精品解析：2025-2026学年苏科版数学八年级上册期中综合提优测评卷(A)

期中综合提优测评卷（A） 用时：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.13133 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数是无限不循环小数结合立方根的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、是无理数，符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、0.13133是有理数，不符合题意； 故选A． 2. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB=DE，添加下列选项中的条件，能用HL判定△ABC≌△DEF的是( ) A. AC=DF B. ∠B=∠E C. ∠ACB=∠DFE D. BC=EF 【答案】D 【解析】 【分析】根据判定定理即可得． 【详解】解：A、添加，需用定理判定，则此项不符题意； B、添加，需用定理判定，则此项不符题意； C、添加，需用定理判定，则此项不符题意； D、添加，能用定理判定，则此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握判定定理是解题关键． 3. 如图，分别是的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线，角平分线，高的定义，熟练掌握三角形的中线，角平分线，高的定义是解题的关键． 根据三角形的中线，角平分线，高的定义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵分别是的中线，角平分线，高， ∴，，，故A，B，C选项正确，不符合题意； 根据题意无法判断与的大小关系，符合题意； 故选：D 4. 下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（ ）． A. 2，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．如果一个三角形的三边满足，那么这个三角形是直角三角形． 【详解】解：A、，所以2，2，3不能作为直角三角形的三边，不符合题意； B、，所以2，3，4不能作为直角三角形的三边，不符合题意； C、，所以3，4，5能作为直角三角形的三边，符合题意； D、，所以4，5，6不能作为直角三角形的三边，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．如果一个三角形的三边满足，那么这个三角形是直角三角形． 5. 如图，在中，，D为的中点，连接，则的度数为（ ） A. 55° B. 20° C. 25° D. 40° 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质求解即可． 【详解】∵， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，熟记等腰三角形的底边中线、底边上的高、顶角角平分线三线合一是解题的关键． 6. 如图，在中，，点O是、平分线的交点，且，，则点O到边的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理以及三角形面积法，直接利用角平分线的性质结合三角形面积求法得出答案． 【详解】解：∵点O为与的平分线的交点， ∴点O在的角平分线上， ∴点O到的三边的距离相等， 过O作，，连接， 则 ∴ ， 又∵为直角三角形， ∴， ∴， 解得：． 故选：A． 7. 如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解． 【详解】解：如图， 由图可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 8. 有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 2023 B. 2022 C. 2021 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图， 由题意得，正方形的面积为1， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， “生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2023， 故选：A 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，则池塘两岸A，间的距离可以是________（答案不唯一，写出一个即可）． 【答案】5（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键；连接，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴A、B间的距离可以是5、6、7等等； 故答案为：5（答案不唯一）． 10. 一个三角形的三边长分别为 5，12，13，则这个三角形最长边上的高线为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，等面积法，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理先判定三角形的形状，再根据三角形的面积公式求得其高． 【详解】解：， ∴， ∴该三角形是直角三角形， 根据等面积法可得，三角形最长边上的高线为， 故答案为：． 11. 为了庆祝神舟十五号的成功发射，学校组织了一次小制作展示活动，小明计划制作一个如图所示的简易模型，已知该模型满足，点B和点C是对应顶点，若，，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质求出，然后根据可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应边相等是解题的关键． 12. 如图，在中，，点D在上，点F在上，于点E，，，若，则 的度数为________________． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证是解题的关键． 通过证明，可得，得出，根据即可解题． 【详解】解：∵，， ∴，， 在和中， ， ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 一个三角形三边长分别为，，，面积，满足情况的正整数k有________个． 【答案】5 【解析】 【分析】该题考查了勾股定理，根据题意得出该三角形为直角三角形，且两直角边的长分别是，，表示出，结合，找出正整数k即可求解． 【详解】解：由题意，得， ∴该三角形为直角三角形，且两直角边的长分别是，， ， ， ， ， 又k为正整数， ∴，2，3，4，5， ∴满足情况的正整数k有5个． 故答案为：5． 14. 如图，以Rt的两边为边向外所作正方形的面积分别是，则以另一边为直径向外作半圆的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积公式，根据题意得出的值，再根据半圆面积公式求解即可． 【详解】解：以的两边，为边向外所作正方形的面积分别是，，， ， 以另一边为直径向外作半圆的面积为， 故答案为：． 15. 如图，线段AB、BC的垂直平分线、相交于点，若39°，则=__________． 【答案】78 【解析】 【分析】如图，利用线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)，再利用垂直的定义结合三角形外角性质得到∠AOG =51-∠A，∠COF =51-∠C，利用平角的定义得到∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180，计算即可求解． 【详解】如图，连接BO并延长， ∵、分别是线段AB、BC的垂直平分线， ∴OA=OB，OB=OC，∠ODG=∠OEF=90， ∴∠A=∠ABO，∠C=∠CBO， ∴∠2=2∠A，∠3=2∠C，∠OGD=∠OFE=90-39=51， ∴∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)， ∵∠OGD=∠A+∠AOG，∠OFE=∠C+∠COF， ∴∠AOG =51-∠A，∠COF =51-∠C， 而∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180， ∴51-∠A+2∠A+2∠C+51-∠C+39=180， ∴∠A+∠C=39， ∴∠AOC=2(∠A+∠C)=78， 故答案为：78． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，垂直的定义，平角的定义，注意掌握辅助线的作法，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用． 16. 如图，在中，的垂直平分线交边，于点D和点E，连接．若，，则周长为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，再由周长为计算即可得解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴周长为， 故答案为：． 17. 过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为____． 【答案】45°或36° 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：①如图1， 当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AC=BC，AD=CD=BD， 设∠A=x°， 则∠ACD=∠A=x°，∠B=∠A=x°， ∴∠BCD=∠B=x°， ∵∠A+∠ACB+∠B=180°， ∴x+x+x+x=180， 解得x=45， ∴原等腰三角形的底角是45°； ②如图2， △ABC中，AB=AC，BD=AD，AC=CD， ∵AB=AC，BD=AD，AC=CD， ∴∠B=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD， ∵∠CDA=2∠B， ∴∠CAB=3∠B， ∵∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴5∠B=180°， ∴∠B=36°， ∴原等腰三角形的底角为36°； 故答案为45°或36° 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及其判定．作此题的时候，首先大致画出符合条件的图形，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系，列方程求解． 18. 如图，将△ABC沿着过BC的中点D的直线折叠，使点B落在AC边上的处，称为第一次操作，折痕DE到AC的距离为；还原纸片后，再将△BDE沿着过BD的中点的直线折叠，使点B落在DE边上的处，称为第二次操作，折痕到AC的距离记为；按上述方法不断操作下去…经过第n次操作后得到折痕到AC的距离记为，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据中点的性质及折叠的性质可得，从而可得，结合折叠的性质可得，可得，进而判断，得出DE是△ABC的中位线，证得，得到，求出；同理，，……，经过第n次操作后得到的折痕到BC的距离． 【详解】解：如图，连接，由折叠性质可知，，， 又∵D是BC中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，， …… ∴经过第n次操作后得到的折痕到BC的距离， 故答案为：． 【点睛】此题考查了折叠的性质以及中位线的性质，解题关键是通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题． 三、解答题（本大题共8小题，共84分） 19. 如图，点在线段上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】首先根据平行线的性质得到，然后证明出，最后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】略 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定． 20. 如图，网格中的与为轴对称图形. （1）利用网格线作出与的对称轴l； （2）如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出的面积=___________. （3）顶点在格点，找出以BC为一边且与全等（不与重合）的三角形，这样的三角形在网格内共能画出___________个. 【答案】（1）如图， （2）3； （3）3个 【解析】 【分析】（1）连接AD，作出AD的垂直平分线即可； （2）根据解答； （3）分别作出与以BC为公共边，其它两边与AC、BC对应相等的三角形即可． 【小问1详解】 解：连接AD，作出AD的垂直平分线l， 根据轴对称图形的性质可知，l即是与的对称轴； 【小问2详解】 如图，由题意可得： = =3； 【小问3详解】 如图， △A’BC、△A’’CB、△A’’’CB为满足条件的三角形，共3个． 【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握轴对称图形的意义与性质、拆分法求面积的方法、利用SSS判定三角形全等的方法是解题关键． 21. 如图，在 中，已知，，，，求 BD 的长． 【答案】14 【解析】 【分析】本题主要考查了利用勾股定理和三角形的面积进行求解，准确作出辅助线计算是解题的关键． 过点作于点，得到，根据三角形等面积法算出，再利用勾股定理计算即可． 【详解】过点A 作 于点E，如图， 则 ， ， ， ， ， ， 在中， ∵，， ， ， ． 22. 已知：整式，整式． 尝试: 化简整式． 发现: ，求整式． 联想:由上可知，，当n＞1时为直角三角形的三边长，如图．填写下表中的值： 直角三角形三边 勾股数组Ⅰ / 8 　 　 勾股数组Ⅱ / 　 　 【答案】尝试：；发现：；联想：17，37. 【解析】 【分析】先根据完全平方公式和整式的混合运算法则求出A，进而求出B，再把n的值代入即可解答． 【详解】A=（n2﹣1）2+（2n）2=n4﹣2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2． ∵A=B2，B＞0，∴B=n2+1，当2n=8时，n=4，∴n2+1=42+1=17； 当n2﹣1=35时，n2+1=37． 故答案为17；37． 【点睛】本题考查了勾股数的定义．掌握勾股数的定义是解答本题的关键． 23. 如图，在中，点 分别在边上．给出5个论断： ①，②，③，④，⑤． （1）如果论断①②③④都成立，那么论断⑤一定成立吗?答：________； （2）从论断①②③④中选取3个作为条件，将论断⑤作为结论，组成一个真命题，那么你选的3个论断是__________(只需填论断的序号)； （3）用(2)中你选的3个论断作为条件，论断⑤作为结论，组成一道证明题，画出图形，写出已知、求证，并加以证明． 【答案】（1）一定 （2）①③④ （3） 已知：如图，在中，点分别在边上，． 求证：． 证明：如图，取的中点F，连接，则为的中位线， ∴ 又∵， ∴， 在中，， ∴，又， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质角所对直角边等于斜边的一半）、三角形中位线定理、等腰三角形的三线合一性质，解题的关键是通过构造中位线，将与转化为同一条线段的2倍，从而建立等量关系． （1）由①②③得是的中线兼高，故（三线合一）；在中，得，结合则，利用可推出，故⑤一定成立． （2）分析组合：①②③缺角度无法联线段；①②④缺中点无法构造线段倍分关系；②③④缺无法证；仅①③④可通过辅助线证，故选①③④． （3）取的中点F，由三角形中位线定理，再由可得，等量代换得． 【小问1详解】 解：∵①，②，③， ∴是中边上的中线且高，故（等腰三角形三线合一）； 在中，角所对直角边等于斜边的一半）， 又 ∴； ∵， ∴． 故答案为：一定． 【小问2详解】 解：若选①②③：仅知、为高且E为中点，无角度条件，无法证； 若选①②④：无（中点）条件，无法构造线段倍分关系，不能证； 若选②③④：无条件，无法证，不能用角性质，无法证； 若选①③④：可通过作平行线构造中位线，证得，符合要求． 故答案为：①③④． 【小问3详解】 略 24. 在 中，的垂直平分线分别交线段 于点M，P，的垂直平分线分别交线段于点 N，Q． （1）如图，当 时，求 的度数． （2）当 满足什么条件时，？说明理由． （3）在（2）的条件下，，求 的周长． 【答案】（1） （2） 当时，． 理由如下： 如图，由(1)，得． ． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴时，． （3）10 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得．得．由三角形内角和定理得．由 计算即得； （2）同（1）得 ，由，得，得； （3）由，可得周长为，即得． 【小问1详解】 解：∵分别是的垂直平分线， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴ ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：周长． ∵， ∴的 周长． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线．熟练掌握线段垂直平分线性质，三角形内角和定理，等腰三角形性质，角与线段的和差计算，是解题的关键． 25. 如图，已知锐角中，、分别是、边上的高，M、N分别是线段、的中点． （1）求证：； （2）若，，连接、，求的度数． 【答案】（1） 证明：如图，连接、， ∵、分别是、边上的高，M是的中点， ∴，， ∴， 又∵N为中点， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接、，根据直角三角形斜边中线的性质得到，，则，然后根据等腰三角形的性质得出结论； （2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，结合平角的定义求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 26. （1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E、F分别是边延长线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________． 【答案】（1）； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长到G，使，连接， ∵， ∴ ∵, ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴； （3） 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出，本题的3个问题运用了类比的方法依次解决问题． （1）如图，延长到G，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）如图，延长到G，使，连接，同理可得：； （3）如图③，仿照（1）（2）构造全等三角形求解即可． 【详解】解：（1）如图，延长到G，使，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴； 故答案为：； （2）略 （3）若如图③，在上截取，使，连接． ∵， ∴． ∵ ∴ ∴， ∴． ∴， ∵， ∴ ∴． ∵ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中综合提优测评卷（A） 用时：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.13133 2. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB=DE，添加下列选项中的条件，能用HL判定△ABC≌△DEF的是( ) A. AC=DF B. ∠B=∠E C. ∠ACB=∠DFE D. BC=EF 3. 如图，分别是的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（ ）． A. 2，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 5. 如图，在中，，D为的中点，连接，则的度数为（ ） A. 55° B. 20° C. 25° D. 40° 6. 如图，在中，，点O是、平分线的交点，且，，则点O到边的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 2023 B. 2022 C. 2021 D. 1 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，则池塘两岸A，间的距离可以是________（答案不唯一，写出一个即可）． 10. 一个三角形的三边长分别为 5，12，13，则这个三角形最长边上的高线为_______． 11. 为了庆祝神舟十五号的成功发射，学校组织了一次小制作展示活动，小明计划制作一个如图所示的简易模型，已知该模型满足，点B和点C是对应顶点，若，，则________． 12. 如图，在中，，点D在上，点F在上，于点E，，，若，则 的度数为________________． 13. 一个三角形三边长分别为，，，面积，满足情况的正整数k有________个． 14. 如图，以Rt的两边为边向外所作正方形的面积分别是，则以另一边为直径向外作半圆的面积为______． 15. 如图，线段AB、BC的垂直平分线、相交于点，若39°，则=__________． 16. 如图，在中，的垂直平分线交边，于点D和点E，连接．若，，则周长为_______． 17. 过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为____． 18. 如图，将△ABC沿着过BC的中点D的直线折叠，使点B落在AC边上的处，称为第一次操作，折痕DE到AC的距离为；还原纸片后，再将△BDE沿着过BD的中点的直线折叠，使点B落在DE边上的处，称为第二次操作，折痕到AC的距离记为；按上述方法不断操作下去…经过第n次操作后得到折痕到AC的距离记为，若，则的值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共84分） 19. 如图，点在线段上，，，．求证：． 20. 如图，网格中的与为轴对称图形. （1）利用网格线作出与的对称轴l； （2）如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出的面积=___________. （3）顶点在格点，找出以BC为一边且与全等（不与重合）的三角形，这样的三角形在网格内共能画出___________个. 21. 如图，在 中，已知，，，，求 BD 的长． 22. 已知：整式，整式． 尝试: 化简整式． 发现: ，求整式． 联想:由上可知，，当n＞1时为直角三角形的三边长，如图．填写下表中的值： 直角三角形三边 勾股数组Ⅰ / 8 　 　 勾股数组Ⅱ / 　 　 23. 如图，在中，点 分别在边上．给出5个论断： ①，②，③，④，⑤． （1）如果论断①②③④都成立，那么论断⑤一定成立吗?答：________； （2）从论断①②③④中选取3个作为条件，将论断⑤作为结论，组成一个真命题，那么你选的3个论断是__________(只需填论断的序号)； （3）用(2)中你选的3个论断作为条件，论断⑤作为结论，组成一道证明题，画出图形，写出已知、求证，并加以证明． 24. 在 中，的垂直平分线分别交线段 于点M，P，的垂直平分线分别交线段于点 N，Q． （1）如图，当 时，求 的度数． （2）当 满足什么条件时，？说明理由． （3）在（2）的条件下，，求 的周长． 25. 如图，已知锐角中，、分别是、边上的高，M、N分别是线段、的中点． （1）求证：； （2）若，，连接、，求的度数． 26. （1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E、F分别是边延长线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $