3.1.2.4图象法表示函数的问题难点训练微专题-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1.2.4图象法表示函数的问题 难点训练微专题 (学生版) 突破通法： 1.利用函数的表示法识别函数图象可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，或者判断图象的渐近线；从函数的值域，判断图象的上下位置，同时也可以通过逆运用来求参数． (2)从函数的特殊点，排除不合要求的图象，同时也可以通过逆运用来求参数． （3）由实际情景探究函数图象，关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．　 2.函数图象的三种画法 (1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出． (2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． (3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，可利用图象变换作出． 注意：　(1)画函数的图象时一定要注意定义域． (2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．　 微专题训练 一、单选题 1．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 2．函数的部分图像如图（粗实曲线），则（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 3．如图中的图象所表示的函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 4．已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数解析式符合该图象特征的是（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 6．如图，点在边长为1的正方形边上运动，是的中点，当点沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是（    ） A． B． C． D． E．均不是 7．一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的图象大致是 （    ） A． B． C． D． 8．函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，，与函数的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 二、多选题 9．水滴进玻璃容器，如图所示（设单位时间内进水量相同），那么水的高度是如何随时间变化的？下列匹配的图象与容器符合实际的有（    ） A．Ⅰ——（2） B．Ⅱ——（1） C．Ⅲ——（3） D．Ⅴ——（4） 10．如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下列对应的图象表示该容器中水面的高度h与时间t之间的关系，其中正确的（    ） A． B． C． D． 11．已知函数的图象由如图所示的两段线段组成，则（    ） A． B．不等式的解集为 C．函数在区间上的最大值为2 D．的解析式可表示为： 三、填空题 12．函数的图像不经过第 象限 13．对于任意R，函数表示，，中的较小者，则函数的最大值是 . 14．已知函数，，其中表示不超过的最大整数，例，．则函数的值域是 ． 四、解答题 15．在图中作出函数的图象．    16．已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2.4图象法表示函数的问题 难点训练微专题 (解析版) 突破通法： 1.利用函数的表示法识别函数图象可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，或者判断图象的渐近线；从函数的值域，判断图象的上下位置，同时也可以通过逆运用来求参数． (2)从函数的特殊点，排除不合要求的图象，同时也可以通过逆运用来求参数． （3）由实际情景探究函数图象，关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．　 2.函数图象的三种画法 (1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出． (2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． (3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，可利用图象变换作出． 注意：　(1)画函数的图象时一定要注意定义域． (2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．　 微专题训练 一、单选题 1．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项. 【详解】因为函数的定义域为， 函数的定义域为， 函数与的定义域均为， 由图知的定义域为，排除选项A、D， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：B. 2．函数的部分图像如图（粗实曲线），则（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】由函数图像知道定义域，从而求出参数的值，再代入点即可求出的值. 【详解】由函数图像可知，函数定义域， 即的解集为，也就是即的解为, ∴，∴，∴， ∵函数图像经过点，∴，∴. 故选：B. 3．如图中的图象所表示的函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求已知图象函数的解析式，常使用特殊值代入排除法． 【详解】解：由已知函数图象易得：点、在函数图象上 将点代入，，可排除B、C 将代入，可排除D， 故选：A． 4．已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数解析式符合该图象特征的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象的两条渐近线结合为正可得正确的选项. 【详解】对于，故其图象的渐近线为，， 而，结合图象可得，故A不符合； 对于，故其图象的渐近线为，， 而，结合图象可知D符合； 对于，因为，故其图象的渐近线为，， 结合图象可知B不符合； 对于，因为，故其图象的渐近线为，， 结合图象可知C不符合； 故选：D. 5．如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分，，求出解析式，然后可知图象. 【详解】当时，，是一条过原点的线段； 当时，，是一段平行于轴的线段； 当时，，图象为一条线段. 故选：A． 6．如图，点在边长为1的正方形边上运动，是的中点，当点沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是（    ） A． B． C． D． E．均不是 【答案】A 【分析】求出点在对应线段上时的解析式，结合图象判断即可得. 【详解】当点在上时，， 当点在上时， ， 当点在上时，， 其中A选项符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正确. 故选：A. 7．一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的图象大致是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】水深越大，水的体积就越大，故函数是个增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的． 【详解】解：由图得水深越大，水的体积就越大，故函数是个增函数． 据四个选项提供的信息， 当，，我们可将水“流出”设想成“流入”， 这样每当增加一个单位增量△时， 根据鱼缸形状可知，函数的变化，开始其增量越来越大，但经过中截面后则增量越来越小， 故关于的函数图象是先凹后凸的，曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大，后又逐渐变小， 故选：D． 8．函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，，与函数的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【答案】A 【分析】画出两函数图象，数形结合得到交点个数. 【详解】画出与的两函数图象，如下： 可以看出两函数图象无交点，故交点个数为0. 故选：A 二、多选题 9．水滴进玻璃容器，如图所示（设单位时间内进水量相同），那么水的高度是如何随时间变化的？下列匹配的图象与容器符合实际的有（    ） A．Ⅰ——（2） B．Ⅱ——（1） C．Ⅲ——（3） D．Ⅴ——（4） 【答案】AD 【解析】根据题意，依次分析4个容器中水面变化的趋势，可得其对应的图象，综合即可得到答案. 【详解】根据题意： 在（Ⅰ）中，容器都是柱形的，水高度的变换速度都应时直线型，与（2）对应，所以A正确； 在（Ⅱ）中，容器下粗上细，水高度的变换先慢后快，与（4）对应，所以B不正确； 在（Ⅲ）中，容器为球形，水高度变换为快—慢—快，与（1）对应，所以C错误； 在（Ⅴ）中，容器上粗下细，水高度的变换先快后慢，与（4）对应，所以D正确. 故选：AD 10．如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下列对应的图象表示该容器中水面的高度h与时间t之间的关系，其中正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】结合几何体的结构和题意知，容器的底面积越大水的高度变化慢，反之变化的快，再由图象越平缓就变化越慢，图象陡就变化快来判断. 【详解】对于A，易知水面高度的增加是均匀的，所以A不正确； 对于B，h 随t的增大而增大，且增大的速度越来越慢，所以B正确； 对于C，h 随t的增大而增大，增大的速度先越来越慢，后越来越快，所以C正确； 对于D，h 随t的增大而增大，增大的速度先越来越快，后越来越慢，所以D正确. 故选：BCD. 11．已知函数的图象由如图所示的两段线段组成，则（    ） A． B．不等式的解集为 C．函数在区间上的最大值为2 D．的解析式可表示为： 【答案】BD 【分析】由函数的图象求出函数的解析式，由此分析选项可得答案． 【详解】根据题意，由图象可得，在区间上，函数图象为线段，经过点和， 则其方程为， 在区间上，函数图象为线段，经过点和， 设，，则，解得， 所以其方程为， 综合可得， 对于A，，则，故A错误； 对于B，若，则有或，解得或， 即不等式的解集为，故B正确； 对于C，在区间上，为减函数，其最大值为，故C错误； 对于D，由，故D正确． 故选：BD． 三、填空题 12．函数的图像不经过第 象限 【答案】二 【分析】根据反比例函数的图象变换，作图判断即可. 【详解】解：该函数图像由向右平移1个单位，向下平移一个单位所得，如下图： 所以不经过第二象限． 故答案为：二. 13．对于任意R，函数表示，，中的较小者，则函数的最大值是 . 【答案】 【分析】分别作出三个函数的图象，利用数形结合求出的最小值． 【详解】作出3个函数的图象， 结合题意可知图象的最高点为与的交点， 解得交点坐标为， 所以函数的最大值为． 故答案为． 14．已知函数，，其中表示不超过的最大整数，例，．则函数的值域是 ． 【答案】 【分析】根据题意，分别求出，，时的，作出图象，直接可得到的值域. 【详解】当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上; 图象如图所示: 函数的值域是. 故答案为：. 四、解答题 15．在图中作出函数的图象．    【答案】答案见解析 【分析】根据题意分类去掉绝对值得到分段函数，作出其图象即可. 【详解】因，其图象如下图所示．    16．已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 【答案】(1)， (2)或1或 (3)作图见解析， 【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得； （3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式分类讨论可求得不等式的解集. 【详解】（1）因为， 所以，． （2）当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得或（舍去）． 综上所述，的值为或1或． （3）作出函数的图象如图所示：    当时，恒成立；当时，恒成立； 当时，，即，得． 综上所述，的解集为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $