式 2 1.向量加法的三角形不等式 向量的模与的模之间满足不等式. 当向量与同向时,右侧等号成立,当向量与反向时,左侧等号成立. 2.向量减法的三角不等式 向量的模与的模之间满足不等式. 当向量与反向时,右侧等号成立,当向量与同向时,左侧等号成立. 【典例▪30】（2024·辽宁统考）已知向量满足,则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【典例▪31】已知,,则的取值范围是 . 【练习▪32】、为非零向量,且,则（    ） A.与方向相同 B. C. D.与方向相反 【练习▪33】对于任意两个向量和,下列命题中正确的是（    ） A. B. C. D. 【练习▪34】若向量与共线,且,则 . 【练习▪35】已知向量满足,,则的最小值为 ,的最大值为 . ▶▷ 综合巩固提升 ◁◀ 一、单选题 1.已知四边形为菱形,则下列等式中成立的是（    ） A. B. C. D. 3.（2023·浙江高三联考）已知向量,,均为单位向量,则“”是“与共线”的（    ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知等腰的直角边长为1,为斜边上一动点,则的最小值为（    ） A. B. C. D. 二、填空题 6.已知O为四边形ABCD所在平面内一点,且向量,,,满足等式.若点E为AC的中点,则的值为 . 7.（2024·高一练习）在边长为1的等边三角形ABC中, , . 8.已知向量,满足,,则的最大值为 . 三、解答题 10.如图,已知D,E,F分别为的三边, ,的中点,求证:. $