专题07 圆的周长与面积的应用（知识梳理+13个考点讲练+真题演练+难度分层练 共64题）-2025-2026学年人教版数学六年级上学期专项培优精讲练

专题07 圆的周长与面积的应用 【知识梳理+13个考点讲练+真题演练+难度分层练 共64题】 （原卷版） 资料简介 内容梳理 2 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：基础公式应用 2 知识点梳理02：生活场景中的应用 2 知识点梳理03：组合图形的周长和面积计算 3 知识点梳理04：与比例相关的问题 3 高频考点讲练1：圆的概念及特点 3 高频考点讲练2：圆的周长公式的应用 4 高频考点讲练3：半圆的周长 5 高频考点讲练4：圆的周长的较复杂应用 6 高频考点讲练5：含圆的组合图形的周长 7 高频考点讲练6：圆的面积的应用 9 高频考点讲练7：圆环的面积 10 高频考点讲练8：求最大面积 11 高频考点讲练9：含圆的组合图形的面积 12 高频考点讲练10：方中圆和圆中方的面积问题 13 高频考点讲练11：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 15 高频考点讲练12：弧、圆心角、扇形的认识 16 高频考点讲练13：扇形的周长和面积 17 升学真题 实战演练 18 优选题型 培优强化 20 基础夯实 20 培优拔尖 22 同学你好，该份讲义用于人教版六年级上册内容的专题强化培优学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5题小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 优选题型，培优强化：结合本专题内容精选15-20题较难题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：基础公式应用 已知半径求周长和面积：直接运用圆的周长公式C=2πr和面积公式S=πr²进行计算。例如，已知一个圆形花坛的半径是5米，求其周长和面积。周长C=2×3.14×5=31.4米，面积S=3.14×5²=78.5平方米。 已知直径求周长和面积：先根据直径d与半径r的关系r=d÷2求出半径，再代入公式计算。比如，已知圆的直径为8米，半径r=8÷2=4米，周长C=2×3.14×4=25.12米，面积S=3.14×4²=50.24平方米。 已知周长求半径、直径和面积：由周长公式C=2πr，可推出r=C÷2π，d=C÷π，求出半径或直径后再计算面积。例如，圆形花坛周长是37.68米，半径r=37.68÷2×3.14=6米，面积S=3.14×6²=113.04平方米。 知识点梳理02：生活场景中的应用 测量与规划：在实际生活中，需要测量圆形物体的周长或面积来进行规划。比如，要给一个圆形桌面配一块玻璃，就需要计算桌面的面积；要在圆形花坛周围围上栅栏，就需要计算花坛的周长。 行程问题：当物体做圆周运动时，会涉及圆的周长计算。例如，车轮滚动一周所行的路程就是车轮的周长，已知车轮半径和滚动的圈数，就可以求出行驶的距离。若车轮半径为0.3米，滚动100圈，行驶距离为2×3.14×0.3×100=188.4米。 面积比较与选择：在一些实际问题中，需要比较不同圆形物体的面积大小，从而做出选择。比如，有两个圆形池塘，一个半径是4米，另一个直径是10米，比较哪个池塘面积大。第一个池塘面积S1=3.14×42=50.24平方米，第二个池塘半径为10÷2=5米，面积S2=3.14×5²=78.5平方米，所以第二个池塘面积大。 知识点梳理03：组合图形的周长和面积计算 包含圆的组合图形：由圆与其他图形（如长方形、正方形等）组合而成的图形，需要分别计算各部分的周长和面积，再根据具体情况进行求和或求差。例如，一个正方形中内切一个最大的圆，已知正方形边长为8厘米，求圆的周长和剩余部分的面积。圆的直径等于正方形边长，即8厘米，半径为4厘米，圆的周长C=2×3.14×4=25.12厘米，正方形面积为8×8=64平方厘米，圆的面积为3.14×4²=50.24平方厘米，剩余部分面积为64−50.24=13.76平方厘米。 多个圆的组合：多个圆组合在一起，可能需要考虑它们之间的位置关系，通过合理分割或拼接来计算周长和面积。比如，两个半径为3厘米的圆部分重叠，求重叠后图形的周长和面积，需要根据重叠部分的情况进行分析计算。 知识点梳理04：与比例相关的问题 半径、直径、周长和面积的比例关系：在不同大小的圆中，半径、直径、周长的比是相等的，而面积的比是半径比的平方。例如，两个圆半径比是2:3，则直径比、周长比都是2:3，面积比是4:9。这类问题常结合实际情境，如两个圆形花坛半径不同，根据半径比例关系求周长或面积的比例关系。 高频考点讲练1：圆的概念及特点 【典例精讲】（24-25六年级上·全国·单元测试）（1）将甲图中圆内小正方形如何旋转得到图形乙？ （2）如果圆内小正方形的面积是22平方厘米，那么圆外大正方形面积是多少平方厘米？ 【演练1】（2024六年级上·全国·专题练习）将两个大小不同的圆摆放在一个长方形中（如图所示），小圆的半径是多少厘米？ 【演练2】（23-24六年级上·河北邢台·期中）在陀螺的圆面上（圆心除外）用蓝笔点一个点，在陀螺的圆面边缘用黑笔点一个点（如图所示）。抽动陀螺使它旋转。观察蓝、黑点在旋转时的痕迹，你有什么发现？ 高频考点讲练2：圆的周长公式的应用 【典例精讲】24-25六年级上·全国·单元测试）国际田径联合会规定，标准塑胶跑道的宽度为1.22米，跑道之间间距的宽度为1.25米。某学校的400米环形跑道是由两条直道和两条半圆形跑道组成的，每条跑道宽为1.25米。如果在这个环形跑道上进行600米赛跑，那么第一道选手与第四道选手的起跑线要相差多少米？ 【演练1】（24-25六年级上·重庆·期末）一辆自行车车轮的外直径是0.8米，李老师骑自行车从家到图书馆用了10分钟，如果车轮每分钟转50圈，李老师家到图书馆的路程是多少米？ 【演练2】（24-25六年级上·山东济宁·期中）蚂蚁A和蚂蚁B两只小蚂蚁同时出发，用同样的速度，分别沿着正方形和圆爬一圈，谁会先爬完？通过计算说明。 高频考点讲练3：半圆的周长 【典例精讲】（24-25六年级上·浙江宁波·期末）图1是一个半径为50米的半圆形花坛，李爷爷习惯饭后绕着它的周边匀速散步。李爷爷从O点出发，按箭头所指的方向步行，最后回到出发点。他步行过程中距离与时间的关系如图2所示。 （1）李爷爷绕半圆形花坛散步一圈需要多少米？ （2）观察图2，请你计算李爷爷散步的速度？ （3）如果李爷爷只在散步途中休息了一次，请看图分析，在图1上用“☆”标出休息的位置。 【演练1】（24-25六年级上·全国·课后作业）如图所示，两条小虫同时从A地爬向B地。第一条小虫沿大半圆爬行，第二条小虫沿三个小半圆爬行。哪条小虫先到达B地？为什么？（两条小虫爬行的速度相同。） 【演练2】（23-24六年级上·河北保定·期末）陈伯伯计划在房子后面的空地上靠墙围一个直径是8米的半圆形禽舍（如图），并从中间隔开，一边养鸡，一边养鸭。陈伯伯至少需要准备多少米的篱笆？ 高频考点讲练4：圆的周长的较复杂应用 【典例精讲】（24-25六年级上·全国·单元测试）如图1，直线l上放置了一个边长为6的等边三角形，当等边三角形沿着直线翻转一次到达图2的位置。如果等边三角形翻转204次，则顶点A移动的路径总长是多少？（用π表示） 【演练1】（24-25六年级上·重庆江北·期末）一辆自行车轮胎的外直径是0.7米。如果每分钟转90周，通过一座1000米长的桥需要几分钟？（只列综合算式或方程，不计算。） 【演练2】（24-25六年级上·北京通州·期末）王叔叔骑自行车从单位到家用了20分钟。王叔叔的自行车车轮半径是35厘米，车轮平均每分钟滚动100圈。照这样计算，王叔叔从单位到家的路程是多少米？ 高频考点讲练5：含圆的组合图形的周长 【典例精讲】（24-25六年级上·北京西城·期末）公园靠墙角修建了一个花坛，花坛由长方形和扇形组成，围着花坛铺了4米宽的草坪（如下图，阴影部分为花坛）。公园新增夜间游园活动。要沿着草坪的外边缘（不包括靠墙部分）安装灯带，灯带全长多少米？ 【演练1】（24-25六年级上·北京房山·期末）公园管理处要为公园设计一条散步小路，设计师提供了一种方案，将散步小路设计成直径为600米的圆形（如图）。为了增加设计的多样性，公园管理处向市民征集散步小路的设计方案。 ①小芳设计出了一个新图形，如下图所示。 你同意小芳的说法吗？用写一写、算一算等方法说明你的理由。（如果有需要，π取3.14） 答：我____________________小芳的说法。（填“同意”或“不同意”） 我的理由： ②同学们还设计出了以下两个新图形，请你判断：这两个新图形的周长分别与直径为600米的圆的周长相等吗？若相等，在括号里画“√”；若不相等，在括号里画“×”。 ③请你根据上面的思路再创作一个新图形，使它的周长与直径是600米的圆的周长相等。（画出示意图） ④请你结合上面的研究，提出一个关于新图形周长的猜想或发现，用喜欢的方式表示出你的想法。 【演练2】（23-24六年级下·全国·课后作业）“没有全民健康，就没有全面小康”，国家重视人民群众的身体健康，将全民健身上升到国家战略的新高度。小旭每天都会围着操场跑5圈（如图），他每天大约跑多少米？ 高频考点讲练6：圆的面积的应用 【典例精讲】（24-25六年级上·全国·单元测试）某传送带装置侧面如图所示，大轮的面积是3.14m2。（假设绳索与轮子之间没有滑动） （1）若物体在传送带上，小轮转动2圈，物体前进多少米？ （2）物体从A点传送到B点时，小轮转动的圈数约是大轮转动圈数的多少倍？ 【演练1】（24-25六年级上·福建三明·期末）淘气家有一张可折叠的餐桌，把四周折叠的部分收起来，是一张正方形餐桌；把四周折叠的部分撑开，是一张圆形餐桌，这时圆形餐桌的直径是2米。 （1）这张圆形餐桌的面积是多少？ （2）如果一个人需要0.5米的位置就餐，这张圆形餐桌大约坐多少人？ （3）如果在正方形餐桌内放一个最大的转盘（如图），这个转盘有多大？ 【演练2】（24-25六年级上·青海果洛·期末）洋洋一家去某酒店用餐，发现桌子能坐下12位客人，每位客人的座位宽约0.628米，餐厅内悬挂一大钟，分针长约40厘米。他们吃饭正好用了1小时。 （1）这段时间分针的针尖走过了多少厘米？ （2）这个圆桌的面积有多少平方米？（结果保留一位小数） 高频考点讲练7：圆环的面积 【典例精讲】（24-25六年级上·全国·单元测试）如下图所示，一个机器零件的横截面是圆环形状的，其中阴影部分的面积是25平方厘米，圆环的面积是多少平方厘米？ 【演练1】（24-25六年级上·重庆·期末）欣欣小学有一个圆形花坛，半径是2米。 （1）在花坛里按照3∶1的面积比分别种上了月季和菊花。种月季和菊花的面积分别是多少平方米？ （2）在圆形花坛周围修一条宽1米的小路，小路的面积是多少平方米？ 【演练2】（24-25六年级上·重庆江北·期末）劳动基地里有一块圆形萝卜地，萝卜地的直径是8米。 （1）如果给萝卜地围上一圈栅栏，栅栏长多少米？ （2）如果绕萝卜地铺一条1米宽的环形小路，小路面积是多少平方米？ 高频考点讲练8：求最大面积 【典例精讲】（21-22五年级下·河南洛阳·期末）公安部门要在一个十字路口安装红外线摄像头，摄像头的地面监控范围是周长为314米的圆（如下图）。这个摄像头的监控范围有多少平方米？ 【演练1】（20-21六年级上·山东聊城·期末）（1）画一个半径2厘米的半圆，标上圆心和半径。 （2）想一想怎样才能在半圆内画一个面积最大三角形，尝试着画在上面，你有什么发现？ （3）求出三角形的面积。 【演练2】在一个周长是24厘米的正方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？ 高频考点讲练9：含圆的组合图形的面积 【典例精讲】（23-24六年级上·安徽淮南·期末）六（1）班的同学们在学习园地中用彩色卡纸设计一个如图的“荣誉栏”，把每周表现突出的同学照片张贴在“荣誉栏”里，算一算这样的“荣誉栏”需要彩色卡纸多少平方分米？ 【演练1】（24-25六年级上·重庆南岸·期末）图形A和图形B（图中阴影）是两个半圆的一部分，芳芳和东东正在讨论A和B的大小。 芳芳说：“A的面积比B的面积大。” 东东说：“B的周长比A的周长大。” 你同意他俩的观点吗？给出你判断的理由。 【演练2】（24-25六年级上·重庆南岸·期末）学校操场如下图所示，两边是半圆形草坪，中间是长方形足球场。为增强体质，芳芳每天坚持沿操场边沿跑4圈。 （1）足球场的面积比草坪大多少？ （2）芳芳每天跑多少米？ 高频考点讲练10：方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】（24-25六年级上·全国·单元测试）已知正方形ABCD的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆，再将对边中点用直线连接起来得下图，那么，图中阴影部分的总面积是多少？ 【演练1】（24-25六年级上·北京房山·期末）中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。图中正方形的边长是2米，正方形和圆之间部分的面积是多少平方米？ 【演练2】（24-25六年级上·河南周口·期中）刘爷爷十分擅长水墨画，他想把自己的作品装裱后挂在家中，现在有两种装裱方式，都使用边框内长为20厘米的正方形框，图1是一联画，画面为框内最大的圆形；图2是四联画，每个圆的直径相同，且圆和圆、圆和框都相接无缝隙。 （1）图2的四联画中，画面所占面积有多大？ （2）两种装裱方式相比，框内空白面积哪个大？ 高频考点讲练11：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】（24-25六年级上·安徽黄山·期末）科创社团准备举行四驱车比赛，比赛场地示意图如下图。场地外围为赛道，如需给比赛场地铺草皮，需要准备多少平方米草皮？王新同学制作的四驱车速度约为2米/秒，如沿赛道跑一周需要多长时间？ 【演练1】（23-24六年级下·广东广州·期末）在我们的数学课上，曾经用下面的方法把平行四边形转化成长方形，从而得到平行四边形的面积。转化过程如下图所示：   （1）用上面的方法，可以将下图中涂色部分转化为一个（      ）形。 （2）请你计算涂色部分的面积是多少平方厘米？（提示：你可以在图中画一画） 【演练2】（2021·云南保山·小升初真题）根据情景回答下列问题。 情境描述：一天，四年级的小红在《数学乐园》里看到了一幅图（如下所示），非常好奇！于是她提出了一个数学问题：“阴影部分的面积是多少呢？”她又想：“有些图形的面积计算方法我还没有学过，该怎样计算呢？” 假如小红向你请教，你能用她所学过的知识帮她解决吗？ （先写出你的想法，再计算阴影部分的面积） （1）我这样想： （2）我这样算： 高频考点讲练12：弧、圆心角、扇形的认识 【典例精讲】（23-24六年级上·重庆·期末）折扇又名“撒扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面能折叠的扇子。如图是一把绫绢折扇，做这样一把折扇扇面大约需要绫绢面料多少平方分米？（π取3.14，结果保留两位小数） 【演练1】（23-24六年级上·全国·单元测试）如图所示，草坪上有一间长方形木屋，在木屋的一角栓着一头牛，栓牛的绳子长10米，这头牛能吃到草地的面积最大是多少平方米？ 【演练2】有一个圆形铁丝圈的周长为40厘米，小明用铁钳剪下圆心角是108°的一段弧形铁丝，那么剪下部分的铁丝长是多少厘米？ 高频考点讲练13：扇形的周长和面积 【典例精讲】（24-25六年级上·河南周口·期中）王大爷用37.68米长的篱笆在屋前的空地上围了一个圆形的鸡舍，如图1，现在由于养鸡数量的增加，他利用两面墙和原有的篱笆将鸡舍改成了一个扇形，如图2，改变后鸡舍的面积增加了吗？如果增加了，增加了多少？ 【演练1】（23-24六年级下·北京密云·期末）如图中的三个小圆分别以三角形的三个顶点A、B、C为圆心，并且半径都是4厘米。图中阴影部分的面积之和是多少平方厘米？ 【演练2】（22-23六年级上·四川绵阳·期中）下图是一个长4厘米，宽2厘米的长方形。    （1）以A点为圆心，以AD之长为半径画一个圆。 （2）求出圆与长方形重合部分的面积是多少平方厘米？ 【实战演练1】（2024·四川乐山·小升初真题）有一个圆形花坛，直径是16米，在它的周围修建一条2米宽的小路。（圆周率取值3.14） （1）这条小路的面积是多少？   （2）沿环形小路的两旁边缘每隔5米装一盏灯，一共要安装多少盏灯？ 【实战演练2】（2024·甘肃平凉·小升初真题）冰冰去参观博物馆，看到一枚古铜钱（如图）。铜钱的直径为2.4厘米，中间的正方形边长为0.4厘米。这枚铜钱的面积是多少平方厘米？ 【实战演练3】（2024·四川广元·小升初真题）有一个圆形的草坪，它的周长是6280厘米，它的占地面积是多少？如果每平方米草坪的价格是8元，铺满这个草坪需要多少钱？ 【实战演练4】（2024·河南南阳·小升初真题）李佳学习了圆的面积后，学以致用。自己画了一幅图（如图），四边形ABCD是平行四边形，圆的半径是3厘米。阴影部分面积是多少平方厘米？请你帮李佳算一算。 【实战演练5】（2024·四川乐山·小升初真题）莱洛三角形是一种特殊的三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段弧组成的曲边三角形（图1）。莱洛三角形的特点是在任何方向上都有相同的宽度。根据以上的描述，请你以等边三角形ABC（图2）的三个顶点为圆心，画出一个莱洛三角形。如果等边三角形的边长是3厘米，画出的这个莱洛三角形的周长是多少厘米？ 基础夯实 1．（23-24六年级下·天津河东·期末）一个圆桌的直径是150cm，在圆桌边上要求每隔50cm摆一套餐具，为了保证间距，最多可以摆餐具（    ）套。 A．8 B．9 C．10 D．11 2．（2024·重庆永川·小升初真题）一个圆柱扫地机器人在一块长方形场地内可以任意行走，碰到障碍物会自动转弯。如图，这个扫地机器人的底面是一个直径为20厘米的圆盘。机器人在扫地时覆盖不到的面积约为（    ）平方厘米。（π取值3） A．400 B．300 C．100 D．0 3．（24-25六年级上·四川凉山·期末）一个圆形喷水池，半径是6米，水池外围有一条2米宽的环形小路，这条小路的面积是（    ）平方米。 A．12.56 B．113.04 C．200.96 D．87.92 4．（24-25六年级下·海南海口·期末）如图，皮带传动轮的直径是0.5米，轮子转动2周，传送带上的物品A平移( )米。 5．（24-25六年级上·河南周口·期中）一枚兔年纪念币的直径是4cm，这枚纪念币的半径是( )cm，周长是( )cm，把这枚纪念币放在桌上，它和桌面接触的面积是( )cm2。 6．（24-25六年级上·北京海淀·期末）中心广场摆了一个直径10米的圆形花坛，为了美观，园艺师给花坛围了一圈栅栏，这圈栅栏的长度是多少米？（取3.14） 7．（21-22六年级上·河南焦作·期末）冰壶场地上的营垒是四个同心圆，半径分别是0.15米、0.61米、1.22米和1.83米。其中最大圆与最小圆的周长差是多少米？（π取值3） 8．（25-26六年级上·全国·单元测试）从小强家到学校要走1200米，小强的自行车外轮胎直径约50厘米，他骑自行车上学，如果车轮平均每分钟转200转，他从家到学校约需要多少分钟？（π取3） 9．（2025六年级上·海南海口·专题练习）这座桥长多少米？ 10．（2025六年级上·海南海口·专题练习）有一个圆形喷水池的半径是20米，现在要在它的周围种上宽10米的环形草坪（如下）。如果每平方米需要100元的草，那么种植这块草坪需要多少元？ 培优拔尖 11．（24-25六年级上·山东济南·期末）“外方内圆”和“外圆内方”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含了为人处世的朴素道理，下图是一种外方内圆的建筑，外面正方形面积是36平方分米，则内圆面积是（    ）平方分米。 A．41.04 B．30.96 C．28.26 D．18.8 12．（24-25六年级上·广东中山·期末）如果跑道是标准的400米环形跑道，每条跑道的宽度是1.25米，那么400米跑步比赛中，相邻两条跑道的起跑线之间的差距是（    ）米。 A．1.25 B．3.925 C．4.91 D．7.85 13．（24-25六年级上·北京海淀·期末）数学课上，同学们将做好的硬纸板“车轮”沿直尺的边滚一滚，描出圆心留下的痕迹，如下图所示。为什么圆心留下的痕迹是直线？下面解释最合理的是（    ）。 A．圆心决定圆的位置 B．圆是曲边图形，它的边很光滑 C．同一个圆中所有的半径都相等 D．圆是轴对称图形 14．（23-24六年级上·新疆昌吉·期末）一个圆形花坛的半径是5米，在它的周围修一条小路，小路宽1米，这条小路的面积是( )平方米。 15．（24-25六年级上·广西南宁·期末）如图，我国古建筑门窗有许多方中有圆、圆中有方的设计图案。图中圆的面积是，其中大正方形的面积是( )，小正方形的面积是( )。 16．（25-26六年级上·全国·单元测试）小明爸爸要用铁丝网围一个半径是15米的圆形鸡栏，请问：围这个鸡栏需要多少米的铁丝网？（接头处不计） 17．（24-25六年级上·广西南宁·期末）你知道打中10米气步枪的靶心有多难吗？靶子最外圈的周长约为141.3毫米。如果借助实物描述靶子大小，你觉得下面的哪个描述比较合适？请说明理由。 18．（24-25六年级上·青海西宁·期末）古典园林体现了中华民族对于自然和美好生活环境的向往与热爱，园林中的门洞不仅是一道独特的风景线，还起到了将两个分隔的园景联系起来的妙用。如图所示，有一个花瓣形门洞，它的四周由4个直径都是1米的半圆组成。这个门洞的周长和面积分别是多少？ 19．（24-25六年级上·全国·单元测试）如图，一个等边三角形的边长是一个小圆的周长的2倍，小圆的半径为2cm。若这个小圆按箭头方向从某一位置沿着等边三角形的周边作无滑动滚动，直至回到原出发位置，在计算小圆滚动的面积的时候，聪聪的想法如下，请你据此计算。 第1步：先把小圆滚过的图形进行分割：小圆经过的面积为3个长方形面积＋3个扇形面积。 第2步：3个扇形面积分析：1个扇形圆心角＋三角形的1个内角＝180°，则3个扇形圆心角＋三角形的3个内角＝540°。因为三角形3个内角的和为180°，所以3个扇形圆心角的和为360°，即3个扇形面积的和为一个圆的面积。 20．（24-25六年级上·全国·单元测试）如图，有一只狗被拴在一个建筑物的墙角点处，这个建筑物的底面是一个边长为8米的正方形，拴狗的绳长18米。现在狗从点B出发，将绳拉紧并沿顺时针方向跑。狗最多可以跑多少米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆的周长与面积的应用 【知识梳理+13个考点讲练+真题演练+难度分层练 共64题】 （解析版） 资料简介 内容梳理 2 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：基础公式应用 2 知识点梳理02：生活场景中的应用 2 知识点梳理03：组合图形的周长和面积计算 3 知识点梳理04：与比例相关的问题 3 高频考点讲练1：圆的概念及特点 3 高频考点讲练2：圆的周长公式的应用 5 高频考点讲练3：半圆的周长 7 高频考点讲练4：圆的周长的较复杂应用 9 高频考点讲练5：含圆的组合图形的周长 11 高频考点讲练6：圆的面积的应用 14 高频考点讲练7：圆环的面积 17 高频考点讲练8：求最大面积 19 高频考点讲练9：含圆的组合图形的面积 21 高频考点讲练10：方中圆和圆中方的面积问题 24 高频考点讲练11：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 27 高频考点讲练12：弧、圆心角、扇形的认识 30 高频考点讲练13：扇形的周长和面积 32 升学真题 实战演练 34 优选题型 培优强化 37 基础夯实 37 培优拔尖 42 同学你好，该份讲义用于人教版六年级上册内容的专题强化培优学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5题小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 优选题型，培优强化：结合本专题内容精选15-20题较难题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：基础公式应用 已知半径求周长和面积：直接运用圆的周长公式C=2πr和面积公式S=πr²进行计算。例如，已知一个圆形花坛的半径是5米，求其周长和面积。周长C=2×3.14×5=31.4米，面积S=3.14×5²=78.5平方米。 已知直径求周长和面积：先根据直径d与半径r的关系r=d÷2求出半径，再代入公式计算。比如，已知圆的直径为8米，半径r=8÷2=4米，周长C=2×3.14×4=25.12米，面积S=3.14×4²=50.24平方米。 已知周长求半径、直径和面积：由周长公式C=2πr，可推出r=C÷2π，d=C÷π，求出半径或直径后再计算面积。例如，圆形花坛周长是37.68米，半径r=37.68÷2×3.14=6米，面积S=3.14×6²=113.04平方米。 知识点梳理02：生活场景中的应用 测量与规划：在实际生活中，需要测量圆形物体的周长或面积来进行规划。比如，要给一个圆形桌面配一块玻璃，就需要计算桌面的面积；要在圆形花坛周围围上栅栏，就需要计算花坛的周长。 行程问题：当物体做圆周运动时，会涉及圆的周长计算。例如，车轮滚动一周所行的路程就是车轮的周长，已知车轮半径和滚动的圈数，就可以求出行驶的距离。若车轮半径为0.3米，滚动100圈，行驶距离为2×3.14×0.3×100=188.4米。 面积比较与选择：在一些实际问题中，需要比较不同圆形物体的面积大小，从而做出选择。比如，有两个圆形池塘，一个半径是4米，另一个直径是10米，比较哪个池塘面积大。第一个池塘面积S1=3.14×42=50.24平方米，第二个池塘半径为10÷2=5米，面积S2=3.14×5²=78.5平方米，所以第二个池塘面积大。 知识点梳理03：组合图形的周长和面积计算 包含圆的组合图形：由圆与其他图形（如长方形、正方形等）组合而成的图形，需要分别计算各部分的周长和面积，再根据具体情况进行求和或求差。例如，一个正方形中内切一个最大的圆，已知正方形边长为8厘米，求圆的周长和剩余部分的面积。圆的直径等于正方形边长，即8厘米，半径为4厘米，圆的周长C=2×3.14×4=25.12厘米，正方形面积为8×8=64平方厘米，圆的面积为3.14×4²=50.24平方厘米，剩余部分面积为64−50.24=13.76平方厘米。 多个圆的组合：多个圆组合在一起，可能需要考虑它们之间的位置关系，通过合理分割或拼接来计算周长和面积。比如，两个半径为3厘米的圆部分重叠，求重叠后图形的周长和面积，需要根据重叠部分的情况进行分析计算。 知识点梳理04：与比例相关的问题 半径、直径、周长和面积的比例关系：在不同大小的圆中，半径、直径、周长的比是相等的，而面积的比是半径比的平方。例如，两个圆半径比是2:3，则直径比、周长比都是2:3，面积比是4:9。这类问题常结合实际情境，如两个圆形花坛半径不同，根据半径比例关系求周长或面积的比例关系。 高频考点讲练1：圆的概念及特点 【典例精讲】（24-25六年级上·全国·单元测试）（1）将甲图中圆内小正方形如何旋转得到图形乙？ （2）如果圆内小正方形的面积是22平方厘米，那么圆外大正方形面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）绕O点顺时针方向旋转45° （2）44平方厘米 【思路引导】（1）观察甲图和乙图，可以看出小正方形从与大正方形边平行的位置旋转到了与大正方形对角线平行的位置，根据正方形的性质，确定绕哪个中心点，顺时针或逆时针方向旋转多少度即可得解。 （2）将其沿对角线分成4个等腰直角三角形，每个三角形的面积为22÷4，观察可知大正方形的面积是8个三角形的面积，每个三角形的面积再乘8即可得解。 【规范解答】（1）答：将甲图中圆内小正方形绕O点顺时针方向旋转45°可得到图形乙。 （2）如图： 22÷4×8 ＝5.5×8 ＝44（平方厘米） 答：圆外大正方形面积是44平方厘米。 【演练1】（2024六年级上·全国·专题练习）将两个大小不同的圆摆放在一个长方形中（如图所示），小圆的半径是多少厘米？ 【答案】1厘米 【思路引导】根据图形可知，大圆的直径＋小圆的直径＝长方形的长，大圆的直径等于长方形的宽，用长方形的长－长方形的宽，求出小圆的直径，再除以2，即可求出小圆的半径，据此解答。 【规范解答】（8－6）÷2 ＝2÷2 ＝1（厘米） 答：小圆的半径是1厘米。 【演练2】（23-24六年级上·河北邢台·期中）在陀螺的圆面上（圆心除外）用蓝笔点一个点，在陀螺的圆面边缘用黑笔点一个点（如图所示）。抽动陀螺使它旋转。观察蓝、黑点在旋转时的痕迹，你有什么发现？ 【答案】见详解 【思路引导】当陀螺旋转时，黑点和蓝点都绕同一个中心点旋转，即在做圆周运动。因为黑点和蓝点各自到陀螺旋转中心的距离保持不变（即半径不变），所以其运动轨迹都是一个圆且是同心圆（圆心相同，半径不同）。 【规范解答】根据分析，作图如下： 发现旋转前是蓝、黑两点，旋转的过程中形成蓝、黑两个圆，且是同心圆。 高频考点讲练2：圆的周长公式的应用 【典例精讲】24-25六年级上·全国·单元测试）国际田径联合会规定，标准塑胶跑道的宽度为1.22米，跑道之间间距的宽度为1.25米。某学校的400米环形跑道是由两条直道和两条半圆形跑道组成的，每条跑道宽为1.25米。如果在这个环形跑道上进行600米赛跑，那么第一道选手与第四道选手的起跑线要相差多少米？ 【答案】35.325米 【思路引导】在环形跑道上比赛，外道选手比内道选手跑的路程长，差距主要体现在弯道部分；600米赛跑是400米跑道的600÷400＝1.5圈，第一道与第四道之间间隔4－1＝3个跑道宽度，每个跑道宽1.25米，那么每跑一圈，第四道比第一道多跑的距离就是2π×跑道宽度，即2×3.14×1.25×（4－1）米；因为要跑1.5圈，所以用每圈的差距乘1.5，即3.14×1.25×2×（4－1）×1.5，就得到第一道选手与第四道选手起跑线的差距。 【规范解答】600÷400＝1.5（圈） 3.14×1.25×2×（4－1）×1.5 ＝3.14×1.25×2×3×1.5 ＝3.14×2.5×4.5 ＝3.14×11.25 ＝35.325（米） 答：第一道选手与第四道选手的起跑线要相差35.325米。 【演练1】（24-25六年级上·重庆·期末）一辆自行车车轮的外直径是0.8米，李老师骑自行车从家到图书馆用了10分钟，如果车轮每分钟转50圈，李老师家到图书馆的路程是多少米？ 【答案】1256米 【思路引导】已知自行车车轮的外直径是0.8米，根据圆的周长公式C＝πd，求出车轮的周长； 如果车轮每分钟转50圈，用车轮的周长乘每分钟转的圈数，即是自行车的速度； 李老师骑自行车从家到图书馆用了10分钟，根据“路程＝速度×时间”求出李老师家到图书馆的路程。 【规范解答】3.14×0.8×50×10 ＝2.512×50×10 ＝125.6×10 ＝1256（米） 答：李老师家到图书馆的路程是1256米。 【演练2】（24-25六年级上·山东济宁·期中）蚂蚁A和蚂蚁B两只小蚂蚁同时出发，用同样的速度，分别沿着正方形和圆爬一圈，谁会先爬完？通过计算说明。 【答案】蚂蚁B 【思路引导】正方形的周长＝边长×4，圆的周长公式：C＝πd，据此分别算出正方形和圆形的周长，再比较大小，周长短的先爬完，据此解答。 【规范解答】5×4＝20（厘米） 5×3.14＝15.7（厘米） 20厘米＞15.7厘米 答：沿着圆形爬的蚂蚁先爬完，因为圆形的周长小于正方形的周长，路程更短，所以蚂蚁B先爬完。 高频考点讲练3：半圆的周长 【典例精讲】（24-25六年级上·浙江宁波·期末）图1是一个半径为50米的半圆形花坛，李爷爷习惯饭后绕着它的周边匀速散步。李爷爷从O点出发，按箭头所指的方向步行，最后回到出发点。他步行过程中距离与时间的关系如图2所示。 （1）李爷爷绕半圆形花坛散步一圈需要多少米？ （2）观察图2，请你计算李爷爷散步的速度？ （3）如果李爷爷只在散步途中休息了一次，请看图分析，在图1上用“☆”标出休息的位置。 【答案】（1）257米 （2）50米/分 （3）图见详解 【思路引导】（1）根据题意和图意可知，求李爷爷绕半圆形花坛散步一圈的长度，就是求半圆的周长；根据半圆的周长＝直径＋圆周长的一半，其中圆的直径＝半径×2，圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算求解。 （2）观察李爷爷步行过程中距离与时间的关系图可知，他步行50米，用时1分钟，根据“速度＝路程÷时间”求出他散步的速度。 （3）从关系图中可知，李爷爷在从B点返回O点的中途休息了一次，据此在图1上用“☆”标出休息的位置。 【规范解答】（1）50×2＋2×3.14×50× ＝100＋157 ＝257（米） 答：李爷爷绕半圆形花坛散步一圈需要257米。 （2）50÷1＝50（米/分） 答：李爷爷散步的速度是50米/分。 （3）如图： 【演练1】（24-25六年级上·全国·课后作业）如图所示，两条小虫同时从A地爬向B地。第一条小虫沿大半圆爬行，第二条小虫沿三个小半圆爬行。哪条小虫先到达B地？为什么？（两条小虫爬行的速度相同。） 【答案】两条小虫同时到达B地，因为大半圆直径与三个小半圆直径之和相等，经过计算，两条小虫爬行的路程相同 【思路引导】假设最大的半圆直径是d，图形下面从左到右的半圆直径分别为d1、d2、d3，根据圆的周长公式，分别求出两条路线的长度，再比较即可。 【规范解答】假设最大的半圆直径是d， 第一条小虫爬行的长度为πd÷2 第二条小虫爬行的长度为πd1÷2＋πd2÷2＋πd3÷2 ＝（πd1＋πd2＋πd3）÷2 ＝π（d1＋d2＋d3）÷2 因为d＝d1＋d2＋d3 所以πd÷2＝（πd1＋πd2＋πd3）÷2 答：两条路线的长度相同，两条小虫同时到达B地。 【演练2】（23-24六年级上·河北保定·期末）陈伯伯计划在房子后面的空地上靠墙围一个直径是8米的半圆形禽舍（如图），并从中间隔开，一边养鸡，一边养鸭。陈伯伯至少需要准备多少米的篱笆？ 【答案】16.56米 【思路引导】篱笆的长度等于圆周长的一半加上一条半径的长度，据此解答即可。 【规范解答】3.14×8÷2＋8÷2 ＝25.12÷2＋4 ＝12.56＋4 ＝16.56（米） 答：陈伯伯至少需要准备16.56米的篱笆。 【考点剖析】本题考查圆的周长，解答本题的关键是掌握圆的周长计算公式。 高频考点讲练4：圆的周长的较复杂应用 【典例精讲】（24-25六年级上·全国·单元测试）如图1，直线l上放置了一个边长为6的等边三角形，当等边三角形沿着直线翻转一次到达图2的位置。如果等边三角形翻转204次，则顶点A移动的路径总长是多少？（用π表示） 【答案】544 【思路引导】先根据等边三角形翻转的特点求出翻转204次A点移动的次数，因为翻转A点是以弧线的轨迹移动的，每次旋转的圆心角是120°，根据推导圆周长公式，可推导出弧长公式：弧长＝即可求出点A移动136次移动的路径总长是多少。 【规范解答】等边三角形旋转三次回到原来的状态，而其中有一次是以点A为旋转中心，点A没移动，所以等边三角形翻转204次，点A移动的有204×＝136次；点A每移动一次都是以B或C为圆心，半径为6，圆心角为120°的弧长， 所以顶点A移动的路径总长＝ 答：顶点A移动的路径总长是544。 【演练1】（24-25六年级上·重庆江北·期末）一辆自行车轮胎的外直径是0.7米。如果每分钟转90周，通过一座1000米长的桥需要几分钟？（只列综合算式或方程，不计算。） 【答案】1000÷（3.14×0.7×90） 【思路引导】已知自行车轮胎的外直径是0.7米，根据圆的周长公式C＝πd，求出车轮的周长，也就是车轮转动一周走的距离； 用车轮的周长乘每分钟转的周数，求出自行车行驶的速度，然后根据时间＝路程÷速度，求出通过1000米长的桥所需的时间。 【规范解答】1000÷（3.14×0.7×90） ＝1000÷（2.198×90） ＝1000÷197.82 ≈5（分钟） 答：通过一座1000米的桥大约需要5分钟。 【演练2】（24-25六年级上·北京通州·期末）王叔叔骑自行车从单位到家用了20分钟。王叔叔的自行车车轮半径是35厘米，车轮平均每分钟滚动100圈。照这样计算，王叔叔从单位到家的路程是多少米？ 【答案】4396米 【思路引导】车轮转动一圈走的路程就是车轮的周长，根据圆的周长公式，代入数据计算可得一转一圈的路程，再乘100得1分钟走的路程，再乘20即可得解。计算时先把厘米转化为米，计算时可运算乘法结合律进行运算。 【规范解答】35厘米＝0.35米 （米） 答：王叔叔从单位到家的路程是4396米。 高频考点讲练5：含圆的组合图形的周长 【典例精讲】（24-25六年级上·北京西城·期末）公园靠墙角修建了一个花坛，花坛由长方形和扇形组成，围着花坛铺了4米宽的草坪（如下图，阴影部分为花坛）。公园新增夜间游园活动。要沿着草坪的外边缘（不包括靠墙部分）安装灯带，灯带全长多少米？ 【答案】36.98米 【思路引导】看图可知，灯带全长＝长方形的长＋半径（10＋4）米的圆周长的，圆的周长＝2×圆周率×半径，据此列式解答。 【规范解答】15＋2×3.14×（10＋4）× ＝15＋2×3.14×14× ＝15＋21.98 ＝36.98（米） 答：灯带全长36.98米。 【演练1】（24-25六年级上·北京房山·期末）公园管理处要为公园设计一条散步小路，设计师提供了一种方案，将散步小路设计成直径为600米的圆形（如图）。为了增加设计的多样性，公园管理处向市民征集散步小路的设计方案。 ①小芳设计出了一个新图形，如下图所示。 你同意小芳的说法吗？用写一写、算一算等方法说明你的理由。（如果有需要，π取3.14） 答：我____________________小芳的说法。（填“同意”或“不同意”） 我的理由： ②同学们还设计出了以下两个新图形，请你判断：这两个新图形的周长分别与直径为600米的圆的周长相等吗？若相等，在括号里画“√”；若不相等，在括号里画“×”。 ③请你根据上面的思路再创作一个新图形，使它的周长与直径是600米的圆的周长相等。（画出示意图） ④请你结合上面的研究，提出一个关于新图形周长的猜想或发现，用喜欢的方式表示出你的想法。 【答案】①同意；我的理由见详解 ②见详解 ③见详解 ④我的发现：只要图形里所有的小圆直径之和等于600米，那么新图形的周长都会等于直径为600米的大圆的周长。 【思路引导】①根据圆的周长＝πd，代入数值计算出直径为600米的圆周长；小芳设计的新图形的周长等于直径为（300＋300）米的圆周长的一半＋直径为300米的圆的周长；比较这两个图形的周长大小，即可解答。 ②第一个图形的周长等于直径为（200＋200＋200）的圆周长的一半＋直径为200米的圆的周长＋直径为200米的圆周长的一半；第二个图形的周长等于直径为（200＋400）米的圆周长的一半＋直径为200米的圆周长的一半＋直径为400米的圆周长的一半；分别求出各图形的周长，再与直径为600米的圆的周长进行比较，若相等，在括号里画“√”；若不相等，在括号里画“×”。 ③所有设计的新图形里面的小圆的直径相加都等于600米，据此可设计一个新图形。 ④结合“新图形的周长”的研究，写出自己的发现，答案不唯一，合理即可。 【规范解答】①我同意小芳的说法。 我的理由： 直径为600米的圆周长：3.14×600＝1884（米） 小芳设计的新图形周长：3.14×（300＋300）÷2＋3.14×300 ＝3.14×600÷2＋942 ＝1884÷2＋942 ＝942＋942 ＝1884（米） 直径为600米的圆周长与小芳设计的新图形的周长相等。 ②第一个图形周长：3.14×（200＋200＋200）÷2＋3.14×200＋3.14×200÷2 ＝3.14×600÷2＋628＋628÷2 ＝1884÷2＋628＋314 ＝942＋942 ＝1884（米） 第二个图形周长：3.14×（200＋400）÷2＋3.14×200÷2＋3.14×400÷2 ＝3.14×600÷2＋628÷2＋1256÷2 ＝1884÷2＋314＋628 ＝942＋942 ＝1884（米） 因此这两个新图形的周长分别与直径为600米的圆的周长相等。如图所示： ③如图所示： ④我的发现：只要图形里所有的小圆直径之和等于600米，那么新图形的周长都会等于直径为600米的大圆的周长。（答案不唯一） 【演练2】（23-24六年级下·全国·课后作业）“没有全民健康，就没有全面小康”，国家重视人民群众的身体健康，将全民健身上升到国家战略的新高度。小旭每天都会围着操场跑5圈（如图），他每天大约跑多少米？ 【答案】906米 【思路引导】操场的周长＝圆的周长＋长方形的长×2，小旭跑的路程＝操场的周长×5；利用圆的周长公式，代入数据，据此解答。 【规范解答】（30×3.14＋43.5×2）×5 ＝（94.2＋87）×5 ＝181.2×5 ＝906（米） 答：他每天大约跑906米。 高频考点讲练6：圆的面积的应用 【典例精讲】（24-25六年级上·全国·单元测试）某传送带装置侧面如图所示，大轮的面积是3.14m2。（假设绳索与轮子之间没有滑动） （1）若物体在传送带上，小轮转动2圈，物体前进多少米？ （2）物体从A点传送到B点时，小轮转动的圈数约是大轮转动圈数的多少倍？ 【答案】（1）6.28米 （2）2倍 【思路引导】（1）根据题意可知，物体前进的距离，等于小轮转动2圈的周长，根据圆的周长＝π×半径×2，代入数据，即可解答。 （2）根据圆的面积＝π×半径2，半径2＝面积÷π，据此先求出大轮的半径，再根据物体从点传送到点的距离，分别求出小轮和大轮转动的圈数，进而求出倍数关系。 【规范解答】（1）3.14×0.5×2×2 ＝1.57×2×2 ＝3.14×2 ＝6.28（米） 答：物体前进6.28米。 （2）3.14÷3.14＝1（平方米） 1×1＝1，所以大轮半径是1米。 小轮周长：3.14×0.5×2 ＝1.57×2 ＝3.14（米） 大轮周长：3.14×1×2 ＝3.14×2 ＝6.28（米） 小轮转动圈数：15.7÷3.14＝5（圈） 大轮转动圈数：15.7÷6.28＝2.5（圈） 5÷2.5＝2 答：小轮转动的圈数约是大轮转动圈数的2倍。 【演练1】（24-25六年级上·福建三明·期末）淘气家有一张可折叠的餐桌，把四周折叠的部分收起来，是一张正方形餐桌；把四周折叠的部分撑开，是一张圆形餐桌，这时圆形餐桌的直径是2米。 （1）这张圆形餐桌的面积是多少？ （2）如果一个人需要0.5米的位置就餐，这张圆形餐桌大约坐多少人？ （3）如果在正方形餐桌内放一个最大的转盘（如图），这个转盘有多大？ 【答案】（1）3.14平方米 （2）12人 （3）1.57平方米 【思路引导】（1）半径＝直径÷2，据此求出半径长度；圆的面积＝π×半径×半径，代入数值求出圆形餐桌的面积即可； （2）圆的周长＝直径×π，据此求出圆形桌的周长，再用周长除以一个人占的数量，除不尽时用去尾法保留整数，即可求出这张圆形餐桌大约能坐多少人； （3）如图所示，圆形转盘的直径就是正方形的边长，半径就是边长，圆的面积＝π×半径×半径，所以圆盘面积＝π×边长×边长＝×边长×边长，而边长×边长＝正方形面积，所以圆盘面积＝×正方形面积；连接正方形的对角线，分成4个相同的小三角形，对角线就是圆的直径，也就是2米，小三角的底是对角线的一半，也就是1米，高也是对角线的一半，也是1米，根据三角形的面积＝底×高÷2求出一个小三角形的面积，再乘4就是正方形的面积。最后把正方形面积乘即可求出圆盘面积。 【规范解答】（1）2÷2＝1（米） 3.14×1×1＝3.14（平方米） 答：这张圆形餐桌的面积是3.14平方米。 （2）3.14×2＝6.28（米） 6.28÷0.5＝12.56≈12（人） 答：这张圆形餐桌大约坐12人。 （3）2÷2＝1（米） 1×1÷2×4＝2（平方米） ×2＝1.57（平方米） 答：这个转盘有1.57平方米。 【演练2】（24-25六年级上·青海果洛·期末）洋洋一家去某酒店用餐，发现桌子能坐下12位客人，每位客人的座位宽约0.628米，餐厅内悬挂一大钟，分针长约40厘米。他们吃饭正好用了1小时。 （1）这段时间分针的针尖走过了多少厘米？ （2）这个圆桌的面积有多少平方米？（结果保留一位小数） 【答案】（1）251.2厘米 （2）4.5平方米 【思路引导】（1）已知分针长约40厘米，分针1小时正好走一圈，根据圆的周长公式C＝2πr，求出这段时间分针的针尖走过的路程。 （2）已知桌子能坐下12位客人，每位客人的座位宽约0.628米，用每位客人的座位宽度乘客人的人数，即可求出圆桌的周长； 根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆桌的半径； 再根据圆的面积公式S＝πr2，求出这个圆桌的面积，结果根据“四舍五入”法保留一位小数。 【规范解答】（1）2×3.14×40＝251.2（厘米） 答：这段时间分针的针尖走过了251.2厘米。 （2）0.628×12＝7.536（米） 7.536÷3.14÷2 ＝2.4÷2 ＝1.2（米） 3.14×1.22 ＝3.14×1.44 ≈4.5（平方米） 答：这个圆桌的面积有4.5平方米。 高频考点讲练7：圆环的面积 【典例精讲】（24-25六年级上·全国·单元测试）如下图所示，一个机器零件的横截面是圆环形状的，其中阴影部分的面积是25平方厘米，圆环的面积是多少平方厘米？ 【答案】157平方厘米 【思路引导】根据题意，大圆半径为R，小圆半径为r。阴影部分的面积是大三角形面积减去小三角形面积，即R2－r2＝25，可推出R2－r2＝50。而圆环的面积公式为S＝π（R2－r2），将R2－r2＝50代入即可求出圆环面积，据此解答。 【规范解答】大圆半径为R，小圆半径为r。阴影部分面积：R2－r2＝25，得到R2－r2＝50 S＝3.14×（R2－r2） ＝3.14×50 ＝157（平方厘米） 答：圆环的面积是157平方厘米。 【演练1】（24-25六年级上·重庆·期末）欣欣小学有一个圆形花坛，半径是2米。 （1）在花坛里按照3∶1的面积比分别种上了月季和菊花。种月季和菊花的面积分别是多少平方米？ （2）在圆形花坛周围修一条宽1米的小路，小路的面积是多少平方米？ 【答案】（1）月季9.42平方米；菊花3.14平方米 （2）15.7平方米 【思路引导】（1）已知圆形花坛的半径是2米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出花坛的面积； 在花坛里按照3∶1的面积比分别种上了月季和菊花，即月季、菊花的面积分别占花坛面积的、，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可求出种月季和菊花的面积。 （2）在圆形花坛周围修一条宽1米的小路，用圆形花坛的半径加上1米，即是外圆的半径；根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），求出小路的面积。 【规范解答】（1）3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 12.56× ＝12.56× ＝9.42（平方米） 12.56× ＝12.56× ＝3.14（平方米） 答：种月季的面积是9.42平方米，菊花的面积是3.14平方米。 （2）2＋1＝3（米） 3.14×（32－22） ＝3.14×（9－4） ＝3.14×5 ＝15.7（平方米） 答：小路的面积是15.7平方米。 【演练2】（24-25六年级上·重庆江北·期末）劳动基地里有一块圆形萝卜地，萝卜地的直径是8米。 （1）如果给萝卜地围上一圈栅栏，栅栏长多少米？ （2）如果绕萝卜地铺一条1米宽的环形小路，小路面积是多少平方米？ 【答案】（1）25.12米 （2）28.26平方米 【思路引导】（1）根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式解答。 （2）由题意可知，已知内圆直径，根据内圆半径＝内圆直径÷2，外圆半径＝内圆半径＋1，环形面积公式：S＝π（R2－r2），把数据代入公式解答。 【规范解答】（1）3.14×8＝25.12（米） 答：栅栏长25.12米。 （2）8÷2＝4（米） 4＋1＝5（米） 3.14×（52－42） ＝3.14×（25－16） ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 答：小路的面积是28.26平方米。 高频考点讲练8：求最大面积 【典例精讲】（21-22五年级下·河南洛阳·期末）公安部门要在一个十字路口安装红外线摄像头，摄像头的地面监控范围是周长为314米的圆（如下图）。这个摄像头的监控范围有多少平方米？ 【答案】7850平方米 【思路引导】根据圆的半径＝周长÷π÷2，圆的面积＝πr2，列式解答即可。 【规范解答】314÷3.14÷2＝50（米） （平方米） 答：这个摄像头的监控范围有7850平方米。 【考点剖析】关键是掌握并灵活运用圆的周长和面积公式。 【演练1】（20-21六年级上·山东聊城·期末）（1）画一个半径2厘米的半圆，标上圆心和半径。 （2）想一想怎样才能在半圆内画一个面积最大三角形，尝试着画在上面，你有什么发现？ （3）求出三角形的面积。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）4平方厘米 【思路引导】（1）圆心O确定圆的位置，半径r确定圆的大小，圆规两脚之间的距离为2cm； （2）三角形的面积最大，底边和高最大，直径是圆内最长的线段，以直径为底边，半径为高作图； （3）S三角形＝，将底和高的数值代入求值即可。 【规范解答】（1） （2） 以圆内直径AB为底边，弧的中点C为顶点，作三角形ABC 发现：三角形ABC是以AB为斜边的一个等腰直角三角形（答案不唯一） （3） ＝ ＝4（平方厘米） 答：三角形的面积是4平方厘米。 【考点剖析】根据直径是圆内最长的线段找出圆内最大的三角形是解答本题的关键。 【演练2】在一个周长是24厘米的正方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？ 【答案】r=24÷4÷2=3（厘米） S=3.14×32=28.26(平方厘米） 答：这个圆的面积是28.26平方厘米． 【规范解答】24÷4=6(厘米) 3.14×(6÷2)² =3.14×9 =28.26(平方厘米) 答：这个圆的面积是28.26平方厘米． 高频考点讲练9：含圆的组合图形的面积 【典例精讲】（23-24六年级上·安徽淮南·期末）六（1）班的同学们在学习园地中用彩色卡纸设计一个如图的“荣誉栏”，把每周表现突出的同学照片张贴在“荣誉栏”里，算一算这样的“荣誉栏”需要彩色卡纸多少平方分米？ 【答案】 41.12平方分米 【思路引导】观察图形可知，“荣誉栏”由一个正方形和4个半圆组成，4个半圆可拼成2个完整的圆；已知正方形的边长为4分米，根据“正方形面积＝边长×边长”计算出正方形的面积；已知圆的直径是4分米，用直径除以2计算出圆的半径，根据圆的面积公式计算出圆的面积，再乘2计算出两个圆的面积；最后将正方形面积与2个圆的面积相加即为“荣誉栏”所需彩色卡纸的面积。 【规范解答】4×4＝16（平方分米） 4÷2＝2（分米） 3.14×22×2 ＝3.14×4×2 ＝12.56×2 ＝25.12（平方分米） 16＋25.12＝41.12（平方分米） 答：这样的“荣誉栏”需要彩色卡纸41.12平方分米。 【演练1】（24-25六年级上·重庆南岸·期末）图形A和图形B（图中阴影）是两个半圆的一部分，芳芳和东东正在讨论A和B的大小。 芳芳说：“A的面积比B的面积大。” 东东说：“B的周长比A的周长大。” 你同意他俩的观点吗？给出你判断的理由。 【答案】同意芳芳，不同意东东；理由见详解 【思路引导】两个图形阴影部分的面积都等于大半圆的面积减去2个空白半圆的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，分别求出图形A、B的面积，再比较，得出结论； 两个图形阴影部分的周长都等于大圆周长的一半加上2个空白圆周长的一半，根据圆的周长公式C＝πd，分别求出图形A、B的周长，再比较，得出结论。 【规范解答】5＋5＝10（cm） 4＋6＝10（cm） 图形A的面积： π×（10÷2）2÷2－π×（5÷2）2÷2×2 ＝π×52÷2－π×2.52÷2×2 ＝π×25÷2－π×6.25÷2×2 ＝π×25÷2－π×6.25÷2×2 ＝12.5π－6.25π ＝6.25π（cm2） 图形B的面积： π×（10÷2）2÷2－π×（4÷2）2÷2－π×（6÷2）2÷2 ＝π×52÷2－π×22÷2－π×32÷2 ＝π×25÷2－π×4÷2－π×9÷2 ＝12.5π－2π－4.5π ＝6π（cm2） 6.25π＞6π，A的面积比B的面积大。 图形A的周长： π×10÷2＋π×5÷2×2 ＝5π＋5π ＝10π（cm） 图形B的周长： π×10÷2＋π×4÷2＋π×6÷2 ＝5π＋2π＋3π ＝10π（cm） 10π＝10π，A的周长与B的周长一样大。 答：我同意芳芳的观点，不同意东东的观点。因为A的面积比B的面积大，A的周长与B的周长一样大。 【演练2】（24-25六年级上·重庆南岸·期末）学校操场如下图所示，两边是半圆形草坪，中间是长方形足球场。为增强体质，芳芳每天坚持沿操场边沿跑4圈。 （1）足球场的面积比草坪大多少？ （2）芳芳每天跑多少米？ 【答案】（1）2537.5平方米； （2）1348米 【思路引导】（1）观察可知，两边草坪可拼成一个圆形，已知圆的直径，根据半径＝直径÷2，圆的面积公式，代入数据可求草坪的面积，足球场是一个长方形，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据可求足球场的面积，再用足球场的面积减草坪的面积即可得解。 （2）根据圆的周长公式，代入数据计算可求圆的周长，再加足球场的两条长，得到沿操场边沿跑1圈的距离，再乘4即可得解。 【规范解答】（1） （平方米） 答：足球场的面积比草坪大2537.5平方米。 （2） （米） 答：芳芳每天跑1348米。 高频考点讲练10：方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】（24-25六年级上·全国·单元测试）已知正方形ABCD的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆，再将对边中点用直线连接起来得下图，那么，图中阴影部分的总面积是多少？ 【答案】39.25平方厘米 【思路引导】如图，正方形的面积等于4个相同的等腰直角三角形的面积之和，根据正方形面积＝边长×边长求出正方形面积；用正方形面积除以4即为一个等腰直角三角形的面积；因为三角形面积＝底×高÷2，则三角形的底×高＝三角形面积×2，即等腰三角形中直角边的平方＝三角形面积×2，所以大圆半径的平方等于等腰直角三角形直角边的平方；因为①②的面积之和等于③④的面积之和，所以图中阴影部分面积的总和可看作大圆面积的一半减去小圆面积的一半，根据圆的面积公式求解即可。 【规范解答】将正方形分为4个相同的等腰直角三角形，一个三角形的面积： ＝25（平方厘米） 大圆半径的平方： 25×2＝50 大圆面积的一半： （平方厘米） 小圆面积的一半： ＝ ＝ ＝39.25（平方厘米） 阴影部分的总面积： 78.5－39.25＝39.25（平方厘米） 答：图中阴影部分的总面积是39.25平方厘米。 【演练1】（24-25六年级上·北京房山·期末）中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。图中正方形的边长是2米，正方形和圆之间部分的面积是多少平方米？ 【答案】0.86平方米 【思路引导】已知外方内圆的图形中正方形的边长是2米，那么正方形内最大圆的直径等于正方形的边长； 观察图形可知，正方形和圆之间部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【规范解答】2×2＝4（平方米） 3.14×（2÷2）2 ＝3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方米） 4－3.14＝0.86（平方米） 答：正方形和圆之间部分的面积是0.86平方米。 【演练2】（24-25六年级上·河南周口·期中）刘爷爷十分擅长水墨画，他想把自己的作品装裱后挂在家中，现在有两种装裱方式，都使用边框内长为20厘米的正方形框，图1是一联画，画面为框内最大的圆形；图2是四联画，每个圆的直径相同，且圆和圆、圆和框都相接无缝隙。 （1）图2的四联画中，画面所占面积有多大？ （2）两种装裱方式相比，框内空白面积哪个大？ 【答案】（1）314平方厘米 （2）一样大 【思路引导】（1）图2中圆的直径＝正方形的边长÷2＝20÷2＝10厘米。根据圆的面积：S＝πr2，代入数据计算出一个圆的面积，再乘4即可。 （2）在图1中圆的直径＝正方形的边长＝20厘米，正方形的面积＝边长×边长。分别代入数据计算求出圆的面积和正方形的面积。框内空白面积＝正方形的面积－画面所占面积。分别计算出图1和图2的框内空白面积，再比较即可。 【规范解答】（1）20÷2÷2＝5（厘米） 3.14×52×4 ＝3.14×25×4 ＝314（平方厘米） 答：图2的四联画中，画面所占面积有314平方厘米。 （2）一联画空白面积： 20×20－3.14×（20÷2）2 ＝20×20－3.14×102 ＝20×20－3.14×100 ＝400－314 ＝86（平方厘米） 四联画空白面积： 20×20－314 ＝400－314 ＝86（平方厘米） 86＝86 答：两种装裱方式相比，框内空白面积一样大。 高频考点讲练11：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】（24-25六年级上·安徽黄山·期末）科创社团准备举行四驱车比赛，比赛场地示意图如下图。场地外围为赛道，如需给比赛场地铺草皮，需要准备多少平方米草皮？王新同学制作的四驱车速度约为2米/秒，如沿赛道跑一周需要多长时间？ 【答案】39.25平方米；15.7秒 【思路引导】观察图形可知：比赛场地是一个不规则图形，右下角的小半圆可以填补到左边的空白半圆处，这样比赛场地就变为一个以10米为直径的半圆，根据圆的面积＝πr2，求出圆的面积，再除以2即可求出需要草皮的面积。 观察图形可知：比赛场地周长的上半部分是以10米为直径的圆的周长的一半，下半部分的两条半圆弧可以组成以（10÷2）米为直径的圆。根据圆的周长＝πd，分别求出两部分的长度，再把它们相加可以求出比赛场地的周长。最后根据路程÷速度＝时间，用场地的周长除以2，即可求出沿赛道跑一周需要多长时间。 【规范解答】（10÷2）2×3.14÷2 ＝52×3.14÷2 ＝25×3.14÷2 ＝39.25（平方米） 10×3.14÷2＋10÷2×3.14 ＝15.7＋15.7 ＝31.4（米） 31.4÷2＝15.7（秒） 答：需要准备39.25平方米草皮；沿赛道跑一周需要15.7秒。 【演练1】（23-24六年级下·广东广州·期末）在我们的数学课上，曾经用下面的方法把平行四边形转化成长方形，从而得到平行四边形的面积。转化过程如下图所示：   （1）用上面的方法，可以将下图中涂色部分转化为一个（      ）形。 （2）请你计算涂色部分的面积是多少平方厘米？（提示：你可以在图中画一画） 【答案】（1）半圆 （2）39.25平方厘米 【思路引导】（1）根据平行四边形面积的推导过程，如下图，把右下角涂色部分的小半圆如箭头所示割补到空白小半圆处，这样涂色部分转化成一个半径是5厘米的半圆形。 （2）根据圆的面积公式S＝πr2，求出一个圆的面积，再除以2，即是半圆的面积，也就是涂色部分的面积。 【规范解答】（1）用上面的方法，可以将图中涂色部分转化为一个半圆形。 （2）如图： 3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（平方厘米） 答：涂色部分的面积是39.25平方厘米。 【演练2】（2021·云南保山·小升初真题）根据情景回答下列问题。 情境描述：一天，四年级的小红在《数学乐园》里看到了一幅图（如下所示），非常好奇！于是她提出了一个数学问题：“阴影部分的面积是多少呢？”她又想：“有些图形的面积计算方法我还没有学过，该怎样计算呢？” 假如小红向你请教，你能用她所学过的知识帮她解决吗？ （先写出你的想法，再计算阴影部分的面积） （1）我这样想： （2）我这样算： 【答案】（1）见详解 （2）100平方厘米 【思路引导】（1）如图： 将左边正方形中的阴影部分平移到右边正方形的空白处，阴影部分正好是一个正方形； （2）根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算即可求出阴影部分的面积。 【规范解答】（1）我这样想：将左边正方形中的阴影部分平移到右边正方形的空白处，阴影部分正好是一个正方形。（答案不唯一） （2）我这样算：10×10＝100（平方厘米） 答：阴影部分的面积是100平方厘米。 【考点剖析】通过平移把不规则的阴影部分的面积转化成学过的规则图形的面积，然后利用正方形的面积公式求解。也可以把右边正方形的阴影部分平移到左边正方形的空白处，阴影部分组成一个正方形。 高频考点讲练12：弧、圆心角、扇形的认识 【典例精讲】（23-24六年级上·重庆·期末）折扇又名“撒扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面能折叠的扇子。如图是一把绫绢折扇，做这样一把折扇扇面大约需要绫绢面料多少平方分米？（π取3.14，结果保留两位小数） 【答案】10.47平方分米 【思路引导】扇形的圆心角是150°，是360°的，所以扇形的面积是所在圆面积的。根据圆的面积＝，分别算出半径是3分米的大扇形和半径是1分米的空白小扇形面积，再相减即可解答。 【规范解答】150°÷360°＝ 3－2＝1（分米） 3.14×3²×－3.14×1²× ＝3.14×9×－3.14×1× ＝28.26×－3.14× ＝（28.26－3.14）× ＝25.12× ≈10.47（平方分米） 答：做这样一把折扇扇面大约需要绫绢面料10.47平方分米。 【演练1】（23-24六年级上·全国·单元测试）如图所示，草坪上有一间长方形木屋，在木屋的一角栓着一头牛，栓牛的绳子长10米，这头牛能吃到草地的面积最大是多少平方米？ 【答案】235.5平方米 【思路引导】这头牛能吃到草地的最大范围如图所示，是半径为10米的圆的面积减去一个圆心角是90°的扇形（圆）面积，利用圆的面积公式，据此解答。 【规范解答】3.14×102×（1－） ＝3.14×100× ＝314× ＝235.5（平方米） 答：这头牛能吃到草地的面积最大是235.5平方米。 【演练2】有一个圆形铁丝圈的周长为40厘米，小明用铁钳剪下圆心角是108°的一段弧形铁丝，那么剪下部分的铁丝长是多少厘米？ 【答案】12厘米 【思路引导】由题意可知：剪下部分的铁丝长等于圆心角÷360度×圆的周长，代入数据计算即可。 【规范解答】108÷360×40 ＝0.3×40 ＝12（厘米） 答：剪下部分的铁丝长是12厘米。 【考点剖析】解题时注意剪下部分的弧长不是扇形的周长。 高频考点讲练13：扇形的周长和面积 【典例精讲】（24-25六年级上·河南周口·期中）王大爷用37.68米长的篱笆在屋前的空地上围了一个圆形的鸡舍，如图1，现在由于养鸡数量的增加，他利用两面墙和原有的篱笆将鸡舍改成了一个扇形，如图2，改变后鸡舍的面积增加了吗？如果增加了，增加了多少？ 【答案】增加了；339.12平方米 【思路引导】从题意可知：37.68米长的篱笆＝圆的周长＝扇形的弧长。根据圆的半径：r＝C÷π÷2，圆的面积：S＝πr2，代入数据分别求出图1中圆形的鸡舍的半径和面积。图2中这个扇形的圆心角是直角。先用扇形的弧长×4求出扇形的所在圆的周长，进而求出这个圆的半径和面积，将这个圆的面积除以4，即可求出扇形的面积，再判断，最后扇形鸡舍的面积减去圆形鸡舍的面积，即可求出增加的面积。 【规范解答】图1： 37.68÷3.14÷2＝6（米） 3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方米） 图2： 37.68×4÷3.14÷2 ＝150.72÷3.14÷2 ＝24（米） 3.14×242÷4 ＝3.14×576÷4 ＝452.16（平方米） 452.16＞113.04 增加的面积：452.16－113.04＝339.12（平方米） 答：改变后鸡舍的面积增加了，增加了339.12平方米。 【演练1】（23-24六年级下·北京密云·期末）如图中的三个小圆分别以三角形的三个顶点A、B、C为圆心，并且半径都是4厘米。图中阴影部分的面积之和是多少平方厘米？ 【答案】25.12平方厘米 【思路引导】三个阴影部分的圆心角分别是三角形的三个内角，三角形的内角和是180°，则三个阴影部分的圆心角之和是180°。因为三个小圆的半径都是4厘米，这三个阴影部分合起来就是一个以4厘米为半径的扇形。扇形的面积＝πr2×，据此解答。 【规范解答】3.14×42× ＝3.14×16× ＝25.12（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积之和是25.12平方厘米。 【演练2】（22-23六年级上·四川绵阳·期中）下图是一个长4厘米，宽2厘米的长方形。    （1）以A点为圆心，以AD之长为半径画一个圆。 （2）求出圆与长方形重合部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）见详解 （2）3.14平方厘米 【思路引导】（1）画圆的步骤：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 （2）圆与长方形重合部分是个扇形，刚好是圆面积的，圆与长方形重合部分的面积＝πr2×，据此列式解答。 【规范解答】 （1）   （2）3.14×22× ＝3.14×4× ＝3.14（平方厘米） 答：圆与长方形重合部分的面积是3.14平方厘米。 【考点剖析】关键是掌握画圆的方法，掌握并灵活运用扇形面积公式。 【实战演练1】（2024·四川乐山·小升初真题）有一个圆形花坛，直径是16米，在它的周围修建一条2米宽的小路。（圆周率取值3.14） （1）这条小路的面积是多少？   （2）沿环形小路的两旁边缘每隔5米装一盏灯，一共要安装多少盏灯？ 【答案】（1）113.04平方米 （2）23盏 【思路引导】（1）已知圆形花坛直径是16米，则半径等于直径的一半16÷2＝8米，在它的周围修建一条2米宽的小路，则加上小路后大圆半径是8＋2＝10米；小路的面积实际上就是圆环的面积，根据“圆环面积＝π（R2－r2）计算出小路的面积。 （2）要计算装灯的数量，需要先求出环形小路两旁的周长，先求外圆周长C＝2πR，再计算内圆周长C＝2πr，分别用周长除以间隔距离计算出内圆和外圆安装的灯数，最后相加。 【规范解答】（1）16÷2＝8（米） 8＋2＝10（米） 3.14×（102－82） ＝3.14×（100－64） ＝3.14×36 ＝113.04（平方米） 答：这条小路的面积是113.04平方米。 （2）外圆周长：2×3.14×10＝62.8（米） 62.8÷5≈13（盏） 内圆周长：2×3.14×8＝50.24（米） 50.24÷5≈10（盏） 一共：13＋10＝23（盏） 答：一共要安装23盏灯。 【实战演练2】（2024·甘肃平凉·小升初真题）冰冰去参观博物馆，看到一枚古铜钱（如图）。铜钱的直径为2.4厘米，中间的正方形边长为0.4厘米。这枚铜钱的面积是多少平方厘米？ 【答案】4.3616平方厘米 【思路引导】铜钱的面积等于直径为2.4厘米的圆的面积减去边长为0.4厘米的正方形的面积，根据圆的面积＝×半径的平方，正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算即可解答。 【规范解答】2.4÷2＝1.2（厘米） 3.14×－0.4×0.4 ＝3.14×1.44－0.16 ＝4.5216－0.16 ＝4.3616（平方厘米） 答：这枚铜钱的面积是4.3616平方厘米。 【实战演练3】（2024·四川广元·小升初真题）有一个圆形的草坪，它的周长是6280厘米，它的占地面积是多少？如果每平方米草坪的价格是8元，铺满这个草坪需要多少钱？ 【答案】314平方米；2512元 【思路引导】已知圆形草坪的周长是6280厘米，根据圆的周长公式“C＝2πr”得“r＝C÷π÷2”，即用圆的周长除以π计算出直径长度，再除以2计算出半径长度，再根据圆的面积公式“S＝πr2”计算出圆的面积；已知每平方米草坪价格是8元，根据“总价＝单价×数量”，这里数量就是草坪的面积，计算出铺满草坪需要的费用。 【规范解答】6280÷3.14÷2 ＝2000÷2 ＝1000（厘米） 1000厘米＝10米 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方米） 答：它的占地面积是314平方米。 314×8＝2512（元） 答：铺满这个草坪需要2512元。 【实战演练4】（2024·河南南阳·小升初真题）李佳学习了圆的面积后，学以致用。自己画了一幅图（如图），四边形ABCD是平行四边形，圆的半径是3厘米。阴影部分面积是多少平方厘米？请你帮李佳算一算。 【答案】9平方厘米 【思路引导】通过观察图形可知，阴影部分的面积通过旋转“转化”为平行四边形ABCD面积的一半，平行四边形的高等于圆的半径，平行四边形的底等于圆的直径。根据平行四边形的面积公式：S＝ah，把数据代入公式解答。 【规范解答】如图： 3×2×3÷2 ＝6×3÷2 ＝18÷2 ＝9（平方厘米） 答：阴影部分的面积是9平方厘米。 【实战演练5】（2024·四川乐山·小升初真题）莱洛三角形是一种特殊的三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段弧组成的曲边三角形（图1）。莱洛三角形的特点是在任何方向上都有相同的宽度。根据以上的描述，请你以等边三角形ABC（图2）的三个顶点为圆心，画出一个莱洛三角形。如果等边三角形的边长是3厘米，画出的这个莱洛三角形的周长是多少厘米？ 【答案】图见详解；9.42厘米 【思路引导】（1）根据描述，分别以A、B、C三个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径，画出三条圆弧。 （2）莱洛三角形的周长等于三条圆弧的长度之和，每个圆的对应的圆心角是等边三角形的其中的一个内角，三角形的内角和是180°，等边三角形的内角相等，则每一个内角是60°。则每条圆弧是整个圆的＝。则每条圆弧的长度＝圆的周长×，最后再乘3即可。 【规范解答】作图如下： 2×3.14×3××3 ＝18.84××3 ＝9.42（厘米） 答：这个莱洛三角形的周长是9.42厘米。 基础夯实 1．（23-24六年级下·天津河东·期末）一个圆桌的直径是150cm，在圆桌边上要求每隔50cm摆一套餐具，为了保证间距，最多可以摆餐具（    ）套。 A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【思路引导】先根据“”求出圆桌的周长，可以摆餐具的套数＝圆桌的周长÷间距，最后结果取整数，据此解答。 【规范解答】150×3.14＝471（cm） 471÷50≈9（套） 所以，最多可以摆餐具9套。 故答案为：B 2．（2024·重庆永川·小升初真题）一个圆柱扫地机器人在一块长方形场地内可以任意行走，碰到障碍物会自动转弯。如图，这个扫地机器人的底面是一个直径为20厘米的圆盘。机器人在扫地时覆盖不到的面积约为（    ）平方厘米。（π取值3） A．400 B．300 C．100 D．0 【答案】C 【思路引导】根据题意作图如下： 从图中可知：空白部分就是扫地机器人在长方形的四个角都覆盖不到，这四个空白部分（覆盖不到）面积之和＝正方形的面积－圆的面积。正方形的边长＝圆的直径＝20厘米，根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积：S＝πr2，代入数据计算分别求出面积，再相减即可。 【规范解答】20×20－（20÷2）2×3 ＝20×20－102×3 ＝20×20－100×3 ＝400－300 ＝100（平方厘米） 机器人在扫地时覆盖不到的面积约为100平方厘米。 故答案为：C 3．（24-25六年级上·四川凉山·期末）一个圆形喷水池，半径是6米，水池外围有一条2米宽的环形小路，这条小路的面积是（    ）平方米。 A．12.56 B．113.04 C．200.96 D．87.92 【答案】D 【思路引导】根据题意可知，求小路的面积，就是求圆环的面积，根据圆环的面积公式：面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），代入数据，即可解答。 【规范解答】3.14×[（6＋2）2－62] ＝3.14×[82－62] ＝3.14×[64－36] ＝3.14×28 ＝87.92（平方米） 一个圆形喷水池，半径是6米，水池外围有一条2米宽的环形小路，这条小路的面积是87.92平方米。 故答案为：D 4．（24-25六年级下·海南海口·期末）如图，皮带传动轮的直径是0.5米，轮子转动2周，传送带上的物品A平移( )米。 【答案】3.14 【思路引导】根据题意，轮子转动2周，传送带上的物品A平移的距离等于皮带传动轮周长的2倍；根据圆的周长公式C＝πd，代入数据计算求解。 【规范解答】3.14×0.5×2＝3.14（米） 传送带上的物品A平移3.14米。 5．（24-25六年级上·河南周口·期中）一枚兔年纪念币的直径是4cm，这枚纪念币的半径是( )cm，周长是( )cm，把这枚纪念币放在桌上，它和桌面接触的面积是( )cm2。 【答案】 2 12.56 12.56 【思路引导】根据半径＝直径÷2求得这枚纪念币的半径，然后利用圆的周长＝、圆的面积＝分别求得这枚纪念币周长和它和桌面接触的面积，据此解答即可。 【规范解答】4÷2＝2（cm） 3.14×4＝12.56（cm） 3.14× ＝3.14×4 ＝12.56（） 所以，这枚纪念币的半径是2cm，周长是12.56cm，把这枚纪念币放在桌上，它和桌面接触的面积是12.56cm2。 6．（24-25六年级上·北京海淀·期末）中心广场摆了一个直径10米的圆形花坛，为了美观，园艺师给花坛围了一圈栅栏，这圈栅栏的长度是多少米？（取3.14） 【答案】31.4米 【思路引导】求这圈栅栏的长度就是求圆形花坛的周长，已知圆形花坛的直径利用“”求出圆形花坛的周长，据此解答。 【规范解答】3.14×10＝31.4（米） 答：这圈栅栏的长度是31.4米。 7．（21-22六年级上·河南焦作·期末）冰壶场地上的营垒是四个同心圆，半径分别是0.15米、0.61米、1.22米和1.83米。其中最大圆与最小圆的周长差是多少米？（π取值3） 【答案】10.08米 【思路引导】半径越大，圆的周长越大，比较四个同心圆的半径，找出最小圆和最大圆，再根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，求出最小圆的周长和最大圆的周长，再用最大圆的周长－最小圆的周长，即可解答。 【规范解答】0.15＜0.61＜1.22＜1.83，最小圆的半径是0.15米，最大圆的半径是1.83米。 3×1.83×2－3×0.15×2 ＝5.49×2－0.45×2 ＝10.98－0.9 ＝10.08（米） 答：最大圆与最小圆的周长差是10.08米。 8．（25-26六年级上·全国·单元测试）从小强家到学校要走1200米，小强的自行车外轮胎直径约50厘米，他骑自行车上学，如果车轮平均每分钟转200转，他从家到学校约需要多少分钟？（π取3） 【答案】4分钟 【思路引导】要计算小强从家到学校的时间，需先求出自行车车轮每分钟行驶的距离，再用总路程÷该速度。车轮行驶距离与车轮周长和每分钟转数有关，根据圆的周长公式C＝πd可求周长，进而得速度，据此分析。 【规范解答】50厘米＝0.5米 3×0.5＝1.5（米） 1.5×200＝300（米） 1200÷300＝4（分钟） 答：他从家到学校约需要4分钟。 9．（2025六年级上·海南海口·专题练习）这座桥长多少米？ 【答案】131.88米 【思路引导】已知车轮直径是0.6米，根据圆的周长公式C＝πd计算出车轮的周长，即车轮转动1周所行驶的距离；已知车轮过桥共转了70周，用车轮转动1周所行驶的距离乘转动的周数即可计算出桥的长度。据此解答。 【规范解答】3.14×0.6×70 ＝1.884×70 ＝131.88（米） 答：这座桥长131.88米。 10．（2025六年级上·海南海口·专题练习）有一个圆形喷水池的半径是20米，现在要在它的周围种上宽10米的环形草坪（如下）。如果每平方米需要100元的草，那么种植这块草坪需要多少元？ 【答案】157000元 【思路引导】根据题意可知，草坪的面积就是圆环的面积，内圆的半径r是20米，外圆的半径R是（20＋10）米；根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），求出草坪的面积，再乘每平方米草的价钱，即可求出种植这块草坪需要的钱数。 【规范解答】20＋10＝30（米） 3.14×（302－202） ＝3.14×（900－400） ＝3.14×500 ＝1570（平方米） 100×1570＝157000（元） 答：种植这块草坪需要157000元。 培优拔尖 11．（24-25六年级上·山东济南·期末）“外方内圆”和“外圆内方”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含了为人处世的朴素道理，下图是一种外方内圆的建筑，外面正方形面积是36平方分米，则内圆面积是（    ）平方分米。 A．41.04 B．30.96 C．28.26 D．18.8 【答案】C 【思路引导】看图可知，正方形的边长＝圆的直径，根据正方形面积＝边长×边长，确定正方形的边长，即圆的直径，再根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，列式计算即可。 【规范解答】36＝6×6 圆的直径是6分米。 3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方分米） 内圆面积是28.26平方分米。 故答案为：C 12．（24-25六年级上·广东中山·期末）如果跑道是标准的400米环形跑道，每条跑道的宽度是1.25米，那么400米跑步比赛中，相邻两条跑道的起跑线之间的差距是（    ）米。 A．1.25 B．3.925 C．4.91 D．7.85 【答案】D 【思路引导】分析题目，环形跑道每条跑道的长度＝（直道＋直道）＋（弯道＋弯道）＝直道×2＋圆的周长，所有直道都相等，弯道的直径不相等，即每往外一圈，圆的直径就增加两条跑道的宽度，根据圆的周长公式：C＝πd可知内道周长为πd，外道周长为π（d＋1.25×2），据此可以分别算出这两个圆的周长，再相减即可得到相邻两条跑道的起跑线之间的差距。 【规范解答】设弯道直径为d 3.14×（d＋1.25×2） ＝3.14×（d＋2.5） ＝（3.14d＋7.85）米 3.14d＋7.85－3.14d＝7.85（米） 如果跑道是标准的400米环形跑道，每条跑道的宽度是1.25米，那么400米跑步比赛中，相邻两条跑道的起跑线之间的差距是7.85米。 故答案为：D 13．（24-25六年级上·北京海淀·期末）数学课上，同学们将做好的硬纸板“车轮”沿直尺的边滚一滚，描出圆心留下的痕迹，如下图所示。为什么圆心留下的痕迹是直线？下面解释最合理的是（    ）。 A．圆心决定圆的位置 B．圆是曲边图形，它的边很光滑 C．同一个圆中所有的半径都相等 D．圆是轴对称图形 【答案】C 【思路引导】圆上的点到圆心的距离都是相等的，这个相等的距离就是圆的半径；当车轮在直尺的边滚动时，车轮的圆心到直尺边上的距离总是等于车轮的半径，因此圆心留下的痕迹是直线。 【规范解答】圆心留下的痕迹的直线的原因是：车轮的圆心到车轮边上任意一点的距离都是相等的，这个相等的距离就是车轮的半径，即同一个圆中所有的半径都相等。 故答案为：C 14．（23-24六年级上·新疆昌吉·期末）一个圆形花坛的半径是5米，在它的周围修一条小路，小路宽1米，这条小路的面积是( )平方米。 【答案】34.54 【思路引导】根据题意可知，小路是环形的，用外圆面积减去内圆面积即可。其中外圆的半径＝花坛半径＋小路的宽度。圆面积＝πr2，据此先分别求出外圆和内圆的面积，再相减即可。 【规范解答】5＋1＝6（米） 3.14×62－3.14×52 ＝3.14×36－3.14×25 ＝113.04－78.5 ＝34.54（平方米） 所以，这条小路的面积是34.54平方米。 15．（24-25六年级上·广西南宁·期末）如图，我国古建筑门窗有许多方中有圆、圆中有方的设计图案。图中圆的面积是，其中大正方形的面积是( )，小正方形的面积是( )。 【答案】 16 8 【思路引导】由图可知，圆的直径就是大正方形的边长，正方形的面积＝边长×边长，根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，用圆的面积除以圆周率求出半径的平方，进一步求出圆的半径，再根据大正方形边长与圆直径的关系、小正方形对角线与圆直径的关系：小正方形的对角线等于圆的直径，把小正方形沿着对角线分成两个完全一样的等腰直角三角形，每个等腰直角三角形的底就是小正方形的对角线长度4dm，高是对角线长度的一半，据此分别求出大正方形和小正方形的面积。 【规范解答】12.56÷3.14＝4 2×2＝4，所以圆的半径是2dm。 2×2＝4（dm） 4×4＝16（） 4×2÷2×2 ＝8÷2×2 ＝8（） 所以大正方形的面积是16，小正方形的面积是8。 16．（25-26六年级上·全国·单元测试）小明爸爸要用铁丝网围一个半径是15米的圆形鸡栏，请问：围这个鸡栏需要多少米的铁丝网？（接头处不计） 【答案】 94.2米 【思路引导】根据圆的周长公式，代入数据计算。 【规范解答】 （米） 答：围这个鸡栏需要94.2米的铁丝网。 17．（24-25六年级上·广西南宁·期末）你知道打中10米气步枪的靶心有多难吗？靶子最外圈的周长约为141.3毫米。如果借助实物描述靶子大小，你觉得下面的哪个描述比较合适？请说明理由。 【答案】②；理由见详解 【思路引导】已知靶子最外圈的周长约为141.3毫米，根据圆的周长公式C＝πd可知，d＝C÷π，由此求出靶子最外圈的直径； 结合生活实际，靶子最外圈的直径与门的宽度、手掌心的宽度、数学课本封面的宽度进行比较，得出哪个描述比较合适。 【规范解答】靶子最外圈的直径：141.3÷3.14＝45（毫米） 45毫米＝4.5厘米 门的宽度大约是90厘米，手掌心的宽度大约是6厘米，数学课本封面的宽度大约是20厘米； 4.5＜6＜20＜90 靶子最外圈的直径大小最接近掌部的宽度，比掌部的宽度小一些。 答：②号描述比较合适。理由是：10米气步枪靶子是一个圆形，其最大直径是45毫米，比掌部小一些。 18．（24-25六年级上·青海西宁·期末）古典园林体现了中华民族对于自然和美好生活环境的向往与热爱，园林中的门洞不仅是一道独特的风景线，还起到了将两个分隔的园景联系起来的妙用。如图所示，有一个花瓣形门洞，它的四周由4个直径都是1米的半圆组成。这个门洞的周长和面积分别是多少？ 【答案】周长：6.28米；面积：2.57平方米 【思路引导】分析题目，这个图形的周长等于2个直径是1米的圆的周长之和，据此根据圆的周长公式：C＝πd代入数据列式计算即可；这个图形的面积等于2个直径是1米的圆的面积加上一个边长是1米的正方形的面积，据此结合正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝π（d÷2）2代入数据列式计算即可。 【规范解答】3.14×1×2 ＝3.14×2 ＝6.28（米） 3.14×（1÷2）2×2＋1×1 ＝3.14×0.52×2＋1×1 ＝3.14×0.25×2＋1×1 ＝1.57＋1 ＝2.57（平方米） 答：这个门洞的周长是6.28米，面积是2.57平方米。 19．（24-25六年级上·全国·单元测试）如图，一个等边三角形的边长是一个小圆的周长的2倍，小圆的半径为2cm。若这个小圆按箭头方向从某一位置沿着等边三角形的周边作无滑动滚动，直至回到原出发位置，在计算小圆滚动的面积的时候，聪聪的想法如下，请你据此计算。 第1步：先把小圆滚过的图形进行分割：小圆经过的面积为3个长方形面积＋3个扇形面积。 第2步：3个扇形面积分析：1个扇形圆心角＋三角形的1个内角＝180°，则3个扇形圆心角＋三角形的3个内角＝540°。因为三角形3个内角的和为180°，所以3个扇形圆心角的和为360°，即3个扇形面积的和为一个圆的面积。 【答案】351.68平方厘米 【思路引导】由题意可知：小圆经过的面积为3个长方形面积与1个圆的面积组成。长方形的宽等于小圆的直径即宽是4厘米；长方形的长是小圆周长的2倍，小圆周长为即长为；根据长方形面积＝长×宽可以求解；1个圆的面积是由3个扇形面积组成，组成的圆的半径等于长方形的宽即小圆的直径，根据求解；将3个长方形的面积与圆的面积相加求出小圆滚动的面积。 【规范解答】长方形的宽： 2×2＝4（厘米） 长方形的长： 2×3.14×2＝12.56（厘米） 12.56×2＝25.12（厘米） 长方形的面积： 25.12×4＝100.48（平方厘米） 3个长方形的面积和： 100.48×3＝301.44（平方厘米） 3个扇形面积： 3.14×4×4＝50.24（平方厘米） 小圆滚过面积： 301.44＋50.24＝351.68（平方厘米） 答：小圆滚动的面积为351.68平方厘米。 【考点剖析】结合题意将小球滚动的路线转化成我们熟知的图形，小球滚动的面积即各部分图形的面积和。有意识的将多个扇形面积去转化成有关的圆的面积；将图上的有效信息提取出来，小球的直径等于长方形的宽，3个扇形组成的圆的半径是小球的直径；灵活的运用圆的面积公式。 20．（24-25六年级上·全国·单元测试）如图，有一只狗被拴在一个建筑物的墙角点处，这个建筑物的底面是一个边长为8米的正方形，拴狗的绳长18米。现在狗从点B出发，将绳拉紧并沿顺时针方向跑。狗最多可以跑多少米？ 【答案】47.1米 【思路引导】 如图，狗将绳拉紧并沿顺时针方向跑的路程＝半径18米的圆周长的＋半径（18－8）米的圆周长的＋半径（18－8－8）米的圆的周长的，圆的周长＝2×圆周率×半径，求一个数的几分之几是多少用乘法，据此列式解答。 【规范解答】2×3.14×18×＋2×3.14×（18－8）×＋2×3.14×（18－8－8）× ＝113.04×＋6.28×10×＋6.28×2× ＝28.26＋62.8×＋12.56× ＝28.26＋15.7＋3.14 ＝47.1（米） 答：狗最多可以跑47.1米。 【考点剖析】关键是想清楚，建筑物会挡住绳子的长度，跑动的半径逐渐变小，利用圆的面积公式进行计算。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $